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江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷班级 姓名 学号 成绩 一、填空题1、已知集合{}0,1,2,7A =，{}7,B y y x x A ==∈，则A B =I ． 2、已知复数3iz =+ (i 为虚数单位)，复数的共轭复数为z ，则z z ⋅= ． 3、一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率 为0.1，则第6组的频数为 ．4、阅读下列程序，输出的结果S 的值为 ．（第4题图） （第11题图）5、某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们 在同一个食堂用餐的概率为 ．6、已知函数()2cos(),[,]323f x x x πππ=+∈-，则函数()f x 的值域是 ．7、已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分 不必要条件，则实数a 的取值范围为 ．8、已知实数,x y 满足2035000x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥，则2z x y =+的最大值为 ．9、若一圆锥的底面半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积为 ． 10、在ABC △中，若tan tan 1A B =，则sin()3C π+= ．11、已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点，则三棱锥0S ←For I From 1 To 10 Step 3S S I ←+ End For Pr int S1A ABM -的体积为 ．12、已知正实数,a b 满足47a b +=，则1412a b+++的最小值为 ． 13、已知函数21,1,()(),1,a x x f x x a x ⎧-+=⎨->⎩≤函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．14、在平面直角坐标系xOy 中，圆222:(0)O x y r r +=>与圆22:(2)(23)M x y -+-4=相交于,A B 两点，若对于直线AB 上任意一点P ，均有0PO PM ⋅>u u u r u u u u r成立，则r 的取值范围为 ．二、解答题15、（本小题满分14分：6分+8分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB CD ∥，1AB BC ⊥，且1AA AB =．（1）求证：AB ∥平面11D CCC ； （2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（第15题图） 16、（本小题满分14分：6分+8分）在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小； （2）若3c =，求边b 的长．A 1B 1C 1CD A B D 117、（本小题满分14分：6分+8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点．（1）求证：MN ∥平面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM AD ⊥．（第17题图） 18、（本小题满分16分：6分+10分）将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分． （1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分恰能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．（第18题图）19、（本小题满分16分：6分+10分）CABDMPN甲乙如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，过右焦点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点．当直线l 与x 轴垂直时，AB 长为3． （1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P ，使得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求直线l 的斜率．20、（本小题满分16分：4分+6分+6分）已知函数21()22ln 2f x ax x x =-++，R a ∈． （1）当3-=a 时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当1a ≥时，对于任意12,(0,1]x x ∈，且12x x ≠都有1212()()x x f x f x -<-，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象始终在直线23+-=x y 的下方，求实数a 的取值范围．江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷参考答案一、填空题1、{}0,7；2、14；3、8；4、22；5、14；6、[1,2]-；7、(,4)-∞；8、4；9、15π； 10、12；11、16；12、2516；13、(2,3]；14、(25,6).二、解答题15、（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，又因为AB ⊄平面11D DCC ，CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ．6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．