九年级数学上册 23.1 图形的旋转同步练习 (新版)新人教版

23.1.2 图形的旋转知识点1.图形旋转的性质是：(1)旋转前后的图形 ；(2)对应点到旋转中心的距离 ； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于2.简单的旋转作图---旋转作图的步骤 （1）确定旋转 ； （2）找出图形的关键点；（3）将图形的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到此关键点的对应点；(4)按图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。

一、选择题1．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ） A ．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B ．图形上每一点移动的角度相同 C ．图形上可能存在不动的点D ．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等2．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ）3.如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（ ）。

A.60° B.90° C.72° D.120°4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（• ） A ．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B ．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C ．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D ．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°5 △ABC 绕着A 点旋转后得到△AB ′C ′，若∠BAC ′=130°，∠BAC=80°，•则旋转角等于（ ）A ．50°B ．210°C ．50°或210°D ．130° 二、填空题6．图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是_________.7．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD 绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，•其中BD=_________．8、如图，将△OAB绕点0按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=lcm，则A′B长是_______cm．9、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是___________.10．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，•∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+•DF•与EF的关系是________．11.如图，在直角坐标系中，已知点)0,3A、)4,0(B，对△OAB连续作旋转变换，依次得(到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为__________．三、综合提高题12.观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？13.如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A 、O 、C 三点在同一条线上，△AOB 与△COD 是能够重合的图形。

23.1 旋转【A组-基础题】1．下列运动形式属于旋转的是( )A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪2．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．对角线垂直的任意四边形3．下面四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）A．B．C．D．4．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A 在边B′C上，则∠B′的大小为( )A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°6．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（2，0）7．(2018丽水市中考)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°8．（2019天津市中考）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（ ）A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠9．（2020苏州市中考）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''∆．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为（ ）A ．18︒B ．20︒C ．24︒D ．28︒10．（2020大连市中考）如图，ABC 中，90,40ACB ABC ︒︒∠=∠=．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则'CAA ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒11．如图，已知△ABC ，D 是AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转，恰好能与△EDC 重合．若∠A ＝33°，则旋转角为_____°．12．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转_________度，会与原图案重合．【B 组-提高题】13．（2020绍兴市中考）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠PAH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小14．（2020宁夏中考）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．15．（2020张家界中考）如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是______．16．（2020恩施市中考）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：()2,0A -，()1,2B ，()1,2C -．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为______．17．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是斜边AB 上一动点（点D 与点A 、B 不重合），连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接AE ，DE ．（1）求△ADE 的周长的最小值；（2）若CD=4，求AE 的长度．18．（2020东营市中考）如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值．。

