湖北省武汉市武昌区高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

武昌区2011 -2012学年度第二学期期末调研考试．高二数学（理）试卷本试卷共5页，共21题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试舰利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、挂名、准考证号填写在答题卷指定位！，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码拈贴在答题卷上的指定位里．2.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题券上对应题目的答案标号涂黑，如常改动，用株皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．3.非选择题的作答：用黑色基水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在试题卷上或答题卷指定区域外无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有 一项是符合要求的．1.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD uuu r等于A. －BC uuu r ＋12BA u u u rB. －BC uuu r －12BA u u u rC 、BC uuu r －12BA u u u rD 、BC uuu r ＋12BA u u u r2、全集U=R 集合M ＝{x ｜｜x －12｜≤52}，P ＝{x ｜－1≤x≤4}，则()U C M B I 等于A 、{x ｜－4≤x≤－2}B 、{x ｜－1≤x≤3}C 、{x ｜3≤x≤4}D 、{x ｜3＜x≤4} 3．设i 是虚数单位．复数z ＝－12tan45°－isin60°，则z 2等于 A 、－12＋32i B 、－12－32i C 、12－32i D 、12＋32i 4.执行如图所示的程序框图，若输人的x 的值为2，则输出的x 的值为A. 23B. 16C. 11D. 55.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ），则该几何体的表面积及体积分别为 A. 24πcm 2，12πcm 3B. 15πcm 2，12πcm3C. 24πcm 2，36πcm3D.以上都不正确6.已知等比数列{na｝的前n项和为Sn，公比为q，且 .S3 ,4S9 ,7S6成等差数列，则q为A、18B、－18C、12D、－127.下列命题中正确的是A、若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B、“x＞1”是“x2＋x一2＞0”的充分不必要条件C、命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0”D、命题“若x2>1，则x＞1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”8.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x3一8，h（x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c则A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜a＜b9.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”，“直线”换成“平面”后仍是真命题，则称该命题为“可换命题”．下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是A.①②B.③④C.①③D. ①④10.已知函数f（x）＝，函数g（x）＝asin（6xπ）一2a＋2（a＞0），若存在x1，x2∈［0，1］，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是A、14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B、1(0,]2C、24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.已知角α的终边经过点P（－13），则cosα＝＿＿＿＿＿12.曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为＿＿＿＿．13.若变量x，y满足约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x2＋y2的最大值和最小值的和为＿＿＿．14.双曲线2222x ya b-＝1的－条渐近线的倾斜角为3π，离心率为e，则2a cb+的最小值为＿＿15.给出下列说法：①从匀速传递的产品生产线上每隔20分钟抽取一件产品进行某种检测，这样的抽样 为系统抽样；②若随机变量若ξ－N （1，4），(0)p ξ≤＝m ，则(01)p ξ<<＝12一m ； ③在回归直线^y =0. 2x ＋2中，当变量x 每增加1个单位时，^y 平均增加2个单位； ④在2×2列联表中，K 2＝13.079，则有99.9%的把握认为两个变量有关系． 附表：其中正确说法的序号为＿＿＿＿（把所有正确说法的序号都写上）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75“，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西300，距离为83 n mile ，货轮由A 处向正北方向经过2小时航行到达D 处，再看灯塔B 在北偏东1200.求：（I ）货船的航行速度（II ）灯塔C 与D 之间的距离（精确到1 n mile)．17.（本小题满分12分） 已知数列｛｝的前n 项和为n S 、且n S ＝1－12n a （*n N ∈）． （I ）求数列｛n a ｝的通项公式；（II ）已知数列｛n b ｝的通项公式b n ＝2n 一1，记n n n c a b =，求数列｛n c ｝的前n 项和n T ..18．（本小题满分12分）（III）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）19.（本小题满分12分）如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．（I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；（II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．20.（本小题满分13分）设椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，离心率为12， 在x 轴负半轴上有一点B ，且2BF u u u u r ＝21BF u u u r．（I ）若过A ，B ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3 ＝0相切，求椭圆C 的方程；（II ）在（I ）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在 x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果 存在，求出。

