最新勾股定理的应用-最短距离教案资料

第2课时勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，假设小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保存根号)解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC ＝5米，那么AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C×6＝10米，那么AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，那么船向岸边移动的距离为(12－53)米．方法总结：此题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将条件转化到同一直角三角形中求解．【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如下列图，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC 是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC＝AB2＋BC2＝202103〕2＋1002＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC 的长．【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM ＝102＋〔20＋5〕2＝529(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝202＋2021＋5〕2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，那么AM的长是()解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.应选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，那么满足AB2＋BC2＝AC2.设BC＝a m，AC＝b m，AD＝x m，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC ＝a m，AC＝b m，AD＝x m.∵两猴子所经过的路程都是15m，那么10＋a＝x＋b＝15m.∴a＝5，b＝15－x.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋a2＝b2，∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．答：树高AB为12米．方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．探究点二：勾股定理与数轴如下列图，数轴上点A所表示的数为a，那么a的值是()A.5＋1 B ．－5＋1C.5－1D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是 5.那么点A所表示的数为5－1.应选C.方法总结：此题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a 的值．三、板书设计1．勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．2．勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者．第2课时平行四边形的判定定理11．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〞的判定方法；(重点) 2．平行四边形性质定理与判定定理的综合应用．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF ＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．探究点二：平行四边形的判定定理与性质的综合应用【类型一】利用性质与判定证明如图，四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS〞可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用得出△ADE≌△BCF，进而得出DE ＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC＝∠BEA，∠FCD＝∠EAB，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，AE＝FC，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，假设要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形到达上述目的．【类型二】利用性质与判定计算如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB ＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E ＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，那么必为等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交于点N，那么△DCN为等边三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题思路．解：延长ED、BC交于点N，延长EF、BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA 均为等边三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN ＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋F A＋AB＋BC＋CD ＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM ＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规那么〞的六边形变成“规那么〞的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．三、板书设计一组对边平行且相等的四边形是平行四边形本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和开展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。

“勾股定理的应用——立体图形中的最短距离”教学设计三、研学问题活动一：如图有一个圆柱，底面周长为18，高为12.有一只蚂蚁在它下面的A点，它想吃上底面上与A点相对的B点处的食物，教师提问A点和B点在一个曲面上最短路径还能直接连接AB两点吗？引导学生思考后回让学生通过动手操作找到最短路径，培养学生的动手能力和空间想象能力。

蚂蚁爬行的最短路径是多少？变式训练如图，若上述问题中点B在点A的正上方，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？答。

教师启发学生利用长方形纸卷出圆柱体，引导学生观察，找出A点到B点的最短路径。

学生画出圆柱的侧面展开图与蚂蚁爬行路径，并写出完整的解题过程。

（请一位同学到黑板完成解答，其他学生点评）通过此问题进一步加深学生对两点沿“曲面”的最短路程的解决方法掌握。

1四、学以致用如图，有一个圆柱,底面周长是10厘米,高为14厘米.在距离下底面1厘米的A点有一只蚂蚁，它想吃到距离上底面1厘米且与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师利用多媒体展示问题。

学生动手操作，独立思考后画出侧面展开图并确定最短路径。

教师请学生代表发表想法，并与上题进行比较，得出结论：蚂蚁在侧面爬行半圈与一圈，点A与点B的位置关系。

教师利用多检查学生对前面知识的理解和掌握情况，让学生学以致用。

五、知识迁移活动二：如图，是一个长为10cm，宽为6cm，高为8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. 媒体展示问题，学生组内讨论，画图并计算。

教师利用手机拍照展示小组研究成果，请小组代表讲解解题思路。

教师利用多媒体验证学生成果的对错情况。

教师利用多媒体出示问题，在前面知识的基础上，把两点迁移到长方体上，进一步研究折面中的两点的最短距离，同时让学生利用长方体动手找出最短路径，解决问题，培养学生的动手能力，空间想象能力和小组合作探究能力，通过对问题的解决体会分类讨论、转发现规律：如图，若长方体的长，宽，高分别为a，b和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A 到Cˊ所走的最短路程是六、强化训练如图，一个长方体盒子，其中AB=9，BC=6，BB′=5，在线通过长方体教具启发学生找出蚂蚁至少要经过几个面，学生分组利用自制长方体探究从A点到B点的不同走法，请小组代表说出不同走法。

四川大学附属中学新城分校教学设计授课题目勾股定理的应用—最短路径授课类型专题课授课教师授课科目数学课时第四课时授课时间教学目标1. 巩固勾股定理的表达公式；2. 掌握立体图形中最短路径的解答技巧和基本思想方法；3.建立直角三角形，利用勾股定理计算最短路径的长度。