23.1图形的旋转一、选择题（共 5 小题）1．如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=2，将△ ABC绕点 C 顺时针方向旋转60°后得到△ EDC，此时点 D 在斜边 AB上，斜边DE交 AC于点 F．则图中暗影部分的面积为（）A．2B．C．D．2．如图，在△ ABC中，∠ CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点 A 旋转到△ AB′C′的地点，使得CC′∥ AB，则∠ BAB′=（）A．30° B ．35° C ．40° D ．50°3．如图，将△ ABC绕点 A 逆时针旋转必定角度，获得△ADE．若∠ CAE=65°，∠ E=70°，且AD⊥ BC，∠ BAC的度数为（）A．60° B ．75° C ．85° D ．90°4．以下四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完整重合的是（）A．B．C．D．5．把一副三角板如图甲搁置，此中∠ACB=∠DEC=90°，∠ A=45°，∠ D=30°，斜边A B=6， DC=7，把三角板DCE绕点C 顺时针旋转15°获得△ D CE （如图乙），此时11AB与CD 交于点1 O，则线段AD1的长为（）A．B．5C．4D．二、填空题（共11 小题）6．如图，△ ABC和△ A′B′C是两个完整重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角极点C顺时针旋转，当点A′落在 AB边上时， CA′旋转所组成的扇形的弧长为______cm．7．如图，在直角△OAB中，∠ AOB=30°，将△OAB绕点 O逆时针旋转100°获得△OA1B1，则∠A1OB=°．8．如图，Rt △ABC的斜边 AB=16，Rt △ ABC绕点 O顺时针旋转后获得 Rt △A′B′C′，则 Rt△A′B′C′的斜边 A′B′上的中线 C′D的长度为 ______．9．如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为 1cm 的正方形，△ ABC的三个极点都在格点上，将△ ABC 绕点 O逆时针旋转 90°后获得△ A′B′C′（此中 A、 B、 C 的对应点分别为 A′， B′， C′，则点 B在旋转过程中所经过的路线的长是______cm．（结果保存π）10．如图，是两块完整同样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△ A′B′C′，现将两块三角板重叠在一同，设较长直角边的中点为 M，绕中点 M转动上边的三角板 ABC，使其直角极点 C恰巧落在三角板A′B′C′的斜边 A′B′上，当∠ A=30°， AC=10 时，则此时两直角极点 C、C′间的距离是______．11．如图，正方形ABCD的对角线订交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是______．12．如下图，将△ABC绕 AC的中点 O顺时针旋转180°获得△ CDA，增添一个条件______，使四边形 ABCD为矩形．13．如图，将△ ABC绕此中一个极点顺时针连续旋转 n′1、n′2、n′3所获得的三角形和△ ABC的对称关系是 ______．14．如图，在△ ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ ABC绕点 A 按顺时针旋转必定角度获得△ADE，当点 B 的对应点D恰巧落在BC边上时，则CD的长为______．15．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=α，将△ ABC绕点 C 按顺时针方向旋转后获得△ EDC，此时点 D 在 AB边上，则旋转角的大小为 ______．16．如图，△ AOB中，∠ AOB=90°， AO=3， BO=6，△ AOB绕极点 O逆时针旋转到△ A′OB′处，此时线段 A′B′与 BO的交点 E 为 BO的中点，则线段 B′E的长度为 ______．三、解答题（共 6 小题）17．如下图，正方形ABCD中， E 是 CD上一点， F 在 CB的延伸线上，且DE=BF．（1）求证：△ ADE≌△ ABF；（2）问：将△ ADE顺时针旋转多少度后与△ ABF重合，旋转中心是什么？18．四边形ABCD是正方形， E、F 分别是 DC和 CB的延伸线上的点，且DE=BF，连结 AE、 AF、 EF．（1）求证：△ ADE≌△ ABF；（2）填空：△ ABF能够由△ ADE绕旋转中心 ______ 点，按顺时针方向旋转 ______ 度获得；（3）若 BC=8， DE=6，求△ AEF的面积．19．如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形ABCD和一个长为2、宽为 1 的长方形CEFD拼在一同，组成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点 C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点 D′恰巧落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值；（2）如图 2，G为 BC中点，且 0°＜ a＜90°，求证： GD′=E′D；（3）小长方形 CEFD绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△ DCD′与△ CBD′可否全等？若能，直接写出旋转角 a 的值；若不可以说明原因．20．将△ ABC绕点 B 逆时针旋转α 获得△ DBE，DE的延伸线与AC订交于点F，连结 DA、 BF．（1）如图 1，若∠ ABC=α=60°， BF=AF．①求证： DA∥BC；②猜想线段DF、 AF 的数目关系，并证明你的猜想；（ 2）如图 2，若∠ ABC＜α， BF=mAF（ m为常数），求的值（用含m、α 的式子表示）．21．某校九年级学习小组在研究学习过程中，用两块完整同样的且含60°角的直角三角板ABC与 AFE按如图（ 1）所示地点搁置搁置，现将Rt △ AEF绕 A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2）， AE 与BC交于点M，AC与EF 交于点N， BC与EF交于点P．（1）求证： AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形 ABPF是什么样的特别四边形？并说明原因．22．如图 1，在△ ABC中，∠ A=36°， AB=AC，∠ ABC的均分线BE 交 AC于 E．（1）求证： AE=BC；（2）如图（ 2），过点 E 作 EF∥ BC交 AB 于 F，将△ AEF绕点 A 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 144°）获得△ AE′F′，连结 CE′， BF′，求证： CE′=BF′；（ 3）在（ 2）的旋转过程中能否存在CE′∥ AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明原因．23.1图形的旋转参照答案一、选择题（共 5 小题）1．C； 2． C；3． C； 4． A； 5． B；二、填空题（共 11 小题）6．；7．70；8．8；9．π； 10． 5；11． 15°或 165°； 12．∠ B=90°； 13．对于旋转点成中心对称； 14． 1.6 ；15． 2a ； 16．；三、解答题（共 6 小题）17．18．A； 90；19．20．21．22．。

人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转同步训练（含答案）一、选择题（本大题共10道小题）1. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2. 如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是( )A．点A B．点BC．点C D．点D3. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )A．①④B．②③C．②④D．③④4. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是( )A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( )A．(－1，2) B．(1，4)C．(3，2) D．(－1，0)6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( )A.10 B．2 2C．3 D．2 57. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)8. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )A．4 B．2 5C．6 D．2 69. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是( )A．AC＝AD B．AB⊥EBC．