2022-2023学年度武昌区高二年级期末质量检测数学试卷考试时间：2023年6月28日满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★★项注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}13,0,1,2A x x B =<<=∣，则A B = （）A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】求交集可得答案.【详解】因为集合{}{}13,0,1,2A xx B =<<=∣，所以{}2A B ⋂=.故选：A.2.若2i i(i)(,R)a b a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则a b +=（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】B 【解析】【分析】利用复数乘法及相等求,a b ，即可得结果.【详解】由题设2i i 1a b +=-，故1,2a b =-=，所以1a b +=.故选：B3.某地GDP 的年平均增长率为6.5%，按此增长率，（）年后该地GDP 会翻两番（lg1.0650.0273≈，lg 20.301≈，结果精确到整数）A.20B.21C.22D.23【答案】D 【解析】【分析】根据增长率可构造指数方程，由指数与对数互化，结合对数运算法则可求得结果.【详解】设n 年后该地的GDP 会翻两番，则()1 6.5%4n+=，1.0652lg 220.301log 422.1lg1.0650.0273n ⨯∴==≈≈.故选：D.4.已知圆锥的表面积为2 m a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）A.m 3πB.m 3πC.m πD.m π【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线为l ，底面半径为R .由已知可得2l R =，进而根据圆锥的面积公式可求出3π3πR =，即可得出答案.【详解】设圆锥的母线为l ，底面半径为R .圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为l ，弧长为2πR ，由已知可得，π2πl R =，所以2l R =.所以，圆锥的表面积22ππ3πS Rl R R a =+==，所以3π3πR ==，所以，这个圆锥的底面直径为23π23πR =.故选：B.5.已知直线y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且AOB 为等边三角形，则m 的值为（）A. B. C.2± D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离d ，结合点到直线的距离公式列出方程求出m 的值即可.【详解】圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r =，若直线y x m =+与圆O 交于A ，B 两点，且AOB 为等边三角形，则圆心O 到直线y x m =+的距离d =又由点到直线的=m =，故选：D.6.购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为1p ，第二天物品的价格为2p ，且12p p ≠，则以下选项正确的为（）A.第一种方式购买物品的单价为1212+p p p p B.第二种方式购买物品的单价为122p p +C.第一种方式购买物品所用单价更低D.第二种方式购买物品所用单价更低【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得第一种策略平均价格为122p p +，第二种策略平均价格为12122p p p p +，利用作差法比较大小即可求解.【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m ，则平均价格为121222mp mp p p m ++=，故A 不正确；第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n ，第一次能购得该物品的数量为1n p ，第二次能购得该物品的数量为2np ，则平均价格为1212121222211p p n nnp p p p p p ==+++，B 错误；因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以12121222p p p p p p +>+，C 错误，D 正确.故选：D.7.已知函数ππ()sin 2sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该函数的单调递增区间是（）A.5π7ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B.7π5ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C.π11ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D.π13ππ,π2424k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【答案】B 【解析】【分析】根据三角恒等变换以及正弦函数的性质求解.【详解】πππππsin 2sin 2sin 2cos 233233y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当πππ2π22π2122k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得7π5πππ2424k x k -≤≤+，k ∈Z ，则函数单调递增区间为7π5ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选：B.8.设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b c a>>【答案】A 【解析】【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan xf x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x--，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xxg x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos 9cos 6x x <=<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()(0)0f x f >=，因此(0.01)0f >，即b c >．综上可得a b c >>．故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，,a b 可以作差进行比较大小，而,b c 的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知[0,π]α∈，则方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状可以是（）A.两条直线B.圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在x 轴上的双曲线【答案】ABD 【解析】【分析】分类讨论0α=，π02α<<，π2α=与ππ2α<≤四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.【详解】对于方程22cos 1(0π)x y αα+=≤≤，当0α=时，cos 1α=，方程为221x y +=表示圆心在原点，半径为1的圆；当π02α<<时，0cos 1α<<，则11cos α>，此时方程22cos 1x y α+=，即2211cos y x α+=表示焦点在y 轴的椭圆；当π2α=时，cos 0α=，此时方程21x =，即1x =±，表示两条直线；当ππ2α<≤时，1cos 0α-≤<，则11cos α-≥，此时方程22cos 1x y α+=，即2211cos y x α-=-表示焦点在x 轴的双曲线.