当前位置：文档之家 › 信号与系统第九章

信号与系统第九章

  • 格式：ppt
  • 大小：2.22 MB
  • 文档页数：69

下载文档原格式

  / 69

合集下载

第9章 系统的信号流图

第9章 系统的信号流图
x ( n)
x ( n)
w(n)
b0 b1
y ( n)
z 1
b1
a1 a2
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1
通过加入变量w(n)，计算该系统的系统函数，可以得出与原系统相同的结 果 由以上例题可见，一个系统可以由不同的网络结构实现，在选择不同的 网络结构时，我们需要权衡考虑诸多方面的因素，最主要的就是数字计算的 复杂程度和硬件实现的花销。一般最希望网络中乘法器和延时支路尽可能少 ，这是因为乘法运算花费的时间较长，减少乘法器意味着提高运算速度，而 一个延时单元就相当于采用一个寄存器，减少延时单元就意味着减少存储电 路。另一方面，在用硬件实现数字滤波器时，有限寄存器长度(有限计算精 度)和滤波器结构关系密切，所以有时候希望选用对有限字长效应的影响敏 感度较低的网络结构，而宁愿舍弃乘法器和延时单元少的结构。下面我们将 介绍一些常用的网络形式，对IIR系统和FIR系统分开讨论。
H ( z ) n 0 h( n) z n
N 1
如果FIR的冲激响应长度为N，那么H(Z)就是Z-1的N-1次多项式，在z=0处有一 个N-1阶的极点，并有N-1个零点。FIR的实现结构也有多种形式，下面介绍其最 重要的几种网络结构
1、直接形式 N 1 n 若FIR的系统函数为 ，则相应的差分方程为 ， H ( z) h ( n ) z n 0 该式我们通常称为卷积和公式，由此，我们可得如下直接形式的网络结构。 N 1
b 1 az 1
则其信号流图如下
x ( n)
将其转置后有
y ( n) y ( n)
b
再按输入在左输出在右的习 惯可以画成
x ( n)
b
x ( n)

[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换

[学习]王忠仁信号与系统第九章拉普拉斯变换
系统是因果性的 H(s)的收敛域位于最右边
极点的右边的右半平面。 b）如果H（s）是有理的并且是一个因果系统的系 统函数，那么
系统是稳定的 j 轴在收敛域内
X s s j F x t
例9.1：
x1 t eatu t
(a为任意实数或者复数)
不稳定： ·无傅里叶变换 ·有拉普拉斯变换
X1
s
eatu
t
estdt
esat dt
0
1 esat sa
0
s
1
a
e s a
1
只在 Re s a 0的时候收敛，换句话说就是 Re s Re a
X1
s
s
1
a
,
R1 e4s4 2 4R4e3a
收敛域
例9.2
x2 t -eatu -t
X2 s
eatu -t estdt
0 esat dt
1 esat sa
0
s
1
a
1
esa
只在 Res a 0时收敛，换句话说 Re s Re aX2s Nhomakorabeas
1
a
, R1 e4s4 2 4R4e3a跟X1 s一样，但是不同收敛域
2 3
et
5 3
e2t
u
t
当t -发散
ROCⅡ：双边信号，有傅里叶变换
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
u
t
5 3
e2t
u
t
0 (当t )
ROCⅢ：右边信号
xt Aetu t Be2tu t
2 3
et
5 3
e2t

《信号与系统》第九章习题解答

《信号与系统》第九章习题解答

shown in Figure 1. (a) Determine the system function of the system, is this system causal? (b) Determine the unit impulse response of this system. (c) If the input is x ( t ) = u ( − t ) , determine the output y ( t ) . (d) Draw a block diagram representation of this system.
17
Chapter 9
例：某连续时间 LTI 系统的系统函数为 H ( s ) =
Problem Solution
s +1 为常数。 ，其中 a, b 为常数。已知系统函 2 s + as + b
t
数 在 s = −2 有 一 个 极 点 ， 且 输 入 为 x ( t ) = e , − ∞ < t < +∞ 时 ， 系 统 的 输 出
Problem Solution
y′′(t ) − y′(t ) − 2 y (t ) = x(t )
(b) Determine h(t ) for each of the following cases: −1/ 3 1/ 3 1 1 H (s ) = 2 = = + s − s − 2 (s + 1)(s − 2 ) s + 1 s − 2 1. The system is stable. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) − e u (− t ) − 1 < Re{s} < 2 3 3 2. The system is causal. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) + e u (t ) Re{s} > 2 3 3 3. The system is neither stable nor causal.