BC＝DE D．∠A＝∠EBC10. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2，0) D．(3，0)二、填空题（本大题共5道小题）11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A 在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．12. 一副三角尺如图21－K－5放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．图21－K－513. 分类讨论如图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________．教师详解详析14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D 恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．15. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．三、解答题（本大题共3道小题）16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．17. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．18. (1)如图(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转同步训练（含答案）-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析] 平行四边形绕其对角线的交点旋转能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故A错误；矩形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故B错误；菱形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故C错误；正方形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是90°.故选D.2. 【答案】B [解析] 旋转中心到对应点的距离相等．3. 【答案】D [解析] 先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.4. 【答案】B [解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．5. 【答案】C6. 【答案】A [解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.7. 【答案】A [解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选A.8. 【答案】D [解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2 5.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝2 6.故选D.9. 【答案】D [解析] 由旋转的性质可知，AC＝CD，但∠A不一定是60°，所以不能证明AC＝AD，所以选项A错误；因为旋转角度不定，所以选项B不能确定；因为不确定AB和BC的数量关系，所以BC和DE的数量关系不能确定，所以选项C不能确定；由旋转的性质可知∠ACD＝∠BCE，AC＝DC，BC＝EC，所以2∠A＝180°－∠ACD，2∠EBC＝180°－∠BCE，从而可证选项D是正确的．10. 【答案】A二、填空题（本大题共5道小题）11. 【答案】(－2，2) [解析] △ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A的对应点的坐标为(－2，2)．12. 【答案】15°或60°[解析] 分情况讨论：①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.故答案为15°或60°.13. 【答案】(4，4)或(1，1)[解析] (1)若点A和点D、点B和点C分别为对应点，如图①，分别作线段AD，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P1(4，4)即为旋转中心；(2)若点A和点C、点B和点D分别为对应点，如图②，分别作线段AC，BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P2(1，1)即为旋转中心．综上所述，旋转中心的坐标是(4，4)或(1，1)．14. 【答案】15°[解析] 由旋转的性质可知AB＝AD，∠BAD＝150°，∴∠B＝∠ADB＝12×(180°－150°)＝15°.15. 【答案】9＋3 3 [解析] 将y＝1代入y＝－33x，解得x＝－ 3.∴AB＝3，OA＝2，且直线y＝－33x与x轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋63. ∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋3 3.三、解答题（本大题共3道小题）16. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°.∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°.∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.17. 【答案】 解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD－DM＝20.②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，∴AM＝20 2.当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，∴AM＝10 10.综上所述，满足条件的AM的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD1，由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2.∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，∴CD1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.18. 【答案】解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.∴DG＝DE，CG＝BE.又∵DE⊥DF，∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF.②BE2＋CF2＝EF2.证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.(2)EF＝BE＋CF.证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，∴将△CDF绕点D逆时针旋转120°得到△BDM，∴△BDM≌△CDF，∴DM＝DF，BM＝CF，∠BDM＝∠CDF，∠DBM＝∠C.∵∠ABD＋∠C＝180°，∴∠ABD＋∠DBM＝180°，∴点A，B，M共线，∴∠EDM ＝∠EDB ＋∠BDM ＝∠EDB ＋∠CDF ＝∠BDC －∠EDF ＝120°－60°＝60°＝∠EDF.在△DEM 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DE ，∠EDM ＝∠EDF ，DM ＝DF ，∴△DEM ≌△DEF ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋CF.。

人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转同步训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)2. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30°B．90°C．120°D．180°3. 如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是()A．点A B．点BC．点C D．点D4. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A．(－4，1) B．(－1，2)C．(4，－1) D．(1，－2)6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为()A.10 B．2 2C．3 D．2 57. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2，0) D．(3，0)8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C 逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．10. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.11. 把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_______．12. 在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________．13. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________ cm.16. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE 交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；(3)在(2)的条件下，求点A所经过的路径长(结果保留π)．19. (1)如图(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．20. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD. 求证：BD2＝AB2＋BC2.人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转同步训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.2. 【答案】C3. 【答案】B[解析] 旋转中心到对应点的距离相等．4. 【答案】D5. 【答案】D6. 【答案】A[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.7. 【答案】A8. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选A.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】(1，0)10. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.11. 【答案】y＝－x2－2x－3[解析] 旋转前二次项的系数a＝1，抛物线的顶点坐标是(1，2)，旋转后二次项的系数a＝－1，抛物线的顶点坐标是(－1，－2)，∴新抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2－2，即y＝－x2－2x－3.12. 【答案】90°[解析] 找到一组对应点A，A′，并将其与旋转中心连接起来，确定旋转角，进而得到旋转角的度数为90°.13. 【答案】①②③14. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵AB＝AD，∴将△ABC绕点A逆时针旋转90°后点B与点D重合，点C的对应点E落在CD的延长线上，∴AE＝AC＝6，∠CAE＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝12AC·AE ＝12×6×6＝18.15. 【答案】(10－26) [解析] 如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G .由旋转知，AD＝AE ，∠DAE ＝90°，∠CAE ＝∠BAD ＝15°，∴∠AED ＝∠ADG ＝45°， ∴∠AFD ＝∠AED ＋∠CAE ＝60°.在Rt △ADG 中，AG ＝DG ＝AD2＝3 2(cm)．在Rt △AFG 中，GF ＝AG3＝6(cm)，AF ＝2FG ＝2 6(cm)， ∴CF ＝AC －AF ＝(10－2 6)cm.16. 【答案】13 [解析] ∵α＋β＝∠B ，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠B ＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE ＝AB ＝3，AF ＝AC ＝2，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝13.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°. ∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°. ∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.18. 【答案】解：(1)如图．(2)如图．(3)如图，∵AO ＝A 2O ＝42＋12＝17，∠AOA 2＝90°，∴点A 所经过的路径长＝14×2π17＝172π.19. 【答案】解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE 绕点D 旋转180°得到△DCG ，连接FG ，则△DCG ≌△DBE. ∴DG ＝DE ，CG ＝BE. 又∵DE ⊥DF ，∴DF 垂直平分线段EG ，∴FG ＝EF. ∵在△CFG 中，CG ＋CF ＞FG ， ∴BE ＋CF ＞EF. ②BE 2＋CF 2＝EF 2.证明：∵∠A ＝90°，∴∠B ＋∠ACD ＝90°.由①得，∠FCG ＝∠FCD ＋∠DCG ＝∠FCD ＋∠B ＝90°，∴在Rt △CFG 中，由勾股定理，得CG 2＋CF 2＝FG 2，∴BE 2＋CF 2＝EF 2.(2)EF ＝BE ＋CF.证明：如图(b)．∵CD ＝BD ，∠BDC ＝120°， ∴将△CDF 绕点D 逆时针旋转120°得到△BDM ， ∴△BDM ≌△CDF ，∴DM ＝DF ，BM ＝CF ，∠BDM ＝∠CDF ，∠DBM ＝∠C. ∵∠ABD ＋∠C ＝180°， ∴∠ABD ＋∠DBM ＝180°， ∴点A ，B ，M 共线，∴∠EDM ＝∠EDB ＋∠BDM ＝∠EDB ＋∠CDF ＝∠BDC －∠EDF ＝120°－60°＝60°＝∠EDF.在△DEM 和△DEF 中，⎩⎨⎧DE ＝DE ，∠EDM ＝∠EDF ，DM ＝DF ，∴△DEM ≌△DEF ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋CF.20. 【答案】证明：如图，将△ADB 绕点D 顺时针旋转60°，得到△CDE ，连接BE ，则∠ADB ＝∠CDE ，∠A ＝∠DCE ，AB ＝CE ，BD ＝DE. 又∵∠ADC ＝60°，∴∠BDE ＝60°， ∴△DBE 是等边三角形， ∴BD ＝BE.又∵∠ECB ＝360°－∠BCD －∠DCE ＝360°－∠BCD －∠A ＝360°－(360°－∠ADC －∠ABC)＝90°，∴△ECB是直角三角形，∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.。

