高中数学：函数值域11种常用求法，配方法、换元法最基本

函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x=故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

例1求函数 的值域。
解：∵ ，
∴ 的图像如图所示，
由图像知：函数 的值域为
例1求函数 的值域
解： 设
例2求函数Байду номын сангаас的值域。
解：由 = ，令 ，
因为 ， ，则 = ，
于是 ， ，
，所以 。
三、分离常数法
分子、分母是一次函数 的有理函数，可用分离常数法，将原函数化为 ，值域为
例1求函数 的值域
解：∵ ，∵ ，∴ ，
∴函数 的值域为
例2求函数 的值域
四、反解法
利用函数的定义域与值域的关系，通过将原函数变形，反解出x或者与x有关的式子，再根据原函数的定义域求出原函数的值域。
例1求函数 的值域。
解：令 ，则
（1）当 时， ，当且仅当t=1，即 时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0，综上所述，函数的值域为：
例2已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞ ，当a= 时，求函数f(x)的值域
例3求函数的值域：
解：
当且仅当 时，即 时等号成立，
，所以元函数的值域为 .
例4求函数 的值域.
解： ;ⅰ)当 时, , ,此时 ,等号成立,当且仅当 .ⅱ)当 时, , ,此时有
,
等号成立,当且仅当 .综上,原函数的值域为: .
八、数型结合法
函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例4求函数 的值域
例5求函数 的值域
五、判别式法
对形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即 从而求得y的范围，即值域。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，需要注意检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值。

求函数值域的解题方法总结（16种）一、 观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。

（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2x 1x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。

（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()2x x-y 2++=的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。

此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：x 4-155-x 2y +=的值域。

（答案：{}3y |y ≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。

函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

求函数值域的十种方法前言：求函数是高中数学的一项基本技能，而且在解高中数学题中是常用到的工具之一，由于求函数值域的方法很多，有时技巧要求很高，致使学生产生畏难情绪．我们试图介绍在求函数值域的十种方法，每一种方法各举了若干个典型例子并配以相应练习，以使学生能举一反三，掌握求函数值域这一高中数学的基本技能．这十种方法是１. 部分分式法；2. 配方法；3. 判别式法； 4. 反函数；5. 函数有界性法；6. 函数单调性法；7. 换元法；8. 数形结合法；9. 不等式法；10. 多种方法综合运用一. 部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 例1、求函数12++=x x y 的值域 解：利用恒等变形，得到：111++=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。

注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

例2、求函数122+--=x x xx y 的值域。

观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。

所以 ⎝⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,31⎢⎣⎡-∈y练习．求下列函数的值域：(1) 231--=x x y (2) 1122+-=x x y .答案：（１）值域),(),(3131+∞⋃-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1] 例3、求函数])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=x b a b a bxa bxa y 的值域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。

函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文介绍了十一种函数值域求法。

首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。

再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。

其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。

还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。

除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。

这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。

总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。

换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。

其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。

换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。

例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。

代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。

由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。

因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。

又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。

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例1. 已知，试求。

解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。

故得：。

说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。

（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4. 求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，，；（3）已知，求；（4）已知，求。

【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。

（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。

（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。

（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个程就行了。

【解题过程】⑴设，由得，由，得恒等式，得。

故所求函数的解析式为。

（2），又。

（3）设，则所以。

（4）因为①用代替得②解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数程问题，需建立关于的程组，如本例（4）。