信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换

信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换

其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。

(信息与通信)第九章时分多址TDMA

(信息与通信)第九章时分多址TDMA

移动通信系统中的TDMA技术
移动通信系统概述
移动通信系统是利用无线电波传输信息的通信方式，广泛应用于手机、车载电话等移动终 端。
TDMA在移动通信系统中的应用
TDMA是一种时分复用技术，它将一个信道分为多个时隙，通过时隙的分配实现对多个用 户的同时服务。在移动通信系统中，TDMA技术主要用于数字蜂窝移动通信系统，如欧洲 的GSM系统。
案例分析
以GSM系统为例，TDMA技术通过将时间轴划分为多个时隙，实现了对语音和数据业务 的复用，提高了频谱利用率和系统容量。
卫星通信系统中的TDMA技术
01
卫星通信系统概述
卫星通信系统是利用人造地球卫星作为中继站实现地球站之间通信的通
信方式。
02 03
TDMA在卫星通信系统中的应用
在卫星通信系统中，TDMA技术主要用于多址接入，允许多个地球站共 享卫星信道。通过分配不同的时隙给不同的地球站，可以实现多个地球 站同时通信。
信道分配可以根据业务需求动态调整， 以满足不同用户的数据传输需求。通 过合理的信道分配，可以提高TDMA 系统的频谱利用率和数据传输效率。
03 TDMA系统的关键技术
定时与同步
定时同步
TDMA系统中的定时同步是确保 各用户信号在时间上对齐的关键 技术，通过提取时间基准信号， 使各用户信号在时间上保持一致 。
TDMA与其他多址技术的结合
TDMA与CDMA结合
将TDMA和CDMA技术相结合，实现更灵活和 高效的多址接入。
TDMA与OFDMA结合
将TDMA和OFDMA技术相结合，实现频谱资源 的更灵活分配和高效利用。
TDMA与MIMO结合
将TDMA和MIMO技术相结合，提高信号传输的可靠性和传输速率。

信号与线性系统分析(基于MATLAB的方法与实现)第九章

信号与线性系统分析(基于MATLAB的方法与实现)第九章

已知周期半波余弦信号与周期全波余弦信号的波形如图所示,用MATLAB编程求出它的傅立叶系数,绘出其直流、一次、二次、三次、四次及五次谐波叠加后的波形图,并将其与原周期信号的时域波形进行比较,观察周期信号的分解与合成过程。