……………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B I BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． …………………………………………………… 14分16、解：（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+ tan tan 1tan tan B C B C+=--231123+=-=-⨯，…4分 又(0,π)A ∈，所以π4A =．……………………………………………………6分 （2）因为sin tan 2cos BB B==，且22sin cos 1B B +=， 又(0,π)B ∈，所以25sin 5B =， 同理可得，310sin 10C =． …………10分 由正弦定理，得253sin 522sin 310c B b C ==14分 17、证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形，得//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，//MN ∴平面PAB （2）在平面PAD 内过点A 作直线PM 的垂线，垂足为H ，Q 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC I 平面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂平面PADAH ∴⊥平面PMC ，CM ⊂平面PMC ，AH ∴⊥CM ，Q PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM , Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ，AD ⊂Q 平面PAD ，CM AD ∴⊥．18、解：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为l r ，，则12π2π422l r l r r ⎧⨯=⎪⎨⎪++=⎩，，…… 4分解得522232028.r l ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， …… 6分（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为x ，宽为y ，高为z ， 则1221x z y z +=⎧⎨+=⎩，，解得11.2z x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， …… 8分 则长方体的体积： ()()321311222V xyz x x x x x x ==--=-+-，1 1.2x << …… 10分所以21()332V x x x '=-+-．令()0V x '=得，3126x =+或3126x =-（舍去）．列表： …… 12分所以，当3126x =+时，max 336V =． …… 14分答：（1）圆锥的母线长及底面半径分别为522-分米，2028-分米．x ()311226+， 3126+ ()31126+， ()V x '+ 0 -()V x ↗ 极大值 ↘z y 乙x2z2z y x zy yx 甲lx r x（2立方分米． …… 16分19、解：(1)由题意可知1c =，当l 与x 轴垂直时，22b AB a==……3分 因为222,a b c =+所以a =22b = 故椭圆的标准方程是：22132x y +=. ……6分(2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程：(1)y k x =-，设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)P x y . 由221,32(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2222(32)6360.k x k x k +-+-= ……8分 则2122632k x x k +=+，21223632k x x k -=+. （*）因OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，则312312x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入椭圆方程有221212()()132x x y y +++=，又2211132x y +=，2222132x y +=，化简得12122330x x y y ++=，即2221212(32)3()330k x x k x x k +-+++=， ……12分将（*）代入得22222363633032k k k k k ⨯--++=+，22k =，即k =故直线l的斜率为 ……16分 20、解：（1）当3-=a 时，xx x f 123)(+--='， 令0)(>'x f ，解出：310<<x ，所以()f x 的单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛31,0…………4分 (2) 当1a ≥时，22'11()121()a x ax x a a f x x x --+-+==， 1(0,1],(0,1]x a∈∈Q ∴2111()110a x a a a --+-≥≥，得到'()0f x ≥，即()f x 在(0,1]上单调递增．对于任意12,(0,1]x x ∈，不放设12x x <，则有12()()f x f x <，且21x x >代入不等式1212|||()()|x x f x f x -<-⇔2121()()f x f x x x ->-⇔2211()()f x x f x x ->-，引入新函数：21()()()32ln 2h x f x x f x ax x x =-==-++，……………6分 2'131()3ax x h x ax x x-+=-+=，所以问题转化为'()0,(0,1]h x x ≥∈上恒成立⇔2310ax x -+≥⇔231x a x -≥⇔max 231()x a x-≥……………8分 令231()x l x x -=，通过求导或配方都可以： '323()x l x x -=，当'20,()03x l x <<>；'21,()03x l x <<<， 所以当max 229,()()334x l x l ===，所以94a ≥.……………10分 (3)由题可得23ln 22212+-<++-x x x ax 在),0(+∞∈x 上恒成立 即0ln 212<++x x ax 在),0(+∞∈x 上恒成立 整理可得2ln 21x x x a +>-在),0(+∞∈x 上恒成立……………11分令2ln )(x x x x h +=3ln 21)(x x x x h --='∴……………12分 ()()()010)(,ln 21=∞+--=g x g x x x g 单调递减，，在令'……………14分所以12a ->，即2a <-……………16分。
