中考数学专题测试卷：与圆的切线有关的证明与计算

圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。

（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。

（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。

5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。

7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。

中考数学专题复习《圆的切线证明》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 在ABC 中 6,8,10AB BC AC === 以AB 为直径作O 交AC 于点F 连接CO 并延长 分别交O 于D E 、两点 连接,BE BD ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)求证：2BC CD CE =⋅(3)求ABE ∠的正切值．2．如图 ABC 是圆内接三角形 过圆心O 作OE AC⊥ 连接OA过点C 作CD ∥AO 交BA 的延长线于点D 45AOE ∠=︒．(1)求证：DC 是O 的切线(2)如果8BC CF ⋅= 求O 半径的长度．3．如图 AB 为O 的直径 点C 在O 上 EAC CAB ∠=∠ 直线CD AE ⊥于点D交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线CD 为O 的切线(2)当1tan 2F = 4CD =时 求BF 的长．4．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD是O的切线(2)若AE BC⊥垂足为M O的半径为10 求AE的长．5．如图ABC内接于O AB是O的直径D为AC的中点连接OD并延长交O于点E过点E作AC的平行线交BA的延长线于点F连接BE与AC交于点G．(1)求证：EF是O的切线(2)若12EF=5sin BAC∠=求CG的长．6．如图 Rt ABC 中 90ABC ∠=︒ 以点C 为圆心 CB 为半径作C D 为C 上一点 连接AD CD AB AD = AC 平分BAD ∠．(1)求证：AD 是C 的切线(2)延长AD BC 相交于点E 若:2:1ED DA = 求tan BAC ∠的值．7．如图 点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点 且AC CE= 连接AE 交CD 于点O以点O 为圆心 OD 为半径作,O O 交线段AO 于点F ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若2AB = 求阴影部分的面积．8．如图 在菱形ABCD 中 DH AB ⊥于H 以DH 为直径的O 分别交AD BD 于点E F 连接EF ．(1)求证：①CD 是O 的切线①DEF DBA ∽(2)若5AB = 6DB = 求sin DFE ∠．9．如图 已知 AB 是О☉的直径 PB AB ⊥ 连接OP 弦AD OP ∥ 直线PD 交直线AB 于点C 2CD PB =．(1)证明：直线PD 是O ☉的切线(2)求sin OPB ∠的值．10．如图 以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O 交斜边AC 于点D过圆心O 作OE AC ∥交BC 于点E 连接DE .(1)求证：DE 是O 的切线(2)求证：22DE CD OE =⋅.11．如图 AB 为O 的直径 AC 是O 的一条弦 作BAC ∠的角平分线与O 相交于点D过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线上于点E 延长线段AB ED 、交于点F 连接DA DB 、．(1)求证：DE 是O 的切线(2)若10AB = 45AD = 求BF ．12．如图 已知点C 是以AB 为直径的半圆上一点 D 是AB 延长线上一点过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E 连结CD 且CD ED =．(1)求证：CD 是O 的切线(2)若tan 2DCE ∠= 1BD = 求O 的半径．13．如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ ABC ∠的平分线交AC 于点E 过点E 作BE 的垂线交AB 于点F BEF △的外接圆O 与CB 交于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若9BC = 3EH = 求O 的半径长(3)如图2 在（2）的条件下 过C 作CP AB ⊥于P 求CP 的长．14．如图 点P 是O 外一点 PA 切O 于点A AB 是O 的直径连接OP过点B 作BC OP ∥交O 于点C 连接AC 交OP 于点D ．(1)求证：PC是O的切线(2)若16cm3PD=8cmAC点E是AB的中点连接CE求CE的长．15．如图AB是O的直径点C在O上．