岩石力学题第四章例题和习题
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例：求在自重作用下地壳中的应力状态：如果花岗岩，泊
松比，则一公里深度以下的应力是多少？
解：因为地壳厚度比地球半径小的多。
在局部地区可以把地表看作一个半平面，在水平方向为，深度也无限。
现考虑地面下深度Z 处的一个微小单元体。
它受到在它上边岩、土体重量的压力。
在单位面积上，这个重量是，其中，
是它上面物体的体积，是物理单位体积的重量，因此：
如果单元体四周是空的，它将向四周膨胀，当由于单元体四周也都在自重作用下，相互作用的影响使单元体不能向四周扩张。
即
；
解之，则得：
对于花岗岩，
，一公里深度以下的应力为：
2/260m kg z z ==γσ]
2/8726025
.0125
.0m kg x x =⨯-=
=σσ 由此可见，深度每增加一公里，垂直压力增加，而横向压
力约为纵向压力的三分之一。
练习 1．
有一圆形隧峒直径为5米，埋深（以洞中心线标起）610米，
上覆岩层的平均容重γ=3g/cm 3，泊松比μ=0.25，假设只在重力场的作用下，试求： （1） 天然的水平应力。
（2） 计算洞壁上的应力（按θ=00，100，200。
900），并画出随
θ角变化的曲线。
（3）计算θ=00，900时的围岩径向应力及切向应力并画出相应的图形，确定出距离峒室中心多远时才近似于天然应力区。
（4）若峒内施加0.15Mpa内水压力，试求峒壁上的应力。
2假设轴对称厚壁衬砌园巷内均匀作用有水压力P，试描述距圆心r 处的应力状态。
3 自地表向下的岩层以次是：表土层，层厚H1=60m，容重γ1＝20KN/m3，内摩擦角Φ1＝30°，泊松比μ1＝0.3；砂岩层厚H2=60m，容重γ2＝25KN/m3，内摩擦角Φ2＝45°，泊松比μ2＝0.25。
求距地表50m及100m 处的原岩中由自重引起的水平应力
4在埋深为200米的岩体内开挖一峒径为2a=2m的圆形峒室，假若岩体的天然应力为静水压力式的，上覆岩层的平均容重r=2.7g/cm3,试求：
（5）洞壁、2倍洞半径、6倍洞半径处的围岩应力；
（6）根据上述结果说明围岩应力的分布特征；
（7）若围岩的抗剪强度指标c=0.4Mpa,φ=30度，试用莫尔-库仑强度条件评价洞壁的稳定性。
（8）若工程要求不允许出现塑性区，需要多大的支撑力。
5某矿区一个竖井通过一弱页岩夹层，它的埋深H=102米，夹层的泊松比μ=0.3，上覆岩层的平均容重为γ=2.5g/cm3，内聚力c=2.5Mpa，内摩擦角φ=30度，问该层是否处于临界深度以内。
提示：圆形竖井： 作用在薄层上的水平方向的天然应力为：Z q λγ=，因此假设具有半径为a 的圆井薄层是属于平面应力问题。
其围岩应力可近似根据以下计算：
)1(22
r
a q r -=σ
)1(22
r
a q +=θσ
井壁上的应力θσ也随深度Z 的增加而增加，当井壁上的应力
差r σσθ-（或r z σσ-）满足塑性条件时，井壁将产生塑性流动，即：
φ
σσφθθ
cot 2sin ⋅+=
c 从而计算竖井的极限深度。