% dm09101% 观察周期方波信号的分解与合成% m:傅里叶级数展开的项数display('Please input the value of m (傅里叶级数展开的项数)'); % 在命令窗口显示提示信息m = input('m = '); % 键盘输入傅里叶级数展开的项数t = -2*pi:0、01:2*pi; % 时域波形的时间范围-2π~2π,采样间隔0、01n = round(length(t)/4); % 根据周期方波信号的周期,计算1/2周期的数据点数f = cos(t)、*(t<(-3*pi/2))+cos(t)、*((t>(-pi/2))&(t<(pi/2)))+cos(t)、*(t>3*pi/2); %构造周期方波信号y = zeros(m+1,max(size(t)));y(m+1,:) = f';figure(1);plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2); %绘制方波信号grid; %在图形中加入栅格axis([-2 2 -0、5 1、5]); %指定图形显示的横坐标范围与纵坐标范围title('周期信号'); %给显示的图形加上标题xlabel('单位pi','Fontsize', 8); %显示横坐标单位x = zeros(size(t));kk = '直流分量';pause;k=1;x = x+1/pi;y(1,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(1,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'与第',num2str(k));pause;k=k+1;x = x+0、5、*cos(t);y(2,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(2,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk,'次谐波叠加'));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'、',num2str(k));pause;x = x+2/(3、*pi)、*cos(2、*t);y(3,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(3,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk,'次谐波叠加'));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'、',num2str(k+2));pause;x = x-2/(15、*pi)、*cos(4、*t);y(4,:) = x; %计算各次谐波叠加与plot(t/pi,y(m+1,:),'LineWidth',2);hold on;plot(t/pi,y(4,:),'r','LineWidth',3); %绘制谐波叠加信号 hold off;grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title(strcat(kk,'次谐波叠加'));xlabel('单位pi','Fontsize', 8);pause;plot(t/pi,y(1:m+1,:),'LineWidth',3);grid;axis([-2 2 -0、5 1、5]);title('各次谐波叠加波形');xlabel('单位pi','Fontsize', 8);% End-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5周期信号单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量和第1次谐波叠加单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量和第1、2次谐波叠加单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5直流分量和第1、2、4次谐波叠加单位pi-2-1.5-1-0.500.51 1.52-0.500.511.5各次谐波叠加波形单位pi% dm09201% 绘制周期信号的频谱特性 function CTFS_RP% 以周期矩形脉冲信号为例,计算其频谱特性% Nf:级数分解的谐波次数,由键盘输入% Nn:输出数据的准确位数% a0:直流项系数% an:第1,2,3,、、、次谐波余弦项展开系数% bn:第1,2,3,、、、次谐波正弦项展开系数% tao:周期矩形脉冲信号脉宽,由键盘输入% T:周期矩形脉冲信号周期,由键盘输入display('Please input the value of T, tao and Nf'); %命令窗口提示用户输入参数T = input('T = ');tao = input('tao = ');Nf = input('Nf = ');syms t n k x ; %定义符号变量Nn = 32; %输出数据的位数为32位an = zeros(Nf+1,1); %分配an系数数组bn = zeros(Nf+1,1); %分配bn系数数组x=(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2))*cos((pi/tao)*t); %构造一个周期的脉冲信号u(t+tao/2)-u(t-tao/2)A0 =2*int(x,t,-T/2,T/2)/T; %求出直流项a0As=2*int(x*cos(2*pi*n*t/T),t,-T/2,T/2)/T; %求出余弦项系数anBs=2*int(x*sin(2*pi*n*t/T),t,-T/2,T/2)/T; %求出正弦项系数bnan(1) = double(vpa(A0,Nn)); %获取参数组A0所对应的ASCII码数值数组for k=1:Nfan(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn)); %获取参数组As所对应的ASCII码数值数组bn(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn)); %获取参数组Bs所对应的ASCII码数值数组endcn = sqrt(an、*an+bn、*bn); %计算幅度谱t = -T*2:0、001:T*2;xx =(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2))、*cos((pi/tao)、*t);for kk=1:2xx=xx+(heaviside(t+tao/2+kk*T)-heaviside(t-tao/2+kk*T))、*cos((pi/tao)、*(t+kk*T))+(heaviside(t+tao/2-kk*T)-heaviside(t-tao/2-kk*T))、*cos((pi/tao)、*(t-kk*T)); %用pulstran函数生成矩形脉冲信号endsubplot(211); %将显示窗口分为3个子窗口,并指向第1个子窗口clear subplot;plot(t,xx); %绘制周期矩形脉冲信号axis([-T*2 T*2 0 1、1]); %指定坐标系范围%title('周期矩形脉冲信号','Fontsize',8); %标注标题s1 = strcat('周期矩形脉冲信号 T=',num2str(T),' Tao=',num2str(tao),'t');xlabel(s1,'Fontsize',8); %x轴标签subplot(212); %指向第2个子窗口k = 0:Nf;stem(k,cn); %绘制幅度谱hold on;plot(k,cn); %绘制幅度谱包络线xlabel('幅度谱 \omega','Fontsize',8);% EndPlease input the value of T, tao and Nf T = 2*pi tao = pi Nf = 30-10-55100.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=6.2832 T ao=3.1416t幅度谱Please input the value of T, tao and Nf T = 2*pi tao = 2*pi Nf = 30-10-55100.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=6.2832 T ao=6.2832t幅度谱 ωPlease input the value of T, tao and Nf T = 20*pi tao = pi Nf = 30-100-50501000.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=62.8319 T ao=3.1416t幅度谱 ωPlease input the value of T, tao and Nf T = 20*pi tao = 4*pi Nf = 30-100-50501000.20.40.60.81周期矩形脉冲信号 T=62.8319 T ao=12.5664t幅度谱Please input the value of T, tao and Nf T = 200*pi tao = pi Nf = 30-1000-500050010000.51周期矩形脉冲信号 T=628.3185 T ao=3.1416t051015202530-3幅度谱。