教学重点1.立体图形的平面展开与直角三角形勾股定理的结合；2.空间想象能力与文字解读能力的培养。

教学难点如何将现实生活与数学模型结合起来，建立平面直角三角形勾股定理解决最短路径的现实问题教学方法自主探究→小组合作→问题导学→分享教学教学过程教师活动学生活动设计思路学习准备：1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm ，则斜边上的高为______；2、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是________ ；知识点一：立方体中的最短路径问题例1：如图，长方体盒子长AB=2，宽BC=3，高DC=4，一只蚂蚁在盒子表面由A处向D处爬行，所走最短路程的平方是多少？【经验习得】一般将立方体沿着棱展开，最短路径便转变为了平面图形，再利用直角三角形勾股定理，计算出所求边的长度。

【即学即练】如图，长方体盒子长AB=2，宽BC=3，高DC=4，这些条件不变，这只蚂蚁在盒子表面由A处向CD中点M处爬行，所走最短路程学生活动：复习旧知，自主完成老师活动：订正答案学生活动：独自完成例题1.教师引导学生在活动中思考总结，是否只有一种方案可行，渗透分类讨论思想并做对比。

对比后，师生归纳其中规律。

设计意图：复习勾股定理中分类讨论的题型，巩固分类讨论思想的重要性设计意图：学生动手动笔，利用尺规画出路径可能存在的情况，并结合勾股定理去探索最短路径问题通过即学即练引导是。

知识点二:圆柱体中的最短路径问题例2：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？【整理提炼】圆柱体的侧面展开图为长方形，长方形的长一般等于底面圆的周长（或周长的一半），长方形的宽等于圆柱体的高。

勾股定理的应用教学设计5篇第一篇：《勾股定理的应用》教学设计《勾股定理的应用》教学设计——解决立体图形外表上最短路线的问题__县第_中学李政法一、内容及内容解析1、内容勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。

2、内容解析本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。

启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定根底。

二、教学目标1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形，再建立直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

2、学会观看图形，勇于探究图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的有用性，增强自信心，呈现成功感。

三、教学重难点【重点】：探究、发觉立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

【难点】：查找长方体中最短路线。

四、教学方法本课采纳学生自主探究归纳教学法。

教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观看、思考、操作，归纳。

五、教学过程【复习回忆】右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做预备；2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。

思考：如图，立体图形中从点A到点B处，怎样找到最短路线呢？目的：引出课题。

【台阶中的最值问题】三级台阶示意图如图，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点A动身，沿着台阶面爬行到点B，爬行的最短路线是多少？老师活动：假如A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。

17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。

三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。

(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。

2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。

（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。

（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。

（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。

《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学过程分析第一环节：情境引入创设情景：如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是上底面的直径。

一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到C点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。

意图：创设引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：引导学生分析题意，明确已知信息，明确题目问题，引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论汇总方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，四种方案：A A A（1）（2）（3）（4）通过具体分析，得出最短路线，并计算出最短路线长。

让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念．就此问题的解决进行思路小结：将立体图形问题转化为平面图形问题，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，渗透了建模思想。

练习：1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？第三环节：拓展一：正方体内容：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到BBA渗透解题思路：即 1、展 -----（立体图形转为平面图形）2、找-----起点A，终点B或B′3、连-----最短路线AB和AB ′4、算-----利用勾股定理总结：对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。

