2010年考研数学一真命题及答案解析

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2010年考研数学一真题

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)极限𝑙𝑖𝑚𝑥→∞[𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)]𝑥=

(A)1 (B)𝑒

(C)𝑒𝑎−𝑏 (D)𝑒𝑏−𝑎

【考点】C。

【解析】

【方法一】

这是一个“1∞”型极限

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞[𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)]𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞{[1+(𝑎−𝑏)𝑥+𝑎𝑏(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)](𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)(𝑎−𝑏)𝑥+𝑎𝑏}(𝑎−𝑏)𝑥+𝑎𝑏(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)𝑥=𝑒𝑎−𝑏

【方法二】

原式=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)

而𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥𝑙𝑛(1+(𝑎−𝑏)𝑥+𝑎𝑏(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏))

=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥∙(𝑎−𝑏)𝑥+𝑎𝑏(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏) (等价无穷小代换)

=𝑎−𝑏

则𝑙𝑖𝑚𝑥→∞[𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)]𝑥=𝑒𝑎−𝑏

【方法三】

对于“1∞”型极限可利用基本结论： ~

若𝑙𝑖𝑚 𝛼(𝑥)=0, 𝑙𝑖𝑚 𝛽(𝑥)=0,且𝑙𝑖𝑚 𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)=𝐴

则𝑙𝑖𝑚(1+𝛼(𝑥))𝛽(𝑥)=𝑒𝐴,求极限

由于𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑥2−(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)∙𝑥

=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞(𝑎−𝑏)𝑥2+𝑎𝑏𝑥(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑎−𝑏

则𝑙𝑖𝑚𝑥→∞[𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)]𝑥=𝑒𝑎−𝑏

【方法四】

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞[𝑥2(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)]𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞[(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑏)𝑥2]−𝑥

=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞(1−𝑎𝑥)−𝑥∙𝑙𝑖𝑚𝑥→∞(1+𝑏𝑥)−𝑥=𝑒𝑎∙𝑒−𝑏=𝑒𝑎−𝑏

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(2)设函数𝑧=𝑧(𝑥,𝑦)由方程𝐹(𝑦𝑥,𝑧𝑥)=0确定，其中𝐹为可微函数，且𝑓′′2≠0,则𝑥𝜕𝑧𝜕𝑥+𝑦𝜕𝑧𝜕𝑦= 。

(A)𝑥 (B)𝑧

(C)−𝑥 (D)−𝑧

【答案】B。

【解析】

因为 𝜕𝑧𝜕𝑥=−𝐹𝑥′𝐹𝑧′=−𝐹1′(−𝑦𝑥2)+𝐹2′(−𝑧𝑥2)𝐹2′∙1𝑥=𝐹1′∙𝑦𝑥+𝐹2′∙𝑧𝑥𝐹2′, ~

𝜕𝑧𝜕𝑦=−𝐹𝑦′𝐹𝑧′=−𝐹1′∙1𝑥𝐹2′∙1𝑥=−𝐹1′𝐹2′

所以𝑥𝜕𝑧𝜕𝑥+𝑦𝜕𝑧𝜕𝑦=𝐹1′∙𝑦+𝐹2′𝑧𝐹2′−𝑦𝐹1′𝐹2′=𝐹2′𝑧𝐹2′=𝑧

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分

(3)设𝑚,𝑛为正整数，则反常积分∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛10𝑑𝑥的收敛性

(A)仅与𝑚的取值有关 (B)仅与𝑛的取值有关

(C)与𝑚,𝑛的取值都有关 (D)与𝑚,𝑛的取值都无关

【答案】D。

【解析】

本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在𝑥→0+和𝑥→1−时无界

∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛10𝑑𝑥=∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛120𝑑𝑥+∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛112𝑑𝑥

在反常积分∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛120𝑑𝑥中，被积函数只在𝑥→0+时无界。

由于√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛≥0，

𝑙𝑖𝑚𝑥→0+√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛1√𝑥𝑛=0

已知反常积分∫1√𝑥𝑛120𝑑𝑥收敛，则∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛120𝑑𝑥也收敛。

在反常积分∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛112𝑑𝑥中，被积函数只在𝑥→1−时无界，由 ~

于√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛≥0

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛1√1−𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→1−𝑙𝑛2𝑚(1−𝑥)(1−𝑥)12=0 (洛必达法则)

且反常积分∫𝑑𝑥√1−𝑥112收敛，所以∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛112𝑑𝑥收敛

综上所述，无论𝑚,𝑛取任何正整数，反常积分∫√𝑙𝑛2(1−𝑥)𝑚√𝑥𝑛10𝑑𝑥收敛。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(4)𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑛𝑖=1∑ 𝑛(𝑛+𝑖)(𝑛2+𝑗2)𝑛𝑗=1=

