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2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4页，均为非选择题 (第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据x1,x2,⋯,x n的方差s21n n12x i x ，其中xi1 nnx i．i1柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．锥体的体积V 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合 A { 1,0,1,6}，B {x|x 0,x R}，则A B ▲.2．已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.4．函数y 7 6x x2的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y21(b0)经过点（3，4)，则该双曲线的b2渐近线方程是▲.8．已知数列{a n}(n N*)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5a80,S927，则S8的值是▲.9．如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是▲.410．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx (x0)上的一个动点，则点P到直线xx+y=0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若ABAC6AOEC，则AB的值是▲.AC13．已知tan 2，则sin2 π的值是▲.π 3 4tan4．设f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为，g(x)的周期为，且14 4 2k(x2),0 x 1f(x)是奇函数.当x (0,2]时，f(x) 1 (x 1)2，g(x) 12 ，,1x 2其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=2，求c的值；3（2）若sinA cosB，求sin(B)的值．a 2b 216．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y21(ab0)的焦点为（–1、0），a2b2F1 F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=5．2（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为百米）．（1）若道路 PB与桥ACAB 和BD（C、D垂直，求道路为垂足），测得PB的长；AB=10，AC=6，BD=12（单位:（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{ 3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a 0,0b,1,c 1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4．27 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n}(n N*)满足：a2a4a5,a34a24a40，求证:数列{an} 为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:b11,1 2 2 ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．S n b n b n1①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n}(n N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k剟b k c k1成立，求m的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）3 1已知矩阵 A2 2（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A3,,B2, ，直线l的方程为sin 3.4 2 4（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x R，解不等式|x|+|2x1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计 20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设(1 x)n a0a1x a2x2a n x n,n⋯4,n N*.已知a322a2a.4（1）求n的值；（2）设(1 3)n a b3，其中a,b N*，求a23b2的值.23（.本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,(n,0)}，B n(0,1),(n,1)},C n{(0,2),(1,2),(2,2), ,(n,2)},n N.令M n A n B n C n.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.{1,6}2.23.54.[1,7]56.77.y 2x 5.1038.16 9.10 10.4 11.(e,1) 12.3 13. 2 14. 1, 210 3 4二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为a 3c,b 2,cosB 2 ，3由余弦定理cosB a2c2b2，得 2 (3c)2c2(2)2，即c2 1 .2ac 3 2 3c c 33.所以c3（2）因为sinA cosB，a 2b由正弦定理 a b ，得cosB sinB，所以cosB 2sinB.sinA sinB 2b b4 从而cos2B (2sinB)2，即cos2B 41cos2B，故cos2B .5因为sinB 0，所以cosB 2sinB 0，从而cosB 2 5. 5因此sinB π 2 5. 2cosB516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.又因为BE?平面ABC ，所以CC 1⊥BE.因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C ∩AC=C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C1E?平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1= 5，AF 2⊥x 轴，所以DF2= DF 12 F 1F 22(5)2 223， 22 2因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为x2y 21 .4 3 （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：x2y 21， ，43 a=2因为AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为1.将 x=1代入圆F 2的方程(x-1)2+y 2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.y2x 2 ，得5x 26x 110，由1) 2 y 2(x 16解得x 1或x 11.11 5 12将x 代入y 2x2，得y，5 5因此B( 11, 12).又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y 3(x1).554y3(x1)13由4，得 2，解得 x 1 或x y 2 7x6x130.x 2 1 7 4 3又因为 E 是线段BF2与椭圆的交点，所以x 1.将x1代入y 3(x 1)，得y 3.因此E(1,3).42 2 解法二：由（1）知，椭圆C ：x2 y 21 .如图，连结EF1.4 3因为BF2=2a ，EF1+EF2=2a ，所以EF1=EB ，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B ，所以∠A=∠B ，所以∠A=∠BF1E ，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴.x13 因为F1(-1，0)，由x 2y2，得y. 4 123又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以 y 3 .23因此E(1, ).18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 .满分16分.解：解法一：（1）过A 作AEBD ，垂足为E.由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，DEBEAC6,AECD8.'因为PB ⊥AB ，所以cosPBDsin84ABE.105BD 12所以PB 15.cosPBD 45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD AE2ED210，AD2AB2BD27，所以∠BAD为锐角.从而cosBAD 02ADAB 25所以线段AD上存在点到点 O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求 .综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°，对线段时PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且PB1AB，由（1）知，P1B=15，此时PD1PB1sinPBD1PB1cosEBA15 39；5当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB PB1 1 由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得 QA≥15，点Q只有位于点15.C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ QA2AC215262321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=3 21时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，-3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（-4，-3），直线AB的斜率为3.4因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为4，4 253x直线PB的方程为y.3 3所以P（-13，9），PB(134)2(93)215.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（-4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（-4，9），又A（4，3），所以线段AD：y 3x6(4剟x4). 4在线段AD上取点M（3，15），因为OM3215 232425，4 4 所以线段AD上存在点到点 O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P为l上一点，且P B AB，由（1）知，PB=15，此时P（-13，9）；1 1 1 1当∠OBP>90°时，在△PPB1中，PBPB115.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ(a4)2(93)215(a4)，得a=43 21，所以Q（4321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（-13，9），Q（4 321 ，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ4321 (13)17 321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17321（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为abc，所以f(x) (x a)(xb)(x c) (x a)3．因为f(4) 8，所以(4 a)38，解得a 2．（2）因为b c，所以f(x) (xa)(x b)2x3(a 2b)x2b(2ab)x ab2，从而f'(x) 3(xb)x 2ab．令f'(x)0，得x b或x 2ab．3 3因为a,b,2a b，都在集合{3,1,3}中，且a b，3所以2ab 1,a3,b 3．3此时f(x) (x3)(x 3)2，f'(x)3(x 3)(x1)．令f'(x) 0，得x 3或x 1．列表如下：x ( , 3)3( 3,1) 1(1, ) f'(x)+ 0 –0+ f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1) (13)(13)232．（3）因为a 0,c 1，所以f(x)x(x b)(x1) x3(b 1)x2bx，f'(x)3x22(b 1)x b．因为0 b 1，所以4(b 1)212b (2b1)2 3 0，则f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2x1x2．由f'(x) 0，得x1b1 b2b1,x2b1 b2b1．3 3列表如下：x (,x1)x1x1,x2x2(x2, ) f'(x) + 0–0 +f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M fx1．解法一：Mfx1x13(b1)x12bx122(b 1)x1 b x1b 1 2b2 b 1 b(b 1)3x13 9 9x192b 2b 1(b 1) b(b 1) 2 23b b1279 27b(b 1) 2(b1)2(b 1) 2(b(b 1) 1)327 27 27b(b 1)24．因此M 4．27 27 27 27解法二：因为0 b 1，所以x1(0,1)．当x (0,1)时，f(x)x(xb)(x 1) x(x 1)2．令g(x) x(x 1)2,x(0,1)，则g'(x)3x 1(x1)．31令g'(x) 0，得x ．列表如下：3x (0,1) 1 (1,1)3 3 3g'(x)+ 0 –g(x)极大值所以当x 1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g14．3 3 27所以当x (0,1)时，f(x)4，因此M4g(x) ．27 2720．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列 {an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.a2a4a5，得a12q4a1q4a1 1由4a24a10 a1q2，解得．a34a1q4a10 q2 因此数列{a n}为“M—数列”.（2）①因为1 2 2，所以b n0．S n b n b n 11 2 2由b11,S1b1得1 1 b2，则b2 2.1 2 2S n b n b n1，由b n ，得2(b n1b n)S n b n1当n 2时，由b n S n S n1，得b nb n b n1 b n1b n，2b n1b n2b n b n1整理得b n1b n 1 2bn．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n}的通项公式为bn=n n N*.②由①知，bk=k，kN*.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以q k1k qk，其中k=123，⋯，m.，，当k=1时，有q≥1；当k=2，3，⋯，m时，有lnk lnq lnk．k k1设f（x）=lnx1) ，则f'(x)1 lnx(xx2．x令f'(x) 0，得x=e.列表如下：x (1,e) e (e+∞)，f'(x) +0–（f x）极大值因为ln2ln8 ln9 ln3f(k)max f(3)ln32 6 6，所以3．3取q 33，当k=1，2，3，4，5时，lnk,lnq，即k q k，k经检验知q k1k也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4–2：矩阵与变换 ]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为A3 12 ，2所以A23 1 3 12 2 2 23 3 1 2 3 1 1 2 11 5=3 2 2 2 1 2 =10．2 2 6 （2）矩阵A的特征多项式为f()3 1 25 4.2 2令f() 0，解得A的特征值1 1,24.B．[选修4–4：坐标系与参数方程 ]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（2，），4 2由余弦定理，得AB= 32(2)22 3 2 cos() 5.2 4（2）因为直线l的方程为sin( ) 3，4则直线l过点(32, )，倾斜角为3．2 4B l的距离为(3 2 2) 3 )2.又B(2,)，所以点到直线sin(2 4 2C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x<–1：3当0≤x≤1时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；2当x>1时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.2综上，原不等式的解集为{x|x 1或x1}.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为(1 x)n C n0C1n x C n2x2C n n x n，n4，所以a2C n2n(n 1),a3C n3n(n1)(n 2) ，2 6a4C n4n(n1)(n 2)(n3) ．24因为a322a2a4，所以[n(n1)(n2)]2 2 n(n 1) n(n1)(n 2)(n3) ，6 2 24解得n5．（2）由（1）知，n 5 ．(1 3)n(13)5C50C153C52(3)2C53(3)3C54(3)4C55(3)5a b 3．解法一：因为a,b N*，所以a C503C529C5476,b C513C539C5544，从而a23b2762 3 44232．解法二：(1 3)5C50C15(3)C52(3)2C53(3)3C54(3)4C55(3)5C50C153C52(3)2C53(3)3C54(3)4C55(3)5．因为a,b N*，所以(1 3)5 a b3．因此a23b2(a b3)(a b3) (1 3)5(1 3)5(2)532．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当n 1时，X的所有可能取值是1，2，2，5 ．X的概率分布为P(X1) 7 7,P(X 2)4 42 2 ，C615 C615P(X2) 2 2,P(X 5) 2 2．C6215 C6215（2）设A(a，b)和B(c，d)是从M n中取出的两个点．因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑X n的情况．①若b d，则AB n，不存在X n的取法；②若b 0，d 1，则AB(a c)2 1 n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0，c n或an，c 0，有2 种取法；③若b 0，d2，则AB(ac)2 4 n24，因为当n 3时，(n1)24n，所以X n当且仅当ABn24，此时a 0，c n或a n，c0，有2种取法；④若b 1，d 2 ，则AB(a c)2 1 n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0，c n或a n，c 0，有2种取法．综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和n24，且P(X n 21)4,P(X n24)2．C2n2 4 C2n2 4P(Xn) 1P(X n21)P(X n24)1 6因此，C2n24．。
