化归思想在高中数学教学中的应用

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高中数学的化归思想应用

作者：李艳 崔子烽

来源：《文化产业》2014年第04期

摘 要：化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.

关键词：数学思想；化归与转化；基本原则；

中图分类号：G4 文献标识：A 文章编号：1674-3520（2014）-04-00139-01

化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.

化归与转化的思想，遵循以下五项基本原则： （1）化繁为简的原则. （2）化生为熟的的原则. （3）等价性原则. （4）正难反则易即逆向思维原则. （5）形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察，或者能够定性研究的具体问题.

高中阶段的基本数学思想包括：方程与函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等。在解决问题时，化归思想并不是孤立存在的，它与我们其它的各种思想相互联系着。比如我们在用方程思想解决实际问题时，需将实际问题转化为数学问题，体现了实际问题数学化的化归思想。用函数思想解决数学问题时，主要将特殊问题转化为函数问题；用分类讨论思想解决数学问题时，可把这个数学问题视为一个整体，依据划分标准将整体分为几个部分，对这几个部分进行解答时有时也要借助于化归思想的帮助；用数形结合思想解决数学问题一般是在化归思想的指导下进行几何问题和代数问题之间的相互转化，由“数”定“形”，由“形”定“数”，数形渗透。

下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.

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高中数学解题中“化归法”策略的探究

作者：马秀兰

来源：《师道·教研》2013年第03期

化归是转化和归结的简称，化归方法是数学解题的一般方法，它的基本思想是在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个（若干个）新问题，而新问题是相对较易解决的或已有固定模式解决的问题，通过对新问题的解决从而使原问题得到解决，其中转化的手段被称为化归途径或化归策略.下面就结合具体问题的解析，阐述用化归法解答数学疑难问题的常用途径.

1. 变更问题的条件或结论

为了寻找解题途径，有时需要把一个命题的条件或结论适当变化，转化为一个与原命题等价的命题.如问题1，就是变更问题的条件与结论将原问题转化为与之等价的、易求证的问题.通过对新命题的求解，从而使原命题得到解决.

问题1：已知：0

分析：由于00，a1-x■>0，自然会想到基本不等式a+b≥2■（a，b>0），再结合指数函数的单调性，最终将原来的问题转化为-x2+2x-1≤0这个简单而熟悉的问题.

从上面的解题过程可以看出，问题其实代表了一类问题的求解方法，即已知条件是等式，但要求证的是不等式，由条件出发，难以求证原命题，这时需要多次地将问题进行变形，使之转化，从而将原来的问题化归为熟知的及能解决的问题.

2. 变量代换

利用变量代换将形式较复杂且难以入手的问题化归为形式简单容易求解的问题.常用的变量代换为三角代换，当所要求证的结论中含有根式时，并且根式内是平方和的形式，一般采用三角换元法可以把根号去掉，使问题变得更简单，如问题2.

问题2：已知：x>y>0，求使不等式log■■>（log■t）

■恒成立的实数t的最小值.

分析：∵log■■=log2x-log2y，并考虑■的结构特点，可设log■■■x+log■■y=r2（r>0）.从而可得log2x=rcosθ，log2y=rsinθ， x>y>0，∴θ∈（0，■），因此不等式可化归为 r（cosθ-sinθ）

浅谈划归思想在数学中的应用

摘要：浅谈地分析了采用"论证和计算"相结合的思维模式,科学转换与划归解决的使用方式与途径,成为高中教育的必须一环,通过运用定义、定理、实验来作为理论,以思维方式与技能来作为实施指导,将现实繁杂难题科学转换为我们可以解决的简单难题,是我们迈入实战考场的必备工具,同时更是提高我们解题水平的先决因素,其核心内容在于培养矛盾判断,直觉思维,数学计算等有关问题的核心素养。

关键词：划归；转化；思维教育；

引言：

新一轮教育课程改革以来,认识并把握数学思维方式作为数学课的一项主要目标,虽然中职数学教材并未独立设置一章阐述数学思维方式,但化归法思维作为是中职数学较为主要的一门数学思维方式。中职数学教育应用的化归方法开展数学教育,化归法思维解题的方法,其实就是变化的方法,就是把现象加以变化、转换,直至将其化划分成一些已經解的现象,或易于处理的现象。