12一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

函数的值域与表示知识集结知识元常见的求函数值域类型知识讲解一、定义函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．二、求函数值域的常用方法（1）公式法：适用于一次函数、二次函数、反比例函数及以后要学的基本初等函数，形如（且分式不可约）的值域为.（2）图象法：适用于能画出图象的函数，如，.（3）不等式性质法（包含观察法、配方法、分离常数法、有界法）：适用于解析式中只出现“一个”或通过变形化成只能出现“一个”函数，如：，等.（4）换元法：适用于无理式中含有自变量的函数，如等.（5）判别式：适用于形如（，不全为零且分式不可约）的函数.（6）方程思想（包括判别式法、反解法）：适用于可解出的解析式函数，如等.例题精讲常见的求函数值域类型例1.函数f（x）＝x＋1，x∈{﹣1，1，2}的值域是（）A．0，2，3B．0≤y≤3C．{0，2，3}D．[0，3]例2.函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（）A．（﹣∞，0）∪（，2]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）∪[2，＋∞）D．（0，＋∞）例3.函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，1）∪（1，＋∞）B．（﹣∞，0）∪（0，＋∞）C．（﹣∞，）∪（，＋∞）D．（﹣∞，）∪（，＋∞）例4.函数的值域是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的值域”的题目补充.例题精讲备选题库例1.函的值域是（）A．R B．[-1，1]C．{-1，1}D．{-1，0，1}例2.函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）例3.函数的值域为（）A．[-1，+∞）B．[0，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例4.已知，则函数f（x）=log2x的值域是（）A．[-3，-2]B．[-2，3]C．[-3，3]D．[-2，2]例5.函数y=2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．例6.已知函数f（x）=-，则函数f（x）的值域为（）A．[-3，0]B．[0，3]C．[-3，3]D．[3，12]例7.下列哪个函数的定义域与函数f（x）=（）x的值域相同（）A．y=|x|B．y=C．y=x+D．y=lnx例8.定义函数f（x）={x∙{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{-2.5}=-2，当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n=（）A．n B．C．D．图象法知识讲解1.图象法在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．2.函数图象的作法步骤①列表；②.描点；③.连线．注意：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）例题精讲图象法例1.若a＋b＝0，则直线y＝ax＋b的图象可能是（）A．B．C．D．例2.若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是（）A．B．C．D．例3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点例4.已知函数f（x）＝x2﹣2x，则下列各点中不在函数图象上的是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，3）C．（2，0）D．（﹣2，6）例5.可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．图象的平移变换知识讲解一、变换作图法设，.例题精讲图象的平移变换例1.已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，如图所示，则满足等式f（a﹣1）＝f（5）的实数a的值为．例2.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x＋k2的图象大致为（）A．B．C．D．例3.若函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应函数的解析式可以表示为（）A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|C．y＝f（﹣|x|）D．y＝﹣f（|x|）例4.函数y＝f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为．例5.将y＝f（x）的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为（）A．y＝3f（3x）B．C．D．函数的解析式知识讲解一、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．注意：函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象．二、求函数解析式的常用方法1.配凑法：原函数的表达式为，t是关于x的式子，要求的解析式，这是要把通过变形、整理，使其变为只含t与常数的式子，然后将t换成x，即可以得到的解析式，这种方法叫做配凑法.2.换元法：解题时，把某个式子看做整体，用一个新的变量取代替它，从而使问题简化，这种方法叫做配凑法.3.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型先设出函数解析式，再将对应值代入，利用恒等式原理求出待定系数即可.4.解方程组法（或消元法）：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法（或消元法）.5.赋值法：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当赋值，从而使问题简单化、具体化.例题精讲函数的解析式例1.若函数，，则f（x）＋g（x）＝．例2.已知a，b为常数，若f（x）＝x2＋4x＋3，f（ax＋b）＝x2＋10x＋24，则5a﹣b ＝．例3.已知f（x）＝2x＋3，g（x＋2）＝f（x），则g（x）等于（）A．2x＋1B．2x﹣1C．2x﹣3D．2x＋7例4.已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝（x≠0），则f（）等于（）A．15B．1C．3D．30例5.已知f（x＋1）＝2x2＋1，则f（x﹣1）＝．构造函数知识讲解例题精讲分段函数知识讲解1.定义分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．1.学习分段函数的注意事项（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一范围，然后选取相应的对应关系.要注意写解析式是各自端点的开闭，做到不重复、不遗漏.（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上值域的并集；分段函数的最大（小）值则是分别在没端上求出最大（小）值，然后取各个最大（小）值中的最大（小）值.例题精讲分段函数例1.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．13例2.函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定A＝{y|y ＝f（x），x∈P}，B＝{y|y＝f（x），x∈M}，给出下列三个判断：①若P∩M＝Φ，则A∩B＝Φ；②若P∪M＝R，则A∪B＝R；③若P∪M≠R，则A∪B≠R．其中错误的判断是（只需填写序号）．例3.已知函数f（x）＝则f（f（5））＝（）A．0B．-2C．-1D．1例4.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．例5.设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f （x2）＝f（x3），则x1＋x2＋x3的取值范围是（）A．（]B．（）C．（]D．（）列表法知识讲解1.列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．例题精讲列表法例1.设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与f[g（1）]相同的是（）A．g[f（1）]B．g[f（2）]C．g[f（3）]D．g[f（4）]例2.已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则f（g（1））＝．x123 f（x）213 g（x）321例3.已知函数分别由下表给出x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））＝．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的表示方法”的题目补充.例题精讲备选题库例1.直线l1：y=kx+b和直线l2：（k≠0，b≠0）在同一坐标系中，两直线的图形应为（）A．B．C．D．例2.函数f（x）=ln|x|-|x|的图象为（）A．B．C．D．例3.二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．（-∞，-6）∪（-6，+∞）B．（-∞，-2）∪（3，+∞）C．（-2，3）D．（-6，+∞）例4.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______________。

智愛高中數學 函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，Rx ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,215. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

函数求值域15种方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷可以用函数的单调性求值域。

⑸其他。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。

常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。

（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。

如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。

（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。

（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。

如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。

（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。

（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。

例如：12--+=x x y 。

（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。

如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。

求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。

练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。

练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。

七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。

4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。

构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
3 3 3
3
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。