23.1图形的旋转同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若′，则的度数是（）A.B.C.D.2、如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是( ).A. 或B. 或C.D.3、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心点旋转的度数是（）A.B.C.D.4、一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列说法正确的是（）①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③5、如图，绕着点按顺时针方向旋转后到达了的位置，下列说法中不正确的是（）A. 点与点是两个三角形的对应点B. 线段与线段互相垂直C. 线段与线段互相垂直D. 线段与线段互相垂直6、在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，．则下列结论错误的是（）A. 的周长B. 是等边三角形C.D.7、在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度得到点，点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标是（）A.B.C.D.8、下列图形中是旋转对称图形的有（）①正三角形②正方形③三角形④圆⑤线段．A. 个B. 个C. 个D. 个9、下列图形中，旋转对称图形有（）个．A.B.C.D.10、时钟的时针在不停地转动，从上午点到上午点，时针旋转的旋转角为（）A.B.C.D.11、下列现象中属于旋转的是（）A. 摩托车在急刹车时向前滑动B. 拧开水龙头C. 雪橇在雪地里滑动D. 电梯的上升与下降12、下列现象中，不属于旋转的是（）A. 汽车在笔直的公路上行驶B. 大风车的转动C. 电风扇叶片的转动D. 时针的转动13、将数字“”旋转，得到数字“”，将数字“”旋转，得到数字“”，现将数字“”旋转，得到的数字是（）A.B.C.D.14、如图，在平面直角坐标系中，点、、、在轴上，经过变换得到．若点的坐标为，则这种变换可以是（）A. 绕点逆时针旋转，再向下平移B. 绕点逆时针旋转，再向下平移C. 绕点顺时针旋转，再向下平移D. 绕点顺时针旋转，再向下平移15、如图，在中，，．将绕点旋转后得到，则点的坐标为（）A. 或B. 或C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少度，能够与本身重合.17、若以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，则是_______ 三角形．18、如图，将绕点顺时针旋转至的位置，若，则与是( )三角形．19、面直角坐标系中，点的坐标为，把绕点逆时针旋转，那么点旋转后所到点的横坐标是．20、在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点逆时针旋转，得到的点的坐标为______．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，两块相同的三角形完全重合在一起，，，把上面一块绕直角顶点按逆时针方向旋转到的位置，点在上，与相交于点，求的长.22、如图所示，将绕其顶点逆时针旋转后得，则与的关系如何？23、如图，正方形的边长为，为上一点，且，以点为中心，把顺时针旋转，得到．求点的坐标．23.1图形的旋转同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若′，则的度数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，．故答案是：．2、如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是( ).A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】解：点在边上，，；若把顺时针旋转，则点在轴上，，；若把逆时针旋转，则点到轴的距离为，到轴的距离为，，综上，旋转后点的对应点的坐标为或．故正确答案为：或．3、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心点旋转的度数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合．则最小值为度．故正确答案为：4、一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列说法正确的是（）①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③【答案】C【解析】解：平移后对应线段平行或在同一条直线上；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．故答案为：②③④．5、如图，绕着点按顺时针方向旋转后到达了的位置，下列说法中不正确的是（）A. 点与点是两个三角形的对应点B. 线段与线段互相垂直C. 线段与线段互相垂直D. 线段与线段互相垂直【答案】A【解析】解：由于绕着点按顺时针方向旋转后到达了的位置，则线段与垂直，所以本选项的说法正确；由于绕着点按顺时针方向旋转后到达了的位置，则线段与垂直，所以本选项的说法正确；由于绕着点按顺时针方向旋转后到达了的位置，则线段与垂直，所以本选项的说法正确．由于绕着点按顺时针方向旋转后到达了的位置，则点与点为对应点，所以本选项的说法不正确；故答案为：点与点是两个三角形的对应点.6、在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，．则下列结论错误的是（）A. 的周长B. 是等边三角形C.D.【答案】C【解析】解：∵是等边三角形，∴，∵将绕点逆时针旋转，得到，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵是逆时针旋转得出，∴，，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴的周长，而没有条件证明，∴结论错误的是.7、在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度得到点，点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：如图所示：根据图形得：，．8、下列图形中是旋转对称图形的有（）①正三角形②正方形③三角形④圆⑤线段．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】解：①绕中心旋转后与原图重合，是旋转对称图形；②绕中心旋转后与原图重合，是旋转对称图形；③不是旋转对称图形；④绕中心旋转任何角度都与原图重合，是旋转对称图形；⑤绕中心旋转后与原图重合，是旋转对称图形．9、下列图形中，旋转对称图形有（）个．A.B.C.D.【答案】C【解析】解：图形中只有不是旋转对称图形，旋转对称图形有个．10、时钟的时针在不停地转动，从上午点到上午点，时针旋转的旋转角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：从上午点到上午点，时针旋转的旋转角为．11、下列现象中属于旋转的是（）A. 摩托车在急刹车时向前滑动B. 拧开水龙头C. 雪橇在雪地里滑动D. 电梯的上升与下降【答案】B【解析】解：因为在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，所以拧开水龙头属于旋转．12、下列现象中，不属于旋转的是（）A. 汽车在笔直的公路上行驶B. 大风车的转动C. 电风扇叶片的转动D. 时针的转动【答案】A【解析】解：因为在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，所以汽车在笔直的公路上行驶不属于旋转．13、将数字“”旋转，得到数字“”，将数字“”旋转，得到数字“”，现将数字“”旋转，得到的数字是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：现将数字“”旋转，得到的数字是：．14、如图，在平面直角坐标系中，点、、、在轴上，经过变换得到．若点的坐标为，则这种变换可以是（）A. 绕点逆时针旋转，再向下平移B. 绕点逆时针旋转，再向下平移C. 绕点顺时针旋转，再向下平移D. 绕点顺时针旋转，再向下平移【答案】D【解析】解：根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移个单位可以得到．15、如图，在中，，．将绕点旋转后得到，则点的坐标为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】解：中，，，当绕点顺时针旋转后得到，则易求；当绕点逆时针旋转后得到，则易求．故正确答案是：或．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少度，能够与本身重合.【答案】120【解析】解：等边三角形的中心角是，至少旋转.故答案应为：.17、若以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，则是_______ 三角形．【答案】等边【解析】解：∵以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，∴，，∴是等边三角形．故正确答案为：等边．18、如图，将绕点顺时针旋转至的位置，若，则与是( )三角形．【答案】等边【解析】解：将绕点顺时针旋转60°至的位置，，，是等边三角形．同理，是等边三角形.故答案为：等边．19、面直角坐标系中，点的坐标为，把绕点逆时针旋转，那么点旋转后所到点的横坐标是．【答案】-3【解析】解：如图，作轴于点，如图，点的坐标为，，把绕点逆时针旋转得到，，，，点旋转后所到点的横坐标为．20、在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点逆时针旋转，得到的点的坐标为______．【答案】【解析】解：如图，过点作轴于点，作轴于点，过作轴于点，作轴于点，点，，点绕原点逆时针旋转得到点，，，点的坐标是．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，两块相同的三角形完全重合在一起，，，把上面一块绕直角顶点按逆时针方向旋转到的位置，点在上，与相交于点，求的长.【解析】解：，，，，由旋转的性质可得：，是等边三角形，，，点是的中点，由旋转可知：，，是的中位线，.故答案为：.22、如图所示，将绕其顶点逆时针旋转后得，则与的关系如何？【解析】解：∵是由绕其顶点逆时针旋转后得到∴答：与的关系为23、如图，正方形的边长为，为上一点，且，以点为中心，把顺时针旋转，得到．求点的坐标．【解析】解：根据图及旋转知的坐标为．。

