北京备战中考数学压轴题专题复习—相似的综合

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．【答案】（1）解：设，则a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=6ab，∴x2=6×4×6，∴x=12．【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ【答案】（1）解：∵≌，∴，∵均为半圆切线，∴ .连接 ,则，∴四边形为菱形，∴DQ∥，∵均为半圆切线，∴∥，∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，∴ = ，∴ .∵是半圆的切线，∴ .过点作于点，则 .在中，，∴，解得：，∴∴【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

编者的话：北京目前主流的初中数学版本为京改版、人教版、北师大版，本专辑针对京改版进行整理汇编，另外两个版本请参考已经上线的人教版通用版本及北师大版通用版本，本专辑选材于京改版近两年最新月考、期中、期末、一二模、中考真题（已标注出处），包含详细解析、思路点拨等，对于期末考试的复习成系统性，把每个章节重难点考察内容进行总结，分选择题、填空题、解答题三种类型，难度为压轴，欢迎下载使用。

【玩转压轴题】考点1：相似三角形问题综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知ABC V ，6AB =，4AC =，D 为AB 边上一点，且2AD =，E 为AC 边上一点（不与A 、C 重合），若ADE V 与ABC V 相似，则(AE = )A ．2B ．43C ．3或34D ．3或43【标准答案】D 【思路点拨】根据题意，△ADE 与△ABC 相似，由于题中没有指明对应边，故应该分两种情况讨论求解．【精准解析】解：①当△ADE ∽△ABC 时，有AD ：AE=AB ：AC ，∵AB=6，AC=4，AD=2，∴AE=43；②当△AED ∽△ABC 时，有AD ：AE=AC ：AB ，∵AB=6，AC=4，AD=2，∴AE=3，所以AE 等于3或43．故选D ．【名师指导】此题考查学生对相似三角形的性质的掌握情况，注意分类讨论思想的运用．2．如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.ABC D 和DEP D 的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若ABC D ~PDE D 且两三角形不全等，则P 点所在的格点为（）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4【标准答案】D 【思路点拨】根据三角形相似ABC D ∽PDE D ，然后利用DE=2，BC=1，所以DP=4，则易得点P 落在P 4处．【精准解析】若ABC ∽PDE D 且两三角形不全等，则DE BC =PDAB=2．所以DP=4．则易得点P 落在P 4处．故选D 【名师指导】本题考查了三角形相似的性质,掌握该性质是解答本题的关键.3．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图，已知点P 在ABC D 的边AC 上，下列条件中，不能判断ABP ACB D D ∽的是 ( )A ．ABP C Ð=ÐB ．APB ABC Ð=ÐC ．2AB AP AC =·D ．AB ACBP CB=【标准答案】D 【思路点拨】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【精准解析】A 、∵∠A ＝∠A ，∠ABP ＝∠C ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项错误；B 、∵∠A ＝∠A ，∠APB ＝∠ABC ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项错误；C 、∵∠A ＝∠A ，AB 2＝AP•AC ，即AB ACAP AB=，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项错误；D 、根据AB ACBP CB=和∠A ＝∠A 不能判断△ABP ∽△ACB ，故本选项正确；故选：D ．【名师指导】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．4．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm ，则蜡烛火焰的高度是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．9cm【标准答案】B 【思路点拨】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【精准解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm ，则10615x =，x=4，即蜡烛火焰的高度为4cm ，故答案为：B ．【名师指导】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．5．已知ABC V ，2，则与ABC V 相似的三角形的三边长可能是（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1【标准答案】A 【思路点拨】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【精准解析】解：∵△ABC ，2，∴△ABC 2=1∴△ABC 相似的三角形三边长可能是1故选：A ．【名师指导】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．6．如图，在正方形ABCD 中，点M 是AB 上一动点，点E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接DE ，DF 给出结论：①DE EF =；②45CDF Ð=°；③AMDF④若正方形的边长为2，则点M 在射线AB 上运动时，CF ．其中结论正确的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④【标准答案】D 【思路点拨】延长AE 交DC 的延长线于点H ，由“AAS ”可证△AME ≌△HCE ，可得AE =EH ，由直角三角形的性质可得AE =EF =EH ，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE +2∠EDF =270°，可得∠ADF =135°，可判断②；由垂线段最短，可得当CF ⊥DF 时，CF 有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF 的最小值，可判断④；由连接AC ，过点E 作EP ⊥AD 于点P ，过点F 作FN ⊥EP 于N ，交CD 于G ，连接CF ，由梯形中位线定理可求PE =12（AM +CD ），由“AAS ”可证△APE ≌△ENF ，可得AP =NE =12AD ，即可求AM =2DG =2=，可判断③，即可求解．【精准解析】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，Q点E是CM的中点，ME EC\=，Q，//AB CDÐ=Ð，\Ð=Ð，AME HCEMAE H\D@D，()AME HCE AAS\=，AE EH又90Q，Ð=°ADH\==，DE AE EH∵绕点E顺时针旋转90°得到EF，AE\=，90AE EFÐ=°，AEF\==，故①正确；AE DE EFQ，AE DE EF==Ð=Ð，\Ð=Ð，EDF EFDDAE ADEQ，Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°AEF DAE ADE EDF EFD360\Ð+Ð=°，22270ADE EDFADF\Ð=°，135CDF ADF ADC\Ð=Ð-Ð=°-°=°，故②正确；1359045如图，连接AC，过点E作EP AD⊥于N，交CD于G，连接⊥于点P，过点F作FN EPCF，EP AD ⊥Q ，FN EP ⊥，90ADC Ð=°，\四边形PDGN 是矩形，PN DG \=，90DGN Ð=°，45CDF Ð=°Q ，\点F 在DF 上运动，\当CF DF ^时，CF 有最小值，2CD =Q ，45CDF Ð=°，CF \的最小值==④正确；EP AD ⊥Q ，AM AD ⊥，CD AD ⊥，////AM PE CD \，\1AP MEPD EC==，AP PD \=，PE \是梯形AMCD 的中位线，1()2PE AM CD \=+，45FDC Ð=°Q ，FNCD ⊥，45DFG FDC \Ð=Ð=°，DG GF \=，DF =，90AEP FEN Ð+Ð=°Q ，90AEP EAP Ð+Ð=°，FEN EAP \Ð=Ð，又AE EF =Q ，90APE ENF Ð=Ð=°，()APE ENF AAS \D @D ，12AP NE AD \==，11()22PE AM CD NE NP AD NP =+=+=+Q ，\12AM NP DG ==，22AM DG\===，\AMDF=，故③错误；故选：D．【名师指导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．7．（2021·北京东城·一模）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm【标准答案】C【思路点拨】根据勾股定理求出斜边的长，以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为xcm，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【精准解析】∵直角三角形两条直角边分别是30cm，40cm，∴斜边50==，∵要做一个与其相似的三角形木架，∴两个三角形对应边成比例，∵直角三角形中斜边最大，∴以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为xcm，则有2种情况，①3050=60x，解得：100x=，②4050=60x，解得：75x=，∴另两边中长度最大的一边最多可达到100cm，故选：C．【名师指导】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键．8．（2021·北京·清华附中九年级月考）如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，30C Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论中不正确的是（）A ．BE DE =B ．DE 垂直平分线段AC C．EDC ABC S S △△D ．2BD BC BE=×【标准答案】C 【思路点拨】由题中作图方法易证AP 为线段BD 的垂直平分线，点E 在AP 上，所以BE=DE ，再根据，90ABC Ð=°，30C Ð=°得到ABD n 是等边三角形，由“三线合一”得AP 平分BAC Ð，则30PAC C Ð=Ð=°，AE CE =,且30°角所对的直角边等于斜边的一半，故12AB AD AC ==，所以DE 垂直平分线段AC ，证明~EDC ABC D D 可得ED CDAB BC=即可得到结论．【精准解析】由题意可得：AD AB =，点P 在线段BD 的垂直平分线上AD AB =Q ，\点A 在线段BD 的垂直平分线上\AP 为线段BD 的垂直平分线Q 点E 在AP 上，\BE=DE ，故A 正确；Q 90ABC Ð=°，30C Ð=°，60BAC \Ð=°且12AB AD AC ==ABD \D 为等边三角形且AD CD =AB AD BD \==，AP \平分BACÐ1302EAC BAC \Ð=Ð=°，AE EC \=，ED \垂直平分AC ，故B 正确；30ECD ACB Ð=Ð=°Q ，90EDC ABC Ð=Ð=°，EDC ABC \D D ∽，ED CD AB AB BC BC \===，213EDC ABC s s D D \==，故C 错误；ED BE =Q ，AB CD BD==BE BDBD BC\=，2BD BC BE \=×，故D 正确故选C ．【名师指导】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．9．（2021·北京·清华附中九年级月考）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD上，且22BE AE DF CF ==，，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则EHFG ABCD S S 四边形菱形的值为（）A ．12B ．16C ．13D ．19【标准答案】D 【思路点拨】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【精准解析】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，∴12AE BE =，12CF DF =，∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴12AG GC =，12CH AH =，∴AE AGBE GC=，∴EG ∥BC ，∴13EG AE BC AB ==，同理可得HF ∥AD ，13HF AD =，∴四边形EHGF 为平行四边形，由题意，AEG HEG S S =V V ，∵13EG AE BC AB ==，∴19AEG HEG ABC S S S ==V V V ，根据平行四边形和菱形的性质可得：2129EHFG HEG ABC ABCD S S S S ==V V 四边形菱形，故选：D ．【名师指导】本题考查了菱形的性质，以及平行线分线段成比例定理等，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．10．已知∠PAQ=36°，点B 为射线AQ 上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交射线AP 于点D ，连接 BD ；③以B 为圆心，BA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠CDB=72°B．△ADB∽△ABC C．CD：AD=2：1D．∠ABC=3∠ACB【标准答案】C【思路点拨】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．【精准解析】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠PAQ＝36°，∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝72°，（A正确）∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝36°，∴∠ABD＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，（B正确）∵∠A＝∠ACB＝36°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝108°，∴∠ABC＝3∠ACB，（D正确）∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝72°，∴∠CBD＝∠CDB＝72°，∴CD＝BC，∵∠A＝∠ACB＝36°，∴AB ＝BC ，∴CD ＝AB ，∵AD ＋DB ＞AB ，AD ＝DB∴2AD ＞AB∴2AD ＞CD ，（C 错误）故选：C【名师指导】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题11．（2021·北京朝阳·一模）如图，ABC V 中，BC BA >，点D 是边BC 上的一个动点（点D 与点,B C 不重合），若再增加一个条件，就能使ABD △与ABC V 相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）．【标准答案】答案不唯一，如：BAD CÐ=Ð【思路点拨】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．【精准解析】∵∠DBA =∠CBA ，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，∴添加的条件是DB ：BA =AB ：BC ；∵∠DBA =∠CBA ，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，∴添加的条件是BAD C Ð=Ð；故答案为：DB：BA=AB：BC或BAD CÐ=Ð．