2019年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________.12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB AC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2 ，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分）15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求 sin(B +π2) 的值．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ， E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2 x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n= {(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B =I ． 2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ． 3．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．4．函数276y x x =+-的定义域是 ．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ．9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ． 12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AOEC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则ABAC的值是 ．13．已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 14．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，2()1(1)f x x =--，(2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，2b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =． 求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <„，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M „．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m „时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =． （1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n n n n M A B C =U U ．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n …，求概率()P X n „（用n 表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B =I {1，6} ． 【思路分析】直接利用交集运算得答案．【解析】：{1A =-Q ，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，{1A B ∴=-I ，0，1，6}{|0x x >I ，}{1x R ∈=，6}．故答案为：{1，6}．【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题．2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 2 ． 【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a 值． 【解析】：(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++Q 的实部为0， 20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 5 ．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 1x =，0S = 0.5S =不满足条件4x …，执行循环体，2x =， 1.5S = 不满足条件4x …，执行循环体，3x =，3S = 不满足条件4x …，执行循环体，4x =，5S = 此时，满足条件4x …，退出循环，输出S 的值为5． 故答案为：5．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．函数y =的定义域是 [1-，7] ．【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案． 【解析】：由2760x x +-…，得2670x x --„，解得：17x -剟．∴函数y =[1-，7]．故答案为：[1-，7]．【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 2 ．【思路分析】先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为：1(678910)85x =++++=，∴该组数据的方差为：2222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25S =-+-+-+-+-=．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 710．【思路分析】基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数1123227m C C C =+=，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率． 【解析】：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：1123227m C C C =+=，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710m p n ==． 故答案为：710． 【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 y = ．【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【解析】：Q 双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．故答案为：y =．【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 16 ．【思路分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n 项和求得8S 的值． 【解析】：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． ∴818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．故答案为：16．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 10 ．【思路分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，三棱锥E BCD -的体积：1111133212E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，由此能求出结果．【解析】：Q 长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，∴三棱锥E BCD -的体积：13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 4 ．【思路分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4(0)y x x x=+>的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值．【解析】：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得002(0)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小， 最小值为|232|42+=．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 (,1)e ． 【思路分析】设0(A x ，0)lnx ，利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解0x 即可．【解析】：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x'=， ∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-， Q 切线经过点(,1)e --，∴0011elnx x --=--， 即00elnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ．故答案为：(,1)e ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则AB AC的值是 3 ．【思路分析】首先算出12AO AD =u u u r u u u r，然后用AB u u u r 、AC u u u r 表示出AO u u u r 、EC u u u r ，结合6AB AC AO EC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g 得221322AB AC =u u ur u u u r ，进一步可得结果．【解析】：设()2AO AD AB AC λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+⨯-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r g22312()233AB AB AC AC =-++u u ur u u u r u u u r u u u r g 221322AB AB AC AC =-++u u ur u u u r u u u r u u u r g ，Q 221322AB AC AB AB AC AC =-++u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g ，∴221322AB AC =u u ur u u u r ，∴223AB AC =u u u r u u u r ，∴AB AC【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 13．已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是． 【思路分析】由已知求得tan α，分类利用万能公式求得sin 2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin(2)4πα+的值．【解析】：由tan 23tan()4απα=-+，得tan 23tan tan41tan tan4απαπα=-+-， ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin 215tan ααα==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，43sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=； 当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos215tan tan ααα-==+，32422sin(2)sin2cos cos2sin44455πππααα∴+=+=-⨯+⨯=．综上，sin(2)4πα+的值是2．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．设()f x，()g x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数．当(0x∈，2]时，2()1(1)f x x=--，(2),01,()1,12,2k x xg xx+<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„其中0k>．若在区间(0，9]上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是1[3，)22．【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解析】：作出函数()f x与()g x的图象如图，由图可知，函数()f x与1()(122g x x=-<„，34x<„，56x<„，78)x<„仅有2个实数根；要使关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则2()1(1)f x x=--，(0x∈，2]与()(2)g x k x=+，(0x∈，1]的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线20kx y k-+=的距离为1211k=+，解得0)22k k=>，Q两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k=，∴1322k<„．即k的取值范围为1[3)22．故答案为：1[3)22．【归纳与总结】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，2b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 【思路分析】（1）由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，由此能求出c 的值．（2）由sin cos 2A Ba b =，利用正弦定理得2sin cos B B =，再由22sin cos 1B B +=，能求出5sin B =，25cos B =，由此利用诱导公式能求出sin()2B π+的值． 【解析】：（1）Q 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．3a c =，2b =，2cos 3B =，∴由余弦定理得：222221022cos 263a c b c B ac c +--===，解得3c =．（2）Q sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=，22sin cos 1B B +=Q ， 5sin B ∴=，25cos B =， 25sin()cos 2B B π∴+==． 【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =． 求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．【思路分析】（1）推导出//DE AB ，11//AB A B ，从而11//DE A B ，由此能证明11//A B 平面1DEC ．（2）推导出1BE AA ⊥，BE AC ⊥，从而BE ⊥平面11ACC A ，由此能证明1BE C E ⊥． 【解答】证明：（1）Q 在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴，DE ⊂Q 平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ，11//A B ∴平面1DEC ．解：（2）Q 在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． 1BE AA ∴⊥，BE AC ⊥，又1AA AC A =I ，BE ∴⊥平面11ACC A ， 1C E ⊂Q 平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【思路分析】（1）由题意得到12//F D BF ，然后求AD ，再由152AD DF ==求得a ，则椭圆方程可求；（2）求出D 的坐标，得到2133224BF DF k k ===，写出2BF 的方程，与椭圆方程联立即可求得点E 的坐标．【解析】：（1）如图，22F A F B =Q ，22F AB F BA ∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D ==+=+Q ，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠， 12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，1c =Q ，221b a ∴=-，则椭圆方程为222211x y a a +=-， 取1x =，得21D a y a -=，则22112a a AD a a a -+=-=． 又152DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知，3(1,)2D ，1(1,0)F -，∴2133224BF DF k k ===，则23:(1)4BF y x =-，联立223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x --=． 解得11x =-或2137x =（舍)．∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．【归纳与总结】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明12//DF BF 是解答该题的关键，是中档题．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q 两点间的距离．【思路分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则(0,6)A-，(8,12)B--，(8,0)D-设点1(P x，0)，PB AB⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA AB⊥时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x，0)，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设(,0)P a，(,0)Q b，则17a-„，92b-…，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解析】：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM BM⊥，即有6DM AC==，6BM=，8AM=，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则(0,6)A-，(8,12)B--，(8,0)D-（1）设点1(P x，0)，PB AB⊥，则1BP ABk k=-g，即10(12)6(12)1(8)0(8)x-----=-----g，解得117x=-，所以(17,0)P-，22(178)(012)15PB=-+++=；（2）当QA AB⊥时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x，0)，则1QA ABk k=-g，即20(6)6(12)100(8)x-----=----g，解得292x=-，9(2Q-，0)，由91782-<-<-，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设(,0)P a，(,0)Q b，则17a-„，92b-…，22(8)144225PB a=++…，2236225QA b=+…，则321b…d最小时，17321PQ=+．【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <„，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M „．【思路分析】（1）由a b c ==，可得3()()f x x a =-，根据f （4）8=，可得3(4)8a -=，解得a ．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．()()(32)f x x b x b a '=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=．根据()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，通过分类讨论可得：只有3a =，3b =-，可得263133a b A +-==∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+．利用导数研究其单调性可得1x =时，函数()f x 取得极小值．（3）0a =，01b <„，1c =，()()(1)f x x x b x =--．