奥本海姆《信号与系统》(第2版)课后习题-第7章至第9章(下册)(圣才出品)

第二部分课后习题第7章采样基本题7.1已知实值信号x（t），当采样频率时，x（t）能用它的样本值唯一确定。

问在什么ω值下保证为零？解：对于因其为实函数，故是偶函数。

由题意及采样定理知的最大角频率即当时，7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？解：因为x（t）是某个截止频率的理想低通滤波器的输出信号，所以x（t）的最大频率就为＝1000π，由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样m点恢复出x（t），需采样频率即采样时间问隔从而有（a）和（c）两种采样时间间隔均能保证x（t）由其采样点恢复，而（b）不能。

7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。

试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（b）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（c）x（t）的频谱函数为由此可见，当故奈奎斯特频率为7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）因为的傅里叶变换为可见x（t）的最大频率也是的最大频率，故的奈奎斯特频率为0 。

（b）因为的傅里叶变换为可见x （t）的最大频率也是的最大频率．故的奈奎斯特频率仍为。

（c）因为的傅里叶变换蔓可见的最大频率是x（t）的2倍。

从而知x 2（t）的奈奎斯特频率为2（d）因为的傅里叶变换为，x（t）的最大频率为，故的最大频率为，从而可推知其奈奎斯特频率为7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。

当某一滤波器以Y（t）为输入，x（t）为输出时，试给出该滤波器频率响应的模和相位特性上的限制。

解：p（t）是一冲激串，间隔对x（t）用p（t-1）进行冲激采样。

先分别求出P（t）和P（t-1）的频谱函数：注意0ω是x（t）的奈奎斯特频率，这意味着x（t）的最大频率为02ω，当以p（t-1）对x（t）进行采样时，频谱无混叠发生。

《信号与系统》课件第9章

第9章 随机信号通过 线性系统分析
9.1 试举例说明确定信号和随机信号在信号描述方面的差 异。
解 确定性信号是可以用明确的数学关系表示或者图表描 述的信号，如正弦函数所描述的交流电信号，阶跃函数所描述 的阶跃信号等。
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的信号，如噪 声电压信号，某区域海浪高度的变化等。
9.2 试说明随机信号与确定信号在通过LTI系统的分析方 法上的相同点和不同点。
解 相同点： 以LTI连续系统为例，输出响应都可表征为 输入信号与系统冲激响应的卷积运算，具体可表示为
确定信号通过系统：
随机信号通过系统：
然而，由于随机信号通过LTI系统时，相应的输入、输出 信号都是随机信号，因此，进行系统分析时需要采用统计特性 描述这些随机信号，并在此基础上分析输出的一、二阶统计特 征和输入与输出之间的统计特征关系。例如：
9.3 一随机信号X(t)=A sin(ω0t+θ), 式中A、ω0为常数，随 机变量θ在区间［0，2π］上服从均匀分布, 试求随机信号X(t) 的均值、均方值、立差、自相关函数、自协方差和功率密度谱。
9.4 已知平稳随机信号的相关函数如下所示，试求相应的 功率密度谱：
9.7 设功率密度谱为σ2/2的白噪声信号，通过一低通滤波 器
解 依题意可求得输出噪声的自相关函数为
输出噪声信号的平均功率为 考虑到 且H(z)的收敛域包含单位圆，故有
依题意计算输入噪声信号的自功率密度谱为 最后，求得输出的自功率密度谱为
其中K>0, t0>0, ω0>0, 且均为常数。求输出噪声的功率密 度谱、自相关函数和输出的平均功率。
由维纳一欣钦定理
Ryy(τ) ←→Sy(jω)
求得输出噪声的自相关函数为