【名师指导】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．12．（2021·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为________．【标准答案】2【思路点拨】根据格点的特征可得12CM CDCN AC==，再证明△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质可得12DE CDAB AC==，由此即可求得DE=2．【精准解析】如图，∵DM//AN，∴12 CM CDCN AC==，∵DE//AB，∴△CDE∽△CAB，∴12 DE CDAB AC==，∵AB=4，∴DE=2．故答案为：2．【名师指导】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据格点的特征证得△CDE∽△CAB是解决问题的关键．13．（2021·北京市十一学校九年级期末）如图，在矩形ABCD中，将边BC翻折，翻折后的线段BE正好落在对角线BD所在的直线上，折痕为BF，已知CF＝1，BC＝2，则矩形ABCD的面积为___．【标准答案】16 3【思路点拨】根据△DEF∽△DCB，可得CD=2DE，设DE=x，则CD=2x，在Rt△DEF中，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【精准解析】解：∵将矩形ABCD的边BC翻折，∴CF=EF=1，∠DEF=∠C=90°，∵∠FDE=∠BDC∴△DEF∽△DCB，∴12 EF DEBC CD==，∴CD=2DE，设DE=x，则CD=2x，∴DF =2x -1，在Rt △DEF 中，由勾股定理得：DE 2+EF 2=DF 2，∴x 2+12=（2x -1）2，解得x =43或x =0（舍），∴CD =2x =83，∴S 矩形ABCD =CD ×BC =83×2=163，故答案为：163．【名师指导】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、以及三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，用方程思想是解题的关键．14．（2021·北京市第十三中学九年级期中）在平面直角坐标系中，A （3，﹣3），B （1，0），C （3，0），点P 在y 轴的正半轴上运动，若以点O 、B 、P 为顶点的三角形与三角形ABC 相似，则点P 的坐标为 ____．【标准答案】（0，23）或（0，32）．【思路点拨】利用点A 、B 、C 的坐标特征得到∠ACB ＝90°，CB ＝2，CA ＝3，设P 点坐标为（0，t ），由∠POB ＝∠ACB ，推出当OP OB BC CA =时，△OPB ∽△CBA ，即123t =；当OP OB CA CB =时，△OPB ∽△CAB ，即132t =，分别求出t 的值，从而得到点P 的坐标.【精准解析】∵B （1，0）、A （3，﹣3）、C （3，0），∴∠ACB ＝90°，CB ＝2，CA ＝3，设P 点坐标为（0，t ），∵∠POB ＝∠ACB ＝90°，∴当OP OB BC CA =时，△OPB ∽△CBA ，即123t =，解得t ＝±23，此时P 点坐标为（0，23），当OP OB CA CB =时，△OPB ∽△CAB ，即132t =，解得t ＝±32，此时P 点坐标为（0，32），综上所述，若以O 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点P 的坐标为（0，23）或（0，32）．故答案为（0，23）或（0，32）．【名师指导】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键.15．（2021·北京·清华附中九年级月考）如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °()090n <<得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若:3:1BQ AQ =，则AM =______．【标准答案】25．【思路点拨】连接OQ ，OP ，利用HL 证明Rt △OAQ ≌Rt △ODQ ，得QA=DQ ，同理可证：CP=DP ，设CP=x ，则BP =3-x ，PQ=x +34，在Rt △BPQ 中，利用勾股定理列出方程（3-x ）2+（94）2=（x +34）2，解方程得x =94，再利用△AQM ∽△BQP 可求解．【精准解析】解：连接OQ ，OP ，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，∴OA =OD ，∠OAQ =∠ODQ =90°，在Rt △OAQ 和Rt △ODQ 中，OQ OQ OA OD=ìí=î ，∴Rt △OAQ ≌Rt △ODQ （HL ），∴QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，∵BQ ：AQ =3：1，AB =3，∴BQ =94，AQ =34，设CP=x ，则BP =3-x ，PQ=x +34，在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：（3-x ）2+（94）2=（x +94）2，解得x =95，∴BP =65，∵∠AQM =∠BQP ，∠BAM =∠B ，∴△AQM ∽△BQP ，∴AM AQ BP BQ =＝13，∴1635AM =，∴AM =25．故答案为：25．【名师指导】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用全等证明QA =DQ ，CP =DP是解题的关键．16．（2021·北京·牛栏山一中实验学校九年级月考）如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为___．【标准答案】163或3【思路点拨】由于∠ABC=∠PBF=90°，同时减去∠PBC后可得到∠ABP=∠CBF，若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么必有：AB BMPB BC=或AB BCPB BM=，可据此求得BM的值．【精准解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=4；又∵∠PBF=90°，∴∠ABP=∠CBF=90°-∠CBP；若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则：①AB BMPB BC=，即434BM=，解得BM=163；②AB BCPB BM=，即443BM=，解得BM=3；故答案为：163或3．【名师指导】本题考查了相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．17．（2021·北京·牛栏山一中实验学校九年级月考）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于G，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF、EF、FG．下列四个结论：①DG＝CG；②AF＝AG；③S△ABF ＝S△FCG；④AE＝EF．其中正确的结论是___．（写出所有正确结论的序号）【标准答案】①③④【思路点拨】由正方形的性质证明,DEG BEA V V ∽再利用相似三角形的性质可判断①；如图，设BF =m ，而CF ＝2BF ，则CF =2m ，AB =AD =3m ，DG =CG =32m ，再利用勾股定理计算可判断②；过点E 作AB 的平行线，交AD 于M ，交BC 于N ，利用矩形与相似三角形的性质求解AM =2m ，DM =m ，NC =m ， 则BN =BC -NC =2m ，FN =BN -BF =m ， ME =m ，EN =2m ，再利用勾股定理计算可判断④ ；再利用三角形的面积公式进行计算可判断③，从而可得答案.【精准解析】解：Q 正方形,ABCD //,,AB CD AB CD \=,DEG BEA \V V ∽ 而2,BE DE =1,2DG DE EG AB BE AE\=== 11,22DG AB CD \== ,DG CG \= 故①正确；如图，设BF =m ，而CF ＝2BF ，则CF =2m ，AB =AD =3m ，DG =CG =32m ，在Rt △ABF 中， ,AF ==而,AG =,AF AG \¹ 故②错误；过点E 作AB 的平行线，交AD 于M ，交BC 于N ， 可得四边形MNCD 是矩形，△AME ∽△ADG ，2,3AM AE AD AG \== ∵AD =3m ，∴AM =2m ，DM =m ，NC =m ， 则BN =BC -NC =2m ，FN =BN -BF =m ，∵MD ∥BN ，∴△MDE ∽NBE ， 且相似比12，∴ME =m ，EN =2m ，在Rt △EFN 中， EF = ,=在Rt △AME 中， ,AE ==,AE EF \= 故④正确；2211311333,2,2222222ABF FCG S AB BF m m m S FC CG m m m ==´´===´=V V Q g g g ,ABF FCG S S \=V V 故③正确；综上：正确的有：①③④故答案为：①③④【名师指导】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的应用相似三角形的性质解决问题是关键.18．（2021·北京·清华附中九年级月考）如图，一个由8个正方形组成的“C ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M ，N ，O ，P ，Q 都在矩形ABCD 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB 的长为__________．【思路点拨】如图，延长,NO QP 交于点E ，连接,OE PE ，根据题意求得OP 的长，设,MB a AM b ==，先证明AMN BQM △≌△，再证明AMN DNO △∽△，PQC QMB △∽△，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得,a b 的值，进而求得AB 的值．【精准解析】Q 小正方形的面积为11=，如图，延长,NO QP 交于点E ，连接,OE PE ，Q 4MN MQ ==，90ONM NMQ MQP Ð=Ð=Ð=°，\四边形MNEQ 是正方形，2,1NO PQ ==Q ，42,4413OE NO PE PQ \=-==-=-=，OP ===设,MB a AM b ==，Q 四边形ABCD 是矩形，\90A B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°，90NMQ A Ð=Ð=°Q ，90,90AMN BMQ AMN ANM \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，ANM BMQ \Ð=Ð，A B Ð=ÐQ ，MN MQ =，AMN BQM \△≌△，AN BM a \==，BQ AM b ==，90MNO A Ð=Ð=°Q ，90,90ANM DNO AMN ANM \Ð+Ð=°Ð+Ð=°DNO AMN\Ð=A DÐ=ÐQ AMN DNO\△∽△2142DN DO NO AM AN MN \====11112222DO AN a DN AM b \====，90MQP C D Ð=Ð=Ð=°Q 90MQB BMQ MQB PQC \Ð+Ð=Ð+Ð=°PQC QMB\Ð=ÐPQC QMB\△∽△14PQ QC PC MQ MB QB \===1111,4444PC QB b QC MB a \====AB DC=Q DO OP PC AB\++=即1124a b a b +=+①Q AD BC=2b a b +=联立12a b a ì+ïïíïïî解得a b ìïïíïïîAB a \=【名师指导】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．19．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）在V ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点F 在边AB 上，BD 与FC 相交于点G ，连接EG ，若13BF AB =，则BFG BEGS S =△△________．【标准答案】23【思路点拨】取AF 的中点H ，连接DH ，可证得G 为BD 中点，由中位线性质证明//EG AC ，继而证明BGE BDC V :V ，再根据相似三角形的性质得到14BEG BCD S S =V V ，结合等底等高的面积相等解题即可．【精准解析】解：取AF 的中点H ，连接DH ，如图，13BF AB H =，Q 为AF 的中点，13BF FH AH AB \===Q D 为AC 的中点，H 为AF 的中点，DH 是AFC △的中位线，//DH FC\BF FH=Q G \为BD 中点，E Q 为BC 的中点，//EG AC\BGE BDC\V :V 21()4BEG BCD S BE S BC \==V V 14BEG BCD S S \=V V Q D 为AC 的中点，12BCD ABC S S \=△△18BEG ABC S S \=V V 设BFG S a=V 6ABD S a\=V Q D 为AC 的中点，162ABD ABC S S a \==V V 12ABC S a\=V 112BFG ABC S S \=VV1212138ABC BFGBEG ABC S S S S \==△△△△，故答案为：23．【名师指导】本题考查三角形中位线性质、相似三角形的判断与性质、等底等高三角形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·北京·清华附中九年级月考）如图，ABC V 中，3AC =，4BC =，5AB =．四边形ABEF 是正方形，点D 是直线BC 上一点，且1CD =．P 是线段DE 上一点，且23PD DE =．过点P 作直线l 于BC 平行，分别交AB ，AD 于点G ，H ，则GH 的长是__________．【标准答案】13或59．【思路点拨】结合勾股定理逆定理判断ABC D 是直角三角形，通过证明GBM BCA D D ∽，AGH ABD D D ∽，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点D 位于C 点左侧时，当点D 位于C 点右侧时，进行分类讨论．【精准解析】解：ABC D Q 中，3AC =，4BC =，5AB =，2225AC BC \+=，225AB =，222AC BC AB \+=，ABC D ∴为直角三角形，①当点D 位于C 点左侧时，如图：设直线l 交BE 于点M，//l BC Q ，\11D P BM BE D E=，MGB ABC Ð=Ð，又Q 四边形ABEF 是正方形，且1123PD D E =，5BE AB \==，90EBA а=，即253BM =，解得：103BM =，MGB ABC Ð=ÐQ ，90EBA ACB Ð=Ð=°，GBM BCA \D D ∽，\GB BC BM AC=，\41033GB =，解得：409GB =，59AG AB GB \=-=，//l BC Q ，1AGH ABD \D D ∽，\1GH AG BD AB=，11CD =Q ，113BD BC CD \=-=，\5935GH =，解得：13GH =；②当点D 位于C 点右侧时，如图：与①同理，此时215CD BC CD =+=，\5955GH =，解得：59GH =，综上，GH 的长为13或59，故答案为：13或59．【名师指导】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出GBM BCA D D ∽，特别注意分类思想的运用是解题关键．三、解答题21．如图，Rt ABC V 中，90B =o ∠，点D 在边AC 上，且DE AC ⊥交BC 于点E ．（1）求证：~CDE CBA V V ．（2）若3AB =，5AC =，E 是BC 中点，求DE 的长．【标准答案】（1）见解析；（2）65DE =【思路点拨】（1）由DE ⊥AC ，∠B ＝90°可得出∠CDE ＝∠B ，再结合公共角相等，即可证出△CDE ∽△CBA ；（2）在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出BC 的长，结合点E 为线段BC 的中点可求出CE 的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE 的长．