(1)尺规作图：在弦BC的右侧作BCD CAB∠=∠交AB的延长线于点D（保留作图痕迹不写作法）(2)在（1）所作的图中①求证：CD是O的切线①若2BD OB=求tan CAB∠的值．参考答案：1．（1）证明：在ABC中222268100AB BC+=+=2210100AC222AB BC AC ∴+=ABC ∴是直角三角形 90ABC ∴∠=︒ AB 是O 的的直径BC ∴是O 的切线 （2）证明：DE 是直径 90EBC ∴∠=︒90EBO OBD ∴∠+∠=︒ 90CBD OBD ∠+∠=︒ EBO CBD ∴∠=∠OE OB =E EBO ∴∠=∠E CBD ∴∠=∠BCD BCE ∠=∠（公共角） BCD ECB ∴∽BC CD CE BC∴= 即2BC CD CE =⋅ （3）由（2）得2()BC CD CD DE =+ 即(6)64CD CD +=解这个方程 得3CD =-+3CD =-3CD ∴=-BCD ECB ∽BD CD BE BC ∴==连结,AE ADAB 与DE 都是O 的直径AB ∴与DE 互相平分∴四边形AEBD 为平行四边形AE BD ∴=在Rt ABD 中733tan AE BD ABE BE BE -∠=== 2．（1）证明：连接OC①45AOE ∠=︒ OA OC = OE AC ⊥①290AOC AOE ∠=∠=︒ ()118090452OAC ∠=︒-︒=︒ ①CD AO ∥①18090OCD AOC ∠=︒-∠=︒即CD OC ⊥①OC 是O 的半径①DC 是O 的切线．（2）解：由（1）可知=90AOC ︒∠ 45OAC ∠=︒ ①1452ABC AOC ∠=∠=︒ ①45ABC OAC ∠=∠=︒①BCA ACF =∠∠①ABC FAC ∽ ①BC AC AC CF= 即2AC BC CF =⋅ ①8BC CF ⋅=①28AC =①由勾股定理得2228OC AC ==解得：2OC =（负值舍去）①O 半径的长度为2．3．（1）证明：连接OC BCOA OC =CAO ACO ∴∠=∠EAC CAB ∠=∠DAC ACO ∴∠=∠OC AD CDADOC DF ∴⊥ OC 是O 的半径∴直线CD 为O 的切线（2）解：1tan 2F = ∴12OC CF = 设OC x = 则2CF x = AO OB x ==OF ∴=OC ADAFD OFC ∴∽ ∴CF OF DF AF=∴25245x x x x x++ 25x ∴=1025BF OF OB ∴=-=-4．（1）证明：如图 连接OA30AEC ∠=︒∴30B AEC ∠=∠=︒ 260AOC AEC ∠=∠=︒AB AD =∴30D B ∠=∠=︒∴18090OAD AOC D ∠=︒-∠-∠=︒OA 是O 的半径 且AD OA ⊥∴直线AD 是O 的切线．（2）解：BC 是O 的直径 且AE BC ⊥于点M∴AM EM =90AMO ∠=︒ 60AOM ∠=︒∴30OAM ∠=︒ ∴12OM OA = 11052=⨯= ∴2222105AM OA OM -=-53∴2253AE AM ==⨯=35．（1）证明：①AC 是O 的弦 OE 是O 的半径 D 为AC 的中点①OE AC ⊥．①EF AC ，①OE EF ⊥ 即90OEF ∠=︒．①OE 是O 的半径①EF 是O 的切线（2）解：如解图 连接AE ．①EF AC ∥①F BAC ∠=∠即sin sin F BAC =∠=OE OF ∴=设OE = 则5OF x =．在Rt OEF △中 222OE EF OF +=①222)12(5)x +=解得x =（负值已舍去） ①6OE =①6OA =在Rt AOD 中 sin OD OA BAC =∠=①AD = 6DE OE OD =-=．在Rt ABC △中 sin BAC ∠=212AB OA ==①sin BC AB BAC AD =∠==． 在BCG 和ADE 中90CBG DAE BC ADBCG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩①BCG ADE ≌ ①656CG DE == 6．（1）证明：AC 平分BAD ∠BAC DAC ∴∠=∠．又AB AD = AC AC =()SAS BAC DAC ∴≌90ADC ABC ∴∠=∠=︒CD AD ∴⊥即AD 是C 的切线（2）由()1可知 90EDC ABC ∠=∠=︒又E E ∠=∠EDC EBA ∴∽．①:2:1ED DA =2EDC ADC SS ∴= 且BAC DAC ≌△△ :1:2EDC EBA S S ∴=:2DC BA ∴=DC CB =:2CB BA ∴=2tan CB BAC BA ∴∠==． 7．（1）解：过点O 作OG AC ⊥ 交AC 于点G①正方形ABCD①DA CB ∥ OD AD ⊥①∠=∠DAE AEC①AC CE =①EAC AEC ∠=∠①EAC DAE ∠=∠①OD OG =①点G 在O 上①AC 是O 的切线（2）解：①正方形ABCD①45OCG DAC ∠=∠=︒2DC AB ==①OD OG =设OD a = 则OC =①(12DC a == 解得：2a =①2OD a == ①114522.522EAC DAE DAC ∠=∠=∠=⨯︒=︒ ①9022.567.5DOA ∠=︒-︒=︒()22167.5π167.5π23222π236023604ABC DOF OD S S S DA OD ⨯=-=⨯⋅-=⨯⨯-=-阴影扇形故答案为：324-π． 