综上可得符合依题意的有ABD.故选：ABD.10.已知平面向量(1,3)a =，(2,1)b =-，则（）A.a =B.(2)a b b -⊥C.a 与b夹角为锐角D.a 在b上的投影为15b【答案】AC 【解析】【分析】根据数量积及模的坐标表示计算可得.【详解】对于A：a ==r，故A 正确；对于B ：()()()221,32,14,5a b -=--= ，故(2)241530a b b -⋅=-⨯+⨯=-≠，所以2a b -与b不垂直，故B 错误；对于C：2cos ,010||||a b a b a b ⋅〈〉====>⋅，所以a与b的夹角为锐角，故C 正确；对于D ：21311a b ⋅=-⨯+⨯= ，b == 所以a 在b上的投影为5a b b⋅= ，故D 错误；故选：AC11.在A 、B 、C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人，则（）A.这个人患流感的概率为0.0485B.此人选自A 地区且患流感的概率为0.06C.如果此人患流感，此人选自A 地区的概率为3097D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人【答案】AC 【解析】【分析】设事件D ：选取的这个人患了流感，事件E ：此人来自A 地区，事件F ：此人来自B 地区，事件G ：此人来自C 地区，则D E F G = ，且E ，F ，G 彼此互斥，然后根据条件依次可得()P E 、()P F 、()P G 、(|)P D E 、()P D F ∣、()P D G ∣的值，然后根据全概率公式、条件概率公式、二项分布的知识逐一判断即可.【详解】记事件D ：选取的这个人患了流感，记事件E ：此人来自A 地区，记事件F ：此人来自B 地区，记事件G ：此人来自C 地区，则D E F G = ，且E ，F ，G 彼此互斥，由题意可得5()0.2520P E ==，7()0.3520P F ==，8()0.420P G ==，()0.06P D E =∣，()0.05P D F =∣，()0.04P D G =∣，对于A.由全概率公式可得()()()()()()()P D P E P DE PF P D F PG P D G =⋅+⋅+⋅∣∣∣0.25=⨯0.060.350.050.40.040.0485+⨯+⨯=，故A 正确；对于B.5()0.2520P E ==，()0.06P DE =∣，选自A 地区且患流感的概率为()()()0.015P DE P D E P E ==∣，故B 错误；对于C.由条件概率公式可得()()()0.250.0630()()()0.048597P DE P E P D E P ED P D P D ⋅⨯====∣∣，故C 正确；对于D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为0.0485，任意选取100个人，患流感的人数设为X ，则~(100,0.0485)X B ，即()1000.0485 4.85E X =⨯=，故D 错误.故选：AC.12.如图，已知二面角l αβ--的棱上有不同两点A 和B ，若C l ∉，D l ∉，AC α⊂，BD β⊂，则（）A.直线AC 和直线BD 为异面直线B.若2AC AB BD ===，则四面体ABCD 体积的最大值为2C.若3AC =，6AB =，4BD =，7CD =，AC l ⊥，BD l ⊥，则二面角l αβ--的大小为3πD.若二面角l αβ--的大小为3π，6AC AB BD ===，AC l ⊥，BD l ⊥，则过A 、B 、C 、D 四点的球的表面积为84π【答案】ACD 【解析】【分析】由异面直线的定义可判断A ；AC ⊥面ADB 且AB BD ⊥，此时四面体ABCD 体积的最大值，求出即可判断B ；在平面β内过A 作BD 的平行线AE ，且使得AE BD =，连接,CE ED ，四边形AEDB 是一个矩形，CAE ∠是二面角l αβ--的一个平面角，由余弦定理求出cos CAE ∠即可判断C ；取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，取AB 的中点M ，连接12,MO MO ，易知21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则213O MO π∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和1O 平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，求出1OO ，即可求出R ，可判断D.【详解】对于A ，由异面直线的定义知A 正确；对于B ，要求四面体ABCD 体积的最大值，则AC ⊥面ADB 且AB BD ⊥，此时四面体ABCD 体积的最大值：11142223323ADB V S AC =⋅=⨯⨯⨯⨯= ,故B 不正确；对于C ，在平面β内过A 作BD 的平行线AE ，且使得AE BD =，连接,CE ED ，四边形AEDB 是一个矩形，CAE ∠是二面角l αβ--的一个平面角，且AB ⊥面AEC ，所以ED ⊥面AEC ，从而2222227613CE CD ED CD AB =-=-=-=在AEC △中，由余弦定理可知：2222234131cos ,22342AC AE CE CAE AC AE +-+-∠===⨯⨯⨯所以3CAE π∠=.故C正确；对于D ，因为二面角l αβ--的大小为3π，6AC AB BD ===，AC l ⊥，BD l ⊥，如下图，所以平面ABC 与平面ABD 所成角的大小为3π，,CA AB AB BD ⊥⊥，取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，12,O O 为△,ABD △ABC 的外心，取AB 的中点M ，连接12,MO MO ，则21,,O M AB O M AB ⊥⊥所以21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则213O MO π∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和过1O 作平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，所以2OO ⊥面CAB ，1OO ⊥面DAB ，连接OM ，123O M O M ==，所以易证得：1O MO 与2O MO 全等，所以126OMO OMO π∠=∠=，所以在直角三角形1O MO，1111tan 3033OO OO OO MO ︒===⇒=OD R ====，则过A 、B 、C 、D 四点的球的表面积为2484S R ππ==.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.()()10211x x x ++-展开式中含4x 项的系数为___________.【答案】135【解析】【分析】先写出()101x -的展开式通式，然后根据x 的次数选择对应的系数计算即可.【详解】对于()101x -，其展开式的通式为()()1010C 1C rrr rr x x -=-，则展开式中含4x 项的系数为()()()4324321010101C 1C 1C 135-+-+-=故答案为：135.14.某次体检中，甲班学生体重检测数据的平均数是55kg ，方差为16；乙班学生体重检测数据的平均数是60kg ，方差为21.又甲、乙两班人数之比为3：2，则甲、乙两班全部学生体重的方差为__________.【答案】24【解析】【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解.