2()3(22)f x x b x b '=-++．△0>．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：21111(0,]3b b b x +--+，2211b b b x ++-+．12x x <，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，通过计算化简即可证明结论．【解析】：（1）a b c ==Q ，3()()f x x a ∴=-， f Q （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=．()f x Q 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去．1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去．1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去．3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+．()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <„，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++．△22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+…．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =， 可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=Q ，可得：2111[(22)]3x b x b =+-，1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++g ， 22132222()022b b b -+-=---<Q ，M ∴在1(0x ∈，1]3上单调递减，2221252524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=剟． 427M ∴„． 【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m „时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【思路分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据245a a a =，321440a a a -+=列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出2b ，3b ，4b 猜想n b ，然后用数学归纳法证明；（3）设{}n c 的公比为q ，将问题转化为[][]1max min lnk lnk k k -„，然后构造函数()(3)lnxf x x x=…，()(3)1lnxg x x x =-„，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式331ln lnmm -„，即可． 【解析】：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由245a a a =，321440a a a -+=，得244112111440a q a qa q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩， ∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”； （2）①11b =Q ，1122n n n S b b +=-，∴当1n =时，11121122S b b b ==-，22b ∴=， 当2n =时，212231122S b b b b ==-+，33b ∴=，当3n =时，3123341122S b b b b b ==-++，44b ∴=， 猜想n b n =，下面用数学归纳法证明； ()i 当1n =时，11b =，满足n b n =，()ii 假设n k =时，结论成立，即k b k =，则1n k =+时， 由1122k k k S b b +=-，得 1(1)2221(1)222k k k k k k k k b S b k k k S b k++===++--gg ， 故1n k =+时结论成立，根据()()i ii 可知，n b n =对任意的*n N ∈都成立． 故数列{}n b 的通项公式为n b n =； ②设{}n c 的公比为q ，存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m „时，都有1k k k c b c +剟成立，即1k kq k -剟对k m „恒成立，当1k =时，1q …，当2k =2，当3k …，两边取对数可得，1lnk lnkk k -剟对k m „有解， 即[][]1max min lnk lnk k k -„，令()(3)lnx f x x x =…，则21()lnxf x x -'=， 当3x …时，()0f x '<，此时()f x 递增，∴当3k …时，3[]3max lnk ln k =， 令()(3)1lnx g x x x =-„，则211()lnxx g x x --'=， 令1()1x lnx x φ=--，则21()xx xφ-'=，当3x …时，()0x φ'<，即()0g x '<， ()g x ∴在[3，)+∞上单调递减，即3k …时，[]11min lnk lnmk m =--，则 331ln lnmm -„， 下面求解不等式331ln lnmm -„， 化简，得3(1)30lnm m ln --„，令()3(1)3h m lnm m ln =--，则3()3h m ln m'=-， 由3k …得3m …，()0h m '<，()h m ∴在[3，)+∞上单调递减， 又由于h （5）3543125810ln ln ln ln =-=->，h （6）36532162430ln ln ln ln =-=-<，∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =，m ∴的最大值为5，此时13[3q ∈，145]．【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值．【思路分析】（1）根据矩阵A 直接求解2A 即可； （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--，解方程()0f λ=即可．【解析】：（1）3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q231312222A ⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 115106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）矩阵A 的特征多项式为： 231()5422f λλλλλ--==-+--，令()0f λ=，则由方程2540λλ-+=，得1λ=或4λ=，∴矩阵A 的特征值为1或4．【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．【思路分析】（1）设极点为O ，则由余弦定理可得2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，解出AB ；（2）根据直线l 的方程和点B 的坐标可直接计算B 到直线l 的距离． 【解析】：（1）设极点为O ，则在OAB ∆中，由余弦定理，得 2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，AB ∴=（2）由直线1的方程sin()34πρθ+=，知直线l过)2π，倾斜角为34π，又B )2π，∴点B 到直线l的距离为3?()242sin ππ-=．【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【思路分析】对|||21|x x +-去绝对值，然后分别解不等式即可． 【解析】：131,21|||21|1,0231,0x x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩剟， |||21|2x x +->Q ，∴31212x x ->⎧⎪⎨>⎪⎩或12102x x -+>⎧⎪⎨⎪⎩剟或3120x x -+>⎧⎨<⎩， 1x ∴>或x ∈∅或13x <-，∴不等式的解集为1{|3x x <-或1}x >．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =． （1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．【思路分析】（1）运用二项式定理，分别求得2a ，3a ，4a ，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值； 方法二、由于a ，*b N ∈，求得5(1a =-【解析】：（1）由0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=+++⋯+，4n …，可得22(1)2n n n a C -==，33(1)(2)6n n n n a C --==，44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==， 23242a a a =，可得2(1)(2)(1)(1)(2)(3)()26224n n n n n n n n n ------=g g， 解得5n =；（2）方法一、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+ 由于a ，*b N ∈，可得024555391304576a C C C =++=++=，1355553944b C C C =++=， 可得222237634432a b -=-⨯=-；方法二、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+50122334455555555(1(((((C C C C C C -=+++++02233445555555C C C C C C =-+-+-，由于a ，*b N ∈，可得5(1a =-可得225553(1(1(13)32a b -=+-=-=-g ．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n n n n M A B C =U U ．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n …，求概率()P X n „（用n 表示）． 【思路分析】（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值； （2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->„，所以只需考虑X n >的情况，分别讨论b ，d 的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解析】：（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，2，5，X 的概率分布为2677(1)15P X C ===；2644(2)15P X C ===； 2622(2)15P X C ===；2622(5)15P X C ===； （2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->„，所以只需考虑X n >的情况，①若b d =，则AB n „，不存在X n >的取法；②若0b =，1d =，则22()11AB a c n =-++„，所以X n >当且仅当21AB n =+， 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；③若0b =，2d =，则22()44AB a c n =-++„，所以X n >当且仅当24AB n =+， 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；④若1b =，2d =，则22()11AB a c n =-++„，所以X n >当且仅当21AB n =+， 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；综上可得当X n >，X 的所有值是21n +或24n +，且22244(1)n P X n C +=+=，22242(4)n P X n C +=+=， 可得222246()1(1)(4)1n P X n P X n P X n C +=-=+-=+=-„．【归纳与总结】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．———————————————————————————————————— 《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题，共 20 题 )。
本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据 x1, x2,⋯ , x n的方差 s21nn12x i x ，其中 xi1 nnx i．i 1柱体的体积 V Sh，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．锥体的体积 V 1 Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．3一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合 A { 1,0,1,6} ， B { x | x 0, x R} ，则 A B ▲.2．已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数 y7 6x x 2 的定义域是 ▲.5．已知一组数据 6， 7， 8， 8， 9， 10，则该组数据的方差是▲ .6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少 有 1 名女同学的概率是 ▲.7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2y21(b 0) 经过点（ 3， 4)，则该双曲线的b 2渐近线方程是▲. 8．已知数列 { a n }( n N *) 是等差数列， S n 是其前 n 项和 .若 a 2a 5a 80, S 9 27，则S 8的 值是 ▲.9．如图，长方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的体积是 120，E 为 CC 1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 ▲.410．在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 y x ( x 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 xx+y=0 的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 （ -e ，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是▲ .12．如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE=2EA ， AD 与 CE 交于点 O .若 AB AC 6AO EC ，则 AB的值是 ▲ .AC13．已知 tan 2 ，则 sin 2 π的值是 ▲.π 3 4 tan 4 ．设 f ( x), g(x) 是定义在 R 上的两个周期函数， f ( x) 的周期为， g( x) 的周期为 ，且 14 4 2k( x 2),0 x 1f (x) 是奇函数 .当 x (0, 2] 时， f( x) 1 (x 1)2， g( x) 1 2 ，,1 x2 其中 k>0.若在区间 (0， 9]上，关于 x 的方程 f ( x) g(x) 有 8 个不同的实数根，则 k的取值范围是▲ .二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．（ 1）若 a=3 c ， b= 2 ， cosB= 2，求 c 的值； 3（ 2）若sin Acos B，求 sin( B ) 的值．a 2b216．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， D ，E 分别为 BC ， AC 的中点， AB=BC ．求证：（ 1） A 1B 1∥平面 DEC 1；（ 2）BE ⊥ C 1E ．17．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C: x2y21(a b 0) 的焦点为（– 1、0），a2b2F1 F2（ 1， 0）．过 F 2作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方， l 与圆 F2:(x 1)2y24a2交于点A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF 1．已知 DF1=5．2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标．18．（本小题满分16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB（ AB是圆 O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求 :线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆．．．． O 的半径．已知点A、B 到直线 l 的距离分别为百米）．（ 1）若道路PB 与桥ACAB和 BD（C、D垂直，求道路为垂足），测得 PB 的长；AB =10， AC=6， BD=12 （单位 :（ 2）在规划要求下，P和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（ 3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当d 最小时， P、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16 分）设函数 f ( x) ( x a)( x b)( x c), a, b, c R 、 f ' ( x) 为 f（ x）的导函数．（1）若 a=b=c， f（ 4）=8，求 a 的值；（ 2）若a≠ b，b=c，且f（x）和f ' ( x) 的零点均在集合{ 3,1,3} 中，求f（ x）的极小值；（ 3）若 a 0,0 b, 1,c 1 ，且 f （x）的极大值为 M，求证 :M≤4．27 20．（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列” .（ 1）已知等比数列{ a n} (n N* ) 满足：a2a4a5 , a3 4a2 4a4 0 ，求证 :数列{ an}为“ M －数列”；（ 2）已知数列 { bn} 满足 : b11, 1 2 2 ，其中 Sn 为数列 { bn} 的前 n项和．S n b n b n 1①求数列 { bn} 的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M －数列” { c n } ( n N * ) ，对任意正整数 k，当 k≤ m 时，都有 c k剟b k c k 1成立，求 m 的最大值．数学Ⅱ ( 附加题 )21．【选做题】本题包括 A、 B、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．骤．A.[ 选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）3 1已知矩阵 A2 2（1）求 A2；（2）求矩阵 A的特征值 .B.[ 选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A 3, , B2, ，直线 l的方程为 sin 3 .4 2 4（1）求 A， B两点间的距离；（ 2）求点 B到直线 l的距离 . C.[选修 4-5：不等式选讲 ]（本小题满分 10分）设 x R ，解不等式 |x|+|2 x 1|>2 .【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分 10 分）设 (1 x)n a0a1 x a2x2a n x n , n⋯4, n N * . 已知a32 2 a2 a.4（1）求 n的值；（ 2）设 (1 3) n a b 3 ，其中 a,b N*，求 a23b 2的值 .23（.