一、化归思想在数学中的体现

化归思想不但在数学知识点中得到了反映,而且也在数学的解题思想过程中得到了反映,以下重点研究了在高中数学知识点及其解题思想中所包含的化归思想。

（一）化归思想在方程求解中的体现

人们已经在掌握了一元每次方程的根基上,认识到了一元一次方程组和二元一次方程,在处理新认识的难题上,通过直接解决方法往往是难以实现的。所以,人们常常要求将难题向着已经掌握的、有着一定经验的方法目标方向去转变,在直接解决原方程问题上,人们也常常采用消元和降次的方式。"元",指的是未知数,如:两元,就是指微分方程中包含二个未知数。"次",指的是变数的次幂,如:两次,就是指原微分方程中所有不确定数量次幂的平均数全部为二。使用消元和降次,人们要么将原有微分方程全部变为不包含一个以上未知数的微分方程,要么将原有微分方程中未知量的平均数量全部变为一个,或者去掉平方部分。从实质上来说,消元与减次过程都是将复杂的、无法直接解决的过程转化成简便的、易于求解的过程,并且在此过程中也反映出化归思想。比如,当微分方程数量比较多的四次方程x4-5x2+4=0之后,用较直接的算法并不能解决,而是即使在x二=y之后就能够实现降幂,成为y2-5y+4=0,这样用一元二次方程的方法也能够解得同样果。

在高中数学教学中运用化归思想的案例分析　

山东省广饶县第一中学房臣钢　

数学中的化归思想的核心就是转化，把原来的问题进行转　

化，将难题变成我们所熟悉的问题来解决。那么在高中数学教　

学中，教师应该从根本上让学生了解化归思想的本质和运用方　

法，让学生明白在什么样的情况下可以运用化归思想解决问题，　让学生能够独立地运用这一思想。　

一、化归思想在高中数学教学中的意义　

我们不难发现，高中的数学学习，已经不仅仅是单一知识的　体现，而是很多知识的综合。但是因为学生繁重的学习压力，很　

多时候综合性的知识难以运用起来，所以综合性的题型便成为　了学生难以解决的问题，教师就要教会学生化归的方法，让学生　

能够独立地解决难题。化归的方法对于学生而言是把复杂转化　

为简单；对于教师而言，使教学变得更加简单有趣。　

二、化归原则以及相关案例分析　１．熟悉原则　

将陌生的问题转化为我们所熟悉的问题，以便利用我们熟　

知的知识来解决问题。　

例　＋ｆｌ＋Ｖ－２）Ｘ２－２＝０．　题目中要求三次方程，但是我们熟悉的是二次方程的解答，　所以我们要把陌生的三次方程转化成熟悉的二次方程来解决。　

我们把　看作成一个已知数，把、／　看成未知的。　

则设ｎ＝、／　，原来的方程就是ｘ３＋（１＋ｎ）ｘ２－ｎ：＝０．　

得出ｎ　或者ｎ　。电，所以　＝一、／　或者　＝　１（一１＋　Ｚ　

、／１＋４、／　减者　（一ｌ＿、／ｌ＋４、／　Ｚ　这样我们就运用熟悉化的原则将我们所不熟悉的问题顺利　

地解决了。　

２．简单原则　我们常常会遇到一些复杂的，综合性的题型，利用化归原则　

将问题进行简单化。　

例设Ⅳ，Ｍ，Ｑ做三个不等的不为零的数，并且给出ｎ＋上＝　ｍ　

，卅　＝口＋　，证明ｎ５ｎ２ｑＺ＝＿１．　ｑ　‘ｎ　这样的题目如果按照常规的方法进行求解，是无法解出得，　

我们将它简单化，把ｎ＋　十　，求ｎ　２＝１，所以ｒａｑ（ｎ—ｒａ）＝ｍ－ｑ，　ｍ　ｇ　

ｎｍ（ｎ—ｇ）＝ｍ—ｎ，　（ｍ—ｇ）　一ｎ，三个方程相乘结果证明　２＝１．