8．（1）证明：①①①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥①DH AB ⊥①90CDH DHA ∠=∠=︒①CD OD ⊥①D 为O 的半径的外端点①CD 是O 的切线①连接HF①DF DF =①DEF DHF ∠=∠①DH 为O 直径①90DFH ∠=︒①90DHF BDH ∠=︒-∠ ①90DHB ∠=︒①90DBA BDH ∠=︒-∠①DHF DBA DEF ∠=∠=∠ ①EDF BDA ∠=∠①DEF DBA ∽（2）解：连接AC 交BD 于G ．①在菱形ABCD 中 6BD = ①AC BD ⊥ AG GC = 132DG GB BD === ①在Rt AGB △中 2222534AG AB GB -- ①28AC AG == ①12ABCD S AC BD AB DH =⋅=⋅菱形 即18652DH ⨯⨯=⋅ ①245DH = ①DEF DBA ∽①DFE DAH ∠=∠ ①24245sin sin 525DH DFE DAH AD ∠=∠===． 9．（1）证明：如图所示 连接OD ①PB AB ⊥①90OBP ∠=︒①OA OD =①OAD ODA ∠=∠①AD OP ∥①OAD BOP ODA DOP ==∠∠，∠∠ ①DOP BOP ∠=∠又①OD OB OP OP ==， ①()SAS DOP BOP ≌①90ODP OBP ∠=∠=︒ ①OD CD ⊥又①OD 是O 的半径①直线PD 是O ☉的切线（2）解：①DOP BOP ≌△△ ①PD PB =①2CD PB =①3PC PD =①3PC PB =①AD OP ∥①CAD COP △∽△ ①23AC CD OC CP ==①2AC OA =①44BC OA OB ==在Rt PBC 中 由勾股定理得222PC PB BC =+ ①()()22234PB PB OB =+ ①2PB OB = ①225OP OB PB OB + ①5sin OB OPB OP ==∠10．（1）证明：连接OD BD①AB 是O 的直径①90ADB BDC ∠=∠=︒. ①OE AC ∥ OA OB = ①BE CE =①DE BE CE ==①DBE BDE ∠=∠.①OB OD =①OBD ODB ∠=∠①90ODE OBE ∠=∠=︒ ①点D 在O 上①DE 是O 的切线.（2）证明：①90BCD ABC ∠=∠=︒ C C ∠=∠ ①BCD ACB ∽△△ ①BCCDAC BC =①2BC CD AC =⋅.由（1）知12 DE BE CE BC ===①24DE CD AC=⋅.由（1）知OE是ABC是中位线①2AC OE=①242DE CD OE=⋅①22DE CD OE=⋅.11．（1）证明：连接ODBAC∠的角平分线与O交于点DCAD BAD∴∠=∠OA OD=BAD ADO∴∠=∠CAD ADO∴∠=∠AC DO∴∥DE AC⊥90E∴∠=︒90ODF E∴∠=∠=︒OD DE∴⊥OD是O的半径DE∴是O的切线（2）如图过点D作DM AB⊥于点MAB为O的直径90ADB ∴∠=︒1045AB AD ==，2225BD AB AD ∴=-=1122ABD S AD BD AB DM =⋅=⋅ 45254AD BD DM AB ⋅⨯∴=== 228AM AD DM ∴=-设BF x =BAC ∠的角平分线与O 交于点D DE AC DM AB ⊥⊥， DE DM ∴=CD BD ∴=在Rt AED △和Rt AMD △中 AD AD DE DM =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AED AMD ∴≌ AE AM ∴=4DM =4DE DM ∴==8AM =8AE AM ∴==90F F ODF E ∠=∠∠=∠=︒， FDO FEA ∴△∽△OD OF AE AF∴= 55810x x +∴=+ 解得：103x = 103BF ∴=． 12．（1）解：连接OC①CD DE = OC OA =①DCE E ∠=∠ OCA OAC ∠=∠ ①ED AD ⊥①90ADE ∠=︒ 90OAC E ∠+∠=︒ ①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线（2）解：连接BC①CD DE =①DCE E ∠=∠①tan 2DCE ∠=①tan 2E =①ED AD ⊥在Rt EDA △中 2AD ED= 设O 的半径为x 则OA OB x ==, ①1BD =①21AD x =+ ①212x ED+= ①12ED x CD =+= ①CD 是O 的切线①2·CD BD AD = 即：()211212x x ⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭ 解得：32x =或12x =-（舍） 故答案为：O 的半径为32． 13．（1）证明：连接OE 如图所示：OB OE =ABE OEB ∴∠=∠ BE 平分ABC ∠ABE CBE ∴∠=∠OEB CBE ∴∠=∠①OE BC ∥90OEA ACB ∴∠=∠=︒ AC 经过O 的半径OE 的外端 且AC OE ⊥ AC ∴是O 的切线（2）解：如图 作OG BD ⊥于点G 则90OGB OGC ∠=∠=︒90C OEC ∴∠=∠=︒∴四边形OECG 是矩形 CG OE OB == BE 平分ABC ∠ EC BC ⊥ EH BA ⊥ 3OG EC EH ∴===9BC =99BG CG OB ∴=-=-222OG BG OB +=()22239OB OB ∴+-= 5OB ∴=∴O 的半径长为5．