2018“超级全能生”3月联考Word版含答案。
2018届高考全国卷26省3月联考乙卷数学(理)试题超级全能生”是2018年高考全国卷26省3月联考乙卷(A)数学(理科)的一道题目。
本试题共12小题，每小题5分，共60分。
考生需在答题卡上完成全部答案，答在本试题上无效。
选择题中，每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求。
第一题给出两个集合A和B，要求求出A并B的结果。
通过题干中给出的条件，可以得到A的元素为a和0，B的元素为-4和log2(a+3)。
由于A并B的结果为2，因此可以列出方程a+3=2，解得a=-1.因此，A的元素为-1和0，B的元素为-4和log2(2)。
因此，A并B的结果为{-1,0,-4}，答案为A。
第二题要求求解一个纯虚数z，已知z(1-i)=a+i(a∈R)。
可以将z表示为x+yi的形式，其中x=0，y为所求。
将z代入方程中，可以得到-y+xi=a+ai。
由于z是纯虚数，因此实部为0，因此可以得到-y=a。
将y代入方程中，可以得到x=a。
因此，z 的形式为a-ai，答案为D。
第三题给出两个向量a和b，已知它们平行，求出a的第一个分量m。
可以列出方程m/b1=1，解得m=b1.因此，m=11，答案为A。
第四题给出一个函数f(x)，要求画出其大致图像。
可以将f(x)表示为2x/x2+x，通过对x趋于正无穷和负无穷时的极限值，可以画出f(x)的大致图像，如下图所示。
第五题给出一个等比数列和的关系式，要求求出S2017.通过将等式两边展开，可以得到a2S4=a4S2，即a2(a1+ar)(a1+a2+。
+a4)=a4(a1+ar)(a1+a2+。
+a2)，其中r为等比数列的公比。
化简后可以得到a2=a4/r2，代入S2017的表达式中，可以得到S2017=a1(1-r2017)/(1-r)。
由于未给出等比数列的首项和公比，因此无法求出S2017，答案为D。
第六题给出六个人进行羽毛球双打练，求出不同的分组方式数量。
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( ) A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
2017—2018学年度第一学期高三级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B A （）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1- D ．()e ,22.要得到一个奇函数，只需将x x x f cos 3sin )(-=的图象（）A.向右平移6π个单位B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向左平移3π个单位3．由下列条件解△ABC ，其中有两解的是( )A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，c ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120° 4设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（）①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象；④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B .②④ C. ①③④D .③5命题“存在R x ∈，使a ax x 42-+≤0为假命题”是命题“016≤≤-a ”的(A) 充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件6已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )A ．2＋ 3B ．3C.33D ．2－ 37.已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( )A.22B ．2C ．－22D ．－ 28已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ． B ． C ．(0，］ D ．(0,2］9设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或52510.在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有()2f x '<()x R ∈，则不等式()21f x x <+的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ．(,1)-∞-⋃(1,)+∞12已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C．6D ．5π4π21524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知53)30sin(0=+α，0015060<<α，则=αcos ___________.14如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.15已知α，β都是锐角，tan α＝17，sin β＝1010，则α＋2β的大小为________。