1．3勾股定理的应用1．能熟练运用勾股定理求最短距离；(难点)2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．(重点)一、情境导入一个门框的宽为m，高为2m，如下图，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？二、合作探究探究点一：求几何体外表上两点之间的最短距离【类型一】长方体上的最短线段如图①，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从D出发，沿长方体外表到达B′点，问绳子最短是多少厘米？解析：可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比拟，得到的最短距离即为所求．解：如图②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；如图③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.方法总结：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．【类型二】圆柱上的最短线段为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在外表均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解析：将圆筒侧面展开成平面图形，利用平面上两点之间线段最短求解，构造直角三角形，利用勾股定理来解决．解：如图②，在Rt△ABC中，因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．方法总结：解决这类问题的关键就是转化，即把曲面转化为平面，曲线转化成直线，构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长．探究点二：利用勾股定理解决实际问题如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m 到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．解：如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C两点间的距离为500m.方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．三、板书设计通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力．5.3 应用一元一次方程——水箱变高了一、学生起点分析本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于根本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习.二、教学任务分析本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系.特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有根底分组独立完成，然后请各小组汇报:四个小问题的解答情况，最后组织学生展开讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此，本节教材的处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.三、教学目标1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.四、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：运用情境，解决问题；第三环节：操作实践，发现规律；第四环节：体验数学模型第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.环节一：创设情境，引入新课活动内容：情境1：成语“朝三暮四〞的故事〔附内容：从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子快乐他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个方法，并且把这个方法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没方法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听快乐得直打筋斗.〕问题1：猴子为什么快乐了？这其中有什么数学奥秘吗？情境2：教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水〔容量一样，A短而宽，B长而窄〕.问题2：请问大家哪瓶矿泉水多？为什么？教师拿出两个相同的量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果全体同学都说一样多，没有说对的同学，不好意思的笑了.教师：不要紧张，现在还有一个时机证明自己.情境3：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长〞的圆柱体，然后再让这个“瘦长〞的圆柱“变矮〞，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考以下几个问题：●在你操作的过程中，圆柱由“高〞变“低〞，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？●在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？活动目的：让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.活动的实际效果：学生能够感受到：两瓶形状不一样的矿泉水体积是一样的，手里的橡皮泥在手压前和手压后发生了变化，变胖了，变矮了.即高度和底面半径发生了改变，但手压前后体积不变，重量不变.环节二：运用情景，解决问题活动内容：张师傅将一个底面直径为20厘米、高为9厘米的“矮胖〞形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长〞形圆柱.假设在张师傅锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？〔在这个环节中可安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系.〕 活动目的：将上述环节中体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节的解方程方法解决实际问题. 活动的实际效果：学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面的表格来帮助分析.由实验操作环节知“锻压前的体积＝锻压后的体积〞，从而得出方程. 解：设锻压后的圆柱的高为xcm ，由题意的 π×2220）（×9＝π×2210）（×x,解之，得 x=36.黑板上两组学生中有一组学生将π的值取3.14，带入方程，教师应在此给予指导，不要早说，现在恰到好处！（1） 此类题目中的π值由等式的根本性质就可以约去，无须带具体值；（2） 假设题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定π值取到什么精确程度.环节三：操作实践，发现规律 活动内容：学生用预先准备好的40厘米长的铁丝，以小组作出不同形状的长方形，通过测量边长，近似求出长方形的面积，比拟小组内四个同学的计算结果，你发现了什么？ 活动目的：我们知道:学生自己亲手经历操作后的感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手、眼、脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察、分析、归纳、总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂的问题中的道理就在我们玩的过程中，就在我们的生活中.活动的实际效果：由学生的实际操作得到的近似值已反映出来一个很好的规律.学生：由操作过程，同学们作出的长方形形状有“胖〞有“瘦〞，反映到表中数据为：当长方形的周长一定，它的长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大.当长与宽一样长时面积最大.过程感悟：不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就剩下标准解题过程了，学生的理解远比直接先讲教材的例题效果要好的多.〔此处教师可用几何画板来完成〕环节四：练一练，体验数学模型活动内容：课本例题例1：一根长为10米的铁丝围成一个长方形.1.假设该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？2.假设该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米?它围成的长方形的面积与〔1〕中所围成长方形相比，面积有什么变化？3.假设该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少?它围成的长方形的面积与〔2〕中相比，又有什么变化？4.如果把这根长为10米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？请思考：解此例题的关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？活动的实际效果：因为有了环节三的铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好.完整的解题过程留成课后作业.环节五：课堂小结1.通过对“我变高了〞的了解，我们知道“锻压前体积＝锻压后体积〞，“变形前周长等于变形后周长〞是解决此类问题的关键，其中也蕴涵了许多变与不变的辩证的思想. 2.遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.3.学习中要善于将复杂问题简单化、生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题.环节六：布置作业1.2.思考：地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形.如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么所钉长方形的长，宽各是多少？面积是多少？五、教学反思1.创造性地使用教材.本节课的引入新颖自然，通过两个实验〔情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化〕，使学生对课题有了初步的认识，并通过学生对实验的观察，发现了在物体形状变化时的不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中的表格发给每个小组，为增强小组讨论结果的展示起到了较好的作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论的得出起到辅助作用.本节课的设计中，通过学生屡次的动手操作活动，引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识的根底上探求新内容，探索的过程是没有难度的任何学生都会动手操作，每个学生都有体会的过程，都有感悟的可能，这种形式让学生切身去体验问题的情景，从而进一步帮助学生理解比拟复杂的问题，再把实际问题抽象成数学问题.本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生的求知欲望，课堂气氛活泼，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己的想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改良.。

蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．AB= 51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD1=132322212=+=+DDMD．5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB=()1012122=++．故选C．9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。

解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= =25．A BA1B1D CD1C121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，∴AC1=()5342142222212=+=++=+BCAB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

教案设计：利用勾股定理求解几何体最短路线一、教学背景“勾股定理”是初中数学中的基础知识，是许多应用数学的基础。

在实际应用中，它在解决空间中点与点之间的最短路线问题上也有广泛的应用。

为了让学生更好地掌握勾股定理的知识，并能够灵活运用此定理解决实际问题，本次教学将重点围绕如何利用勾股定理求解几何体最短路线展开，帮助学生更深入地理解和应用勾股定理。

二、教学目标1. 知识目标：掌握勾股定理的基本概念和原理，理解在三维空间中的最短路线问题。

2. 技能目标：能够运用勾股定理求解几何体最短路线问题，掌握三维空间中的基础几何变换。

3. 情感目标：培养学生的实验探究精神和创新思维能力，鼓励学生积极思考并开展课外探究。

三、教学步骤1. 引入课题教师介绍三维空间中最短路径问题。

3.1. 使用工具：安装Matlab软件，使用三维空间坐标系进行模拟。

3.2. 实验过程：3.2.1. 安装Matlab3.2.2. 再三维坐标系上构建几何体3.2.3. 选取起点和终点，绘制出路径，用勾股定理计算出距离3.2.4. 通过Matlab软件优化，得出最小路径长度和路径。

3.3.实验结果展示3.3.1. 通过Matlab可视化展示路径3.3.2. 对比最小路径长度4. 课后思考4.1. 针对本次实验，作出理论和应用实践性体验结果，反思和总结。

4.2. 考虑如何利用勾股定理求解其他最短路径问题，例如二维平面内的路径问题、空间曲面最短路径问题等等。

并落实思路，拓宽应用实践思维。

四、教学评价1. 知识领悟方面1.1. 掌握勾股定理的基本概念和原理，理解三维空间中的最短路线问题。

1.2. 能够运用勾股定理计算几何体最短路线。

2. 技能表现方面2.1. 掌握使用Matlab软件进行三维空间模拟的方法。

2.2. 能够根据实际问题优化路径长度。

3. 情感态度方面3.1. 学生积极参与实验，思考路线问题。

3.2. 学生能够针对问题进行思考及优化方案。

1 AB§14。

2 勾股定理的应用---最短路径问题安海中学 谢伟良教学目标：知识与技能目标：能运用勾股定理解决简单的实际问题．过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情 教学重点：利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求得最短路程． 教学难点：寻找最短路径．教学关键：把立体图形转化为合适的平面图形寻得最短路径再构造直角三角形应用勾股定理求最短路程。

教学准备:教师准备:幻灯片、直尺。

学生准备：复习勾股定理,自制圆柱体、立方体和长方体. 教学过程:一、复习引入，创设情境1。

复习提问:线段性质定理、勾股定理的内容及数学式子表示。

设定情景引入新课。

2。

情景设定1（投影出示）：在一款长30cm 宽40cm 的砧板上，蚂蚁要从点A 处到点B 处觅食，试问这只蚂蚁要怎么选择路线才能使路线最短?最短距离是多少？∵ 在Rt △ABC 中, ∠C=90º∴)(5040302222cm BC AC AB =+=+=∴ 走线段AB 的路线最短，且最短距离为50cm.2ACBA B AB二、创设情境，解决问题情景设定2：情景设定3：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm ，高为12cm ，一只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B ，试求出爬行的最短路程（π取3). 22BC AC + ∴爬行的最短路程约为解:如图，∵在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°BC ＝½πd ≈½×3×6=9cm ，∴AB ＝ 22912+=)(15cm =如果把圆柱换成棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？想一想都有哪些爬行路径?需要经过哪些面?3AB变式训练：左221020 500如图示,有一个长为3cm ，宽为2cm ，高为1cm 的长方体，一只蚂蚁要沿着表面从A 到B 处觅食,请问需要爬行的最短路程是多少呢？方法小结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”来解决问题。