本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集 A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ，B n(0,1),(n,1)},C n{(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .令 M n A n B n C n .从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离.（1）当 n=1时，求 X的概率分布；2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分 .1.{1,6}2.23.54.[ 1,7]56.7 7.y 2x 5.1038.16 9.10 10.4 11. (e, 1) 12. 3 13. 2 14. 1 , 210 3 4二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力 .满分 14分 .解：（ 1）因为 a 3c, b 2,cos B 2 ，3由余弦定理 cosB a2c2b2，得 2 (3c)2c2( 2)2，即 c2 1 .2ac 3 2 3c c 33.所以c3（ 2）因为sin A cos B ，a 2b由正弦定理 a b ，得 cos B sin B，所以 cosB 2sin B .sin A sin B 2b b4 从而 cos2 B (2sin B)2，即 cos2 B 4 1 cos2 B ，故 cos2 B .5因为 sin B 0 ，所以 cosB 2sin B 0，从而 cos B 2 5. 5因此 sin B π 2 5. 2cosB516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分.证明：（ 1）因为 D ，E 分别为 BC， AC 的中点，所以 ED ∥AB .在直三棱柱 ABC-A1 B1C1 中， AB∥A1B1，所以 A1B1∥ ED .又因为 ED? 平面 DEC1， A1 B1 平面 DEC 1，所以 A 1B 1∥平面 DEC 1.（ 2）因为 AB=BC ， E 为 AC 的中点，所以 BE ⊥ AC.因为三棱柱 ABC-A 1 B 1C 1 是直棱柱，所以 CC 1⊥平面 ABC.又因为 BE? 平面 ABC ，所以 CC 1⊥ BE.因为 C1C? 平面 A1ACC1， AC? 平面 A1ACC1， C1C ∩AC=C ，所以 BE ⊥平面 A 1ACC 1.因为 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BE ⊥ C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14分.解：（ 1）设椭圆C 的焦距为 2c.因为 F1(－1， 0)， F 2(1， 0)，所以 F 1F 2=2，c=1.又因为 DF1=5 ， AF 2⊥x 轴，所以 DF 2= DF 12 F 1 F 22(5)2 223 ， 2 2 2因此 2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2.由 b 2=a 2-c 2，得 b 2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为x2y 21 .4 3 （ 2）解法一：由（ 1）知，椭圆 C ：x2y 2 1， ，4 3 a=2因为 AF 2⊥ x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F 2 的方程 (x-1) 2+y 2=16 ，解得 y=± 4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1， 0)，所以直线 AF1： y=2x+2.y 2x 2 ，得 5x 26x 11 0，由1) 2 y 2( x 16 解得 x 1 或 x11.115 12将 x 代入 y 2x 2 ，得 y ，5 5因此 B( 11, 12) .又 F 2(1， 0)，所以直线 BF 2： y 3(x 1) .5 5 4y3( x 1) 13由 4，得 2 ，解得 x 1 或 x y 2 7x 6x 13 0 .x 2 1 74 3又因为E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以x 1 . 将 x 1 代入 y 3( x 1) ，得 y3.因此E( 1, 3). 4 2 2解法二：由（ 1）知，椭圆 C ：x2y 21 .如图，连结 EF1.43因为 BF 2=2 a ，EF 1+EF2=2a ，所以 EF1 =EB ，从而∠ BF 1E=∠ B.因为 F2A=F2B ，所以∠ A=∠ B ，所以∠ A=∠ BF1E ，从而 EF1∥ F2A.因为 AF 2⊥ x 轴，所以 EF 1⊥ x 轴 .x13 因为 F1(-1 ，0) ，由x 2y2，得 y. 4 123又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 y 3 .23因此 E( 1, ).18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 .满分 16分 .解：解法一：（ 1）过 A 作 AE BD ，垂足为 E.由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形， DE BE AC 6, AE CD 8.'因为 PB ⊥ AB ，所以 cos PBDsin84ABE.10 5BD 12所以 PB 15 .cos PBD 45因此道路 PB的长为 15（百米） .（2）①若 P在 D 处，由（ 1）可得 E在圆上，则线段 BE 上的点（除 B， E）到点 O的距离均小于圆 O的半径，所以 P选在 D 处不满足规划要求 .②若 Q在 D处，连结 AD ，由（ 1）知AD AE 2ED 210 ，AD 2 AB2BD 27 ，所以∠ BAD 为锐角 .从而 cos BAD 02AD AB 25所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 .因此， Q选在 D 处也不满足规划要求.综上， P和 Q均不能选在 D处 .（ 3）先讨论点 P的位置 .当∠ OBP<90°时，线段 PB上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径，点 P不符合规划要求；当∠ OBP≥90°，对线段时PB上任意一点 F ， OF ≥OB ，即线段 PB 上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径，点 P符合规划要求 .设 P1为 l上一点，且PB1AB ，由（ 1）知， P1 B=15 ，此时 PD1 PB1 sin PBD1PB1 cos EBA 15 39 ；5当∠ OBP>90°时，在△ PPB 中， PB PB1 1 由上可知， d≥15.再讨论点 Q的位置 .由（ 2）知，要使得Q A≥15，点 Q只有位于点15.C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，CQ QA2AC 215262 3 21 .此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径 .综上，当 PB⊥ AB ，点 Q位于点 C右侧，且 CQ= 3 21时， d最小，此时 P， Q两点间的距离PQ=PD +CD +CQ=17+ 3 21.因此， d最小时， P， Q两点间的距离为17+ 3 21 （百米） .解法二：（ 1）如图，过 O作 OH⊥ l ，垂足为 H.以 O为坐标原点，直线OH为 y轴，建立平面直角坐标系.因为 BD=12， AC=6，所以 OH =9，直线 l的方程为 y=9，点 A， B的纵坐标分别为3，- 3.因为 AB为圆 O的直径， AB=10 ，所以圆 O的方程为 x2+y2=25.从而 A（ 4， 3）， B（- 4， - 3），直线 AB的斜率为3.4因为 PB⊥ AB，所以直线 PB的斜率为 4 ，4 253x直线 PB的方程为y.3 3所以 P（ - 13， 9），PB( 13 4)2(9 3)2 15 .因此道路 PB的长为 15（百米） .（2）①若 P在D 处，取线段 BD上一点 E（ - 4， 0），则 EO=4<5 ，所以 P选在 D处不满足规划要求 .②若 Q在 D处，连结 AD ，由（ 1）知 D（ - 4， 9），又 A（ 4， 3），所以线段 AD：y3x 6( 4剟x 4) . 4在线段 AD 上取点 M（ 3，15），因为 OM3215 232425，4 4所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 . 因此 Q选在 D 处也不满足规划要求.综上， P和 Q均不能选在 D处 .（ 3）先讨论点 P 的位置 .当∠ OBP<90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径，点 P 不符合规划要求；当∠ OBP ≥ 90°时，对线段 PB 上任意一点 F ，OF ≥OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径，点 P 符合规划要求 .设 P 为 l 上一点，且PB AB ，由（ 1）知， P B=15 ，此时 P （ - 13，9）；1 11 1当∠ OBP>90°时，在 △ PPB 1 中， PB PB 115 . 由上可知， d ≥15. 再讨论点 Q 的位置 .由（ 2）知，要使得 QA ≥15，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求 .当 QA=15 时，设Q （ a ，9），由 AQ (a 4) 2 (9 3)215(a 4) ，得a= 4 3 21 ，所以 Q（ 4 3 21， 9），此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 .综上，当 P （ - 13， 9）， Q（ 43 21 ， 9）时， d 最小，此时 P ， Q 两点间的距离PQ 4321 ( 13) 17 3 21.因此， d 最小时， P ， Q 两点间的距离为17 3 21 （百米） .19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（ 1）因为 a b c ，所以 f(x)(x a)( x b)( xc) ( x a)3 ． 因为 f (4) 8 ，所以(4 a)38 ，解得 a 2 ． （2）因为 b c ，所以 f( x)( x a)( x b)2x 3(a 2b)x 2b(2 a b) x ab 2 ，从而 f ' ( x)3( x b)x 2a b．令 f ' ( x) 0 ，得x b 或 x 2a b ．33因为 a, b, 2ab，都在集合{3,1,3} 中，且a b ，3所以2a b1,a 3,b3 ．3此时 f ( x) ( x 3)(x 3)2， f '( x)3(x 3)( x 1) ．令 f ' (x) 0，得x 3 或 x 1 ．列表如下：x ( , 3) 3 ( 3,1) 1(1, )f '( x)+ 0 –0+f ( x)极大值极小值所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 3)(1 3)232 ．（3）因为 a 0, c 1，所以 f (x) x( x b)( x 1) x3(b 1) x2bx ，f ' ( x) 3x22(b 1)x b ．因为 0 b 1 ，所以4(b 1)212b (2 b1)2 3 0 ，则 f ' (x) 有 2个不同的零点，设为x1 , x2x1x2．由 f ' (x) 0，得 x1 b 1 b2 b 1 , x2 b 1 b2 b 1 ．3 3列表如下：x (, x1 )x1x1 , x2x2( x2, )f '( x) + 0–0 +f ( x)极大值极小值所以 f ( x) 的极大值M f x1．解法一：M f x1x13(b 1)x12bx122(b 1)x1 b x1b 1 2 b2 b 1 b(b 1)3x13 9 9 x192 b 2b 1 (b 1) b(b 1) 2 23b b 1279 27b(b 1) 2(b1)2 (b 1) 2 (b(b 1) 1)327 27 27b(b 1) 24．因此M 4 ．27 27 27 27 解法二：因为0 b 1 ，所以 x1(0,1) ．当 x (0,1) 时， f( x)x(x b)( x 1) x( x 1)2．令 g ( x) x(x 1)2 , x (0,1) ，则 g'( x) 3 x1 ( x1) ．31令 g' ( x) 0 ，得 x ．列表如下：3x (0, 1) 1 (1 ,1)3 3 3g' ( x)+ 0 –g ( x)极大值所以当x 1时， g( x) 取得极大值，且是最大值，故g (x)max g1 4 ．3 3 27所以当x (0,1) 时， f(x)4，因此 M4g ( x) ．27 2720．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（ 1）设等比数列{ an } 的公比为 q，所以 a1≠ 0， q≠0.a2a4 a5，得a12 q4a1q4a1 1由4a24a10 a1q2，解得．a34a1q 4a1 0 q 2 因此数列 { a n} 为“ M —数列” .（ 2）①因为1 2 2，所以 b n0 ．S n b n b n 11 2 2由 b11,S1b1 得1 1 b2，则 b2 2 .1 2 2S n b n b n 1，由b n，得2(b n 1b n )S n b n 1当 n 2 时，由 b n S n S n 1，得b nb n b n 1 b n 1b n，2 b n 1b n 2 b n b n 1整理得 b n1b n 1 2bn ．所以数列 { bn} 是首项和公差均为1的等差数列 .因此，数列{ b n} 的通项公式为bn=n n N*.②由①知， bk=k，k N* .因为数列 { cn} 为“M –数列”，设公比为 q，所以c1=1， q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以q k 1k qk，其中k=1 2 3，⋯，m.，，当 k=1时，有 q≥1；当 k=2，3，⋯， m时，有ln k ln q lnk ．k k 1设 f （ x） =ln x1)，则 f '(x)1lnx( xx2．x令 f ' (x) 0 ，得 x=e.列表如下：x (1,e) e(e +∞)，f ' ( x) +0–（f x）极大值因为ln 2ln8ln9 ln 3f ( k) max f (3)ln 32 6 6，所以3．3取 q 3 3 ，当 k=1， 2，3， 4， 5时，lnk ,ln q ，即k q k，k经检验知 q k 1k 也成立．因此所求 m的最大值不小于5．若m≥6，分别取 k=3 ，6，得 3≤q3，且 q5≤6，从而 q15≥ 243，且q15≤ 216，所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于 6.综上，所求 m的最大值为 5．数学Ⅱ ( 附加题 ) 参考答案21．【选做题】A． [选修 4– 2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（ 1）因为 A3 12 ，2所以 A23 1 3 12 2 2 23 3 1 2 3 1 1 2 11 5=3 2 2 2 1 2 =10．2 2 6 （ 2）矩阵 A的特征多项式为f ( )3 1 25 4 .2 2令 f( ) 0 ，解得 A的特征值1 1,2 4.B． [选修 4– 4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（ 1）设极点为 O.在△ OAB 中， A（ 3，）， B（ 2 ，），4 2由余弦定理，得 AB= 32( 2)22 3 2 cos( ) 5 .2 4（ 2）因为直线 l的方程为sin( ) 3 ，4则直线 l过点 (3 2,) ，倾斜角为3．2 4B l的距离为(3 2 2) 3 ) 2 .又 B( 2, ) ，所以点到直线sin(2 4 2C． [选修 4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当 x<0时，原不等式可化为x 1 2 x 2 ，解得 x<–1：3当 0≤x≤1时，原不等式可化为x+1–2x>2，即 x<–1，无解；2当x> 1时，原不等式可化为 x+2 x–1>2 ，解得 x>1.2综上，原不等式的解集为{ x | x 1 或 x 1} .322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分 10分．解：（ 1）因为 (1 x)n C n0C1n x C n2 x2 C n n x n，n 4 ，所以 a2 C n2n(n 1) , a3 C n3n( n 1)(n 2) ，2 6a4C n4n( n1)(n 2)( n3) ．24因为 a322a2 a4，所以 [ n(n1)(n 2)] 2 2 n(n 1) n( n 1)(n 2)(n 3) ，6 2 24解得 n 5．（ 2）由（ 1）知，n 5 ．(1 3) n(1 3) 5C50C15 3 C52( 3)2C53 ( 3)3C54( 3)4C55( 3)5a b 3 ．解法一：因为 a,b N*，所以 a C503C529C5476, b C513C539C5544 ，从而a23b2762 3 44232 ．解法二：(1 3)5C50C15( 3) C52 ( 3)2C53( 3) 3C54( 3)4C55 ( 3)5C50C15 3 C52 ( 3)2C53 ( 3)3C54 ( 3)4C55( 3)5．因为 a,b N*，所以 (1 3) 5 a b 3 ．因此 a23b2( a b 3)( a b 3) (1 3) 5(1 3) 5 ( 2)532 ．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当 n 1时， X 的所有可能取值是 1， 2 ，2 ，5 ．X 的概率分布为P(X 1) 7 7,P(X 2)4 42 2 ，C615 C615P(X 2) 2 2 ,P(X 5) 2 2 ．C6215 C 6215（ 2）设 A(a ，b) 和 B(c ，d ) 是从 M n中取出的两个点．因为 P(X n) 1 P( X n) ，所以仅需考虑X n 的情况．①若 b d ，则AB n ，不存在 X n 的取法；②若 b 0 ，d 1，则AB(a c) 2 1 n21，所以 X n 当且仅当AB n2 1 ，此时 a 0，c n 或 a n，c 0，有 2 种取法；③若 b 0 ，d2，则AB(a c)2 4 n24，因为当 n 3 时，(n 1)2 4 n，所以 X n 当且仅当ABn24，此时 a 0 ，c n 或a n ，c 0 ，有 2 种取法；④若 b 1，d 2 ，则AB(a c) 2 1 n21，所以 X n 当且仅当AB n2 1 ，此时 a 0，c n 或 a n，c 0 ，有 2 种取法．综上，当 X n 时，X的所有可能取值是n2 1 和n2 4 ，且P( X n 21)4,P(X n24)2．C2n2 4 C2n2 4P( X n) 1 P(X n2 1) P( X n24)1 6因此，C2n24 ．。