信号与系统-第9章拉普拉斯变换


X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
6
例1. x(t) eatu(t)
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
22
由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
1 X (s)ds
2 j
23
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
3
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform

信号与系统 奥本海姆 第二版 习题详解


对方程两边同时做反变换得：
y[n] −
1 处有一个二阶极点，因为系统是因果的，所以 H ( z ) 的收敛域是 z > ， （b）H ( z) 在 z = 1 3 3 包括单位圆，所以系统是稳定的。
解： （a） x[n] = δ [n + 5] ← → X ( z ) = z , ROC : 全部z 因为收敛域包括单位圆，所以傅立叶变换存在。
( )
χ (s ) = uL{e −2t u (t )} =
H (s ) =
H (s )如图所示。
Y (s ) 1 = 2 . X (s ) s − s − 2
1 1 1 3 3 ( ) , ⇒ H s = − s2 − s − 2 s − 2 s +1 (i )如果系统是稳定的，H (s )的ROC为 − 1〈ℜe {s}〈2.
∞ ∞
n =−∞
∑
∞
x[n]z − n =
− n−2
1 −n ∞ 1 n z = ∑− z ∑ −3 3 n =−∞ n =2
−2 n −n
z n + 2 = 9 z 2 /(1 + 3z ) = 3z /(1 + (1/ 3) z −1 ), z < 1 3 1 = ∑ n =2 3
1 1 （b） H (s) = 1 − 3 s − 2 s +1

（1）系统是稳定的，说明 H (s) 的收敛域应该包括虚轴在内，即： − 1 < Re{s} < 2 ， 所以 h(t ) = 1 (− e u (−t ) − e u (t )) 3 （2）系统是因果的，则 H (s) 的收敛域应为 Re{s} > 2 ，所以 h(t ) = 1 (e u (t ) − e u (t )) 3 （ 3 ） 系 统 既 不 因 果 又 不 稳 定 ， 则 H (s) 的 收 敛 域 应 为 Re{s} < −1 ， 所 以
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

X s1
3.一般情况：
s N s X s M Ds s s s 因此， X s M X s M s s X s s s
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换
不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅 能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系 统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用 的许多方面。
拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法
的推广，傅里叶分析是它们的特例。
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM)
i i j j i
1 i
对有理函数形式的 X ( s )
i
i
1
jHale Waihona Puke j1jj
1
1
i
1
第九章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM 基本内容： 1.拉斯变换的定义； 2.收敛域的概念； 3.零极点图； 4.拉普拉斯变换的性质； 5.系统函数； 6.单边拉普拉斯变换；
1
§9.0
引言
Introduction
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中非常
有用，其原因很大程度上是因为相当广泛的信号都
T 0
e
0
at
0<t<T
其它 t
X ( s ) e e dt
at st
e
0
T
( s a )t
1 dt [1 e ( s a )T ] sa
按照性质3，它的收敛域应该是整个S平面。
X s 似乎有极点
s a
(与性质2相冲突）
考查零点: 显然在 s a 也有一阶零点，零极点相抵消， 致使整个S平面上无极点。
1 可知 u (t ) s
0 at st 0
Re[s] 0
at x ( t ) e u(t ) 例2.
X ( s ) e e dt e

( s a )t
1 dt , Re[s] a sa
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。
3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。 4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j 轴的直线的右边。（说明如下）
若 x(t )是右边信号,即 T 则有
0t 绝对可积，即： x(t )e
t , 0 在ROC内，
dt

T

T
x(t )e
0t
若 1
0 ，则
示一个 X ( s ) ，最多与真实的 X ( s ) 相差一个因子 M 。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
§9.2 拉氏变换的收敛域 ROC of LAPLACE TRANSFORM