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页， 23 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={ x| x<1}， B={ x|3x 1 }，则A．A B { x | x 0}B．A B R C．A B { x | x 1}D．A B2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．1B．πC．1D．π48243．设有下面四个命题p1：若复数 z 满足1R ，则z R ；p2：若复数 z 满足z2R ，则z R ；zp3：若复数 z1 , z2满足 z1z2R，则z1z2；p4：若复数z R ，则z R .其中的真命题为A．p1, p3B．p1, p4C．p2, p3D．p2, p44．记S n为等差数列{ a n } 的前 n 项和．若 a4a5 24， S648 ，则 { a n} 的公差为A．1B． 2C． 4D． 8围是A．[2,2]B．[ 1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．(112 )(1x) 6展开式中 x2的系数为xA． 15B． 20C． 30D． 357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A． 10B． 12C． 14D． 168．右面程序框图是为了求出满足3n- 2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000和 n=n+2C．A 1 000 和n=n+1D．A 1 000 和n=n+29．已知曲线1：=cosx ， 2：=sin (2x+2π) ，则下面结论正确的是C y C y3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线 C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，12得到曲线 C2C．把C上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得126到曲线 C21 π.得到曲 C210．已知F 抛物：2=4 的焦点，F作两条互相垂直的直l1，2，直l1与C交于、两点，C y x l A B直 l 2 与C交于D、E两点，|AB|+|DE|的最小A． 16B． 14C． 12D． 1011．xyz正数，且2x3y5z，A． 2x<3y<5z B． 5z<2x<3y C． 3y<5z<2x D． 3y<2x<5z12．几位大学生响国家的号召，开了一款用件。
2017-2018学年浙江省“超级全能生”联考高三（上）8月月考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知a是实数，i是虚数单位，若a+1+（a﹣1）i是纯虚数，则a=（）A．B．1 C．﹣1 D．2．（4分）椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．34．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=pS n+q（n∈N*，p≠﹣1），则“a1=q”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）已知x0∈（0，π），且，则x0∈（）A．B．C．D．7．（4分）若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，则a2=（）A．B．C．D．8．（4分）已知向量满足，则当取最大值时，有=（）A．4 B．6 C．8 D．109．（4分）设A，B是有限集合，定义：，其中card（A）表示有限集合A中的元素个数，则下列不一定正确的是（）A．d（A，B）≥card（A∩B）B．C．D．10．（4分）如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转，AB⊂平面α，M，N分别是CD，AB的中点，AB=2，VA=，点V 在平面α上的射影为点O，则当|OM|最大时，二面角C﹣AB﹣O的大小是（）A．105°B．90°C．60°D．45°二、填空题11．（3分）直线l：x+y=0经过圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0的圆心，则a=．12．（3分）已知随机变量ξ的分布列如表：则p=；E（ξ）=．13．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2b，若，则sinB=；若b2+bc=2a2，则cosB=．14．（3分）盒子中有红、蓝、黄各1个小球和3个相同的白色小球，将6个小球平均分给3位同学，若3位同学各有1个白球，共有种不同的分法；若恰有1位同学分得2个白球，共有种不同的分法．15．（3分）已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，则xz+yz的最大值是；又若x+y+z=0，则z的最大值是．16．（3分）函数f（x）=|x2+3x|﹣a|x﹣1|在R上有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是．17．（3分）已知直线l：y=kx+4（k≠±4）交双曲线C：于A，B两点，交x轴于Q，交y轴于P，若，且，则k2=．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在上的值域．19．在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，且M，N分别为AB，BC上的点，沿线段MD，DN，NM分别将△AMD，△CDN，△BNM折起，A，B，C三点恰好重合于一点P．（1）证明：平面PMD⊥平面PND；（2）若cos∠DPN=，PD=5，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．20．函数f（x）=+x+alnx（a∈R）．（1）当﹣2＜a＜0时，求f（x）在（0，1）上的极值点；（2）当m≥1时，不等式f（2m﹣1）≥2f（m）﹣f（1）恒成立，求实数a的取值范围．21．如图，已知直线y=﹣2mx﹣2m2+m与抛物线C：x2=y相交于A，B两点，定点．（1）证明：线段AB被直线y=﹣x平分；（2）求△MAB面积取得最大值时m的值．22．已知数列{a n}满足：a1=2e﹣3，a n+1+1=．（1）证明：数列为等差数列；（2）证明：数列{a n}单调递增；（3）证明：．