【精准解析】（1）,90DE AC B °^Ð=Q 90CDE B °\Ð=Ð=C CÐ=ÐQ ~CDE CBAD D \（2）Q 在Rt ABC D 中，3,5AB AC ==4BC \===又Q 点E 是BC 的中点114222CE BE BC \===´=由（1）知~CDE CBAD D CE DE CA BA \=253DE \= 65DE \=【名师指导】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE 的长．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED △∽△；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF V 与AED V 相似，直接写出PA 的长____．【标准答案】（1）见解析；（2）2或5【思路点拨】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当PA=PB=2时，易知PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，分别求解即可．【精准解析】（1）证明：在正方形ABCD 中，90D Ð=°，//CD AB ，∴DEA PAE Ð=Ð．∵PF AE ⊥，∴D AFP Ð=Ð．∴PAF AED △∽△．（2）当PA=PB=2时，∵DE=EC ，AP=PB ，∴PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，∵CD ∥AB ，∴∠AED=∠EAP=∠AEP ，∴PA=PE ，∵PF ⊥AE ，∴AF=FE ，∵AD=4，DE=EC=2，∠D=90°，∴===AE∴AF =∵△PAF ∽△AED ，∴PA AF AE DE=，=∴PA=5，综上所述，满足条件的PA 的值为2或5．故答案为：2或5．【名师指导】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图，AB BC ⊥，EC BC ⊥，点D 在BC 上，1AB =，2BD =，3CD =，6CE =．（1）求证：ABD DCE :△△；（2）求ADE Ð的度数．【标准答案】（1）见解析；（2）90°【思路点拨】（1）证两边成比例，再用两边成比例夹角相等证相似即可；（2）根据相似三角形的性质，得出BAD EDC Ð=Ð，可证90度．【精准解析】（1）证明：∵AB BC ⊥，EC BC ⊥，∴90ABD DCE Ð=Ð=o∵1AB =，2BD =，3CD =，6CE =∴13AB DC =，13BD CE =∴AB BD DC CE=∴ABD DCED D :（2）∵ABD DCED D :∴BAD EDCÐ=Ð∵90BAD ADB Ð+Ð=o∴90ADB EDC Ð+Ð=o∴18090ADE ADB EDC Ð=-Ð-Ð=o o【名师指导】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理证明，用性质定理求角．24．已知：如图，△ABC ∽△ACD ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2，BD ＝3，求AC 、DC 的长．【标准答案】AC=；DC=3．【思路点拨】根据相似三角形的性质及角平分线的定义即可求解．【精准解析】证明：如图∵△ABC∽△ACD，∴∠1=∠B，AD AC AC AB=又∵CD是平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴∠2=∠B，∴BD=DC．∵BD=3，∴DC=3；又∵AD =2，BD =3，∴AB=5由AD AC AC AB=得2AC AD AB=g即2AC=2×5=10∴AC=．【名师指导】本题主要考查了相似三角形的性质即角平分线性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质及角平分线的定义．25．（2021·北京·清华附中九年级期末）如图，在Rt ABC △中，90B °Ð=，以AC 为边作Rt ACE △，90ACE °Ð=，AC CE =，延长BC 至点D ，作DE CE ⊥．（1）求证：ABC CED ∽△△；（2）若4AB =，2BC =，求DE 的长．【标准答案】（1）见解析；（2）DE =【思路点拨】（1）根据垂直可知，∠B=∠DEC ，再证明∠BAC ＝∠DCE ．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC ∽△CED ；（2）根据△ABC ∽△CED ，列出比例式即可求出DE ．【精准解析】（1）证明：∵DE CE ⊥，∴∠DEC=90º，∵90B °Ð=，∴B DECÐ=Ð∵90B °Ð=，90ACE °Ð=，∴90BAC BCA °Ð+Ð=，90BCA DCE °Ð+Ð=．∴BAC DCE Ð=Ð．∴ABC CED ∽△△．（2）∵90B °Ð=，4AB =，2BC =，∴AC ==∵CE AC =，∴CE =∵ABC CED ∽△△，∴AB BC CE DE=，2DE=，∴DE【名师指导】本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质以及勾股定理，选择正确的判定方法是解题关键．26．（2021·北京东城·九年级期末）如图，AM 平分BAD Ð，作//BF AD 交AM 于点F ，点C 在BF 的延长线上，CF BF =，DC 的延长线交AM 于点E ．（1）求证：AB BF =；（2）若1,4AB AD ==，求:EFC EAD S S V V 的值．【标准答案】（1）见解析；（2）116．【思路点拨】（1）由角平分线的性质得出∠BAF=∠DAF ，再根据平行线的性质得出∠BAF=∠AFB ，最后得出结果；（2）先证△EFC ∽△EAD ，再利用相似三角形的性质求解即可．【精准解析】（1）证明：∵AM 平分BAD Ð，∴∠BAF=∠DAF ，∵//BF AD ，∴∠AFB=∠DAF ，∴∠BAF=∠AFB ，∴AB BF =；（2）∵CF BF =，AB BF =，∴AB=CF=1∵//BF AD ，1,4AB CF AD ===，∴△EFC ∽△EAD ，∴1=4FC EF AD AE = ，∴:EFC EAD S S V V =211()416=．【名师指导】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质．27．（2021·北京市古城中学九年级月考）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD ＝∠B ．求证：AC •CD ＝CP •BP ．【标准答案】见解析．【思路点拨】证明ABP PCD V V ∽即可．【精准解析】∵在ABC V 中，AB AC =，∴B C Ð=Ð，∵APC B BAP Ð=Ð+Ð，APC APD CPD Ð=Ð+Ð，∴B BAP APD CPD Ð+Ð=Ð+Ð．∵APD B Ð=Ð，∴BAP CPD Ð=Ð，∴ABP PCD V V ∽，∴BP BA CD CP=．∵AB AC =，∴AC CD CP BP ×=×．【名师指导】本题考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形判定相似的定理和性质是解题的关键．28．（2021·北京房山·九年级期中）如图，AD 是ABC V 的中线，点O 是AD 上任一点，连接BO 并延长，交AC 于点E ．（1）如图1，当12=AO AD 时，求AE AC 的值；（2）如图2，当13AO AD =时，求AE AC的值．【标准答案】（1）31AE AC =；（2）15AE AC =【思路点拨】（1）过点D 作BE 的平行线DF ，利用平行线分线段成比例可推理得到,CF EF EF AE ==，从而得到答案；（2）过点D 作BE 的平行线DG ，利用平行线分线段成比例可推理得到EG =CG ，EG =2AE ，从而得到答案．【精准解析】解：（1）如图1，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F∵AD 是ABC V 中线∴BD =CD∵//DF BE ∴1CD CF BD EF==，AO AE OD EF = 又∵12=AO AD ，+AO OD AD =∴1AO AE OD EF==∴,CF EF EF AE==又∵AE EF CF AC++=∴3AC AE =即：31AE AC =（2）如图2，过点D 作//DG BE ，交AC 于点G∵ //DG BE ∴,AO AE BD EG OD EG CD CG==∵AD 是ABC V 中线，13AO AD =，+AO OD AD =∴BD =CD , 12AO AE AD EG ==∴EG =CG ，EG =2AE又∵AE EG CG AC++=∴5AE =AC ∴15AE AC =【名师指导】本题考查平行线段分线成比例，利用数形结合思想解题是解此类题的关键．29．（2021·北京丰台·九年级期末）如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC．（1）求证：∠FBC=∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．【标准答案】(1)见解析；(2) ①见解析；②BF=DF+CG，理由见解析．【思路点拨】（1）由∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，根据等角的余角相等证明即可；（2）①根据题意画出图形即可；②结论：BF=DF+CG．利用截长补短法，构造相似三角形解决问题即可；【精准解析】（1）如图1中，设CD交BF于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCO=90°，∵BF⊥DE，∴∠OFD=∠OCB=90°，∴∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，∵∠DOF=∠BOC，∴∠FBC=∠CDF．（2）①如图2，②结论：BF=DF+CG．理由：在线段FB上截取FM，使得FM=FD．∵∠BDC=∠MDF=45°，∴∠BDM=∠CDF，∵BD DM DC DF==∴△BDM ∽△CDF ，∴BM DM CF DF==∠DBM=∠DCF ，∴，∴∠CFE=∠FCD+∠CDF=∠DBM+∠BDM=∠DMF=45°，∴∠EFG=∠EFC=45°，∴∠CFG=90°，∵CF=FG ，∴CF ，∴BM=CG ，∴BF=BM+FM=CG+DF ．【名师指导】本题考查了正方形的性质，余角的性质，轴对称作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，通过截长补短法作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．30．（2021·北京海淀·一模）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是边BC 上一点，AE ED ⊥．（1）求证：ABE ECD ∽△△；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF EA =，连接DF 交BC 于点G ．若2,1AB BE ==，求GC 的长．【标准答案】（1）证明见解析 ；（2）32．【思路点拨】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出4EC =，5BC =，再证明AFD EFG V V ∽，再利用相似三角形的性质，即可求出GC 的长．。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——相似形练习题一、单选题1．（2022·北京西城·一模）△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1:2B．1:4C．1:8D．2．（2022·北京西城·二模）如图，在ABCD中，点E在BA的延长线上，2=，EC，BD交于点AB AEBD=，则DF的长为（）F．若10A．3．5B．4．5C．4D．53．（2021·北京东城·一模）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm4．（2021·北京西城·二模）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（）A．1：16B．16：1C．1：4D．1：25．（2020·（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH△AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH6．（2020·北京西城·一模）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m7．（2020·北京市海淀外国语实验学校模拟预测）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，CHG△的周长为n，则mn的值为（）AB．12C D．28．（2020·北京顺义·二模）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．设AE=x，矩形ECFG的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（）A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变D．y与x之间不是函数关系9．（2020·北京市第三十五中学二模）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若小明的眼睛与地面距离为1.5m ，则旗杆的高度为(单位：m)A ．163B ．9C ．12D ．643二、填空题10．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．11．（2021·北京·中考真题）某企业有,A B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a +小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b +小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到,A B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m n 的值为______________．12．（2022·北京·清华附中一模）如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE △B C ．如果32AD DB =，AC ＝10，那么EC ＝________．13．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，正方形ABCD ，E 是AD 上一点，113AE AD ==，CF BE ⊥于F ，则BF 的长为______．14．（2022·北京通州·一模）如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是______（写出一个即可）．15．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=____．16．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF△AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．17．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝_____m．18．（2022·北京房山·二模）如图，在ABC 中，点D 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，若1=AD DB ，则AE AC =__________．三、解答题19．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为1．对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是BC 延长线上的一点，AP 交BD 于点E ，交CD 于点H ，OP 交CD 于点F ，且EF 与AC 平行．（1）求证：EF △BD ．（2）求证：四边形ACPD 为平行四边形．（3）求OF 的长度．20．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）如图1，在ABC ∆中，90,,BAC AB AC BD CD ∠=︒=⊥于点D ，连接,AD 在CD 上截取CE ，使,CE BD =连接AE()1直接判断AE 与AD 的位置关系()2如图2，延长,AD CB 交于点F ，过点E 作//EG AF 交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；()3在()2的条件下，若2,AE EC ==EG 的长．