FB'C'23.1.1图形的旋转1、下列说法正确的是（ ）A 、平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B 、平移和旋转的共同点是改变图形的位置C 、图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D 、在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行2、将一图形绕着点O 顺时针方向旋转700后，再绕着点O 逆时针方向旋转1200，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O 什么方向旋转多少度？（ ）A 、顺时针方向，500B 、逆时针方向，500C 、顺时针方向，1900D 、逆时针方向，19003、如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是A 、300B 、600C 、900D 、1204、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EFD 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、2505、等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。

6、如图，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转600，得△AB＇C ＇则△ABB＇是__________三角形。

7、如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A=150，∠C=100，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是__________。

【拓展探究】8、四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7， 求：（1）指出旋转中心和旋转角度（2）求DE 的长度（3）BE 与DF 的位置关系如何？【答案】1、 B ；2、 A ；3、C；4、B；5、120；6、等边；7、155°，25°；8、（1）旋转中心：点A，旋转角度：90°；（2）DE=3；（3）垂直关系.23.2.2中心对称图形基础训练1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A ．角 B ．等边三角形 C ．线段 D ．平行四边形2. 下列说法：（1）中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别，又有联系；（2）中心对称图形是指两个图形之间的一种对称关系；（3）中心对称和中心对称图形有一个共同的特点是它们都有且只有一个对称中心；（4）任何一条经过对称中心的直线都将一个中心对称图形分成两个全等的图形，其中说法正确的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（3）（4） 3．国旗上的每个五角星（ ）A ．是中心对称图形而不是轴对称图形B ．是轴对称图形而不是中心对称图形C ．既是中心对称图形又是轴对称图形D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形4. 下列图形是中心对称图形的是（ ）5 ） 初中数学资源网能力提升1.如图所示，△ABC 中，点O 是AC 的中点，画出△ABC 关于点O 中心对称的图形△CAD ，其中点B 与点D 是对称点，观察四边形ABCD 的形状，你能说出它的名称吗？2.如图是正六边形ABCDEF ，请找出它的对称中心.3.分别画出下列图形关于点O 对称的图形. （1） （2）4.如下的两个图形是关于某点中心对称的图形吗？如果不是，请说明理由；如果是，找出它们的对称中心，并指出点A 和点B 的对称点.发展创新 1.如图（a ），A B C D的面积被过其对称中心的直线l 直线，使其将图（b ）、（c ）分成面积相等的两部分.23.2中心对称 23.2.1中心对称 23.2.2中心对称图形 基础训练 1.C 2.D 3.B 4.C 5.B能力提升 1.图略，四边形ABCD 是平行四边形. 2.画两条对角线的交点. 3.图略.4.是关于某点D C FAODCBA(c)(b)(a)O CB ABA中心对称的图形.图略.发展创新23.2.3关于原点对称的点的坐标知识网络：在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（,x y）关于原点的对称点为P′（,x y--）.基础训练1．点A（2，-3）关于原点对称的点的坐标是.点B（-5，0）关于原点对称的点的坐标是.2．如图，⊿DEF是由⊿ABC经过某种变换后得到的图形，观察各顶点的坐标，可知点A和点D 的坐标分别是；点B和点E的坐标分别是；点C和点F的坐标分别是，如果⊿ABC边上任意一点M的坐标为（,x y），则它对应于⊿DEF上点的坐标是.能力提升1.如图，四边形ABCD各顶点坐标分别为A（-5，0），B（-5，2），C（-3，3），D（-1，1），作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形。

人教版九年级数学23.1 图形的旋转一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)2. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A．30°B．90°C．120°D．180°3. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm4. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为()A．4 B．2 5C．6 D．2 65. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AO B＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2＋3) B．(－3，3)C．(－3，2＋3) D．(－3，3)6. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2，0) D．(3，0)7. 2019·河南如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△O AB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为()A．(10，3) B．(－3，10) C．(10，－3) D．(3，－1 0)8. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α二、填空题9. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.10. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.11. 如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C 逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．12. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝ 5.将△ABC绕点A 逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．13. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．15. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，B P＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．16. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．三、解答题17. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．18. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探究1：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为1 2a 2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．人教版九年级数学23.1 图形的旋转课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.2. 【答案】C3. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．4. 【答案】D[解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝25.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝2 6.故选D.5. 【答案】B6. 【答案】A7. 【答案】D8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.∵∠EDB＋∠ADB＝180°，∴∠C＋∠ADB＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.二、填空题9. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.10. 【答案】90[解析] 连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.11. 【答案】(1，0)12. 【答案】5[解析] 由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.过点C 作CE ⊥AB′于点E ，则四边形ABCE 是矩形，∴AE ＝BC ＝ 5.又AB′＝AB ＝2 5，∴AE ＝EB′＝5，∴CE 垂直平分AB′，∴B′C ＝AC ＝5.13. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE ＝12AC·AE ＝12×6×6＝18.14. 【答案】15°[解析] 由旋转的性质可知AB ＝AD ，∠BAD ＝150°，∴∠B ＝∠ADB ＝12×(180°－150°)＝15°.15. 【答案】24＋163 [解析] 如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°后得到△BP ′A ，连接PP ′.根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP ′＝∠CBA ＝60°，BP ＝BP ′， ∴△BPP ′为等边三角形， ∴BP ′＝BP ＝8＝PP ′.由旋转的性质可知，AP ′＝PC ＝10， 在△APP ′中，PP ′＝8，AP ＝6，AP ′＝10， 由勾股定理的逆定理，得△APP ′是直角三角形，∴S △ABP ＋S △BPC ＝S 四边形AP ′BP ＝S △BPP ′＋S △AP ′P ＝34BP 2＋12PP ′·AP ＝24＋16 3. 故答案为24＋16 3.16. 【答案】9＋33 [解析] 将y ＝1代入y ＝－33x ，解得x ＝－ 3.∴AB ＝3，OA ＝2，且直线y ＝－33x 与x 轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO 2＝O 2O 4＝O 4O 6＝O 6O 8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋6 3. ∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋3 3.三、解答题17. 【答案】解：(1)证明：连接EG ，AF ，则EG ＝AF. 由旋转的性质可得EG ＝BD ，∴AF ＝BD. 又∵AD ＝BC ，∴Rt △ADF ≌Rt △BCD. ∴FD ＝CD.(2)分两种情况：①若点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC 的右边，如图(a)． ∵GC ＝GB ，∴∠GCB ＝∠GBC ，∴∠GCD ＝∠GBA. 又CD ＝BA ，∴△GCD ≌△GBA ， ∴DG ＝AG . 又∵AG ＝AD ，∴△ADG 是等边三角形， ∴∠DAG ＝60°，∴α＝60°.②若点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC 的左边，如图(b)． 同理，△ADG 是等边三角形， ∴∠DAG ＝60°.此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC ＝GB.18. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ， ∴∠BED ＝∠ACB ＝90°.由旋转知，AB ＝BD ，∠ABD ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBE ＝90°. 又∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝∠DBE .在△ABC 和△BDE 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠BED ，∠A ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△ABC ≌△BDE (AAS)， ∴BC ＝DE ＝a . ∵S △BCD ＝12BC ·DE ， ∴S △BCD ＝12a 2.(2)△BCD 的面积为12a 2.理由：如图②，过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∴∠BED ＝∠ACB ＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，∴AB ＝BD ，∠ABD ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBE ＝90°. 又∵∠A ＋∠ABC ＝90°. ∴∠A ＝∠DBE .在△ABC 和△BDE 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠BED ，∠A ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△ABC ≌△BDE (AAS)， ∴BC ＝DE ＝a .∵S △BCD ＝12BC ·DE ，∴S △BCD ＝12a 2.(3)如图③，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB ＝∠E ＝90°，BF ＝12BC ＝12a ， ∴∠F AB ＋∠ABF ＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ， ∴∠ABD ＝90°，AB ＝BD ， ∴∠ABF ＋∠DBE ＝90°， ∴∠F AB ＝∠DBE . 在△AFB 和△BED 中， ⎩⎨⎧∠AFB ＝∠BED ＝90°，∠F AB ＝∠DBE ，AB ＝BD ，∴△AFB ≌△BED (AAS)， ∴BF ＝DE ＝12a ，∴S △BCD ＝12BC ·DE ＝12·a ·12a ＝14a 2.23.2中心对称一．选择题1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知a＜1且a≠0，则点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2 B．