（3）解：连接OE 如图所示：由（2）得：5OE OF == 3EC EH == ①EH AB ⊥①4OH ==在Rt OHE △中 45cos OH EOA OE ∠== 在Rt EOA 中 4cos 5OE EOA OA ∠== ①52544OA OE ==①154AE == ①1527344AC AE EC =+=+=①2545544AB OB OA=+=+=90ACB∠=︒①ABC的面积1122AB CP BC AC =⨯=⨯①2792744554BC ACCPAB⨯⨯===．14．1）证明：如图连接OCPA切O于点A∴OA PA⊥∴90PAO∠=︒OP BC∥∴AOP OBC∠=∠COP OCB∠=∠OC OB=∴OBC OCB∠=∠∴AOP COP∠=∠在PAO和PCO△中OA CAOP COPOP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SASPAO PCO≌∴90PAO PCO∠=∠=︒∴OC PC⊥∴PC是O的切线（2）连结AE BE作BH CE⊥于H如图AB 是O 的直径∴90ACB AEB ∠=∠=︒OP BC ∥∴PO AC ⊥142AD CD AC ∴=== 在Rt PAD △中PA APO DPA ∠=∠∴Rt Rt PAD POA ∽△△∴ PA PO PD PA =∶∶ 即201620333PO =∶∶ 解得253PO = ∴3OD PO PD =-=AO BO = ∥OD BC∴26BC OD ==在Rt ACB △中10AB =点E 是AB 的中点1452BCE ACE ACB ∴∠=∠=∠= ∴AE BE =∴BCH 和ABE 都是等腰直角三角形252BE AB ∴==在Rt BEH △中 ()()22523242EH =-=324272CE CH EH ∴=+= 15．（1）如图所示 BCD ∠为所求．（2）①连接OCOA OC =∴CAO ACO ∠=∠ CAO BCD ∠=∠∴ACO BCD ∠=∠AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒∴90ACO OCB BCD OCB ∠+∠=∠+∠=︒ 即OC CD ⊥∴CD 是O 的切线①设OB a = 则2BD a = OA OC a == 4AD a = 在Rt OCD △中 ()2222322CD OD OC a a a =--= BDC ADC ∠=∠ BCD CAD ∠=∠∴BDC CDA ∽ ∴222BC CD a AC AD ==∴在Rt ABC △中 2tan BC CAB AC ∠==．。

2023年中考数学高频考点专题训练--圆的切线的证明1．如图，△ABC内接于△O，AB是直径，△O的切线PC交BA的延长线于点P，OF△BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与△O的位置关系并说明理由．（2）若△O的半径为4，AF=3，求AC的长．2．如图，以△ABC的边AC为直径的△O恰为△ABC的外接圆，△ABC的平分线交△O于点D，过点D作DE△AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是△O的切线；（2）若AB=25，BC= √5，求DE的长．3．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=．BC，AC=12OB（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．4．如图，已知AB是△O的直径，锐角△DAB的平分线AC交△O于点C，作CD△AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为△O的切线；（2）当AB=2BE，且CE= √3时，求AD的长．5．如图，OA是△M的直径，点B在x轴上，连接AB交△M于点C．（1）若点A的坐标为（0，2），△ABO=30°，求点B的坐标．（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是△O的切线．6．如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，与边AB相交于点F，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD.（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AE=2，⊙O的半径R=4，求DE的长.7．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作△O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.（1）求证：EF是△O的切线；（2）若△O的半径为3，△EAC＝60°，求AD的长.8．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OP//BC，∠P=∠BAC（1）求证：PA为圆O的切线（2）如果OP=AB=10，求AC的长．