21．（2022·北京西城·一模）已知：如图，线段AB ．求作：点C ，D ，使得点C ，D 在线段AB 上，且AC =CD =DB ．作法：△作射线AM ，在射线AM 上顺次截取线段AE =EF =FG ，连接BG ；△以点E 为圆心，BG 长为半径画弧，再以点B 为圆心，EG 长为半径画弧，两弧在AB 上方交于点H ； △连接BH ，连接EH 交AB 于点C ，在线段CB 上截取线段CD =AC ．所以点C ，D 就是所求作的点．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：△EH =BG ，BH =EG ，△四边形EGBH 是平行四边形．（______）（填推理的依据）△EH BG ∥，即EC BG ∥．△AC △______=AE △AG ．△AE =EF =FG ，△AE =______AG ． △13AC AB CD ==． △13DB AB =．△AC =CD =DB ．22．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ．当CP ＝6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DE FC EP=，因为DE ＝EP ，所以DF ＝FC ．可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值．(1)请按照小明的思路写出求解过程．(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了DP ＝MN 的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．23．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，过点A 作AE DC ∥交BC 边于点E ，过点E 作EF AB ∥交CD 边于点F ，连接AF ，过点C 作CH AF ∥交AE 于点H ，连接BH ．(1)求证：ABH EAF △≌△；(2)如图2，若BH 的延长线经过AF 的中点M ，求BE EC的值． 24．（2021·北京海淀·一模）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是边BC 上一点，AE ED ⊥．（1）求证：ABE ECD ∽△△；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF EA =，连接DF 交BC 于点G ．若2,1AB BE ==，求GC 的长．25．（2020·北京顺义·一模）已知，如图，△ABC 是等边三角形．（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，△BAC 的平分线交BD 于点E ，连接CE ．△求△AED 的度数；△用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系（直接写出结果）．（2）如图2，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，△BAC 的平分线交DB 的延长线于点E ，连接CE ．△依题意补全图2；△用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明．26．（2020·北京东城·二模）如图，ABC 内接于O ，AB 为直径，作OD AB ⊥交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O 的切线CE ，交OF 于点E（1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长．27．（2020·北京朝阳·模拟预测）如图△所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图△所示．△线段DG与BE之间的数量关系是；△直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图△所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．参考答案：1．B【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解．【详解】△△ABC 和△DEF 是两个等边三角形，△ABC DEF △△，且有相似比为：2142AB ED ==， 又△两个相似三角的面积比等于其相似比的平方， △2211()()24ABC DEF AB S ED S ===△△， 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键．2．C【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定即可解决问题．【详解】解：△四边形ABCD 是平行四边形，,//,AB CD AB CD ∴=2,AB AE =2,CD AE ∴=3,BE AB AE AE =+=22,33CD AE BE AE ∴== //,AB CD,CDF EBF ∴,CD DF BE BF∴= 10,BD =设,DF x =则10,BF x =-2,310x x∴=- ()3210,x x ∴=-3202,x x ∴=-4,x ∴=即 4.DF =故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．C【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为xcm，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【详解】△直角三角形两条直角边分别是30cm，40cm，△斜边50=，△要做一个与其相似的三角形木架，△两个三角形对应边成比例，△直角三角形中斜边最大，△以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为xcm，则有2种情况，△3050=60x，解得：100x=，△4050=60x，解得：75x=，△另两边中长度最大的一边最多可达到100cm，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键．4．A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，故正确的答案为：A【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．D【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF=FG∴=1CG∴=CGCD∴=△矩形DCGH为黄金矩形故选：D．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．6．C【分析】根据在同一时刻物高和影长比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．【详解】解：延长AC交BD延长线于点E，根据物高与影长成正比得：109 CDDE.=，△CD=1，△1109 DE.=解得：DE=0.9，则BE=2.7+0.9=3.6米，△AB△CD，△△ABE△△CDE，△AB BE CD DE=，即36 109 AB..=，解得：AB=4，即树AB的高度为4米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．7．D【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CH=x ，DE=y ，则m=4a ，根据折叠的性质可得△EHG=△A=90°，EH=AE ，可得EH=a-y ，DH=a-x ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得△DEH=△CHG ，可证明△DEH△△CHG ，根据相似三角形的性质可用a 、x 、y 表示出CG 、HG 的长，在Rt△DEH 中利用勾股定理可得x 2=2a(x-y)，表示出△CHG 的周长，进而可得答案．【详解】设正方形ABCD 的边长为a ，CH=x ，DE=y ，则m=4a ，△将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合，△△EHG=△A=90°，EH=AE ，△DH=a-x ，EH=a-y ，△△CHG+△DHE=90°，△DEH+△DHE=90°，△△CHG=△DEH ，△△D=△C=90°，△△DEH△△CHG ， △CH CG HG DE DH EH==，即：x CG HG y a x a y ==--， △CG=()x a x y -，HG=()x a y y -， 在Rt△DEH 中，EH 2=DE 2+DH 2，即(a-y)2=y 2+(a-x)2，△x 2=2a(x-y)， △n=CH+HG+CG=x+()x a x y -+()x a y y -=22ax x y-=2a ， △m n =42a a=2， 故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质及相似三角形的判定与性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．8．C【分析】设正方形的边长为(0)a a >，先根据正方形的性质得出,CB CD AB a BE a x ====-，90B BCD ∠=∠=︒，再根据矩形的性质得出90ECF F ∠=∠=︒，从而可得DCF ECB ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得2CE CF CD CB a ⋅=⋅=，由此即可得出答案．【详解】设正方形的边长为(0)a a >四边形ABCD 是正方形，AE x =90B BCD ∴∠=∠=︒，,CB CD AB a BE a x ====-四边形ECFG 是矩形90ECF F ∴∠=∠=︒90DCF DCE ECB DCE ∴∠+∠=∠+∠=︒DCF ECB ∴∠=∠又90F B ∠=∠=︒CDF CEB ∴~CD CF CE CB∴=，即2CE CF CD CB a ⋅=⋅= 则矩形ECFG 的面积2y CE CF a =⋅=因此，y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变故选：C ．【点睛】本题考查了矩形与正方形的性质、相似三角形的判定与性质、函数等知识点，利用矩形与正方形的性质正确找出两个相似三角形是解题关键．9．C【详解】分析：根据题意容易得到△CDE△△AEB ，再根据相似三角形的性质解答即可．详解：如图：△根据入射角与反射角相等可知,△CED=△AEB,故Rt △CDE△Rt △AEB ， △=CD DE AB BE ，即1.52=16AB ， 解得AB=12m.故选C.点睛：本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.10．1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中， AD BC ∥ ，90ABC ∠=︒，△14AE AF BC FC ==，4BC ==， △144AE =， △1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 11． 2△3 12【分析】设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得()41253x x +=-+，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为()()421233m n ++=++，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得： ()41253x x +=-+，解得：2x =，△分配到B 生产线的吨数为5-2=3（吨），△分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为2△3；△第二天开工时，给A 生产线分配了()2m +吨原材料，给B 生产线分配了()3n +吨原材料，△加工时间相同，△()()421233m n ++=++， 解得：12m n =， △12m n =； 故答案为2:3，12．【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．12．4【分析】由DE△BC ，推出32AD AE DB EC == , 可得EC=25AC , 由此即可解决问题． 【详解】解：△DE△BC ， △32AD AE DB EC ==， △AC=10，△EC=25AC =2105⨯=4， 故答案为4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13【分析】根据正方形的性质得到AB BC AD ==，90A ABC ∠=∠=，根据勾股定理得到BE【详解】△四边形ABCD 是正方形，△AB BC AD ==，90A ABC ∠=∠=， △113AE AD ==， △3AB BC AD ===，△BE△CF BE ⊥，△90CFB ∠=，△90ABE CBF CBF BCF ∠+∠=∠+∠=，△∠=∠ABE BCF ，△ABEFCB ∆∆， △AE BE BF BC =，△1BF =，△BF =【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 14．△ACD =△B （答案不唯一，或△ADC =△ACB 或=AD AC AC AB 均可） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．【详解】解：△△A =△A△添加△ACD =△B 或△ADC =△ACB 或=AD AC AC AB． 故答案是：△ACD =△B 或△ADC =△ACB 或=AD AC AC AB （答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．15．3．【分析】利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】△P ，Q 分别为AB ，AC 的中点，△//PQ BC ，12PQ BC =， △APQ ABC ∆∆∽， △211()24APQABC S S ∆∆==， △=1APQ S ∆，△=4ABC S ∆，△3ABC APQ PBCQ S S S ∆∆=-=四边形，故答案为：3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．16．3【分析】证明△AFD △△EBA ，得到AF AD DF BE AE AB==，求出AF ，即可求出AE ，从而可得EF ． 【详解】解：△四边形ABCD 为矩形，△AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝10，AD BC ∥，△△AEB ＝△DAF ，△△AFD △△EBA ， △AF AD DF BE AE AB==， △DF ＝6，△8AF ， △81063BE AE ==， △AE ＝5，△EF ＝AF －AE ＝8－5＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17．25【分析】先证明△AEF△△ACD 得到1.78.5＝15AE AE CG ++ ，即AE+15+CG ＝5AE ，再证明△CGH△△CAB 得到1.78.5＝15CG AE CG++，即AE+15+CG ＝5CG ，然后解关于AE 、CG 的方程组，从而得到AC 的长． 【详解】解：△EF△CD ，△△AEF△△ACD ， △EF CD ＝AE AC ，即1.78.5＝15AE AE CG++，即AE+15+CG ＝5AE ， △GH△AB ，△△CGH△△CAB ， △GH AB ＝CG CA ，即1.78.5＝15CG AE CG ++，即AE+15+CG ＝5CG ， △AE ＝CG ＝5，△AC ＝5+15+5＝25（m ）．故答案为25．【点睛】本题考查相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．18．12 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出1AE AD EC DB ==， 即可求解． 【详解】解：△ ABC 中，DE BC ∥，1=AD DB， △1AE AD EC DB ==， △AE EC =， △122AE AE AE AC AE EC AE ===+， 故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．