2019 年高考真题江苏卷数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分）1.已知集合A = {−1,0,1,6}，B = {x|x > 0, x∈R}，则A∩ B = ．【答案】{1,6}【解析】A = {−1,0,1,6}，B = {x|x > 0, x∈ R}，∴A∩ B = {1,6}．2.已知复数(a + 2i)(1 + i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．【答案】2【解析】复数(a + 2i)(1+i)的实部是0，∵(a + 2i)(1+i)= a− 2 + (a + 2)i，∴a− 2 = 0，∴a = 2．3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．【答案】5【解析】执行第一次，S = S + x= 1 , x = 1 ⩾ 4不成立，继续循环，x = x + 1 = 2；2 2执行第二次，S = S + x= 3 , x = 2 ⩾ 4不成立，继续循环，x = x + 1 = 3；2 25执行第三次，S = S + x = 3, x = 3 ⩾ 4不成立，继续循环，x = x + 1 = 4；2 执行第四次，S = S + x= 5, x = 4 ⩾ 4成立，输出S = 5.24.函数y = √7 + 6x − x 2的定义域是．【答案】[−1,7]【解析】 y = √7 + 6x − x 2的定义域，7 + 6x − x 2 ⩾ 0， −(x − 7)(x + 1) ⩾ 0，∴−1 ⩽ x ⩽ 7，定义域为[−1,7]． 故答案为：[−1,7]．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．【答案】5 3【解析】 由题意，该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10= 8，6所以该组数据的方差是1[(6 − 8)2 + (7 − 8)2 + (8 − 8)2 + (8 − 8)2 + (9 − 8)2 +6(10 − 8)2] = 5.36.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为 （结果用数值表示）． 【答案】710【解析】 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n = C 2 = 10． 选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m = C 1C 1 + C 2 = 7，3 2 2则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p = m = 7．n 10故答案为： 7．107.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程b 2是．【答案】 y = ±√2x【解析】 双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4)，b 2∴9 − 16= 1，b 2∴b 2 = 2， ∴双曲线方程x 2 −y 2 = 1，2∴渐近线方程y =±√2x ． 故答案为：y = ±√2x ．8.已知数列{a n }(n ∈ N ∗)是等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 5 + a 8 = 0，S 9 = 27，则S 8的值是 ．【答案】 16【解析】 数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，设公差为d ，a 2a 5 + a 8 = 0，S 9 = 27，(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0∴{ q (a 1+a 1+8d )= 27， 2解得a 1 = −5，d = 2，S 8 = 8(a 1+a 1+7d )2=8(−10+14)2= 16．9.如图，长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E − BCD 的体积是 ．【答案】 10【解析】 因为长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积为120，所以AB ⋅ BC ⋅ CC 1 = 120， 因为E 为CC 1的中点，所以 1，CE = 2 CC 1由长方体的性质知CC 1 ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E − BCD 的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E − BCD 的体积：V = 1 × 13 2 AB ⋅ BC ⋅ CE1 1 1 1= 3 × 2 AB ⋅ BC ⋅ 2 CC 1 = 12 × 120 = 10.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y = x + 距离的最小值是．4(x > 0)上的一个动点，则点P 到直线x + y = 0的 x【答案】 4【解析】 P 是曲线y = x +4 (x > 0)上的一个动点，x则点P 到直线x + y = 0的距离的最小值，设P (x 0 , x 0 + 4 )，x 0|x 0+x 0+ 4|2x 0+ 4P 到直线x + y = 0的距离d =x 0= x 0，设g (x ) = 2x + √2√24(x > 0)，xg ′(x ) = 2 −4x 2= 2x 2−4，x 2令g ′(x ) = 0，则x = √2，∴g (x )在(0, √2)单减，在(√2, +∞)上单增，∴g (x )min = g (√2) = 4√2， ∴d min = 4．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y = ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1)（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ．【答案】(e, 1)【解析】 点A 在曲线y = ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1)，。
2019年江苏卷数学试题版解析版2019年高考江苏卷数学试题1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 .3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 .4．函数y =的定义域是 .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 .15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：样本数据X1,X2，…,X n的方差S2 1 x X 2，其中X - X i •n i 1 n i 1柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的咼.锥体的体积V 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的咼. 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.1 •已知集合A { 1,0,1,6} , B {x|x 0,X R}，则AI B ▲.2•已知复数(a 2i)(1 i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是▲.3•下图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲4•函数y 7 6x x 2的定义域是▲.5.已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是▲.6•从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.27.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2每 1(b 0)经过点(3, 4)，则该双曲线的 b渐近线方程是▲.&已知数列{a n }( n N *)是等差数列，S n 是其前n 项和若a ?a 5 a * 0,S 9 27 ,则S *的 值是 ▲ . A i B i C i D i 的体积是120, E 为CC i 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 ▲x+y=0的距离的最小值是▲.11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是厶9•如图，长方体 ABCDt10.在平面直角坐标系P 到直线12. 如图，在 A ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA , AD 与CE 交于点O .UJU ABEC ，则竺的值是 ▲ AC —14.设f(x), g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f (x)的周期为4, g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当 x (0,2］时，f (x). 1 (x 1) , g(x)k(x 2),0 x 11 , -,1 x2 2其中k>0•若在区间(0, 9］上，关于x 的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k 的 取值范围是▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c .― 2(1) 若 a=3c , b= •• 2 , cosB=，求 c 的值；3…sin A cosB(2) 若，求sin(B -)的值.a 2b216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D , E 分别为BC , AC 的中点，AB=BC . 求证：(1) A 1B 1// 平面 DEC 1； (2) BE 丄 C 1E .UJU UULT 若 AB AC uuu 6AO 13.已知tantan-，则sin 2-的值是 ▲3 417. (本小题满分14分)2 2 2F 2 (1, 0).过F 2作x 轴的垂线I ，在x 轴的上方，I 与圆F 2：(X 1) y 4a 交于点A ，与椭圆C 交于点D •连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E , 连结DF 1. 已知DF 1= 5 .2(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求点E 的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥AB( AB 是圆O 的直径).规划在公路I 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路 PB 、QA .规 划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.已知点 A 、B 到 直线l 的距离分别为 AC 和BD (C 、D 为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位: 百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C:2 x ~~2a2右1(a b 0)的焦点为F (- 4、°),(2) 在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；(3) 对规划要求下，若道路 PB 和QA 的长度均为d (单位：百米)•求当d 最小时，P 、 Q 两点间的距离.19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x)为 f (x )的导函数. (1) 若 a=b=c , f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a 丰b , b=c ,且f (x )和f'(x)的零点均在集合｛ 3,1,3｝中，求f (x )的极小值；4(3)若a 0,0 b, 1,c 1，且f (x )的极大值为M ，求证：M <.2720. (本小满分 16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.*(1)已知等比数列｛a n ｝ (n N )满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4a 4 0 ,求证 澈列｛a n ｝ 为“ M —数列”；① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在“ M —数列” ｛c n ｝(n N *)，对任意正整数k ,当k < m 时, 都有c k 剟b k c k 1成立，求m 的最大值.数学H (附加题)21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步(2)已知数列｛bn ｝满足：011,s n2 b n2bn 1，其中S n 为数列｛b n ｝的前n 项和.骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10 分)已知矩阵A(1 )求 A 2；(2)求矩阵A 的特征值.B. ［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分) 在极坐标系中，已知两点 A 3,— ,B .2,，直线I 的方程为sin -3.4 24(1 )求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线I 的距离. C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域 内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a b.3，其中 a,b N *，求 a 2 3b 2的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,(n,0)}B n (0,1),(n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n A n U B n U C ..从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X 的概率分布;22.(本小题满分10分)设(1 x)na 0 a 1x2a 2xn *a .x , n-4, n N .已知2 a32a 2a 4.(1 )求门的值；(2)设(1 x3)n2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法•每小题5分，共计70分.571.{1,6}2.23.54.[ 1,7]5.-6.—7.y -2x3108.169.10 10.411.(e, 1) 12. 313.- 1 14.-辽 J103 4二、解答题15•本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满分14分. 解：（1）因为a 3c, b3sin A cos B（2）因为a2b由正弦定理ab得 cosBsin B ，所以cosB2s inBsin A sin B 2bb从而 cos 2B (2sinB)2, 2即 cos B 24 1 cos B ，故 cos2B 单516•本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力•满分14分.证明：（1）因为D , E 分别为BC , AC 的中点, 所以 ED // AB. 在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB // A 1B 1, 所以 A 1B 1 // ED.由余弦定理cos B2 2 , 2a c bac(3c)2 c 2 (迈)23c c，即c 2因为 sinB 0，所以 cosB 2sinB0，从而cos BncosB所以c将x=i代入圆F2的方程(x-i) 2+y2=i6，解得y= ± 4.因为点A在x轴上方，所以A(i, 4).又F i(-i , 0)，所以直线AF i：y=2x+2.由；x 2x 2i)2y2i6，得5x26x 11 0 ,解得xii代入2x 2，得i2 T，又因为ED?平面DEC i, A1B1 平面DEC i, 所以A i B i //平面DEC i.(2)因为AB=BC, E为AC的中点，所以BE丄AC.因为三棱柱ABC-A i B i C i是直棱柱，所以CC i丄平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC i丄BE.因为C i C?平面A i ACC i, AC?平面A i ACC i, C i C n AC=C, 所以BE丄平面A i ACC i.因为C i E?平面A i ACC i,所以BE丄C i E.i7.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力满分i4分.解：(i)设椭圆C的焦距为2c.因为F i( —i , 0), F2(i , 0)，所以F i F2=2, c=i.5又因为DF i= , AF2丄x轴，所以2DF2= DF i2 F i F225)2 22因此2a=DF i+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为(2 )解法一:x2由(i)知，椭圆C:—4i , a=2,因为AF2丄x轴，所以点A的横坐标为i.ii因此B （11 J5).又 F 2(1 ,0), 所以直线 BF 2： y|(x1).3“1)y -(x由24 2得7x 26x 13 0 , 解得x1或x 13x y 1743又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以 X 1 .3 33 将 x 1 代入 y —(x 1)，得 y -.因此 E( 1,-).4 22解法二：x 2由（1）知，椭圆C :—4因为 BF 2=2a , EF 1+EF 2=2a ，所以 EF 1=EB , 从而/ BF 1E= / B. 因为 F 2A=F 2B ,所以/ A= / B , 所以/ A= / BF 1E ，从而 EF 1// F 2A.因为AF 2丄x 轴，所以EF 1丄x 轴.X 13 因为 F 1（-1, 0），由 x 2 y 2，得 y -.124 33又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以 y .23因此 E( 1,―).218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法（1）过A 作AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8因为PB 丄AB ,所以 cos PBD sinABE —410 5 .1•如图，连结EF 1.因此道路PB 的长为15 （百米）（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B , E ）到点O 的距离均 小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求 ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知AD .. ―ED^ 10，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求• 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当/ OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当/ OBP > 90时，对线段PB 上任意一点F , OF 俎B ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均 不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求•设R 为I 上一点，且RB AB ，由（1）知，R B=15,3此时 PD PBsin PBD PB cos EBA 15 —9 ;5当/ OBP>90° 时，在△ PPB 中，PB PB 15. 由上可知，d > 15. 再讨论点Q 的位置•由（2 ）知，要使得QA > 15点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求 •当QA=15时,CQ QA 2 AC 2 . 152 62 3、、21 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于所以PBBDcos PBD12a15.从而cos BAD2 2 2AD AB BD2 AD AB7 250 ,所以/ BAD 为锐角.综上，当PB 丄AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=3「21时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ=PD+CD + CQ=17+ 3 21.因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为17+3 21 (百米)• 解法二：(1)如图，过0作0H 丄I ，垂足为H.以0为坐标原点，直线 0H 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12, AC=6，所以0H=9，直线I 的方程为y=9，点A , B 的纵坐标分别为3, -3. 因为AB 为圆0的直径，AB=10，所以圆0的方程为x 2+y 2=25.3从而A ( 4, 3), B (-4, -3)，直线AB 的斜率为—.4因为PB 丄AB ，所以直线PB 的斜率为所以 P (-13, 9), PB ( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB 的长为15 (百米)(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (-4, 0),则EO=4<5，所以P 选在D 处不满足规 划要求• ②若 Q 在 D 处，连结 AD ，由(1)知 D (-4, 9),又 A (4, 3),3所以线段AD : y —x 6( 4剟x 4).4在线段AD 上取点M (3, 15)，因为0M , 321 5. 32 42 5 ,4 V 4所以线段AD 上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求 综上，P 和Q 均不能选在D 处.直线PB 的方程为y253(3)先讨论点P的位置.