【详解】甲、乙两班全部学生的平均体重为3255605755x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部学生的体重方差为()()222321657552157602455s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦.故答案为：24.15.已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,2，则AOB 的面积=__________.【答案】【解析】【分析】求出直线AB 的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由OA OB ⊥得到方程，然后求出p 的值，再求出12y y -，最后求出面积即可.【详解】点D 的坐标为()1,2，则2OD k =，又OD AB ⊥，且直线AB 过点()1,2D ，则直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理得250y x +-=，设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，直线AB 的方程为52xy =-，()()()1212121212125252102505x x y y y y y y y y y y ∴+=--+-+=+=，()1212250y y y y ∴-++=①，联立52x y =-与22(0)y px p =>，消去x 得24100y py p +-=，则1212410y y p y y p +=-⎧⎨=-⎩②，把②代入①，解得52p =，故12y y -===，又直线AB 与x 轴的交点为()5,0，所以12152ABO S y y =⨯⨯-=.故答案为：.16.已知函数2()e 1=-x f x x ，0x >时，()ln f x mx x ≥+，则实数m 的范围是__________.【答案】2m ≤【解析】【分析】先应用参数分离，构造新函数2e ln 1()x x x g x x--=，把恒成立转化为求()g x 最小值，二次求导根据单调性求最值即可.【详解】由题可得()ln f x mx x ≥+对任意,()0x ∈+∞恒成立，等价于2e ln 1x x x m x--≤对任意,()0x ∈+∞恒成立，令2e ln 1()x x x g x x --=，则2222e ln ()x x xg x x+'=，令22()2e ln x h x x x =+，则()221()4e 0xh x x x x'=++>，()h x ∴在(0,)+∞单调递增，1e 2ln2048h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ，1e ln2022h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()h x ∴存在唯一零点0x ，且011,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得022002e ln 0x x x +=，()g x ∴在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，()0200min00e ln 1()x x x g x g x x --∴==，22002e ln 0x x x += ，即01ln 2000000ln 1112e ln ln e x x x x x x x x =-==⋅，令()e xx x ϕ=，显然()ϕx 在(0,)+∞单调递增，则0012lnx x =，即0201e x x =，则()000000012122x x x x g x x x ⋅+-===，2m ∴≤.故答案为：2m ≤四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤17.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的上底面内有一点E ，点F 为线段1AA的中点.（1）经过点E 在上底面画一条直线l 与CE 垂直，并说明画出这条线的理由；（2）若112A E EC =，求CE 与平面11FB D 所成角的正切值.【答案】（1）连接1C E ，在上底面过点E 作直线l⊥1C E 即可,作图见解析.（2）【解析】【分析】（1）、连接1C E ，在上底面过点E 作直线l ⊥1C E 即可，推导出1CC l ⊥，l ⊥1C E ，得到l ⊥平面1CC E ，从而l⊥CE .（2）、以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出CE 与平面11FB D 所成角的正切值.【小问1详解】连接1C E ，在上底面过点E 作直线l⊥1C E 即可，则l ⊥CE .理由：1CC ⊥ 平面1111D C B A ，且l ⊂平面1111D C B A ，1CC l∴⊥又1l C E ⊥ ，111C E CC C = ，l ∴⊥平面1CC E ，CE ⊂ 平面1CC E ，l CE ∴⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,2,0C ，24(,,2)33E 22(,,2)33CE ∴=- .又(2,0,1)F ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，则()10,2,1FB = ，()12,0,1FD =-设平面11FB D 的一个法向量为(),,m x y z = ,则1100m FB m FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020y z x z +=⎧∴⎨-+=⎩()1,1,2m ∴=-设CE 与平面11FB D 所成角为θ，则sin cos ,CE m CE m CE m θ⋅===CE ∴与平面11FB D所成角的正切值为.18.给出以下条件：①tan tan 1A C A C -=+；②(2)cos cos c B A -=；③()sin sin sin a A c C b B -+=.请在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且__________.（1）求角B 的大小；（2）已知1c b =+，且角A 只有一解，求b 的取值范围.【答案】（1）π6B =（2）1b =.【解析】【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案；（2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有一解，即11022b b +<<或112b b+=，解出b 即可得出答案.【小问1详解】若选①：整理得1tan tan tan )A C A C -=+，因为πA B C ++=，所以tan tan 3tan tan()1tanAtanC 3A CB AC +=-+=-=-，因为()0,πB ∈，所以π6B =；若选②：因为()2cos cos =c B A，由正弦定理得()2sin cos cos =C A B B A ，则()2sin cos =+=C B A B C ，sin 0C >，则3cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π6B =；若选③：由正弦定理得222a cb +-=，所以222322a cb ac +-=，即3cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π6B =；【小问2详解】将1c b =+代入正弦定理sin sinC b c B =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b+=，因为π6B =，角A 的解只有一个，所以角C 的解也只有一个，所以10sin 2C <<或sin 1C =，即11022b b +<<或112b b+=，又0b >，所以1b =.19.