19．（1）见解析；（2）见解析；（3 【分析】（1）根据正方形的性质求出AC △BD ，即可得出答案；（2）根据平行线得出DE OE ＝PE AE，求出AC △DP ，根据平行四边形的判定推出即可；（3）求出OE和EF的长，再根据勾股定理求出即可．【详解】（1）证明：△四边形ABCD是正方形，△AC△BD，△EF△AC，△EF△BD；（2）证明：△EF△AC，△PEPA＝EFOA，DEDO＝EFOC，△四边形ABCD是正方形，△AD△CP，OA＝OC，△PEPA＝DEDO，即PEAE＝DEOE，△AO△DP，△AD△CP，△四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：AC＝BD △四边形ACPD为平行四边形，△CP＝AD＝BC，△ADPB＝12，△AD△BP，△DEBE＝ADBP＝12，△DE＝13BD，OE＝OD﹣DE△DO ＝12BD △△DEF ＝△DOC ＝90°﹣△EDF ＝45°，△△DFE ＝45°，△EF ＝DE ，在Rt△OEF 中，由勾股定理得：OF 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20．（1）AE AD ⊥；（2）FG =，证明见解析；（3）1【分析】（1）证明()ACE ABD SAS ∆≅∆，由全等三角形的性质得出CAE BAD ∠=∠，再根据余角的性质得到90DAE BAE BAD ∠=∠+∠=︒即可判断；（2）过点B 作BM BD ⊥交DF 于点M ，证得BDM ∆为等腰直角三角形，则BD BM =，证明()CEG BMF AAS ∆≅∆，由全等三角形的性质得出CG BF =，由直角三角形的性质可得出结论；（3）设EG FM x ==，则2DF x =+，证明CEG CDF ∆∆∽，由相似三角形的性质得出EG CE DF CD=，则可得出答案．【详解】解：（1）AE AD ⊥；理由如下：如图，DBA DFB AFE ACE ∠+∠=∠+∠，DFB AFE ∠=∠，DBA ACE ∴∠=∠，CE BD =，AB AC =，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CAE BAD ∴∠=∠，△90BAC BAE CAE ∠=∠+∠=︒，△90DAE BAE BAD ∠=∠+∠=︒，即AE AD ⊥，故答案为：AE AD ⊥；（2）FG ；过点B 作BM BD ⊥交DF 于点M ，ACE ABD ∆≅∆，CAE BAD ∴∠=∠，AE AD =，CE BD =，90BAD BAE ∴∠+∠=︒，45ADE ∴∠=︒，BD CD ⊥，45BDM ∴∠=︒，BDM ∴∆为等腰直角三角形，BD BM ∴=，CE BM ∴=，//EG AF ，EGC MFB ∴∠=∠，,90,AB AC BAC =∠=︒45FBM ABD ∴∠+∠=︒，又45GCE ACE ∠+∠=︒，FBM GCE ∴∠=∠，()CEG BMF AAS ∴∆≅∆，CG BF ∴=，CG BG BF BG ∴+=+，FG BC ∴=， 2BC =，FG ∴=；（3）2AD AE ==，ADE ∆为等腰直角三角形，DE ∴= 2CE =，DC ∴=BD CE =2DM ∴=，CEG BMF ∆≅∆，EG FM ∴=，设EG FM x ==，2DF x ∴=+，//EG DF ，CEG CDF ∴∆∆∽， ∴EG CE DF CD =，∴123x x =+， 1x ∴=，经检验：1x =符合题意．1EG ∴=．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题．21．(1)见解析；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB ；13．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）先证明四边形EGBH 是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．【详解】（1）、补全图形如下图所示：（2）证明：△EH =BG ，BH =EG ，△四边形EGBH 是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）△EH BG ∥，即EC BG ∥．△AC △AB =AE △AG ．△AE =EF =FG ，△AE =13AG ． △13AC AB CD ==． △13DB AB =．△AC =CD =DB ．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB ；13． 【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．(1)见解析(2)正确，见解析【分析】（1）过E 作EG △BC 交DC 、AB 分别于F 、G ，结合平行线分线段成比例定理可得：DF DE FC EP =，由DE ＝EP ，可知DF ＝FC ，可求出EF 和EG 的值，再利用AB △CD ，可得EM EF EN EG=，进而可求得EM 与EN 的比值；（2）作MH △BC 交AB 于点H ，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB △CD ，可得△MNH ＝△CMN ，结合对顶角的性质可证得△DPC ＝△MNH ，进而可得△DPC △△MNH ，从而有DP ＝MN ．（1）解：过E 作直线GE 平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，（如图1），则DF DE FC EP=，GF ＝BC ＝12， △DE ＝EP ，△DF ＝FC ，△EF ＝12CP ＝162⨯＝3，EG ＝GF +EF ＝12+3＝15， △AB △CD ，△31155EM EF EN EG ===； （2）解：正确，证明：作MH △BC 交AB 于点H ，（如图2），则MH ＝CB ＝CD ，△MHN ＝90°，△△DCP ＝180°﹣90°＝90°，△△DCP ＝△MHN ，△AB △CD ，△△MNH ＝△CMN ，△NE 是DP 的垂直平分线，△△CMN ＝△DME ＝90°﹣△CDP ，△△DPC ＝90°﹣△CDP ，△△DPC ＝△MNH ，△△DPC △△MNH （AAS ），△DP ＝MN ．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．23．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）由ABC BCD ∠=∠， AE DC ∥可证明AB =AE ，再根据EF AB ∥证得△BAH =△AEF ，△ABC =△FEC ，进而得到EF =CF ，再证明四边形AHCF 是平行四边形得到AH =CF =EF ，再利用SAS 证明两三角形全等即可；（2）设CF =EF =AH =a ，BE CE=k ，证明△ABE △△FEC 得出AB =AE =ak ，再证明△ABM △△FGM (AAS )证得AB =GF =ak ，则GE =ak +a ，再证明△ABH △△EGH 得到AB AH EG EH =即111k k k =+-，解方程求出k 值即可解答.（1）证明：△ABC BCD ∠=∠， AE DC ∥，△△AEB =△BCD =△ABC ，△AB =EA ，△EF AB ∥，△△BAH =△AEF ，△ABC =△FEC ，△EF =CF ，△AE △CD ，CH △AF ，△四边形AHCF 是平行四边形，△CF =AH ，即AH =EF ，在△ABH 和△EAF 中，AB EA BAH AEF AH EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABH △△EAF （SAS ）；（2）解：延长BM 、EF 交于点G ，△AB △EF ，AE △CD ，△△ABE =△FEC ，△AEB =△FCE ，△ABM =△FGM ，△△ABE △△FEC ， △BE AB AE EC FE CF==， 由（1）知CF =EF =AH ，AB =AE ，设CF =EF =AH =a ，BE EC=k ，则AB =AE =ak ， △点M 为AF 的中点，△AM =MF ，在△ABM 和△FGM 中，ABM FGM AMB FMG AM MF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABM △△FGM (AAS )，△AB =GF =ak ，则GE =ak +a ，△AB △EF ，△△ABH =△EGH ，△BAH =△GEH ，△△ABH △△EGH ， △AB AH EG EH =， △ak a ak a ak a =+-即111k k k =+-，解得：k =1k =1-，经检验，k =1 △BEEC=k =1【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.24．（1）证明见解析 ；（2） 32． 【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，即可得到结论成立； （2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出4EC =，5BC =，再证明AFD EFG ∽，再利用相似三角形的性质，即可求出GC 的长．【详解】（1）证明：△四边形ABCD 是矩形，△90B C ∠=∠=︒．△90BAE AEB ∠+∠=︒．△AE ED ⊥，△90AED ∠=︒．△90AEB CED ∠+∠=︒．△BAE CED ∠=∠．△ABE ECD ∽．（2）解：△由（1）ABE ECD ∽△△， △AB EC BE CD=． △矩形ABCD 中，2,1CD AB BE ===，△4EC =．△5BC BE EC =+=．△//AD BC ，△AFD EFG ∽． △AD AF EG EF=． △AE EF =，△2AF EF =． △2AD EG =，即115222EG AD BC ===． △32CG EC EG =-=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题．25．（1）△45°，△2=BD CE ；（2）△见解析，△BD 2CE =-，证明见解析【分析】（1）△证明△AED ＝△D ＝15°，△BAE ＝30°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．△结论：2=BD CE ．作CK △BC 交BD 于K ，连接CD ．证明BE ＝EK ，DK AE 即可解决问题．（2）△根据要求画出图形即可．△结论：BD 2CE -．过点A 作AF △AE ，交ED 的延长线于点F （如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）解：△如图1中，△△ABC是等边三角形，△AB＝AC，△BAC＝60°，△AE平分△BAC，△△BAE＝1△BAC＝30°，2由旋转可知：AD＝AC，△CAD＝90°．△AB＝AD，△BAD＝150°，△△ABD＝△D＝15°，△△AED＝△ABD+△BAE＝45°．△结论：2BD CE．=理由：作CK△BC交BD于K，连接CD．△AB＝AC，△BAE＝△CAE，AE＝AE，△△AEB△△AEC（SAS），△BE＝EC，△AEB＝△AEC＝135°，△△BEC＝90°，△△EBC＝△ECB＝45°，△△BCK＝90°，△△CKB＝△CBE＝45°，△CB＝CE，△CE△BK，△BE＝EK，△△ADC＝45°，△ADB＝15°，△△CDK＝△CAE＝30°，△△CKD＝△AEC＝135°，△△CDK△△CAE，△DKAE＝CDAC，△DK，△BD＝BK+DK＝2BE AE．（2）解：△图形如图2所示：△结论：BD2CE-．理由：过点A作AF△AE，交ED的延长线于点F（如图3）．△△ABC是等边三角形，△AB＝AC，△BAC＝60°，△AE平分△BAC，△△1＝12△BAC＝30°，由旋转可知：AD＝AC，△CAD＝90°，△AB＝AD，△2＝△CAD﹣△BAC＝30°，△△3＝△4＝75°，△△5＝△4﹣△1＝45°，△AF△AE，△△F＝45°＝△5，△AF＝AE，△EF，△△6＝△EAF﹣△1﹣△2＝30°，△△6＝△1＝30°，又△△F＝△5＝45°，AD＝AB，△△ADF△△ABE（SAS），△DF＝BE，△AB＝AC，AE平分△BAC，△AE垂直平分BC，△CE＝BE，△BD＝EF﹣DF﹣BE，△BD﹣2CE．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（1）见解析；（2）AC=【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得△ACE+△A=90°，又△CDE+△A=90°，可得△CDE=△ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD△Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．【详解】（1）证明：连接OC，△CE与O相切，OC是O的半径，△OC CE⊥，△90OCA ACE ︒∠+∠=.△OA OC =，△A OCA ∠=∠，△90ACE A ︒∠+∠=.△OD AB ⊥，△90ODA A ︒∠+∠=.△CDE ACE ∠=∠，△EC ED =.（2）△AB 为直径，△90ACB ∠=.在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=，又DCE CDE ∠=∠，△90CDE ECF ︒∠+∠=，又△90CDE F ︒∠+∠=，△ECF F ∠=∠，△EC EF =.△3EF =，△3EC DE ==.在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =，△5OE =.△2OD OE DE =-=.在Rt OAD ∆中，AD =在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中，△A A ∠=∠，△Rt AOD Rt ACB ∆∆∽，△AO AD AC AB =，即4AC =，△AC = 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．27．（1）△BE ＝DG ，△BE △DG ；（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．理由见解析；（3）BG 2+DE 2＝25．【分析】（1）先判断出△ABE△△DAG ，进而得出BE=DG ，△ABE=△ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE△△DAG ，得出△ABE=△ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图△中，作ET△AD 于T ，GH△BA 交BA 的延长线于H ．设ET=x ，A T=y ．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）△如图△中，△四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，△AE ＝AG ，AB ＝AD ，△BAD ＝△EAG ＝90°，△△BAE ＝△DAG ，在△ABE 和△DAG 中，AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAG （SAS ），△BE ＝DG ；△如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由△知，△ABE △△DAG ，△△ABE ＝△ADG ，△△ATB +△ABE ＝90°，△△ATB +△ADG ＝90°，△△ATB ＝△DTH ，△△DTH +△ADG ＝90°，△△DHB ＝90°，△BE△DG，故答案为：BE＝DG，BE△DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图△中，延长BE交AD于T，交DG于H．△四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，△△BAD＝△DAG，△△BAE＝△DAG，△AD＝2AB，AG＝2AE，△ABAD＝AEAG＝12，△△ABE△△ADG，△△ABE＝△ADG，BEDG ＝12，△DG＝2BE，△△ATB+△ABE＝90°，△△ATB+△ADG＝90°，△△ATB＝△DTH，△△DTH+△ADG＝90°，△△DHB＝90°，△BE△DG；（3）如图△中，作ET△AD于T，GH△BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．。