教学内容：勾股定理的应用——关于最短路径问题知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。

能力目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

情感目标：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。

教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学准备：多媒体课件。

教学过程：一、复习回顾 1. 如图，直角三角形中的三边a ，b ，c 满足什么关系？2. 当a ＝2，b ＝3时，求c ； 当c ＝3，a ＝2时，求b 。

二、新课讲解㈠立体图形中的最短路径1. 正方体蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律例1 如图，蚂蚁在边长为10cm 的正方体A 处嗅到了放置在正方体的B 处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？利用多媒体展示展开图，并引导“两点之间线段最短”得到AB 的最短路径：500201022=+=AB ㎝2. 长方体例2 长为3cm ，宽为1cm ，高为2cm 的长方体，蚂蚁沿着表面从A 到B 爬行的最短路程又是多少呢？教师利用多媒体展示长方体的三种展开方式和计算结果：()189921322=+=++=AB ()2016431222=+=++=AB BBA BA b a c 1 2 3 A B()2625132122=+=++=AB ∴AB 的最短路径为18。

利用以上计算，小结方法：对于一般的长方体，长、宽、高分别为a 、b 、c 时，AB 的最短路径可能有三种情况：⑴()bc c b a c b a AB 222222+++=++= ⑵()ac c b a c a b AB 222222+++=++= ⑶()ab c b a b a c AB 222222+++=++= 要找最短距离，只需要比较bc 、ac 、ab 的大小，取最小值。

1.3勾股定理的应用教学目标：1.学会用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.2.能熟练运用勾股定理求最短距离.3.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解.教学重点：学会用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题教学难点：能熟练运用勾股定理求最短距离.教学过程：一、情境导入今早7：00，我从家出发，以100米/分的速度向西走5分钟，又以120米/分的速度向南走10分钟，到达学校.1.早上老师共走了多少路程？500＋1200＝1700（米）.2.家到学校的距离是多少？解：由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝5002＋12002＝13002.因为AC＞0，所以AC＝1300米.二、探索新知如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么爬最近？学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线.让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么爬最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法.学生汇总了四种方案：学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：AA'＋d，情形（2）中A→B的路线长为：AA'＋.所以情形（1）的路线比情形（2）要短.学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA'剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可.如图：（1）中A→B的路线长为：AA'＋d.（2）中A→B的路线长为：AA'＋A'B＞AB.（3）中A→B的路线长为：AO＋OB＞AB.（4）中A→B的路线长为：AB.得出结论：利用展开图中两点之间线段最短解决问题.在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察.接下来提问：怎样计算AB？在Rt△AA'B中，利用勾股定理可得AB2＝A'A2＋A'B2，若已知圆柱体高12cm，底面半径为3cm，π取3，则AB2＝122＋（3×3）2.∴AB＝15cm.做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得边AD长是30厘米，边AB长是40厘米，点B，D之间的距离是50厘米.边AD垂直于边AB吗？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？解：（1）能.办法：用卷尺量出AB，AD和BD的长度，计算AB2，AD2和BD2的值，若AB2＋AD2＝BD2，则根据勾股定理的逆定理可知∠BAD＝90°，即AD⊥AB.检测BC⊥AB同理.（2）∵AB2＋AD2＝402＋302＝2500，BD2＝2500，∴AB2＋AD2＝BD2.∴∠BAD＝90°.∴边AD垂直于边AB.（3）能.办法：在AB边上量一小段AE＝8cm，在AD边上量一小段AF＝6cm，AE2＋AF2＝82＋62＝102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可.边BC同理.三、掌握新知例如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，试求滑道AC的长.解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为（x－1）m.在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即（x－1）2＋32＝x2，解得x＝5.故滑道AC的长度为5m.四、巩固练习1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走.1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？解：如图，A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点.∴AB＝2×6＝12（km），AC＝1×5＝5（km）.在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.又∵BC＞0，∴BC＝13km.∴甲、乙两人相距13km.2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离.解：如图，AB2＝152＋202＝625＝252.∵AB＞0，∴AB＝25.∴蚂蚁沿图中AB路线走最近，最近距离为25.3.有一个高为1.5m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m，问这根铁棒有多长？（小孔边缘到油桶壁的距离忽略不计）解：设这根铁棒伸入油桶中的长度为x m.则当这根铁棒最长时：x2＝1.52＋22，解得x＝2.5，∴这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3（m）；当这根铁棒最短时：x＝1.5，∴这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2（m）.答：这根铁棒的长应在2m～3m之间.4.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：如图.设这个水池水的深度AC是x尺，则这根芦苇的长度AD＝AB＝（x＋1）尺.在直角三角形ABC中，BC＝5尺.由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，即52＋x2＝（x＋1）2.解得x＝12.∴x＋1＝13.答：这个水池水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺.五、归纳小结1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.2.在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.六、布置作业从教材习题1.4中选取.通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力.。