9．如图，△O是△ABC的外接圆，AC是O的直径，BD＝BA＝12，BC＝5，BE△DC，交D的延长线于点E，BD交直径AC于点F．（1）求证：△BCA＝△BAD．（2）求证：BE是△O的切线．（3）若BD平分△ABC，交△O于点D，求AD的长．10．如图，直线l与△ O相离，OA⊥l于点A，与△ O相交于点P，OA=5. C是直线l 上一点，连结CP并延长交△ O于另一点B，且AB=AC.（1）求证：AB是△ O的切线；（2）若△ O的半径为3，求线段BP的长.11．如图，△ABC是△O的内接三角形，AB是△O的直径，OF△AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且△ACE+△AFO＝180°.（1）求证：EM是△O的切线；（2）若△A＝△E，△O的半径为1，求阴影部分的面积.12．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作△O，交BD于点E，连接CE，过D作DF△AB于点F，△BCD=2△ABD．（1）求证：AB是△O的切线；（2）若△A=60°，DF= √3，求△O的直径BC的长．13．如图，在△ABC中，AB=AC，△C=30°，点D在BC边上，△D经过点A和点B且与BC边相交于点E.（1）求证：AC是△D的切线；（2）若CE=5，求△D的半径.14．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE//BO，CE的延长线交BD于点A.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=√2，求AO的长.15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE=BC，延长CE交AD于点D，AD=AC.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE=13，OE=3，求BC的长.16．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是△BAC的平分线．（1）尺规作图：过点D作DE△AC于E；（2）求DE的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：证明：连接OC，如图所示：∵AB是△O直径，∴△BCA=90°，∵OF△BC，∴△AEO=90°，△1=△2，△B=△3，∴OF△AC，∵OC=OA，∴△B=△1，∴△3=△2，在△OAF和△OCF中，{OA=OC∠3=∠2 OF=OF，∴△OAF△△OCF（SAS），∴△OAF=△OCF，∵PC是△O的切线，∴△OCF=90°，∴△OAF=90°，∴FA△OA，∴AF是△O的切线；（2）解：∵△O的半径为4，AF=3，△OAF=90°，∴OF= √AF2+OA2= √32+42=5∵FA△OA，OF△AC，∴AC=2AE，△OAF的面积= 12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE= 12 5，∴AC=2AE= 24 5．2．【答案】（1）解：如图，连接OD，∵AC是△O的直径，∴△ABC=90°，∵BD平分△ABC，∴△ABD=45°，∴△AOD=90°，∵DE△AC，∴△ODE=△AOD=90°，∴DE是△O的切线（2）解：在Rt△ABC中，AB=2 √5，BC= √5，∴AC= √AB2+AC2=5，∴OD= 52，过点C作CG△DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD= 5 2，∵DE△AC，∴△CEG=△ACB，∴tan△CEG=tan△ACB，∴CGGE=ABBC，即52GE=2√5√5，解得：GE= 5 4，∴DE=DG+GE= 15 43．【答案】（1）证明：如图，连接OA；∵OC=BC,AC=12OB,∴OC=BC=AC=OA. ∴△ACO是等边三角形. ∴∠O=∠OCA=60∘，∵AC=BC，∴△CAB=△B，又△OCA为△ACB的外角，∴△OCA=△CAB+△B=2△B，∴∠B=30∘,又∠OAC=60∘，∴∠OAB=90∘，∴AB是⊙O的切线（2）解：作AE△CD于点E，∵∠O=60∘，∴∠D=30∘.∵∠ACD=45∘，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中, CE=AE=√2；∵∠D=30∘，∴AD=2√2，∴DE=√3AE=√6，∴CD=DE+CE=√6+√2.4．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵AC平分△DAB，∴△DAC=△CAB，∵OA=OC，∴△OCA=△CAB，∴△OCA=△DAC，∴AD△CO，∵CD△AD，∴OC△CD，∵OC是△O直径且C在半径外端，∴CD为△O的切线；（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，∴BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，∴OE=2x，在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC2+CE2=OE2，即x2+（√3）2=（2x）2∴x=1，∴AE=3，△E=30°，∴AD= 3 2．