(A)∫𝑑𝑥10∫1(1+𝑥)(1+𝑦2)𝑥0𝑑𝑦 (B) ∫𝑑𝑥10∫1(1+𝑥)(1+𝑦)𝑥0𝑑𝑦

(C)∫𝑑𝑥10∫1(1+𝑥)(1+𝑦)10𝑑𝑦

(D)∫𝑑𝑥10∫1(1+𝑥)(1+𝑦2)10𝑑𝑦

【答案】D。

【解析】

因为

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑛𝑖=1∑ 𝑛(𝑛+𝑖)(𝑛2+𝑗2)𝑛𝑗=1=𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑛𝑖=1∑

𝑛𝑛(1+𝑖𝑛)𝑛2(1+(𝑗𝑛)2)𝑛𝑗=1

=𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑛𝑖=1∑ 1(1+𝑖𝑛)(1+(𝑗𝑛)2)𝑛𝑗=1∙1𝑛2

=∫𝑑𝑥10∫1(1+𝑥)(1+𝑦2)10𝑑𝑦

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

(5)设𝑨为𝑚×𝑛矩阵，𝑩为𝑛×𝑚矩阵，𝑬为𝑚阶单位矩阵，若 ~

𝑨𝑩=𝑬,则

(A)秩r(𝑨)=𝑚,秩r(𝑩)=𝑚 (B)秩r(𝑨)=𝑚,秩r(𝑩)=𝑛

(C)秩r(𝑨)=𝑛,秩r(𝑩)=𝑚 (D)秩r(𝑨)=𝑛,秩r(𝑩)=𝑛

【答案】A。

【解析】

因为𝑨𝑩=𝑬为𝑚阶单位矩阵，知𝑟(𝑨𝑩)=𝑚

又因 𝑟(𝑨𝑩)≤min (𝑟(𝑨),𝑟(𝑩)),故

𝑚≤𝑟(𝑨),𝑚≤𝑟(𝑩)

另一方面，𝑨为𝑚×𝑛矩阵，𝑩为𝑛×𝑚矩阵，又有

𝑟(𝑨)≤𝑚,𝑟(𝑩)≤𝑚

可得秩r(𝑨)=𝑚,秩r(𝑩)=𝑚

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩

(6)设𝑨为4阶实对称矩阵，且𝑨2+𝑨=𝟎，若𝑨的秩为3，则𝑨相似于

(A)[1

1

1

0] (B) [1

1

−1

0]

(C)[1

−1

−1

0] (D)[−1

−1

−1

0]

【答案】D。

【解析】

由𝑨𝜶=𝜆𝜶,𝜶≠𝟎知𝑨𝑛𝜶=𝜆𝑛𝜶，那么对于𝑨2+𝑨=𝟎推出来 ~

(𝜆2+𝜆)𝜶=𝟎⇒𝜆2+𝜆=0

所以𝑨的特征值只能是0、−1

再由𝑨是实对称矩阵必有𝑨~𝚲，而𝚲是𝑨的特征值，那么由𝑟(𝑨)=3,可知D正确

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

(7)设随机变量𝑋的分布函数𝐹(𝑥)={0, 𝑥<0,12, 0≤𝑥<1,1−𝑒−𝑥, 𝑥>1. ,则𝑃{𝑋=1}=

(A)0 (B)12

(C)12−𝑒−1 (D) 1−𝑒−1

【答案】C。

【解析】

𝑃{𝑋=1}=𝐹(1)−𝐹(1−0)=1−𝑒−1−12=12−𝑒−1

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质

(8)设𝑓1(𝑥)为标准正太分布的概率密度，𝑓2(𝑥)为[−1,3]上均匀分布得概率密度，若

𝑓(𝑥)={𝑎𝑓1(𝑥), 𝑥≤0,𝑏𝑓2(𝑥), 𝑥>0,(𝑎>0,𝑏>0) ~

为概率密度，则𝑎,𝑏应满足

(A)2𝑎+3𝑏=4 (B)3𝑎+2𝑏=4

(C)𝑎+𝑏=1 (D)𝑎+𝑏=2

【答案】A。

【解析】

根据密度函数的性质

1=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞−∞=∫𝑎𝑓1(𝑥)𝑑𝑥0−∞+∫𝑏𝑓2(𝑥)𝑑𝑥+∞0=𝑎∫𝑓1(𝑥)𝑑𝑥0−∞+𝑏∫𝑓2(𝑥)𝑑𝑥+∞0

𝑓1(𝑥)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在𝑥=0处，故

∫𝑓1(𝑥)𝑑𝑥0−∞=12

𝑓2(𝑥)为[−1,3]上均匀分布的概率密度函数，即

𝑓2(𝑥)={14， −1≤𝑥≤30，其他

∫𝑓2(𝑥)𝑑𝑥+∞0=∫14𝑑𝑥=3430

所以1=𝑎∙12+𝑏∙34,可得2𝑎+3𝑏=4

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）