当/ OBP<90°时，线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规划要求；当/ OBP > 90 °寸，对线段PB上任意一点F , OF RB,即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径，点P符合规划要求•设R 为I上一点，且RB AB，由(1)知，R B=15，此时R (-13, 9);当/ OBP>90°时，在△ PRB 中，PB RB 15.由上可知，d > 15.再讨论点Q的位置•由(2)知，要使得QAM5，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求•当QA=15时，设Q(a, 9),由AQ ,. (a 4)2 (9 3)2 15(a 4)，得a= 4 3一21，所以Q( 4 3 21 ,9)，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P (- 13, 9), Q ( 4 3 21 , 9)时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ 4 3 何(13) 17 3何.因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17 ^21 (百米)•19 •本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力•满分16分.解：(1 )因为a b c,所以 f (x) (x a)(:x b)(x c) (x\3a) •因为f(4)8，所以(4 a)38，解得a 2(2) 因为b c,所以f(x)2(x a)(x b) x 3 2(a 2b)x2b(2a b)x ab ,从而f'(x)3(x b) x-•令f'(x)0 ,得x b或x 2a b332 a b因为a,b,旦卫，都在集合｛ 3,1,3｝中，且a b ,32a b 所以2^-b1,a 3,b 3 •3此时f(x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1) •272 b 2 b1 (b 1)b(b 1) 9令f'(x)x 3或x 1 •列表如下:所以f(x)的极小值为f(l) (1 3)(1 3)2 32 .32(3)因为 a 0,c1，所以 f(x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx ,f'(x) 3x 2 2(b 1)x b .因为 0 b 1，所以 4(b 1)2 12b (2 b 1)2 3 0,则f'(x)有2个不同的零点，设为 x 1,x 2x 2 .由 f'(x) 0，得 x , 口必 L 一b b 1 .33所以的极大值1解法一:b(b 1) 2(b 1)2(b 1)2727M f x-!x ； (b 1)x ： 3x f 2(b1)为 b b(b 1)92b(b 1)2 4 4 •因此M -2727 2727解法二：因为0 b 1，所以x , (0,1) • 当 x (0,1)时，f(x)x(x b)(x 1)x(x 1)2 •2 1令g(x) x(x1)，x W)，则 g '(x)3 x3 (x1)•1令g'(x) 0,得x.列表如下:11 所以当x —时，g ( x)取得极大值，且是最大值，故 g(X )max g —3344所以当x (0,1)时，f(x) g(x) ，因此M -272720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分 解：(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1M 0, q^0.4 2716分.a 2a 4 a 5a 3 4a ? 4a 〔0，得2 4 a 1q2a 〔q4a 1q，解得4®q 4a 1a 1 1 q 2因此数列｛a n ｝为 M —数列”(2) ①因为1 S n2 b n2b n -，所以 1b n1 由—S n2b nb n1，得b n 6 12(b n 1 b n)，1S2J,则b2 2.b22当n 2时，b n bn 1bn 1bn由 b nSn S i 1，得 n 2 b b2 bb，2 bb2 bb整理得b n 1 b n 1 2b n . 所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n =n n N ②由①知，b k =k , k N .因为数列｛c n ｝为M -数列”设公比为q ,所以c i =1, q>0.因为 C k<b k<c k+1，所以 q k 1 kkq ,其中 k=1 , 2, 3，…，m 当k=1时，有q > 1;, ,亠 ln kln k 当k=2, 3，…，m 时，有 -ln qkk 1In x1 In x 设f (x )= (x 1)，则 f'(x)— xx令f'(x)0，得X=e.列表如下:经检验知q k 1 k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m 》6,分别取k=3 , 6,得3角3,且q 5<6从而q 15> 243且q 15< 216 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.数学H (附加题)参考答案f(k)max罟，所以3f ⑶罟取 q 33，当 k=1，2， 3, 4, 5时, ln k ,k=lnq ，即 k q ，10分.321.【选做题】A .［选修4 - 2 :矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分3 1解：(1)因为A2 23 3 1 2 3 1 1 2 11 52 3 2 2 2 1 2 2 ： =10 6(2)矩阵A 的特征多项式为f()令f ( ) 0 ,解得A 的特征值11, 2 4 .B •［选修4 - 4:坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分解：(1 )设极点为 0•在△ OAB 中，A (3,), B (、3 ,),42由余弦定理，得 AB=,. 32( /2)2 2 3 2 cosq J(2)因为直线I 的方程为 sin(-) 3 ,又BC-2—)，所以点B 到直线I 的距离为(3\2.2) sin(3) 242C .［选修4吒：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x< -所以A 23 13 1 2 2 2 210分.4.10分.则直线I 过点 (3-2，-) ，倾斜角为3_42.1当O$w —时，原不等式可化为 x+1 -x>2,即x< 无解;2 1当x>_时，原不等式可化为x+2x-1>2，解得x>1.2综上，原不等式的解集为 {x|x（2）由（1）知，n 5 .a b 、3 .解法一：因为 a,b N *，所以 a C 0 3C 5 9C ； 76, b C 5 3C 5 9C 5 44, 从而 a 2 3b 2 762 3 442 32 .解法二：(1 .3)5 c ； c 5( .3)c 5( .3)2 c ；( .3)3 c ；( G )4 c ：(、3)5c ； c 5,3c fe ，3)2 &(「3)3C ；(.3)4C 5C -3)5.因为 a,b N *，所以(1 、.3)5 a b 、3 . 因此 a 2 3b 2(a b . 3)(a b . 3) (1、、3)5 (1 .3)5 ( 2)5 32 .22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分.解：所以 (1)因为(1 x)n C 0 Qx Ux 2 Lc n x n ,n 4 ,n(n 1)(n 2)a 2a 4C ：c 2 n(n" a C ；cn2 ，a 3Cnn(n 1)(n 2)( n 3)24因为a ； 2a ?a 4，1)(n 2)]2 26解得n 5.n(n 1) 2n(n 1)(n 2)(n 3)24 c 2(.3)2c ；c3）3 c ：（ 一3）4 c ：（、3）5(2)设A(a ,b)和B(c , d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑X n 的情况. ① 若b d ，则AB n ,不存在X n 的取法；② 若 b 0 ,d 1，则 AB , (a c)2 1 、n 2 1,所以 X n 当且仅当 ABn 2 1， 此时a 0, c n 或a n ,c 0，有2种取法；③ 若 b 0,d 2,则 AB (a c)2 4 \ n 2 4 ,因为当 n 3 时，、(n 1)2 4 n ，所以X n 当且仅当AB .... n 2 4 ,此时a 0, c n 或解： (1 )当n 1时，X 的所有可能取值是1,2 ,2,5 •23 .【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识, 考查逻辑思维能力和推理论证能力•满分 10分.X 的概率分布为P (x 1)C 2右P(X ①44 C 215，P(X2)2 C 6215，p (x 2 2 2 C615④若b 1 ,d2，则 AB(a c)21 •一 n2 1 ,所以X n 当且仅当此时a 0, c n 或a n ,c 0，有2种取法•综上，当当Xn 时，X 的所有可能取值是、n 21 和 n 24，且P(Xn 2 1)24，P(Xn 24)2 2C 2n 4C2n 4 1赞P(X n) 1 P(X n 2 1)P(X -n 2 4)c 0，有2种取法;AB因此,2n 4a n , n 2 1 ,。
nnn一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。
本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据 x , x ,…, x 的方差 s 2 = 1 2 n 1 ∑ (x - x )2，其中 x = i i =11 ∑ n i =1x ．i柱体的体积 V = Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 锥体的体积V = 1Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．3．．．．．．．． 1．已知集合 A = {-1,0,1,6} ， B = {x | x > 0, x ∈ R } ，则 A I B =▲ .2．已知复数 (a + 2i)(1 + i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是▲ .4．函数 y = 7 + 6 x - x 2 的定义域是 ▲.5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 ▲.7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 - y 2 b 2= 1(b > 0) 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线uuur uuur uuur uuurAB⋅AC=6A O⋅EC，则的值是▲.=-，则sin 2α+⎪的值是▲.⎛αtan +⎪奇函数.当x∈(0,2]时，f(x)=1-(x-1)2，g(x)=⎨1，其中k>0.若在区⎪⎩2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、方程是▲.8．已知数列{a}(n∈N*)是等差数列，S是其前n项和.若a a+a=0,S=27，则S的值是n n25898▲.9．如图，长方体ABCD-A B C D的体积是120，E为CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是11111▲.10．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若ABAC13．已知tanα2⎛π⎫π⎫3⎝4⎭⎝4⎭14．设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是⎧k(x+2),0<x≤1⎪-,1<x≤2间(0，9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）（2）若sin A在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b216．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分别 = - ，其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和．k +1成立，求 m 的最大值．．．．．为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分 16 分）设函数 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c), a, b , c ∈ R 、 f ' (x) 为 f （x ）的导函数．（1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值；（2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f ' (x) 的零点均在集合{ - 3,1,3}中，求 f （x ）的极小值；（3）若 a = 0,0 < b 1,c = 1 ，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤4 27．20．（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n } (n ∈ N * ) 满足： a 2a 4 = a 5 , a 3 - 4a 2 + 4a 4 = 0 ，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n } (n ∈ N * ) 满足： b 1 = 1, 1 2 2 S b bn n n +1①求数列{b n }的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n } (n ∈ N * ) ，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c 剟b kkc= , x = 1 ≥ 4 不成立，继续循环， x = x + 1 = 2 ；= , x = 2 ≥ 4 不成立，继续循环， x = x + 1 = 3 ；执行第三次， S = S + = 3, x = 3 ≥ 4 不成立，继续循环， x = x + 1 = 4 ；执行第四次， S = S + = 5, x = 4 ≥ 4 成立，输出 S = 5.2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.【答案】{1,6}.【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知， A I B = {1,6} .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 2.【答案】2【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据复数的概念，令实部为 0 即得 a 的值. 【详解】Q (a + 2i)(1+ i) = a + ai + 2i + 2i 2 = a - 2 + (a + 2)i ，令 a - 2 = 0 得 a = 2 .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力.3. 【答案】5【解析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次， S = S + x 12 2执行第二次， S = S + x 32 2 x2 x2【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4.【答案】[－1,7]【解析】由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得 7 + 6 x - x 2 ≥ 0 , 即 x 2 - 6 x - 7 ≤ 0 解得 -1 ≤ x ≤ 7 ，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后 求出它们的解集即可． 5.【答案】53【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 106= 8 ，. ⎪ 2 5S = 9a + d = 272 ⎩⎪ ⎩ d = 22 思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组） 如本题，从已知出发，构建a 1,d 的方程2 . 所以该组数据的方差是 1 [(6 - 8)2 + (7 - 8)2 + (8 - 8)2 + (8 - 8)2 + (9 - 8)2 + (10 - 8)2 ] = 653 .【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 6.【答案】710【解析】先求事件的总数，再求选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 C 2 = 10 种情况. 5若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 C 1C 1 = 6 种情况， 3 2若选出的 2 名学生都是女生，有 C 2 = 1 种情况，26 + 1 7所以所求的概率为 = .10 10【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结 合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环在 处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 7.【答案】 y = ± 2 x【解析】根据条件求 b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得 32 - 42 b 2= 1，解得 b = 2 或 b = - 2 ， 因为 b > 0 ，所以 b = 2 .因为 a = 1 ，所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 2 x .【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分 题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a , b 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线 方程.8.【答案】16【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可.⎧a a + a = (a + d )(a + 4d )+ (a + 7d ) = 081 1 1 【详解】由题意可得： ⎨ 9 ⨯ 89 1，⎧a = -5 8 ⨯ 7解得： ⎨ 1 ，则 S = 8a +8 1d = -40 + 28 ⨯ 2 = 16 .【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程， 组.9.【答案】10【解析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积 【详解】因为长方体 ABCD - A B C D 的体积为 120， 1 1 1 1所以 AB ⋅ BC ⋅ CC 1 = 120 ， 因为 E 为 CC 的中点，11所以 CE = CC ，1由长方体的性质知 CC 1 ⊥ 底面 ABCD ，所以 CE 是三棱锥 E - BCD 的底面 BCD 上的高，3 2 3 2 2 124 . . A (x , y ) ，则 y = ln x .又 y ' = ， x当 x = x 0 时， y ' = x点 A 在曲线 y = ln x 上 切线为 y - y 0 = ( x - x ) ，x即 y - ln x= x - 1 ， 代入点 (-e , -1)，得 -1 - ln x 0= - 1，.1 1 1 1 1 1所以三棱锥 E - BCD 的体积V = ⨯ AB ⋅ BC ⋅ C E = = ⨯ AB ⋅ BC ⋅ CC = 1 ⨯120 = 10 .【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 10.【答案】4【解析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线 小.gR 2 gR 2 平移到与曲线 y = x + 相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 r 2 x r 2的距离最由 y ' = 1 -4 x 2= -1，得 x = 2( - 2舍) ， y = 3 2 ，即切点 Q( 2,3 2) ，则切点 Q 到直线gR 2 r 2的距离为 2 + 3 2 12 + 12 = 4 ，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养采取 导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 11.