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第二讲：一元二次方程与韦达定理班级：______姓名：__________问题一、一元二次方程的基本知识定义： 判别式： 求根公式：两根差的绝对值：例1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －1＝0的两根，求| x 1－x 2|的值．问题二、韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x 的值； （3）x 13＋x 23．问题三、韦达定理与根的分布问题例1 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的（1）一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围；（2）两个根都大于零，求实数a 的取值范围．例2．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的（1）一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围；（2）两根都小于1，求实数a 的取值范围．例3 若一元二次方程x 2-(m +1)x+4=0的两个根都落在[0,3]内，求实数m 的取值范围．参考答案定义：一般的，把形如20ax bx c ++=()0a ≠的方程叫做一元二次方程判别式：240b ac =-≥求根公式：2b x a -±=两根差的绝对值：12||x x a -=问题一例1.122x x -===问题二例1. 解：由题意得121212355675k x x x x x x -⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩例2. 解：由题意得()()22212120401171021m b ac m m m x x x x ≤⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=+-=⎪⎪⎩⎩例3 解：由题意得24120x x --=解得126,2x x ==-例4 解：（1）12x x -===（2）()()()2212122222212122121131x x x x x x x x +--++===- （3）()()()()()233221212112212121234x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-问题三例1解:（1）1240x x a =-<，4a <（2）由题意得1220174440x x a b ac <⎧⇒<≤⎨-≥⎩例2解：（1）由题意得()()12110x x --<()121210x x x x -++<2a ∴<（2）由题意得122b a -=- ∴()()12211012440x x a b ac ⎧-->⎪⇒-<≤⎨-≥⎪⎩例3解：由题意得 ()()()()21212121240010033330330b ac x x x x m x x x x ⎧-≥⎪+≥⎪⎪≥⇒≤≤⎨⎪-+-≤⎪⎪--≥⎩高一数学衔接知识讲义二练习班级：________姓名：_________1． 若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）23．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为 （ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）04．已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是 （ ） （A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）96．若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x ＝ ； 7．以－3和1为根的一元二次方程是 ；8．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________；9．写一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数_________________________．10．若一元二次方程x 2+2(m -1)x+2m +6=0有两个实数根，且都比1大，求实数m 的取值范围．11．若方程(m +3)x 2-4mx+2m +1=0的两个实数根异号，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．12．若一元二次方程x 2-2ax+a+2=0的两根都在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围．参考答案1-5 D C C B B6-9 3-；(3)(1)0x x +-=；12；2710x x +-= 10 解： ，则51540m m m m ≥≤-⎧⎪⎪>-⎨⎪<⎪⎩∴514m -<≤-11 解：121200300x x x x m ⋅<⎧⎪+<⎪⎨+≠⎪⎪∆>⎩ ，则2(21)(3)04(m 3)03828-12>0m m m m m m ++<⎧⎪+<⎪⎨≠-⎪⎪∆=-⎩∴132m -<<- 12 解：法一：24480(1,3)2(1)30(3)1150a ab a a f a f a ⎧∆=--≥⎪⎪-=∈⎪⎨⎪=->⎪=->⎪⎩ ∴1125a ≤< 法二：利用韦达定理12121212(1)(1)0(1)(1)0(3)(3)0(3)(3)00x x x x x x x x -->⎧⎪-+->⎪⎪-+-<⎨⎪-->⎪⎪∆≥⎩ ∴1125a ≤< 2416200(1)4502(m 1)122m m f m b a ⎧⎪∆=--≥⎪=+>⎨⎪-⎪-=->⎩。
九年级数学讲义（一元二次方程）I 、理理知识要点（一）一元二次方程的有关概念1．对于一元二次方程的定义理解应抓住其本质，也就是它必须同时满足这样的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
要注意一元二次方程中的“元”和“次”是对整理化简之后而言的，因此一个方程是否为一元二次方程应“形”、“神”兼备。
如：02)12(23=-+--x x x x 是整式方程，化简后为0222=--x x 应是一元二次方程，而不是三次方程。