2023年中考数学压轴题专题27 以相似为载体的几何
综合问题
以相似为载体的几何综合问题是中考数学压轴题中的常见题型。

这类问题通常涉及到相似三角形的性质、判定和比例关系，以及与三角形、四边形、圆等几何图形的综合应用。

解题思路：
1. 仔细审题，明确相似三角形：首先需要从题目中获取关键信息，明确相似三角形的对应关系，并标注在图形中。

2. 寻找相似条件：根据相似三角形的性质和判定定理，寻找三角形之间的相似条件。

这些条件可能包括角相等、边成比例等。

3. 推导比例关系：利用相似三角形的性质和比例关系，推导出其他线段之间的比例关系。

4. 求解未知量：根据比例关系和题目所给条件，求解出题目中的未知量。

5. 检验答案：最后需要对答案进行检验，确保答案符合题目的实际情况和数学逻辑。

常见题型举例：
1. 相似三角形与面积问题相结合：通过相似三角形的性质，将面积问题转化为线段比例问题，进而求解面积。

2. 相似三角形与动点问题相结合：利用相似三角形的性质，分析动点在不同位置时满足的条件，从而求解相关问题。

3. 相似三角形与最值问题相结合：通过相似三角形的性质，将最值问题转化为线段比例问题，进而求解最值。

4. 相似三角形与坐标几何相结合：利用相似三角形的性质和坐标几何的知识，求解几何图形的形状和位置关系。

总之，以相似为载体的几何综合问题是中考数学压轴题中的重要题型之一，需要学生熟练掌握相似三角形的性质、判定和比例关系等基础知识，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。

