(新课程)高中数学1.2.1排列教案1 新人教A版选修2-3

1．2．1排列

第一课时

一、复习引入：

1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm 种不同的方法

分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制

二、讲解新课：

1问题：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素

解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3

名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．

把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3×2=6 种．

问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法

由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法

显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：

第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；

第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；

第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．

根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4×3×2=24

种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数：

123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，

312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。

同样，问题 2 可以归结为：

从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

所有不同排列是

abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,

cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.

共有4×3×2=24种.

树形图如下

a b ｃ ｄ

ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ

2．排列的概念： 从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

由2nA的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素12,,naaa中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2nA．由分步计数原理完成上述填空共有(1)nn种填法，∴2nA=(1)nn

由此，求3nA可以按依次填3个空位来考虑，∴3nA=(1)(2)nnn，

求mnA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAnnnnm，

排列数公式：

(1)(2)(1)mnAnnnnm

（,,mnNmn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：(1)(2)21!nnAnnnn（叫做n的阶乘）

另外，我们规定 0! =1 .

例1．用计算器计算： (1）410A； (2）518A; (3）18131813AA.

解：用计算器可得：

由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，51813181813AAA．那么，这个结果有没有一般性呢？即

!()!nmnnnmnmAnAAnm.

排列数的另一个计算公式：

(1)(2)(1)mnAnnnnm

(1)(2)(1)()321()(1)321nnnnmnmnmnm!()!nnm=nnnmnmAA.

即 mnA=!()!nnm

例2．解方程：3322126xxxAAA．

解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)xxxxxxx，

∵3x，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)xxxx，即2317100xx，

解得 5x或23x，∵3x，且xN，∴原方程的解为5x．

例3．解不等式：2996xxAA．

解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!xx，

也就是16(9)!(11)(10)(9)!xxxx，化简得：2211040xx，

解得8x或13x，又∵29x，且xN，

所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7．

例4．求证：（1）nmnmnnnmAAA；（2）(2)!135(21)2!nnnn．

证明：（1）!()!!()!mnmnnmnAAnmnnmnnA，∴原式成立

（2）(2)!2(21)(22)43212!2!nnnnnnnn

2(1)21(21)(23)312!nnnnnnn !13(23)(21)!nnnn135(21)n右边

∴原式成立

说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数mnA中，,mnN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

（2）公式(1)(2)(1)mnAnnnnm常用来求值，特别是,mn均为已知时，公式mnA=!()!nnm，常用来证明或化简

例5．化简：⑴12312!3!4!!nn；⑵11!22!33!!nn

⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!nn11!n

⑵提示：由1!1!!!nnnnnn，得!1!!nnnn，

原式1!1n

说明：111!(1)!!nnnn．