在数列{}n a 中，已知132nn n a a ++=⋅，11a =．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明详见解析（2）()11522nn nS+--=+【解析】【分析】（1）通过凑配法证得{}2nn a -是等比数列.（2）利用分组求和法求得n S .【小问1详解】由132nn n a a ++=⋅，得11123222n n n n n n a a +++-+=⋅-=，即()1122n n n n a a ++-=--，所以{}2nn a -是首项为1121a -=-，公比为1-的等比数列.【小问2详解】由（1）得()()()()12111,21n n nn n n n a a --=-⨯-=-=+-.所以()()()122222111nn n S =++++-+-++- ()()()()()11112121115222121122n n n nn n ++⎡⎤--------⎣⎦=+=-+=+---.20.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y ℃关于时间()min x 的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．yω()()71iii x x y y =--∑()()71iii x x ωω=--∑73.53.8595- 2.24-表中：()711ln 25,7i i ii y ωωω==-=∑（1）根据散点图判断，①y a bx =+与②25x y d c =⋅+哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y 关于时间x 的回归方程：（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?附：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v av u u u ββ==--==--∑∑：②参考数据：0.08 4.09e 0.92,e 60,ln 7 1.9,ln 3 1.1,ln 20.7-≈≈≈≈≈．【答案】（1）②25x y d c =⋅+（2） 4.090.08e 25x y -=+（3）7.5分钟【解析】【分析】（1）根据散点图的走势即可对回归方程作出判断和选择；（2）把非线性回归方程25x y d c =⋅+化为线性回归直线方程，根据题中表格所给的数据计算求解即可；（3）由已知当茶水温度降至60℃口感最佳，即把60y =代入（2）中的回归方程，化简可得大约需要放置的时间；【小问1详解】根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②25x y d c =⋅+更适宜此散点的回归方程.【小问2详解】由25x y d c =⋅+有：25x y d c -=⋅，两边取自然对数得：ln(25)ln()ln ln x y d c d x c -=⋅=+⋅，设()ln 25y ω=-，ln a d =，ln b c =，则ln(25)ln ln y d x c -=+⋅化为：bx a ω=+，又012345637x ++++++==，()72128i i x x =∴-=∑，()()()717212.240.0828iii ii x x b x x ωω==---∴===--∑∑，3.850.083 4.09a bx ω∴=-=+⨯=，-0.080.08ln e b c c ∴=-==由得:， 4.094.09ln e a d d ==由＝得：∴回归方程为： 4.090.08 4.090.0825e e 25e 25x x x y d c --=⋅+=⋅+=+，即 4.090.08e 25x y -=+.【小问3详解】当60y =时，代入回归方程 4.090.08e 25x y -=+得： 4.090.0860e 25x -=+，化简得： 4.090.0835e x -=，即4.090.08ln 35x -=，又0.08 4.09e 0.92,e 60,ln 7 1.9,ln 3 1.1,ln 20.7-≈≈≈≈≈，4.090.08ln 35x ∴-=约化为：ln 600.08ln 35x -=，即()120.08ln 60ln 35lnln12ln 72ln 2ln 3ln 720.7 1.1 1.90.67x =-==-=+-≈⨯+-=0.67.50.08x ∴≈=∴大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点1F ，2F 为C 的左、右焦点，经过1F 且垂直于椭圆长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且1l 与椭圆交于A ，B 两点，2l 与直线1x =交于点P ，若11AF F B λ= ，且点Q 满足QA QB λ=，求线段PQ 的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）5【解析】【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，1l 为1x my =-，注意0m =情况，联立椭圆方程应用韦达定理求12y y +，12y y ，结合11AF F B λ= 、QA QB λ=坐标表示得到101220y y y y y y λ-=-=-，进而有120122y y y y y =+求Q ，再求P 坐标，应用两点距离公式得到PQ 关于m 的表达式求最值，注意取值条件.【小问1详解】对于方程22221x y a b +=，令x c =，则22221c ya b+=，解得2b y a =±，由题意可得22222312b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）得()11,0F -，若直线1l 的斜率为0，则2l 为=1x -与直线1x =无交点，不满足条件．设直线1l ：1x my =-，若0m =，则1λ=，则不满足QA QB λ=，所以0m ≠．设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩得：()2234690m y my +--=，()223636340m m ∆=++>，所以122634m y y m +=+，122934y y m =-+．因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩，则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=-，所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m ==-+，则04x =-，即Q 34,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线2l ：11x y m =--，联立111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得12x y m =⎧⎨=-⎩，即()1,2P m -，∴5PQ ==≥，当且仅当2=m或2m =-时,等号成立，∴PQ 的最小值为5．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知1()sin 1)1f x a x x x x =-+>-+，且0为()f x 的一个极值点．（1）求实数a 的值；（2）证明：①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点；②22111sin 121nk n k=-<<+∑，其中*N n ∈且2n ≥．