5．【答案】（1）解：∵A的坐标为（0，2）∴OA=2，∵△ABO=30°，△AOB=90°，∴AB=2OA=4，∴由勾股定理可知：OB=2 √3，∴B（2 √3，0）（2）解：连接OC，MC∵OA是△M的直径，∴△ACO=90°，∴△OCB=90°，在Rt△OCB中，D为OB的中点，∴CD= 12OB=OD，∴△DCO=△DOC，∵MC=MO，∴△OCM=△COM∵△MOC+△DOC=△AOB=90°，∴△MCO+△DCO=△MCD=90°即MC△CD∴直线CD是△M的切线．6．【答案】（1）证明：连接CD∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°∴CD⊥AB又∵BC=AC∴∠1=∠2∵OD=OC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OD//AC∴∠ODE=∠AED∵DE⊥AC∴∠AED=90°∴∠ODE=90°∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（2）解：过O作ON⊥CF于N，可得四边形ODEN是矩形，∴EN=OD=R=4，ON=DE又∵AE=2，AC=CB=4+4=8，∴CN=AC−AE−EN=AC−AE−OD=2，在Rt△ONC中，ON=√OC2−CN2∴ON=2√3，∴DE=2√37．【答案】（1）证明：如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO＝CO，∴OF△AB，∵AC是△O的直径，∴CE△AE，∵OF△AB，∴OF△CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC＝FE，OE＝OC，∴△FEC＝△FCE，△0EC＝△0CE，∵△ACB＝90°，即：△0CE+△FCE＝90°，∴△0EC+△FEC＝90°，即：△FEO＝90°，∴FE为△O的切线（2）解：如图2，∵△O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3，∵△EAC＝60°，OA＝OE，∴△EOA＝60°，∴△COD＝△EOA＝60°，∵在Rt△OCD中，△COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3√3，∵在Rt△ACD中，△ACD＝90°，CD＝3√3，AC＝6，∴AD＝3√78．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵OP//BC ，∴∠B=∠AOP，∵∠P=∠BAC ，∴∠OAP=180∘−∠AOP−∠P=180∘−∠B−∠BAC=∠ACB=90∘，∴所以PA为⊙O的切线（2）解：∵OP//BC ，∴∠B=∠AOP，由（1）证得∠OAP=∠ACB=90∘，∵OP=AB=10，∴ΔOAP≌ΔBCA（AAS），所以BC=OA=12×10=5，在Rt△ABC中，由勾股定理得：∴AC=√AB2−BC2=√102−52=5√3．9．【答案】（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD．∵∠BCA=∠BDA，∴∠BCA=∠BAD．（2）证明：连结OB，如图，∵∠BCA=∠BAD，又∵∠BCE=∠BAD，∴∠BCA=∠BCE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCE=∠CBO，∴OB//ED．∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线．（3）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13．∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴BDAC=DEAB，即1213=DE12，∴DE=14413，∴BE=√BD2−DE2=6013，∴CE=√BC2−BE2=2513，∴CD=DE−CE=119 13，∵BD平分△ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴AD=CD=119 13．10．【答案】（1）证明：如图，连结OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CPA，AB=AC∴∠ACB=∠ABC∵OA⊥l，即∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CPA=90°即∠ABP+∠OBP=90°∴∠ABO=90°∴OB⊥AB故AB是△ O的切线（2）解：由(1)知：∠ABO=90°而OA=5，OB=OP=3由勾股定理，得：AB=4∵AC=AB=4，AP=OA−OP=2∴PC=√AC2+AP2=2√5过O作OD⊥PB于D，则PD=DB在ΔODP和ΔCAP中∵∠OPD=∠CPA，∠ODP=∠CAP=90°∴ΔODP△ ΔCAP∴PDPA=OPCP∴PD=OP⋅PACP=35√5∴BP=2PD=6 5√511．