【答案】(e,1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标【详解】设点0 0 0 011，1 00 x 的 0-e x即 x 0 ln x 0 = e ，考查函数 H (x ) = x ln x ，当 x ∈ (0,1)时， H (x ) < 0 ，当 x ∈(1,+∞)时， H (x ) > 0 ， 且 H ' (x ) = ln x + 1 ，当 x > 1 时， H ' (x ) > 0, H (x )单调递增， 注意到 H (e ) = e ，故 x 0 ln x 0 = e 存在唯一的实数根 x 0 = e ，此时 y 0 = 1 ，故点 A 的坐标为 A (e ,1).【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的 切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 12.【答案】 3【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值 【详解】如图，过点 D 作 DF //CE ，交 AB 于点 F ，由 BE =2EA ，D 为 BC 中点，知 BF =FE =EA,AO =OD .3 uuur uuur ( ) ( )()3 (uuu uuur )⎛ uuur 1 uuur ⎫ 3 ⎛ uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur uuur ⎫AB + AC g AC - AB ⎪ = AB g AC - AB + AC - AB g AC ⎪ =3 ⎛ 2 uuu uuur 1 uuur 2 uuur ⎫ uuur uuur 1 uuur 3 uuur 2 uuur uuur AB g AC - AB + AC ⎪ = AB g AC - AB + AC = AB g AC ， = 1 uuur 2 3 uuur 2 AB 3 3 3 π ⎫tan α + 1 tan α + 1 3 ， tan α + ⎪sin 2α + ⎪ = sin 2α cos + cos 2α sintan α (1 - tan α ) 2(sin 2α + cos 2α )= 2 2 ⎝ sin 2 α + cos 2 α ⎭2 ⎝ tan 2 α + 1 ⎭=； 2 ⨯ - ⎪ + 1 - - ⎪ ⎪ - ⎪ + 1 ⎪ 2 时，上式= 2 ⎝ 3 ⎭ π ⎫ 2 = .4 ⎭ 10⎛.uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 6 A O g EC = 3 A D g AC - AE = AB + AC g AC - AE 2 2 2 ⎝ ⎭ 2 ⎝ ⎭ 2 22 ⎝3 3 ⎭2 2 uuuruuur 得 AB = AC , 即 AB = 3 AC , 故= 3 . 2 2 AC【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13.【答案】210【解析】由题意首先求得 tan α 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为 齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.tan αtan α 2= = =- 【详解】由 ⎛ ⎝4 ⎭ 1 - tan α 得 3tan 2α - 5tan α - 2 = 0 ，1解得 tan α = 2 ，或 tan α = - .3⎛ π ⎫ π π⎝4 ⎭ 4 4 ==2 ⎛ 2sin α cos α + cos 2 α - sin 2 α ⎫ ⎪2 ⎛ 2 tan α + 1 - tan 2 α ⎫ ⎪ ，2 ⎛ 2 ⨯ 2 + 1 - 22 ⎫ 2当 tan α = 2 时，上式 = ⎪ 2 ⎝ 22 + 1 ⎭ 10⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫2 ⎫ 当 tan α = - 1 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎪= 2 . 3 ⎛ 1 ⎫2⎪ 10⎝ ⎭综上， sin 2α + ⎝⎪【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 采取转化法，利用分类 讨论和转化与化归思想解题.3 4 ⎭⎪ 0）g ( x ) 的图象有 6 个交点，此时1 = 3k ，得 k = .f ( x) =g ( x) 在(0,9]上有 8 个实根的 k 的取值范围为 ⎢ ， ⎪⎪ . . 15.【答案】（1） c =3sin( B + ) 的值.=⎡ 1 2 ⎫14.【答案】 ⎢ , ⎪⎣【解析】分别考查函数 f (x )和函数 g (x )图像的性质，考查临界条件确定 k 的取值范围即可. 【详解】当 x ∈ ( 0,2 ] 时， f ( x ) = 1 - (x -1)2, 即 (x - 1)2 + y 2 = 1, y ≥ 0.又 f ( x ) 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象，要使f ( x ) =g ( x ) 在(0,9]上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可.当 g( x) = - 12时，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有 2 个交点；当 g( x ) = k ( x + 2) 时， g ( x ) 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有 6 个交点.当 f ( x ) 与 g ( x ) 图象相切时，圆心（1， 到直线 kx - y + 2k = 0 的距离为 1，即 k + 2k1 + k2 = 1 ， 得 k =2 4，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有 3 个交点；当g( x ) = k ( x + 2) 过点（1,1）时，函数 f ( x ) 与1 3综上可知，满足⎡ 1 2 ⎫ ⎣ 3 4 ⎭【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大 不能正确画出函数图 象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从 而确定参数的取值范围. 二、解答题2 5；（2） 3 5.【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得π2【详解】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 2 3，a 2 + c 2 -b 2 2 (3c)2 +c 2 - ( 2) 21 由余弦定理 cos B = ，得 = ，即 c2 = .2ac 3 2 ⨯ 3c ⨯ c3 所以 c = 3 3.sin A cos B（2）因为 ， a 2b=()从而cos2B=(2sin B)2，即cos2B=41-cos2B，故cos2B=.因此sin B+⎪=cos B=⎫.（又因为DF1=5，AF2⊥x轴，所以DF2=DF2-F F2=()2-22=，222由正弦定理a b cos B sin B=，得，所以cos B=2sin B.sin A sin B2b b45因为sin B>0，所以cos B=2sin B>0，从而cos B=⎛π25.⎝2⎭525 5.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.【答案】（1）x2y23+=1；2）E(-1,-). 432【解析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立1直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.53112因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.⎪⎩ (x - 1)2+ y 2 = 16 ，得 5 x 2 + 6 x - 11 = 0 ，将 x =- 代入 y = 2 x + 2 ，得 y = - ，因此 B(- , - ) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2： y = ( x - 1) . ⎪⎪ 4 13 x 2 y 2 7 + = 1 由（1）知，椭圆 C ： + = 1 .如图，连结 EF 1.⎩ 2x 2 y 2因此，椭圆 C 的标准方程为 + = 1 .4 3（2）解法一：x 2 y 2 由（1）知，椭圆 C ：+= 1 ，a =2，43因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x =1 代入圆 F 2 的方程(x-1) 2+y 2=16，解得 y =±4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F 1(-1，0)，所以直线 AF 1：y =2x+2.⎧⎪ y = 2 x + 2由 ⎨11解得 x = 1 或 x = - .511 125 511 12 3 5 5 4 ⎧3 y = ( x - 1)由 ⎨ ，得 7 x 2 - 6 x - 13 = 0 ，解得 x = -1 或 x = ⎪ ⎪ 43 又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x = -1 .3 33 将 x = -1 代入 y = ( x - 1) ，得 y = - .因此 E (-1,- ) .4 2解法二：x 2 y 24 3.因为F1(-1，0)，由⎨x2y2，得y=±.⎪+.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.⎧x=-1⎪3=12⎩43又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y=-32.3因此E(-1,-).2【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力18.【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解：解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD=sin∠ABE=84=.105所以PB=BD12==15cos∠PBD4.5因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD=AE2+ED2=10，AD2+AB2-BD27从而cos∠BAD==>0，所以∠BAD为锐角.2A D⋅AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.51⊥AB，由（1）知，P在线段AD上取点M（3，），因为OM=32+ ⎪<32+42=5，⎝4⎭当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且PB1B=15，3此时PD=PB sin∠PBD=PB cos∠EBA=15⨯=9；1111当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB>PB=15.11由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为34.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为-425直线PB的方程为y=-x-.3343，所以P（−13，9），PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），3所以线段AD：y=-x+6(-4≤x≤4).415⎛15⎫24所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.因为 0 < b ≤ 1 ，所以 x ∈ (0,1) ．令 g ( x ) = x( x - 1)2, x ∈ (0,1) ，则 g' ( x) = 3 x - ⎪ ( x - 1) ．1 11(0, +所以当 x = 时， g ( x ) 取得极大值，且是最大值，故 g ( x ) max = g ⎪= 当∠OBP ≥90°时，对线段 PB 上任意一点 F ，OF ≥OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不小于 圆 O 的半径，点 P 符合规划要求.设 P 1为 l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B = 15 ，此时 P (-13,9)； 当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .11由上可知，d ≥15. 再讨论点 Q 的位置.由（2）知，要使得 QA≥15，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA =15 时，设 Q （a ，9），由 AQ =(a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得 a = 4 + 3 21 ，所以 Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.综上，当 P （−13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时 P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 19.【答案】（1） a = 2 ；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值；（2）由题意首先确定 a,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函 数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，1当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) = x( x - b )( x - 1) ≤ x( x - 1)2 ．⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭令 g' ( x ) = 0 ，得 x = 1．列表如下：3x1) 31 3( 1 ,1) 3g' ( x )–g ( x )↗ 极大值↘1 ⎛ 1 ⎫4 3⎝ 3 ⎭274 4 所以当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ ，因此 M ≤ ．27 27【详解】（1）因为 a = b = c ，所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c) = ( x - a)3 ． 因为 f (4) = 8 ，所以 (4 - a)3 = 8 ，解得 a = 2 ． （2）因为 b = c ，．从而 f ' ( x) = 3(x - b ) x - ⎪ ．令 f ' (x) = 0 ，得 x =b 或 x =3 3 b + 1 ⎫ 2 b 2 - b + 1) ( = (3x 2 - 2(b + 1)x + b ) 1 - ⎛ x b (b + 1) - x +⎝ 39 ⎭ 9 9 ⎪3 所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )2 = x 3 - (a + 2b ) x 2 + b (2a + b ) x - ab 2 ，⎛ ⎝2a + b ⎫ 2a + b3 ⎭ 3 ． 因为 a, b ,2a + b 3，都在集合{-3,1,3}中，且 a ≠ b ， 所以2a + b 3= 1,a = 3, b = -3 ．此时 f ( x ) = ( x - 3)(x + 3)2 ， f ' ( x ) = 3( x + 3)( x - 1) ． 令 f ' (x) = 0 ，得 x = -3 或 x = 1 ．列表如下：xf ( x )(－∞,－3)+↗－3极大值(－3,1)–↘1极小值(1,+∞)+↗所以 f ( x ) 的极小值为 f (1) = (1- 3)(1+ 3)2 = -32 ．（3）因为 a = 0, c = 1，所以 f ( x ) = x( x - b )( x - 1) = x 3 - (b + 1)x 2 + bx ，f ' ( x ) = 3x 2 - 2(b + 1)x + b ．因为 0 < b ≤ 1 ，所以 ∆ = 4(b + 1)2 - 12b = (2b - 1)2 + 3 > 0 ，则有 2 个不同的零点，设为 x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) ．由 f ' (x) = 0 ，得 x = 1列表如下：b + 1 - b2 - b + 1 b + 1 + b 2 - b + 1 , x =2．xf ( x )(-∞, x )1+↗x1极大值(x , x )1 2–↘x2极小值( x , +∞ )2+↗所以 f ( x ) 的极大值 M = f (x )． 1解法一：M = f (x ) = x 3 - (b + 1)x 2 + bx11111 1 1 -2 (b 2 - b + 1)(b + 1) b (b + 1) 2 ()= + + b 2 - b + 127 9 27b (b + 1) 2(b - 1)2 (b + 1) 2 = - + ( b (b - 1) + 1)327 27 27 b (b + 1) 2 4 4 ≤ + ≤ ．因此 M ≤ ．27 27 27 27解法二：因为 0 < b ≤ 1 ，所以 x ∈ (0,1) ．令 g ( x ) = x( x - 1)2, x ∈ (0,1) ，则 g' ( x) = 3 x - ⎪ ( x - 1) ．(0, +所以当 x = 时， g ( x ) 取得极大值，且是最大值，故 g ( x )= g ⎪= ．3⎝ 3 ⎭ 27所以当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ ，因此 M ≤ ．，解得 ⎨ 1 由 ⎨ ，得 ⎨ ．⎩ q = 2⎩ 3 ⎩ 1 （2）①因为 ，所以 b ≠ 0 ．由 1 b = 1, S = b 得 = - ，则 b = 2 .由，得n，当 n ≥ 2 时，由 b n = S n - S n -1 ，得 n 2 (b - b ) 2 (b n --1 b n ) ，( )n n +11当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) = x( x - b )( x - 1) ≤ x( x - 1)2 ．⎛1 ⎫ ⎝3 ⎭令 g' ( x ) = 0 ，得 x = 1．列表如下：3x1) 31 3( 1 ,1) 3g' ( x )–g ( x )↗ 极大值↘1 ⎛ 1 ⎫ 4 max4 4 27 27【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.【答案】（1）见解析；（2）①b n =n (n ∈ N *)；②5. 【解析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定 b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为 q ，所以 a 1≠0，q ≠0.⎧a a = a ⎧a 2q 4 = a q 4 ⎧a = 1 2 4 51 1 a - 4a + 4a = 0 a q2 - 4a q + 4a = 02 1 1 1因此数列{a n } 为“M —数列”.1 22 = -S b bn n n n +11 2 2 1 1 1 1 b2 21 22 b b = - S =n n +1 S b b 2(b - b )n n n +1 n +1 n b b b b b = -n +1 n n n -1整理得 b n +1 + b n -1 = 2b n ．所以数列{b n }是首项和公差均为 1 的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为 b n =n n ∈ N * .②由①知，b k =k ， k ∈ N * .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为 q ，所以 c 1=1，q >0.因为 c k ≤b k ≤c k +1，所以 q k -1 ≤ k ≤ q k ，其中 k =1，2，3，…，m . 当 k =1 时，有 q ≥1；(x>1)，则f'(x)=max=f(3)=21.【答案】（1）⎢⎥；（2）λ1=1,λ2=4.【详解】（1）因为A=⎢⎥，.A2=⎢⎣⎦⎣2⨯3+2⨯22⨯1+2⨯2⎥⎦⎢⎣106⎥⎦f(λ)=λ-3【详解】（1）设极点为O在△.OAB中，A（3，π当k=2，3，…，m时，有ln k ln k≤ln q≤．