【答案】（1）2a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()21cos 1(1)f x a x x =--+'，由0为()f x 的一个极值点，可得()00f '=，进而求解；（2）①当10-<≤x 时，由()0f x '≤，可得()f x 单调递减，由(]1,0x ∀∈-，可得()()01f x f =≥，此时函数()f x 无零点；当π02x <<时，设()21cos 1(1)g x a x x =--+，结合其导数分析单调性，结合()00g '>，π02g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭和零点存在性定理，可知存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x '=，进而得到()f x '单调性，结合()00f '=得到()f x 在()00,x 上单调递增；结合()00fx '>，π02f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，存在10π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到函数()f x 的单调性，可得而()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由()0f x '<，可得()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，再结合零点存在定理，可得函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点；当πx ≥时，由()0f x <，此时函数无零点，最后综合即可得证.②由（1）中()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单增，所以π0,4x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，有()()01f x f >=，可得11sin 121x x x ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭.令()212x k k =≥，利用放缩法可得2111sin 1k k k >-+，再结合sin x x <，分别利用累加发可得22111sin 21nk k n =>-+∑，2211sin 11n k k n =<-<∑，即可求证.【小问1详解】由1()sin (1)1f x a x x x x =-+>-+，则()21cos 1(1)f x a x x =--+'，因为0为()f x 的一个极值点，所以()020f a '=-=，所以2a =．当2a =时，()212cos 1(1)f x x x =--+'，当10x -<<时，因为函数()f x '在()1,0-上单调递减，所以()2110f x <--='，即()f x 在()1,0-上单调递减；当π02x <<时，()212cos 1(1)g x x x =--+，则()322sin (1)g x x x '=-++，因为函数()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()020g '=>，3π2202π12g ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理，存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '>，即()f x '单调递增，又因为()00f '=，所以()00,x x ∀∈，()0f x ¢>，()f x 在()00,x 上单调递增；.综上所述，()f x 在()1,0-上单调递减，在()00,x 上单调递增，所以0为()f x 的一个极值点，故2a =.【小问2详解】①当10-<≤x 时，()2110f x ≤--='，所以()f x 单调递减，所以对(]1,0x ∀∈-，有()()01f x f =≥，此时函数()f x 无零点；当π02x <<时，设()212cos 1(1)g x x x =--+，则()322sin (1)g x x x '=-++，因为函数()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()020g '=>，3π2202π12g ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理，存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '>，即()f x '单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，即()f x '单调递减．又因为()00f '=，所以()00,x x ∀∈，()0f x ¢>，()f x 在()00,x 上单调递增；因为()00f x '>，2π1102π12f '⎛⎫=--< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在10π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()01,x x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以，当()10,x x ∈时，()f x 单调递增，()()01f x f >=；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，()ππ120π2212f x f ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭+，此时()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()212cos 10(1)f x x x =-+'-<，所以()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，又π02f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()1π0π0π1f =-+<+，由零点存在定理，函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点；当πx ≥时，()12sin 2π101f x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点；综上所述，()f x 在区间()1,-+∞上存在唯一零点．②因为2π1104π14f ⎛⎫=-'> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）中()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性分析，知1π4x >，所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单增，所以对π0,4x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，有()()01f x f >=，即12sin 11x x x -+>+，所以11sin 121x x x ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭．令()212x k k =≥，则2222211111111sin 2111k k k k k k k k ⎛⎫>+>>=- ⎪++++⎝⎭，所以22111111111sin 2334121n k k n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，设()sin h x x x =-，10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos 10h x x '=-<，所以函数()sin h x x x =-在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，则()()sin 00h x x x h =-<=，即sin x x <，10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2211111sin(1)1k k k k k k <<=---，所以221111111sin1112231n k k n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，所以22111sin 121n k n k=-<<+∑.【点睛】关键点睛：本题第（2）②，关键在于先证明11sin 121x x x ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭，令()212x k k =≥，利用放缩法可得2111sin 1k k k >-+，再结合累加法即可得证.。

百度文库——让每个人平等地提升自我2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{y|y＝，x∈[1，4]}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．?2．（5分）已知复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：。

2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：合计对数学感兴趣对数学不感兴趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅【分析】分别求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=，x∈[1，4]}={y|1≤y≤2}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．2【分析】直接由复数商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率．【解答】解：∵点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，∴当x≥0，y≥0时，x+y≤2；当x≥0，y≤0时，x﹣y≤2；当x≤0，y≥0时，﹣x+y≤2；当x≤0，y≤0时，﹣x﹣y≤2．作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，∴到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为：p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得A（1，2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+2×2=5．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据题意运行程序得S=1+=从而得答案．【解答】解：执行程序得S=1++=故选：C．【点评】本题考查程序框图的运行．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）【分析】由题意知函数f（x）是奇函数，且在[1，a]上是个增函数，要比较2个函数值的大小，先看自变量的范围，再利用函数的单调性得出结论．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数；又a＞1，∴f（a）＞f（0），选项A一定成立；∵a≥＞≥1，∴f（）＞f（），选项B一定成立；∵﹣（﹣a）=＞0，∴＞﹣a，∴a＞=3﹣≥1，∴f（a）＞f（），两边同时乘以﹣1可得﹣f（a）＜﹣f（），即f（）＞f（﹣a），选项D一定成立；﹣（﹣3）=＞0，∴＞﹣3，∴3＞＞0，但不能确定3和是否在区间[1，a]上，∴f（3）和f（）的大小关系不确定，∴f（）与f（﹣3）的大小关系不确定，即选项C不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了抽象函数应用问题，是中档题．7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．进而判断出结论．【解答】解：条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．≠0时，∴△=﹣4（2﹣）≤0，∴≤0，即=．可知：由M推不出N，反之也不成立．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+co sωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，ω，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【解答】解：函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，可得=，可得a=1，π=可得ω=2，则f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），则f（0）=sin=1，①正确；当x∈[，]，可得2x+∈[，]，可得f（x）在[，]上单调递减，②正确；由f（）=sin（+）=，则③错误；由f（﹣）=sin（﹣+）=﹣，可得④正确．其中正确结论的个数为3．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，以AB、BD和CD为棱，把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，且长方体的对角线是外接球的直径；∴（2R）2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4，∴外接球O的表面积为4πR2=4π．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程可得y1y2，设C （x3，y3），D（x4，y4），则k1=，k2=，设AC，BD所在的直线方程可得y1y3=﹣16，y2y4=﹣16，由此可得的值．【解答】解：设过点F作斜率为k1的直线方程为：y=k1（x﹣1），联立抛物线C：y2=4x4可得：设A，B两点的坐标为：（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=﹣4，设C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，同理k2=，设AC所在的直线方程为y=m（x﹣4），联立，得my2﹣4y﹣16m=0，∴y1y3=﹣16，同理，y2y4=﹣16，则==．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．【分析】利用回归方程计算x=10求得的值即可．【解答】解：根据回归方程为=3.193x+88.193，令x=10，得=3.193×10+88.193=120.123，即受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．故答案为：120.123美元．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，然后求解几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以侧视图为底面的五棱柱，底面是直角梯形，底面直角边长为2，1，高为1，棱柱的高为3，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为6．