中考数学复习《相似》专项综合练习含答案一、相似1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得∴抛物线解析式为：y= x2−x−1∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1（2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-∴y=- x则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，- a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，a−1）把M代入y= x2−x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

相似三角形的性质和应用一、相似形的性质1． 相似三角形的性质 两个三角形相似，则它们的（1）对应角相等，对应边的比相等；——根据定义（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）周长比等于相似比；——容易证明（4）面积比等于相似比的平方．——需（2）成立 重点证明性质（2）如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的高， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的中线， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的角平分线， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．2． 相似多边形的性质： 相似多边形的（1）对应角相等，对应边的比相等． （2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．二、例题分析例1．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的周长之比为，面积之比等于．例2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC.上，Q在BC上，（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长．=12，两动点M、N分别在边AB、AC例3．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，（1）分别写出三个图中的面积y与边长x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）当x= ，y有最大值．三、应用举例测量旗杆的高度平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法例1.如图，小明站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．例2．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5 米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．四、知识总结学习几何知识的一般思路：。

2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DF DE AD = D ．BD BF AE DE= 3．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（ ）33554．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个6．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A ．512+ B ．512- C ．1 D ．2 8．如图，ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截(即：FG ∥BC)，若AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的（ ）99399．如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F ．若AB ∶BC ＝5∶3，DE ＝15，则EF 的长为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．25 10．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ） A ．5(5-1) B ．5(5+1) C ．10(5-2) - D ．5(3-5) 11．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2 12．已知线段a 、b 有52a b a b +=-，则:a b 为（ ） A ．5:1 B ．7:2 C ．7:3 D ．3:713．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =，反比例函数(0,0)k y k x x=>>经过点D ，则k =（ ）A ．2B 352C ．36D 3014．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（ ）A ．7.5B ．4.5C ．8D ．6二、填空题15．如图圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则:ABM AFM S S =△△___________．16．如图，点P 是ABC 的重心，过P 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 于点D ，E ，作//DF EB ，交CB 于点F ，若ABC 的面积为227cm ，则DFC △的面积为______2cm ．17．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．18．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213D D D B =，且33//DE BC ；…；1113n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________．19．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）问题发现如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）．（2）拓展探究在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD 上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示）【答案】（1）（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴由PG∥AB，PH∥AD可得， ,∵AB=a，BC=b∴，即 ,∴，故答案为（3）【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案为；（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴当AP=nPC时（n是正实数），∴PM= a∴四边形PMCN的面积= ，故答案为：．【分析】（1）由题意易得△PMC∽△ABC，可得比例式，由矩形的性质可得CM=PN，则结论可得证；（2）过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由辅助线和已知条件易得△PGM∽△PHN，则得比例式，由（1）可得比例式，即比值不变；（3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN的面积= .2．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P 是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴．∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2＋3m＋4）．①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，由△AQP∽△AOC得：，即：，∴（舍去）或．当时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（）；②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，由△AQP∽△AOC得：，即：，∴＝0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．综上所述：点P的坐标为（）或（）．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）．【分析】（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出抛物线的解析式；（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。

相似三角形有关的综合问题1重难点易错点辨析题一：已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE ＝3，连接BE ，与对角线AC 相交于点M ，则AMMC 的值是______．考点：注意分类讨论的完整性金题精讲题一：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，ABC α∠=．过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ．(1)求证：AC AD =；(2)点G 为线段CD 延长线上一点，将射线GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E ． ①若βα=，2GD AD =，如图2所示，求证：2DEG BCD S S ∆∆=；②若2βα=，GD kAD =，请直接写出DEG BCDS S ∆∆的值（用含k 的代数式表示）．图1 图2考点：相似三角形满分冲刺题一：在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．(1)如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EB DC的值； (2)如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．考点：相似三角形相似三角形有关的综合问题1讲义参考答案重难点易错点辨析题一：2或23． 提示 注意题中给出的“点E 在直线AD 上”这个条件，因此有两种情况．(1)点E 在线段AD 上时，如图(a )，△CBM ∽△AEM ．∴2MCBCAM AE ==；(2)点E 在AD 的延长线上时，如图(b )，△CMB ∽△AME ，∴23MC BCAM AE ==．金题精讲题一：(1) 如图，∵BD 平分ABC ∠，∴12∠=∠．∵AD ∥BC ，∴23∠=∠．∴13∠=∠．∴AB AD =．∵AB AC =，∴AC AD =．(2)①证明：过A 作AH BC ⊥于点H ．∴90AHB ∠=．∵AB AC =，ABC α∠=，∴ACB ABC α∠=∠=．∴1802BAC α∠=︒-．由(1)得=AB AC AD =．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴12BDC BAC ∠=∠．∴90GDE BDC α∠=∠=︒-.∵G ∠=β=αABC =∠，∴90G GDE ∠+∠=︒．∴90DEG AHB ∠=∠=︒．∴△D EG ∽△AHB ．∵2GD AD =，AB AD =，∴22S DEG GDS AHB BA ∆=∆=4．∵AD ∥BC ，∴2BCD ABC AHB S S S ∆∆∆==．∴2DEG BCD S S ∆∆=． ②2=DEG BCDS k S ∆∆．满分冲刺题一：(1)2EBDC =(2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ． ∴四边形EBFC 是平行四边形．∴CE ∥BF 且CE =BF ．∴∠ABF =∠A =90°．∵BF =CE =kAB ．∴BFk AB =．∵BD =kAE ，∴BDk AE =．∴BFBDAB AE =．∴DBF ∆∽EAB ∆．∴DFk BE =，∠GDB=∠AEB ．∴∠DGB =∠A =90°．∴∠GFC =∠BGF =90°．∵12CF EB DC DC ==．∴DF DF EB CF ==k ．。

备战中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案解析一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）解：结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴ = = ，∴CF=2DG（2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，∴EH=2DH=2 ，∴HM= =2，∴DM=CN=NK= =1，在Rt△DCK中，DK= = =2 ，∴△PCD的周长的最小值为10+2 ．【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG．理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG，从而判断出△DEG∽△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH，根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=，再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1，在Rt△DCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。

相似三角形的判定（2）
一、知识回顾
判定两个三角形相似的方法？
1．定义．
2．平行截出相似（预备定理）．
3．三个判定定理
（1）三边
（2）两边和夹角
（3）两角
二、知识巩固
例1．如图，在□ABCD中，EF//AB，DE:EA=2:3，EF=6，DB=10，求CD和BF的长．
例2．如图，P是□ABCD的边BC延长线上任意一点，AP分别交BD和CD 于点M和N．求证：AM2=MN•MP．
例3．如图，已知AB BC AC
AD DE AE
==.断∠BAD和∠CAE的大小关系，并
说明理由．
例4．如图，已知AC和BD相交于点E，CE•AE=BE•DE，△ABE与△DCE是否相似？
【变式应用】
如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．
例5．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的高．求证：
（1）（1）△ABC∽△ACD∽△CBD
（2）CD2=AD•BD；
AC2=AD•AB；
BC2=BD•AB．
（3）AC•BC=AB•CD．
（4）若AC=4，BC=3，求AB、CD、AD和BD的长．
例6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD与
△C BA是否相似？
例7．如图，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB 于F，求证：AE：ED=2AF：FB．
三、方法总结
3．证明方法小结
（1）根据已知，选择最佳判定方法；
（2）若证等积式，先化比例式．。

2020-2021北京中考数学相似综合题一、相似1．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．【答案】（1）解：如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，AB⊥OC，∴AC=BC=1，∠BOC=30°，∴OC= ，∴A（-1，），把A（-1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a= ；（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴，∵AC=4BC，∴ =4，∴AF=4FG，∵A的横坐标为-4，∴B的横坐标为1，∴A（-4，16a），B（1，a），∵∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∵∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOE=∠DAO，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△ADO∽△OEB，∴，∴，∴16a2=4，a=± ，∵a＞0，∴a= ；∴B（1，）；（3）解：如图3，设AC=nBC，由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），∴AD=am2n2，过B作BF⊥x轴于F，∴DE∥BF，∴△BOF∽△EOD，∴，∴，∴，DE=am2n，∴，∵OC∥AE，∴△BCO∽△BAE，∴，∴，∴CO= =am2n，∴DE=CO．【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

图形的相似一、预备知识1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ,或写成a mb n =．2．成比例线段:对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a：b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c：d ,则ad=bc；（2）若a:b=b：c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．练习。

已知四条线段a=0。

5m，b=25cm，c=0。

2m，d=10cm，试判断四条线段是否成比例？已知线段a、b、c、d，满足a cb d=，求证:a c ab d b+=+。

二、图形的相似1．相似形的概念：我们把形状相同的图形叫做相似形．2．相似多边形的概念:如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形．（1）相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．3．说明：(1)任何(边数相等的）正多边形都相似．（2)全等与相似的关系：全等就是相似比为1的相似（3）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A’B’C’中,如果∠A =∠A’， ∠B =∠B’， ∠C =∠C’， ''''''AB BC CA k A B B C C A ===即对应角相等，对应边的比相等，我们就说 △ABC 与△A’B’C’相似,记作△ABC ∽ △A’B’C’．△ABC 与△A’B’C’的 相似比为k ．三、例题分析例1．下列图形中,必是相似形的是（ )．A ．都有一个角是40°的两个等腰三角形B ．都有一个角为50°的两个等腰梯形C ．都有一个角是30°的两个菱形D ．邻边之比为2：3的两个平行四边形例2．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折,如果得到地两个矩形都和原来的矩形相似,那么原来矩形的长宽比是多少？例3．分别根据下列条件，说出各组相似三角形的对应边的比例式和相等的对应角．(1)△ABC与△ADE相似，其中DE//BC ．如果AD=4，BD=2,DE=3你能求出哪条线段的长?(2）△ABO与△A’B'O相似，其中OB：OB’=OA：OA' ．如果A′B′=2，A′O=1。