2．一元二次方程的一般式：我们把)0(02≠=++a c bx ax 叫做一元二次方程的一般式，其中2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 分别叫做二次项系数、一次项系数。
需要注意的是（1）“a≠0”是一般式的重要组成部分，不可遗漏；（2）方程的右边必须为0；（3）每一项及其系数都包括它本身的符号。
（二）一元二次方程的解法1．直接开平方法：用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。
2．配方法：配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。
任何一个形如bx x +2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。
实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。
3．公式法：我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的公式)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ，称为求根公式。
用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出ac b 42-的值，若ac b 42-≥0，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的根；若ac b 42-＜0，则原方程没有实数根。
一元二次方程九年级知识点一元二次方程作为初中数学中的重要内容之一，是九年级数学学习的重点之一。
掌握一元二次方程的知识，不仅能够解决实际问题，还能培养学生逻辑思维和解决问题的能力。
本文将带领大家逐步了解一元二次方程的基本概念、求解方法以及相关应用。
一、一元二次方程的概念和形式一元二次方程是指含有未知数的二次项、一次项和常数项的等式。
一般表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
解一元二次方程就是要求解出未知数x的值，使得方程成立。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程能够因式分解时，我们可以通过因式分解的方法来求解方程。
以方程x² - 5x + 6 = 0为例，我们可以将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令(x - 2)和(x - 3)分别等于0，解得x的值为2和3。
2. 公式法当一元二次方程在因式分解上比较困难或无法进行因式分解时，我们可以通过公式法来求解方程。
一元二次方程的求解公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
其中带 ±的是因为方程可能有两个解。
三、一元二次方程的相关性质除了求解一元二次方程，了解一些与一元二次方程相关的性质也是很重要的。
1. 二次函数和一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是相互关联的。
一元二次方程y = ax²+ bx + c的解对应于二次函数y = ax² + bx + c的图像上的零点。
而二次函数的图像上的顶点坐标则能告诉我们方程的最值。
2. 一元二次方程根的判别式方程的根是指使方程成立的解，一元二次方程根的判别式能够告诉我们方程有几个根以及根的性质。
根的判别式为D = b²- 4ac。
当D > 0时，方程有两个不相等的实根；当D = 0时，方程有两个相等的实根；当D < 0时，方程无实根，但可能有复根。
一元二次方程的韦达定理一元二次方程的韦达定理（Vieta's formulas）是数学中一个非常重要且有趣的定理。
该定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FrançoisViète）于16世纪提出的。
在探讨韦达定理之前，我们先来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c分别是方程的系数，x则是未知数。
那么一元二次方程的韦达定理是什么呢？韦达定理指出，方程的根（解）与方程的系数之间有着一定的关系。
具体地说，韦达定理表明：如果x1和x2是方程ax^2 + bx + c = 0的两个根，那么有以下等式成立：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a这两个等式可以帮助我们在不用求根公式的情况下计算出方程的根。
而且，通过韦达定理，我们还可以发现一些有趣的性质。
首先，我们来看等式x1 + x2 = -b/a。
这个等式告诉我们方程的两个根的和等于方程的二次项系数除以一次项系数的相反数。
也就是说，如果我们知道了方程的系数，我们就可以直接计算出根的和。
例如，对于方程2x^2 + 3x + 1 = 0，根据韦达定理，根的和等于-3/2。
通过计算或观察可以看出，该方程的两个根是-1和-1/2。
将这两个数相加，结果确实是-3/2。
接下来，我们来看等式x1 * x2 = c/a。
这个等式告诉我们方程的两个根的乘积等于方程的常数项系数除以二次项系数。
也就是说，如果我们知道了方程的系数，我们就可以直接计算出根的乘积。
例如，对于方程2x^2 + 3x + 1 = 0，根据韦达定理，根的乘积等于1/2。
通过计算或观察可以看出，该方程的两个根是-1和-1/2。
将这两个数相乘，结果确实是1/2。
不仅如此，通过韦达定理，我们还可以发现一些与方程的系数之间的关系。
例如，在方程ax^2 + bx + c = 0中，如果我们知道根的和和根的乘积，我们就可以确定方程的系数。
一元二次方程韦达定理的内容
韦达定理，又称二次方程求根公式，是解一元二次方程的重要工具。
它能帮助我们快速找到方程的根，并且在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的基本概念和应用。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
我们的目标是求出方程的根，即满足方程的x 值。
根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
公式中的±表示两个根的取值情况，√表示平方根。
当b²-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
通过韦达定理，我们可以解决许多与一元二次方程相关的问题。