【答案】（1）证明：连接OC，∵OF△AB，∴△AOF＝90°，∴△A+△AFO=90°，∵△ACE+△AFO＝180°，△ACE+△ACM＝180°∴.△AFO=△ACM∵OA＝OC，∴△A＝△ACO，∴△ACO+△ACM.＝90°，∴△OCM＝90°∴OC△ME，∴EM是△O的切线；（2）解：∵△EOC＝2△A=2△E又∵△EOC+△E=△COM=90°，∴△E+2△E=90°，∴△E＝30°，∴△EOC＝60°，∴CE=OCtan60°= √3，△OCB是等边三角形∴阴影部分的面积＝S扇形BOC −S△OCB=60π·12360−√34·1=π6−√34.12．【答案】（1）证明：∵CD=CB，∴△CBD=△CDB，∵AB是△O的直径，∴△CEB=90°，∴△CBD+△BCE=△CDB+△DCE，∴△BCE=△DCE，即△BCD=2△BCE，∵△BCD=2△ABD，∴△ABD=△BCE，∴△CBD+△ABD=△CBD+△BCE=90°，∴CB△AB，∵CB为直径，∴AB是△O的切线（2）解：∵△A=60°，DF= √3，∴在Rt△AFD中，AF=DFtan60°=√3√3=1，BF=DF•tan60°= √3× √3=3，∵DF△AB，CB△AB，∴DF△BC，∴△ADF=△ACB，∵△A=△A，∴△ADF△△ACB，∴AFAB=DFCB，∴14=√3CB，∴CB=4 √313．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，△C=30°，∴△B=△C=30° ，∵AD=BD，∴△BAD=△B=30° ，∴△ADC=60°，∴△DAC=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AC是△D的切线；（2）解：连接AE ，∵AD=DE，△ADE=60°，∴△ADE是等边三角形∴AE=DE，△AED=60° ，∴△EAC=△AED﹣△C=30° ，∴△EAC=△C，∴AE=CE=5，∴△D的半径AD=5.14．【答案】（1）证明：连接OD，∵DE//BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB与△COB中，{OD=OC∠1=∠2 OB=OB，∴△DOB≅△COB(SAS).∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线.（2）解：∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=√2，设OC=r，BC=√2r，由（1）证得△DOB≅△COB，∴BD=BC=√2r，∵DE//BO，∴ADBD=AEOE即AD√2r=2r∴AD=2√2，Rt△ADO中根据勾股定理可得：AD2+DO2=AE2即(2√2)2+r2=(2+r)2，解得：r=1，∴AO=AE+EO=3.15．【答案】（1）证明：∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵∠AED=∠BEC，∴∠BCE=∠AED，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠D+∠AED=∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACE，∴tanD=EADA=tan∠ACE=1 3，设AE=x，则AC=AD=3x，OB=OA=AE+OE=3+x，BC=BE=OE+OB=3+x+3=6+x，AB=2OA=2x+ 6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3x)2+(x+6)2=(2x+6)2，解得x1=2，x2=0（舍去），∴BC=x+6=8.16．【答案】（1）解：方法1，如图1所示，过点D作AC的垂线即可；方法2：运用角平分线的性质，以点D为圆心，BD的长为半径画圆，△D和AC相切于点E，连接DE即可．（2）解：方法一：设DE=x，则AC= √32+42=5．∵AD是△BAC的平分线，△ABC=90°，DE△AC，∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．∵S△ACD= AC⋅DE2= CD⋅AB 2，∴5x2= 3(4−x)2，解得x= 32，∴DE=x= 3 2．方法二：设DE=x，则AC= √32+42=5．∵AD是△BAC的平分线，△ABC=90°，DE△AC，∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．∵△DEC=△ABC=90°，△C=△C，∴△DEC△△ABC，∴DEAB=CDAC，∴x3=4−x5，解得x=32，∴DE=x= 3 2．方法三：设DE=x，则AC= √32+42=5．∵AD是△BAC的平分线，△ABC=90°，DE△AC，∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．∵在Rt△ABC中，sin△C= ABAC=35，在Rt△DEC中，sin△C= DECD=x4−x，∴35=x4−x，解得x=32，∴DE=x= 3 2．。

专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。