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，CF =6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A ．∠BAC ＝∠ADCB ．∠B ＝∠ACDC ．AC 2＝AD •BC D ．DC AB AC BC = 3．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）A ．42B ．2C ．1D ．34．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：45．如图，一次函数y ＝﹣2x +10的图象与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y轴于点D ，若52BC BD =，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．8 6．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点E ，则A E '的长为（ ）A ．72B ．4924C ．8425D ．91257．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．358．如图所示，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，请你计算，电线杆AB 的高为（ ）A ．5米B ．6米C ．8米D ．10米 9．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =B ．352BC AB -= C ．512AC AB +=D ．0.618AC AB ≈10．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．611．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m ==，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD的值为（ ）A ．1m n -B ．1m m n +-C ．1n m n +-D ．1n m - 12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1213．如图，在ABCD 中，7AB =，3BC =，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交的延长线于点E ，若2BF =，则线段EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．83D ．7414．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（ ）A ．7.5B ．4.5C ．8D ．6二、填空题15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点P 沿BC 边以2cm/s 的速度从点B 向点C 移动，同时点Q 沿CA 边以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动．若以点C 、P 、Q 构成的三角形与△ABC 相似，则运动时间为____________秒．16．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．17．如图，点D 是ABC 的边AB 上的一点，//DE BC 交AC 于点E ，作//DF AC 交BC 于点F ，分别记ADE ，BDF ，平行四边形DFCE ，ABC 的面积为1S ，2S ，3S ，S 有以下结论：①若12S S ，则DE 为ABC 的中位线；②若13S S =，则23BC DE =； ③()212S S S =+； ④3122S S S =．其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都填上）18．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．19．如图，在△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为________．20．如图，小思作出了边长为1的第1个等边三角形111A B C △，然后分别取111A B C △三边的中点2A ，2B ，2C ，作出了第2个等边三角形222A B C △，用同样的方法作出了第3等边三角形333A B C △．（1）111A B C △与222A B C △的面积比为______．（2）依此方法作下去，可得第n 次作出的等边三角形n n n A B C 的面积是______． 21．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．22．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．23．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点E ，若OB ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则OE 的长为_____．24．如图，点A 在反比例函数k y x =（k≠0）的图像上，点B 在x 轴的负半轴上，直线AB 交y 轴与点C ，若12AC BC =，△AOB 的面积为12，则k 的值为_______．25．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）26．如图，在△ABC 中，AE AF EB FC＝，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =20，则BC 的长为________．三、解答题27．如图在ABCD 中，点E 是BA 延长线上的点，过E 、A 、C 三点作O 分别交BC 于点F ，交AD 于点G ，直径EC EB =．（1）证明：EC 平分BCG ∠；（2）若6GC =，3HC EH =，求AG 的长度．28．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是(2,2)A ，(4,0)B ，(4,4)C -．（1）ABC S =______．（2）请画出ABC 向左平移6个单位长度后得到的111A B C △． （3）以点O 为位似中心，将ABC 缩小为原来的12，得到222A B C △，请在y 轴右侧画出222A B C △． 29．如图，抛物线213-222y x x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A （ ， ），C （ ， ）；（2）探究△ABC 的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m 取何值时线段PM 的长度取得最大值，最大值为多少？30．如图，△ABC 中，E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，EF ＝a ，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，（1）当CQ ＝12CE 时，求EP+BP 的值． （2）当CQ ＝13CE 时，求EP+BP 的值． （3）当CQ ＝1nCE 时，直接写出EP+BP 的值．【参考答案】一、选择题1．C2．D3．C4．B5．B6．D7．C8．C9．C10．D11．C12．C13．C14．A二、填空题15．或【分析】首先设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似然后分别从当即时△CPQ∽△CBA与当即时△CPQ∽△CAB去分析求解即可求得答案【详解】设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似∵点P从点B以2c16．b【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC⊥AC∴D1E1∥BC∴∵D1是斜边AB的中17．①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD求出AE=CE即可得出答案；②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN即可得出答案；③由平行线可得对应线段成比例再18．1:2【分析】由可得DF：FB=1:2又由DE∥BC可得△DFE和△BFC相似确定DE:BC【详解】解：设为1则为2∵∴DF：FB=1:2又∵DE∥BC∴△DFE∽△BFC∴DE:BC=DF:FB=19．【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积进而可求出△AOB的面积则k的值也可求出【详解】∵NQ∥MP∥OB∴△ANQ∽△AMP∽△AOB20．4：1；【分析】（1）由三角形中位线定理可得A2B2∥A1B1A2B2=A1B1=可证△C2B2A2∽△C1A1B1由相似三角形的性质可求解；（2）由三角形的中位线定理可求△AnBnCn的边长为由等21．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD进而可判定△ADF∽△EBF然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD＝BC∴△A22．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴23．225【分析】依据菱形的面积即可得到AH=48进而得出BH的长再根据相似三角形的对应边成比例即可得到BE的长进而得出OE的长【详解】解：∵菱形ABCD的对角线ACBD 相交于点OOB＝4∴BD＝8又∵24．12【分析】过点A作AD⊥y轴于D则△ADC∽△BOC由线段的比例关系求得△AOC和△ACD的面积再根据反比例函数的k的几何意义得结果【详解】过点A作AD⊥y轴于D则△ADC∽△BOC∴∵△AOB的25．或【分析】根据△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似∴△PDC是直角三26．10【分析】延长BQ交射线EF于点M先证明△BCQ∽△MEQ然后可得=根据EM=20即可得出答案【详解】解：如图延长BQ交射线EF于点M∵EF是ABAC的中点∴EF是△ABC 的中位线∴EF∥BC∴∠三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】由DE//BC可得出53AD AEBD EC==，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出53AE DEEC FC==，再根据CF＝6,即可求出DE的长度．【详解】解：∵DE//BC，∴53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ． 又∵∠ADE ＝∠EFC ，∴△ADE ∽△EFC ， ∴53AE DE EC FC ==， ∵CF ＝6， ∴563DE =， ∴DE ＝10．故选C【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．2．D解析：D【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD ∥BC ，得∠DAC ＝∠BCA 的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．【详解】解：A ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠BAC ＝∠ADC 时，则△ABC ∽△DCA ；B ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠B ＝∠ACD 时，则△ABC ∽△DCA ；C ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，由AC 2＝AD •BC 变形为AC AD BC AC =，则△ABC ∽△DCA ； D ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当DC AB AC BC=时，不能判断△ABC ∽△DCA ． 故选择：D ．【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键． 3．C解析：C【分析】如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．利用勾股定理求出BC ，再利用相似三角形的性质求出OH ，AH ，DH ，证明△DMH ∽△AOH ，构建关系式即可解决问题．【详解】解：如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴226BC AB AC -=，∵AD DB =，∴OD ⊥AB ，∵∠OAH=∠CAB ，∠AOH=∠ACB=90°，∴△AOH ∽△ACB ， ∴OH OA AH BC AC AB== ∴56810OH AH == ∴1525,44OH AH ==， ∵DH=OD-OH=155544-=， ∵DM ⊥AC ，∵∠DMH=∠AOH=90°，∠DHM=∠AHO ，∴△DMH ∽△AOH ， ∴DM DH AO AH=， ∴542554DM =， ∴DM=1，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 5．B解析：B【分析】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S．【详解】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，则有//BM CN ，∴BMD CND ∽，又52BC BD = ∴23BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上，∴2210223103k x x k x x⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩∴解得：112x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：22m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为22y x =+，∴点()0,2D ，∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，∴点()0,10F∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△又∵:2:5ABD ABC S S =△△， ∴55S 41022ABC ABD S ==⨯=， 故选：B ．【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．6．D解析：D【分析】过点D 作DF ⊥AB 于F ，易证四边形EFDC´是矩形，可得C´E=DF ,由勾股定理求得AB 的长，根据已知和相似三角形的判定可证明△ACB ∽△DFB ，可得AC AB DF BD=，J 进而求得DF 值，由A´E=A´C´﹣C´即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于F ，则∠DFB=90°，∵△ABC 绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，∴∠C=∠C´=∠A´EB=90°，AC=A´C´=7，CD=BD=12，∴四边形EFDC´为矩形，∴C´E=DF ，∵在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=7，BC=24，∴25==，∵∠C=∠DFE ，∠B=∠B ，∴△ACB ∽△DFB ， ∴AC AB DF BD =即72512DF =， ∴DF=8425=C´E ， ∴A´E=A´C´﹣C´E=7﹣8425=9125， 故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识的灵活运用，添加恰当的辅助线是解答的关键．7．C解析：C【分析】 先由23AB BC =得出25AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】 ∵23AB BC =， ∴25AB AC =， ∵a ∥b ∥c ， ∴25DE AB DF AC ==， 故选：C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．【详解】解：如图，假设没有墙，电线杆AB 的影子落在E 处，∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，∴CD ：DE=1：0.5=2：1，∴AB ：BE=2：1，∵CD=2，BE=BD+DE ，∴BE=3+1=4，∴AB ：4=2：1，∴AB=8，即电线杆AB 的高为8米，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解． 9．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴2AC BC AB =⋅，∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >， ∴510.618AC AB -=≈，则选项C 错误；选项D 正确； 513522BC AB AC AB AB AB =-=-=，则选项B 正确. 故选：C ．【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．10．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC=， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：D ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 11．C解析：C【分析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，易证△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则△BDG ∽△BCE ， ∴DG BD CE BC=， ∵1BD BC n =， ∴1DG BD CE BC n==， ∵1AE AC m =， ∴1m CE AC m-=, ∴DG=11m CE AC n mn-⋅= ∵DG ∥AC ，∴△DGF ∽△AEF ， ∴111m AC DF DG m mn AF AE n AC m--===， ∴1AD m n AF n +-=，即1AF n AD m n =+-， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．12．C解析：C【分析】根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，判断出DE BF =，在根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，便可以找到分的线段成比例。