k k-1ln x1-ln x设f（x）=．x x2令f'(x)=0，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+∞)f'(x) f（x）+↗极大值–↘因为ln2ln8ln9ln3ln3 =<=，所以f(k)26633．取q=33，当k=1，2，3，4，5时，ln kk≤ln q，即k≤q k，经检验知q k-1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)⎡115⎤⎣106⎦【解析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A2的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可⎡31⎤⎣22⎦所以⎡3⎣21⎤⎡31⎤2⎥⎦⎢22⎥⎡3⨯3+1⨯2 =⎢3⨯1+1⨯2⎤⎡115⎤=．（2）矩阵A的特征多项式为-1-2λ-2=λ2-5λ+4.令f(λ)=0，解得A的特征值λ1=1,λ2=4.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.【答案】（1）5；（2）2.【解析】(1)由题意，在△OAB中，利用余弦定理求解AB的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B 到直线l的距离.π），B（2，），42- ) = 5 .23.【答案】{x | x < - 或x > 1} ..综上，原不等式的解集为 {x | x < - 或x > 1} .()52 624 ]2 = 2 ⨯ ⨯由余弦定理，得 AB = 32+ ( 2) 2- 2 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ cos( π π2 4（2）因为直线 l 的方程为 ρ sin(θ + π4) = 3 ，π 3π则直线 l 过点 (3 2, ) ，倾斜角为 ．2 4π 3π π又 B( 2, ) ，所以点 B 到直线 l 的距离为 (3 2 - 2) ⨯ sin( - ) = 2 .2 4 2【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．13【解析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集 1【详解】当 x <0 时，原不等式可化为 - x + 1 - 2 x > 2 ，解得 x <– ：3 当 0≤x ≤ 1 2时，原不等式可化为 x +1–2x >2，即 x <–1，无解；当 x > 1 2时，原不等式可化为 x +2x –1>2，解得 x>1.13【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】24.【答案】（1） n = 5 ；（2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定 a 2 , a 3 , a 4 的值，然后求解关于 n 的方程可得 n 的值； (2)解法一：利用(1)中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得 a,b 的值，然后计算 a 2 - 3b 2 的值 即可；解法二：利用(1)中求得的 n 的值，由题意得到 1 - 3的展开式，最后结合平方差公式即可确定a 2 - 3b 2 的值.【详解】（1）因为 (1+ x)n = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n ，n ≥ 4 ，nnnnn (n - 1) n (n - 1)(n - 2)所以 a = C 2 = , a = C 3 = ，2 n3 n n (n - 1)(n - 2)(n - 3)a = C 4 = ． 4 n因为 a 2 = 2a a ，3 2 4n (n - 1)(n - 2) n (n - 1) n (n - 1)(n - 2)(n - 3)所以 [ ，6 2 24解得 n = 5 ．（2）由（1）知， n = 5 ． (1+ 3) n = (1+ 3) 5= C 0 + C 1 3 + C 2 ( 3)2 + C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 + C 5 ( 3)5 555555= a + b 3 ．解法一：因为 a, b ∈ N *，所以 a = C 0 + 3C 2 + 9C 4 = 76, b = C 1 + 3C 3 + 9C 5 = 44 ， 555555从而 a 2 - 3b 2 = 762 - 3 ⨯ 442 = -32 ．X 的概率分布为 P( X = 1) = = , P( X = 2) = = ，. 2 b d d d因此， P( X ≤ n) = 1 - P( X = n 2+ 1) - P( X = n 2+ 4) = 1 - 6．解法二：(1- 3)5 = C 0 + C 1 (- 3) + C 2 (- 3) 2 + C 3 (- 3)3 + C 4 (- 3) 4 + C 5 (- 3)5 5 5 5 555= C 0 - C 1 3 + C 2 ( 3)2 - C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3) 4 - C 5 ( 3)5 ．5 5 5 5 5 5因为 a, b ∈ N *，所以 (1- 3) 5 = a - b 3 ．因此 a 2 - 3b 2 = (a + b 3)( a - b 3) = (1+ 3) 5 ⨯ (1- 3) 5 = (-2) 5 = -32 ．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力 25.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意首先确定 X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确 定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解 P ( X > n )的值，据此分类讨论①. b = d ，②. b = 0, d = 1 ， ③. b = 0, d = 2 ，④. b = 1,d = 2 四种情况确定 X 满足 X > n 的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定 P ( X ≤ n ) 的值.【详解】（1）当 n = 1 时，X 的所有可能取值是1， 2 ， ， 5 ．7 7 4 4C 2 15 C 2 15 662 2 2 2P( X = 2) = = , P( X = 5) = = ．C 2 15 C 2 15 6 6 （2）设 A(a ，) 和 B (c ，d ) 是从 M n 中取出的两个点．因为 P( X ≤ n) = 1 - P( X > n) ，所以仅需考虑 X > n 的情况．①若 b = d ，则 AB ≤ n ，不存在 X > n 的取法；②若 b = 0 ， = 1 ，则 AB = (a - c)2 + 1 ≤ n 2 + 1 ，所以 X > n 当且仅当 AB = n 2 + 1 ，此时a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；③若 b = 0 ， = 2 ，则 AB = (a - c)2 + 4 ≤ n 2 + 4 ，因为当 n ≥ 3 时， (n - 1)2 + 4 ≤ n ，所以X > n 当且仅当 AB = n 2 + 4 ，此时 a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；④若 b = 1，= 2 ，则 AB = (a - c)2 + 1 ≤ n 2 + 1 ，所以 X > n 当且仅当 AB = n 2 + 1 ，此时a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法．综上，当 X > n 时，X 的所有可能取值是 n 2 +1 和 n 2 + 4 ，且P( X = n 2 + 1) = 4 , P( X = n 2 + 4) = 2 ． C 2 C 22n +42n +4C 2 2n +4【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能 力和推理论证能力．。
2019年江苏省高考数学试卷（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2.已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4.函数y＝的定义域是﹣．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8.已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13.已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14.设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题（共11小题）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．21.已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．22.在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．23.设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．24.设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷（解析版）参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【知识点】交集及其运算2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【知识点】程序框图4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【知识点】函数的定义域及其求法5.【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【知识点】极差、方差与标准差6.【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【知识点】双曲线的标准方程8.【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝8×（﹣5）+56＝16．故答案为：16．【知识点】等差数列的前n项和9.【分析】推导出＝AB×BC×DD 1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程11.【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程12.【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律13.【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值14.【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【知识点】分段函数的应用二、解答题（共11小题）15.【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【知识点】余弦定理、三角函数的恒等变换及化简求值16.【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【知识点】直线与平面平行的判定、棱柱的结构特征17.【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【知识点】椭圆的简单性质18.【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【知识点】直线和圆的方程的应用19.【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【知识点】利用导数研究函数的极值20.【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤q k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递减，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≥0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【知识点】数列与不等式的综合21.【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【知识点】二阶矩阵、特征值与特征向量的计算22.【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【知识点】极坐标刻画点的位置23.【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【知识点】绝对值不等式的解法24.【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【知识点】二项式定理25.【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【知识点】古典概型及其概率计算公式。
2019年江苏高考数学真题及答案注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数276y x x =+-的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲. 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)fx x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.y =8.16 9.10 10.411.(e, 1)14.13⎡⎢⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此π25 sin cos25B B⎛⎫+==⎪⎝⎭.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=222211253()222DF F F-=-=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为221 43x y+=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143x y+=，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM ==，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=--⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x +++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下： 所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
江苏省2019年高考数学卷第17题【探源·解析·品赏】
【2019年全国高考数学 江苏卷。
17】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？ （2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
【解析】：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。
满分14分
设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得
.
300),30(22260,2<<-=-==x x x
h x a
（1）
,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.
（2）)20(26),30(22232x x V x x h a V -='+-==
由00=='x V 得（舍）或x=20.
当)20,0(∈x 时，.0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当
所以当x=20时，V 取得极大值，也是最大值. 此时2
1=a h 即包装盒的高与底面边长的比值为1.2
【探源1】苏教版高中数学 必修一（2019年版）第93页复习题4
2)220(y x x -=)100(<<x 【探源2】（菁品试题）
在长、宽分别为acm 、bcm 的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为xcm 的小正方形，再把它折成一个无盖的小盒子，则这个盒子的容积用代数式表示是
【答案 】（a-2x ）（b-2x ）x
再做延伸：试问x 应取何值容积最大？请读者不妨一试. 这样一来，本题可以考查导数在实际问题中的应用，先建立函数解析式，确定定义域，然后利用导数求最值，和2019年高考数学江苏卷第17题 类似：
【探源3】
【2019年高考预测试卷----立体几何】如图，在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
【解析】: 设容器的高为x ．则容器底面正三角形的边长为x a 32-,
)32)(32(3434143)320()32(43)(2x a x a x a x x a x x V --⋅⋅⋅=<<-⋅⋅=∴
54
)3323234(16133a x a x a x =-+-+≤ 当且仅当 .54
,183,32343max a V a x x a x ==-=时即 故当容器的高为 a 183 时，容器的容积最大，其最大容积为 .54
3a
由于目标函数是关于x 的三次函数的最值问题，因此用导数求解最方便（对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的），本题使用的方法是三元均值不等式。
另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关
【探源4】
【题目】2002年全国高考数学文科第22题: (I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,井作简要说明;（II）
类似的问题是:
某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）。
【品赏】我们可以从三个方面品赏这道题目：
1.知识点的覆盖上：本应用题（第17题）以立体图形为模型，考查了函数的概念与性质、导数等基础知识，同时也考查了数学建模能力、空间想象能力，数学的阅读与应用能力。
考查的知识点有：函数模型的建立，函数定义域的确定，简单几何体侧面积与体积公式及有关计算，导数在实际问题中的应用。
本题覆盖了函数、立体几何、不等式、导数等四个章节的内容，综合性之强，覆盖面之大实属鲜见，从而看出，2019年全国高考数学江苏卷命题人匠心独具，用心良苦。
2.题目的取材上：今年试卷在解答题部分有一道是设计一个包装盒的实际问题的应用题.充分体现了试题来源于生活，服务于生活，源于教材，高于教材，有所创新，体现了数学学以致用的宗旨。
本题入口宽，紧密联系生活实际，培养学生对数学的应用意识，让他们体会到数学的工具性作用，这样，学生在学习中建构的是可以应用的、灵活的、实用的知识，当学生理解了一个数学知识，又能自觉主动地从数学的角度探索这一知识在实际中的应用价值，可以形成良性循环，他们将受用终身。
3.试题的设计上：加强应用意识，体现现实联系。
本题考查的是设计一个包装盒的实际问题，
重点考查考生对现实问题的数学理解。
本题将基础知识、方法、能力和数学素养的考查融为一体。
使每一位考生的能力尽显出来，使高考的选拔功能得以实现。
在解题过程中，可将包装盒的高，底面边长分步求解，然后做到侧面积与容积的分步列式，争取分步得分。
在细节处理上，自变量的取值范围有没有考虑，第二问求导后对函数单调性的描述是否到位，这些细节都可能成为阅卷过程中的重要失分点。
还能考查考生的思维品质——思维的逻辑性和严密性。
看到本题，不难联想到2002年全国高考数学文科卷第22题及苏教版《高中数学必修一》（2019年版）第93页复习题4。
高考试题中，好题不胜枚举，俯拾皆是，它们像一颗颗璀璨的珍珠在数学题海中闪闪发光。
本题给我们的启示：（1）高考复习一定要狠抓基础知识、基本技能，紧扣教材并充分利用（2）在公式、法则的教学中一定要重视思维训练及能力培养，挖掘并利用公式、法则中的思维教育价值，弄清来龙去脉及表达与交流。
（3）组织习题训练一定要讲究实效，不能贪多求快，注意练习进程，区分异同，认真对比小结，合理规范书写。
【作者姓名】李春龙
【作者单位】225001---江苏省扬州市第一中学。