例如，可以利用韦达定理求解物理学中的抛物线运动问题，或者计算图形的顶点、焦点等重要参数。
然而，在使用韦达定理时，我们需要注意以下几点。
首先，要确保方程是一元二次方程，即次数为2，且系数a不等于0。
其次，要仔细计算方程中的系数，确保不出现计算错误。
最后，要注意方程是否有实数根或复数根，在实际问题中需要对结果进行合理的解释和应用。
总之，一元二次方程韦达定理是解决二次方程的重要方法，具有广泛的应用价值。
通过理解和掌握韦达定理，我们能够更加轻松地解决与一元二次方程相关的问题，并在实际应用中发挥其作用。
【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结
【—韦达定理总结】知识要点：一元二次方程ax+bx+c=0?a≠0?中，两根x1,x2有如
下关系：x1+x2=-b/a,x1×x2=c/a。
韦达定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设立两个根为x1，x2
则
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
用韦达定理推论方程的木
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中，
由二次函数发推得若b^2-4ac<0则方程没实数根
若b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac>0则方程存有两个不成正比的实数根
推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个一元n次方程
∑aix^i=0
它的木记作x1,x2 (x)
我们有右图等式组
其中∑就是议和，π就是算草。
如果二元一次方程
在复数分散的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元n次方程
在复数分散必存有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/a
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
科学知识诀窍总结：韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
韦达定理在方程学说中有著广为的应用领域。
第二章一元二次方程1.认识一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
如：是分式方程，所以不是一元二次方程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。
例1 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？⑴；⑵；（3）；（4）；（5）情形都是一元二次方程：①、如果，则得，例如：；②、如果，则得，例如：；③、如果，则得，例如：；④、如果，则得，例如：。
其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
3.一元二次方程的解法(1)、直接开方法：若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是(2)、配方法：解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方。
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：1. 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；2. 把原方程变为的形式。
3. 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
例 解下列方程：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例 用配方法解下列方程：（1）； （2）(3)、公式法：一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出δ=的值；（3）若δ=，则把及的值代人求根公式，求出和，若δ=，则方程无解。
数学九年级上册一元二次方程讲解同学们，咱们今天来唠唠九年级上册的一元二次方程。
首先呢，啥是一元二次方程呢？简单来说，就是一个方程里面啊，只有一个未知数（这就是“一元”的意思啦），而且这个未知数的最高次数是2（这就是“二次”的由来）。
比如说，x^2+3x + 2 = 0，这里面就只有一个未知数x，x的最高次幂是2次方，这就是个典型的一元二次方程。
那这个一元二次方程长这个样子有啥用呢？用处可大了去了。
在很多实际问题里都能用到它，像计算图形的面积啦，物体运动的轨迹啦等等。
咱们再来说说一元二次方程的一般形式，那就是ax^2+bx + c = 0（a≠0哦，这个很重要，如果a = 0，那就不是二次方程了，就变成一次方程啦）。
这里面呢，a就叫做二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
接下来就是怎么解这个一元二次方程了。
方法还不少呢。
第一种方法是直接开平方法。
这个方法比较简单，适用于那种能直接把方程化成x^2=m（m≥slant0）这种形式的方程。
比如说，x^2=9，那很简单啊，x=±3就出来了。
第二种方法就是配方法。
这个就有点像给方程做个小变形。
比如说对于方程x^2+6x - 7 = 0。
我们先把常数项移到右边，就变成x^2+6x = 7。
然后呢，在等式两边加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数是6，一半就是3，平方就是9，那方程就变成x^2+6x + 9 = 7+9，也就是(x + 3)^2=16，然后再用直接开平方法，就可以求出x 的值啦。
第三种方法呢，就是公式法。
这个可是个万能的方法哦。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0），它的解是x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
这个公式是怎么来的呢？其实就是通过配方法推导出来的。
不过用这个公式的时候要注意，先得把方程化成一般形式，确定好a、b、c的值，然后再把这些值代入公式里计算就好啦。
比如说对于方程2x^2-5x + 1 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 1，把这些值代入公式就能算出x的值啦。