2017-2018学年浙江省“超级全能生”联考高三（上）8月月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知a是实数，i是虚数单位，若a+1+（a﹣1）i是纯虚数，则a=（）A．B．1 C．﹣1 D．【解答】解：由a+1+（a﹣1）i是纯虚数，得，解得a=﹣1．故选：C．2．（4分）椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由+=1，得a2=16，b2=9，∴a=4，，则e=．故选：A．3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，3），的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，显然OA的斜率最大，由，故选：D．4．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，如图所示；则该几何体的体积是V=××（1+2）××2=．故选：A．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=pS n+q（n∈N*，p≠﹣1），则“a1=q”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件=pS n+q，①【解答】解：∵a n+1∴a n=pS n﹣1+q，②，﹣a n=p（S n﹣S n﹣1）=pa n，由①﹣②可得a n+1∴a n=（p+1）a n，+1∴=p+1，∴{a n}是以p+1为公比的等比数列，当n=1时，a2=pa1+q=a1（p+1），解得a1=q故“a1=q”是“{a n}为等比数列”的充要条件，故选：C6．（4分）已知x0∈（0，π），且，则x0∈（）A．B．C．D．【解答】解：，两边平方可得：sin2x0=﹣，∴x0∈．又=sin=﹣，==﹣1．∴，∴x0∈．故选：D．7．（4分）若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，则a2=（）A．B．C．D．【解答】解：因为a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，所以a4•24=1，a4=，当x=时，a0=，所以x4===a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x ﹣1）3+a4（2x﹣1）4所以a2===．故选C．8．（4分）已知向量满足，则当取最大值时，有=（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：向量满足，∴+﹣12=4，+12=1．即+16+48=4．化为：++60=0．可得：cosθ==，令=k＞0，由cosθ∈[﹣1，0）．解得．可得：=﹣k．==≤，则当取最大值时，8=，有=8．故选：C．9．（4分）设A，B是有限集合，定义：，其中card（A）表示有限集合A中的元素个数，则下列不一定正确的是（）A．d（A，B）≥card（A∩B）B．C．D．【解答】解：∵card（A∪B）≥card（A∩B），d（A，B）=≥=card（A∩B）故A一定正确；∵card（A∪B）+card（A∩B）=card（A）+card（B）∴=故B，D一定正确；由基本不等式可得：=≥，故C不一定正确；故选：C10．（4分）如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转，AB⊂平面α，M，N分别是CD，AB的中点，AB=2，VA=，点V 在平面α上的射影为点O，则当|OM|最大时，二面角C﹣AB﹣O的大小是（）A．105°B．90°C．60°D．45°【解答】解：如图所示，设∠VMO=θ，则∵M、N分别是AB、CD的中点，，∴，MN=BC=AB=2，VN=VM=2，则三角形VNM为正三角形，则∠NMV=60°，则OM=2cosθ，在三角形OMN中，ON2=MN2+OM2﹣2MN⋅OMcos（60°+θ）=4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）===，∴要使ON最大，则只需要sin2θ=1，即2θ=90°即可，则θ=45°，此时二面角C﹣AB﹣O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°故选：A．二、填空题11．（3分）直线l：x+y=0经过圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0的圆心，则a=﹣1．【解答】解：根据题意，圆C的一般方程为x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0，则其标准方程（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，其圆心坐标为（a，1），又由直线l：x+y=0经过圆C的圆心，则有a+1=0，解可得a=﹣1；故答案为：﹣112．（3分）已知随机变量ξ的分布列如表：则p=；E（ξ）=．【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：，解得p=．E（ξ）==．故答案为：，．13．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2b，若，则sinB=；若b2+bc=2a2，则cosB=．【解答】解：∵c=2b，，∴由正弦定理，可得，∴则sinB=，∵b2+bc=2a2，c=2b，可得：a=b，∴cosB===．故答案为：，．14．（3分）盒子中有红、蓝、黄各1个小球和3个相同的白色小球，将6个小球平均分给3位同学，若3位同学各有1个白球，共有6种不同的分法；若恰有1位同学分得2个白球，共有18种不同的分法．【解答】解：对于第一空，分2步分析：①、先将3个白球每人一个，分给三个同学，有1种情况，②、将红、蓝、黄三个小球全排列，分给三个同学，有A33=6种情况，则3位同学各有1个白球，有1×6=6种分法；对于第二空，分3步进行分析：①、先3个白球中取出2个，给3个人中的一个，有C31=3种情况，②、将红、蓝、黄三个小球和剩下的1个白球分成2组，有C42=3种分组方法，③、将分好的2组全排列，分给剩下的2人，有A22=2种情况，则恰有1位同学分得2个白球，有3×3×2=18种分法；故答案为：6，18．