11第十一次课 向量的内积与正交向量组

§2.4 向量的内积与正交向量组定义1 在中，设向量n R ,,2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a βα令,),(2211n n b a b a b a +++= βα称为向量与的内积.),(βααβ.),(βαβαT =例如，设则与的内积.)2,1,3,2(,)0,0,1,1(T T =−−=βααβ.12010312)1(),(=⨯+⨯+⨯+⨯−=βα内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示为根据定义1，不难验证内积具有下述性质：,0),)(4().,(),)(3().,(),)(2().,(),)(1(≥++=+==ααγβγαγβαβαβααββαk k 当且仅当时，有其中为中的向量，为常数.0=α.0),(=ααγβα,,n R k n R 定义2 对中的向量其长度向量长度也称为向量的范数.,),,,(21Tn a a a =α.),(22221n a a a +++== ααα例如，向量的长度T )2,1,1(=α.6211),(222=++==ααα向量长度具有下面的性质：当且仅当时，有.0α≥（1），0=α0=α.k k αα=•（2）(3)对任意向量，有βα,)1(.),(βαβα•≤如果上面不等式可写成这一等式称为柯西-施瓦次不等式.,),,,(,),,,(2121Tn T n b b b a a a ==βα.12121∑•∑≤∑===n i i n i i n i i i b a b a 证：当时，(1)式显然成立，以下. 令t 是一个实数，作向量. 由内积的性质(4)可知，不论t 取何值，一定有0=β0≠ββαγt +=,0),(),(≥++=βαβαγγt t对于不等式(1)当且仅当线性相关时，等号才成立.这由上述证明过程可以看出.用向量的长度去除向量，就得到一个单位向量，通常称为把向量单位化.即0),(),(2),(2≥++t t βββααα取代入上式，得),(),(βββα−=t ,0),(),(),(2≥−βββααα即),,)(,(),(2ββααβα≤两边开方得βαβα•≤),(βα,长度为1的向量称为单位向量，对于中的任一非零nR 向量，向量是一个单位向量.ααα1)0(≠ααα例1零向量与任意向量的内积为0，因此零向量与任意向量正交.定义3 如果两个向量与的内积等于0，即则称向量与互相正交. 记为.αβ,0),(=βααββα⊥例2 中的单位坐标向量组是两两正交的.n R n εεε,,,21 ⎩⎨⎧≠==)(0)(1),(j i j i j i εε定义4如果中的非零向量组两两正交，即则称该向量组为正交向量组.n R s ααα,,,21 ),,,2,1,;(0),(s j i j i j i =≠=αα定理4.1中的正交向量组线性无关.nR 证设为中的正交向量组，且有数，s ααα,,,21 n R s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα 使得上式两边与向量组中的任意向量求内积，得i α,0)0,(),(2211==+++i s s i k k k ααααα 即,0),(),(),(2211=+++s i s i i k k k αααααα 由于，所以上式可化简为)(0),(j i j i ≠=αα,0),(1=i i k αα而为非零向量，于是得，从而线性无关.i α,0),(≠i i αα),,2,1(0s i k i ==s ααα,,,21.),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),(,),(),(,111122221111222231111333111122211−−−−−−−−=−−=−==s s s ss s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ如果已知中的线性无关的向量组则可以生成正交向量组使这两个向量组等价.由一个线性无关向量组生成满足上述性质的正交向量组的过程，一般称为将该向量组正交化，将一个向量组正交化可以应用施密特正交化方法，其步骤如下：n R 12,,,,s ααα12,,,,s βββ对于中的线性无关向量组，令n R s ααα,,,21解.)21,21,1()1,1,0(21)1,1,1(30)0,1,1(),(),(),(),(,)1,1,0()1,1,1(33)2,0,1(),(),(,)1,1,1(222231111333111122211T T T T T T T T−=−−−−−=−−=−=−=−===ββββαββββααβββββααβαβ例3已知线性无关向量组将其化为正交向量组.,)0,1,1(,)2,0,1(,)1,1,1(321T T T −===ααα定义5设n 阶实矩阵Q ，满足则称Q 为正交矩阵.例如，单位矩阵E 为正交矩阵；在平面解析几何中，两直角坐标系间的坐标变换矩阵，是正交矩阵.正交矩阵具有下述性质：(1)若Q 为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1.(2)若Q 为正交矩阵，则Q 可逆，且(3)若P , Q 都是正交矩阵，则它们的积PQ 也是正交矩阵.,E Q Q T =⎪⎭⎫⎝⎛−θθθθcos sin sin cos .1T Q Q =−定理4.2设Q 为n 阶实矩阵，则Q 为在正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组.即Q 为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是单位正交向量组.类似可证，Q 的正交矩阵的充分必要条件是其行向量组是单位正证设，其中为Q 的列向量组.Q 是正交矩阵等价于而),,,(21n Q ααα =n ααα,,,21 ,E Q Q T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T n T n T n n T T T n T T T n T n T T T Q Q αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121),,,(由此可知等价于E Q Q T =⎩⎨⎧=≠===),,2,1,;(0),,,2,1(1n j i j i n i j T i i T i αααα11例4正交阵的例子：定义6若Q 为正交矩阵，则线性变换y =Qx 为正交变换.由正交变换的定义可知这表明正交变换不改变向量的长度，这正是正交变换的优良特性..31313161616221210)2(;010100001)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−.x x x Qx Q x y y y T T T T ====。