可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。
ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，ROC的 边界总是与 X ( s ) 的分母的根对应的。
若 X ( s ) 是有理函数
(s ) N (s) X (s) M D( s ) (s )
i i i i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 称为极点。 将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在 S 平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表
可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数
是一切 LTI 系统的特征函数。
傅里叶变换是以复指数函数中的一个特例，即
e
j t 和
e 数 e st
j n为基底分解信号的。对于更一般的复指数函
和
z ，也理应能够以此为基底对信号进行
n
分解。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及
下一章要讨论的中心问题。
X ( j ) e e
0

at jt
1 dt a j
(a 0)
显然，在
Re[s] a
a0
时，使拉氏变换收敛的区域 包括了 0 （即轴 j ）。
比较 X ( s ) 和 X ( j )
显然有 X ( s )
s j
X ( j )
x(t ) eat u(t ) u(t ) 当a 0 时，
1. 右边信号的ROC一定是 X ( s ) 最右边极 点的右边。 2. 左边信号的ROC一定是 X ( s) 最左边极 点的左边。 3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点
之间的带状区域。
§9.3
拉氏反变换

The Inverse Laplace Transform
一. 定义： 由 X (s) x(t )e st dt
幅角即为
表示 s1 a
。 X s 1
X s1 ) ,(其
s1
0
S1
a
a
s a
1
2.
单极点情况：
1 X ( s) , 极点 s a sa
X ( s1 )
1 s1 a
X s1 s1 a
其长度的倒数为
X (s1 )


,幅角的负值为 。
直接由极点向 s1 点作矢量（称为极点矢量），
d s T ds 1 e X s lim T s d s ds
例2.
x(t ) e
bt
b t
bt
1 e u (t ) , sb
bt
x(t ) e u(t ) e u(t )
Re[s] b
1 e u (t ) , s 1
t
Re[ s] 1
1
j

j
e
2 t
1 u (t ) , s2
Re[s] 2
2

1 1 s2 3 X s 2 s 1 s 2 s 3s 2
Re[ s] 1
可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
1 e u (t ) , Re[s] b s b
bt
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
1 1 b Re[s] b X ( s) s b s b 当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X ( s) 不存在。
当 X ( s ) 是有理函数时，其ROC总是由 X ( s) 的极点分割的。ROC必然满足下列规律：

T

x(t )e
1t
dt
T

x(t )e
0t
0t (1 0 ) t
e
dt
e
(1 0 )T

T

x(t )e
dt
1
也在收敛域内。
6.
双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平 面内平行于 j 轴的带形区域。
例1.
x(t )




X ( s )e st d
由 s j 得 ds jd
当 从 时, s 从 j j
x(t ) 1 2 j

j
j
X ( s )e st ds
拉氏变换表明:
x(t ) 可以被分解成复振幅为
的复指数信号e st 的线性组合。
1 2 j
X ( s )ds
二.
拉氏反变换的求法:
对有理函数形式的 X ( s ) 求反变换一般有两种
方法,即部分分式展开法和留数法。
部分分式展开法：
1.将 X ( s ) 展开为部分分式。 2.根据 X ( s ) 的ROC,确定每一项的ROC 。 3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质 对每一项进行反变换。

若 s j 在ROC内，则
X ( j ) x(t )e t e jt dt F[ [ x(t )e t ]


x(t )e
1 x(t ) 2
t
1 2



X ( j )e d
t
j t
j t
1 X ( j )e e d 2
e
dt [ x(t )e t ]e jt dt


F[ [ x(t )e
t
]
的傅里叶变换。只要有合适
x(t ) 的 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，
拉氏变换就是x(t )e
t
的
存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条
e
t
件的信号在引入
后满足该条件。即有些信号
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有。
X ( j ) X ( s)
s j
二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 例3.
x(t ) e u(t ) e u(t )
X (s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0
t
2t
X ( j ) 的特性。这在定性分析系统频率特性时有很
大用处。
1.单零点情况： X ( s) s a 零点s , 要求出 s s1 时的 X (s1 )，可以 作两个矢量 s 和 a ，则 X (s1 ) (s1 a) 。 1 矢量
X (s1 )
称为零点矢量，
它的长度
2. 拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉
氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），