15．（3分）已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，则xz+yz的最大值是2；又若x+y+z=0，则z的最大值是．【解答】解：第一空解法①：不妨令x=2cosθcosφ，y=2cosθsinφ，z=2sinθ，则：，当且仅当时，xz+yz取得最大值．第一空解法②：，∴．第二空解法①：由均值不等式可知：，结合题意有：，整理可得：，∴．解法②：有题意可知：x=﹣y﹣z，则：（﹣y﹣z）2+y2+z2=4，整理可得：2y2+2zy+（2z2﹣4）=0，考查关于y的一元二次方程的判别式：△=（2z）2﹣4×2×（2z2﹣4）≥0，整理可得：，∴．故答案为：．16．（3分）函数f（x）=|x2+3x|﹣a|x﹣1|在R上有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）．【解答】解：令f（x）=0可得|x2+3x|=a|x﹣1|，∵f（x）有4个零点，∴y=|x2+3x|与y=a|x﹣1|的函数图象有4个交点．作出y=|x2+3x|的函数图象如图所示：显然a＞0．设直线y=k（x﹣1）与y=|x2+3x|的图象相切，联立方程组得x2+（3﹣k）x+k=0或x2+（k+3）x﹣k=0，令△=0得（3﹣k）2﹣4k=0（k＞0）或（k+3）2+4k=0（k＜0），解得k=9或k=﹣1．∴0＜a＜1或a＞9．故答案为：（0，1）∪（9，+∞）．17．（3分）已知直线l：y=kx+4（k≠±4）交双曲线C：于A，B两点，交x轴于Q，交y轴于P，若，且，则k2=4．【解答】解：l的方程：y=kx+4（k≠±4，且k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0），P（0，4），∵，∴（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1）=λ2（x2+，y2），∴λ1==﹣，同理λ2=﹣，所以λ1+λ2=﹣﹣=﹣．即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）又y=kx+4以及x2﹣=1，消去y得（3﹣k2）x2﹣8kx﹣19=0．当3﹣k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3﹣k2≠0．由韦达定理有：x1+x2=，x1x2=﹣，代入（*）式得，2k2（﹣）+5k（）+8=0，解得k2=4，故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在上的值域．【解答】解：（1）由题意知，．令，即，故函数f（x）的单调递增区间为．（2）由（1）可知，f（x）在上单调递增，在上单调递减，，故f（x）在上的值域为．19．在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，且M，N分别为AB，BC上的点，沿线段MD，DN，NM分别将△AMD，△CDN，△BNM折起，A，B，C三点恰好重合于一点P．（1）证明：平面PMD⊥平面PND；（2）若cos∠DPN=，PD=5，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，PM⊥PD，PM⊥PN，且PD∩PN=P，∴PM⊥平面PND，又∵PM⊂平面PMD，∴平面PMD⊥平面PND；（2）解：∵，∴在梯形ABCD中，有，过点D作DD'⊥BC，垂足为D'，则DD'=AB=5sin∠DCN=4，D'C=5sin∠DCN=3，由题可知，，=S△DNC=×4×4=8，则S△PDNS△MND=S梯形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC=×（5+8）×4﹣×5×2﹣×2×4﹣8=9，设点P到平面DMN的距离为h，V三棱锥P﹣MND=V三棱锥M﹣PND，即，解得，即点P到平面DMN的距离为，设直线PD与平面DMN所成角为θ，则其正弦值．20．函数f（x）=+x+alnx（a∈R）．（1）当﹣2＜a＜0时，求f（x）在（0，1）上的极值点；（2）当m≥1时，不等式f（2m﹣1）≥2f（m）﹣f（1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，令g（x）=x2+x+a，∵﹣2＜a＜0，∴g（x）的判别式△=1﹣4a＞0，令f'（x）=0，得．当﹣2＜a＜0时，，所以f（x）在上单调递减，在上方单调递增，即f（x）在（0，1）上有1个极值点．（2）不等式f（2m﹣1）≥2f（m）﹣f（1）⇔﹣（2m﹣1）+aln（2m﹣1）≥﹣m2+2alnm，即﹣（2m﹣1）+aln（2m﹣1）≥﹣m2+alnm2，令g（x）=﹣x+alnx，∵m2≥2m﹣1≥1，∴要使不等式﹣（2m﹣1）+aln（2m﹣1）≥﹣m2+alnm2恒成立，只需g（x）=﹣x+alnx在[1，+∞）上单调递减，，令g'（x）≤0，即a≤x在[1，+∞）上恒成立，可得实数a的取值范围是（﹣∞，1]．21．如图，已知直线y=﹣2mx﹣2m2+m与抛物线C：x2=y相交于A，B两点，定点．（1）证明：线段AB被直线y=﹣x平分；（2）求△MAB面积取得最大值时m的值．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得x2+2mx+2m2﹣m=0，∴，则，∴线段AB的中点坐标为（﹣m，m），故线段被直线y=﹣x平分．（2）∵，点M到直线AB的距离为，∴△MAB的面积，令，则S=t|1﹣2t2|，又∵，∴S=t﹣2t3（），令f（t）=t﹣2t3（），则f'（t）=1﹣6t2，则f（t）在上单调递增，在上单调递减，故当时，f（t）取得最大值，即△MAB面积取得最大值，此时有，解得．22．已知数列{a n}满足：a1=2e﹣3，a n+1+1=．（1）证明：数列为等差数列；（2）证明：数列{a n}单调递增；（3）证明：．【解答】证明：（1）∵，∴，即，∴数列为等差数列．（2）由（1）知，即，令，则，显然f'（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴在[1，+∞）上单调递增，故数列{a n}单调递增．（3）由题知a1=2e﹣3，∵a n≥a1＞1，∴，即，又∵，∴，令，则，两式相减，得=，故，∴，∴．。