=C6r（x2）6﹣r（）【分析】根据题意，由二项式定理分析可得展开式的通项T r+1r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，将r=1代入通项计算可得答案．=C6r（x2）6﹣r 【解答】解：根据题意，二项式（x2+）6的展开式的通项为T r+1（）r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，此时T2=C61x7=6x7，即含x7的系数为6，故答案为：6．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为（2（1﹣），2（1+））．【分析】令a=h（x）=x2e x﹣2xe x，求导h′（x），从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围．【解答】解：由题意得，x2e x=2xe x+a，∴a=h（x）=x2e x﹣2xe x，h′（x）=2xe x+x2e x﹣2e x﹣2xe x=e x（x2﹣2）令h′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令h′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴h（x）在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴h（x）极大值=h（﹣）=2（1+），h（x）极小值=h（）=2（1﹣），函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则只需y=a和y=h（x）图象有且只有三个零点，故a∈（2（1﹣），2（1+）），故答案为：（2（1﹣），2（1+））．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．①当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n=2a n﹣1+1，整理得：a n+1=2（a n﹣1+1），所以数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．则：，整理得：，当n=1时，a1=1符合通项．故：．（2）由（1）得：，所以：S n=a1+a2+a3+…+a n，=（21+22+23+…+2n）﹣（1+1+1+…+1），=，=2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：对数学感兴趣对数学不感兴合计趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=【分析】（1）根据表中数据计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据，计算观测值K2=≈11.7＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生学习数学的兴趣与数学成绩有关系；（2）由题意知数学成绩好的同学有25人，其中对数学感兴趣的有17人，从中抽取4人，设对数学感兴趣的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为，X01234P（X）数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=2.72．【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值可求A的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2，a=2，∴由正弦定理，可得：===2，可得：sinA=，∵A∈（0，π），∴A=，或．（2）∵由（1）可得：c=，a=2，cosA=，或﹣．∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：4=b2+2﹣2×，整理可得：b2±2b﹣2=0，解得：b=1+，或﹣1．=bcsinA=或．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）取BC中点O，连接OE，OD，可证BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，求解三角形证明DE⊥OE，再由线面垂直的判定可得直线DE⊥平面BCE；（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BC中点O，连接OE，OD，∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴AO⊥BC，OD⊥BC，又AO∩OD=O，∴BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，由AA1=3，AB=BC=AC=，可得AO=，∴OE=DE=，又OD=3，∴DE2+OE2=OD2，即DE⊥OE，又OE∩BC=O，∴直线DE⊥平面BCE；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（，0，0），D（0，0，3），E（0，﹣，），∴，，设平面BED的一个法向量为，由，取x=，得．取平面BCD的一个法向量为，∵cos＜＞=．且二面角E﹣BD﹣C为锐角，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的余弦值，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．【分析】（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得即可得出．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l 的方程与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，直线QA的方程为：y=（x﹣m），直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得M，N的坐标．根据MF1⊥NF1，可得•=0．又F1（﹣，0）．再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b 的值；（2）由y=ln（x+1）﹣x求得导数和单调性、最值，可得ln（x+1）≤x，由题意可得ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即有a，b的范围，进而得到ab的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（ax+b）﹣x的导数为f′（x）=﹣1，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，切线方程为y=﹣2x+1，可得ln（a+b）﹣1=﹣1，﹣1=﹣2，解得a=﹣1，b=2；（2）由y=ln（x+1）﹣x的导数为y′=﹣1=，当x＞0时，函数y递减；当﹣1＜x＜0时，函数y递增；可得y的最大值为0，即ln（x+1）≤x，当a＞0时，f（x）≤0恒成立，即x≥ln（ax+b）恒成立，只要ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即a=1，b≤1，可得ab≤1，即ab的最大值为1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．。