C．4 D．85．下列关于等腰三角形的叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C．等腰三角形的三边相等D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形6．若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b＝（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣17．如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A．点B和点E关于点O对称B．CE＝BFC．△ABC≌△DEFD．△ABC与△DEF关于点B中心对称8．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A'的坐标为（）A．B．C． D．9．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A．C．10．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（）A．B．C．D．二．填空题11．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab ＝．12．平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点对称，已知点A的坐标为（4，3），则其对应点A'的坐标为．13．将A（2，0）绕原点顺时针旋转30°，A旋转后的对应点是A1，再将A1绕原点顺时针旋转30°，A1旋转后的对应点是A2，再将A2绕原点顺时针旋转30°，A2旋转后的对应点是A3，再将A3绕原点顺时针旋转30°，A3旋转后的对应点是A4，…按此规律继续下去，A2020的坐标是．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三．解答题16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下三种变换：①f（m，n）＝（m，﹣n）；②g（m，n）＝（﹣m，n）；③h（m，n）＝（﹣m，﹣n）．（1）请你根据以上规定的变换，求f[g（﹣3，2）]的值；（2）请你以点（a，b）为例，探索以上三种变换之间的关系．17．如图①，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为．18．如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y 与x之间的函数关系式．19．在学习完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2时，小明学会了用图形面积来验证它的正确性，如图1，图中大正方形的面积可以表示为（x+y）2，也可以表示为x2+xy+xy+y2，即（x+y）2＝x2+xy+xy+y2，由此可以推出完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2．这种根据图形极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图2中的面积表达式验证完全平方公式（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；（2）请你用图3（四个直角三角形全等）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证勾股定理a2+b2＝c2；（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证勾股定理a2+b2＝c2．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．2．【解答】解：点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点为：（a2，a﹣1），∵a＜1且a≠0，∴a2＞0，a﹣1＜0，∴（a2，a﹣1）在第四象限．故选：D．3．【解答】解：如图，将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕O正方形的中心旋转180°后，这个图形能自身重合，是中心对称图形．故选：B．4．【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，则y x＝2﹣1＝．故选：B．5．【解答】解：A、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意；B、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意；C、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意；D、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意；故选：C．6．【解答】解：∵点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，∴a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣1，故选：D．7．【解答】解：A、点B和点E关于点O对称，说法正确；B、CE＝BF，说法正确；C、△ABC≌△DEF，说法正确；D、△ABC与△DEF关于点B中心对称，说法错误；故选：D．8．【解答】解：如图所示：过点A′作A′C⊥OB．∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴∠AOA′＝75°，OA′＝OA．∴∠COA′＝45°．∴OC＝4×＝2，CA′＝4×＝2．∴A′的坐标为（2，﹣2）．故选：C．9．【解答】解：∵P（﹣5，4），点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1∴P1（4，4），∴将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（4，﹣4），故选：A．10．【解答】解：A、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；B、新图形是中心对称图形，故此选项正确；C、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；D、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a＝﹣6，b＝﹣2，∴ab＝12，故答案为：12．12．【解答】解：∵平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点对称，点A 的坐标为（4，3），∴对应点A'的坐标为（﹣4，﹣3）．故答案为：（﹣4，﹣3）．13．【解答】解：由题意：12次一个循环，∵2020÷12＝168余数为4，∴A2020的坐标与A4相同，∵A4（﹣1，﹣），∴A2019（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）．14．【解答】解：设C（0，m），过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，∴∠BHC＝90°，∴∠HCB+∠B＝90°，∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，∴∠BAC＝90°，CB＝CA，∴∠HCB+∠ACO＝90°，∴∠B＝∠ACO，∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CHB（AAS），∴HC＝OA，HB＝OC，∵点C（0，m），点A（1，0），∴点B的坐标为（m，m+1），∴点B的运动轨迹是直线y＝x+1，∵直线Y＝x+1交x轴于E（﹣1，0），交y轴于F（0，1），∴OE＝OF＝1，EF＝，过点O作OT⊥EF于T．则OT＝EF＝，根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为，故答案为：．15．【解答】解：∵OP0＝1，∴P0的坐标为（1，0）．∴OP1＝．∴P1的坐标为（1，1）．同理：OP2＝2，P2的坐标为（0，2）．OP3＝2，P3的坐标为（﹣2，2）．OP4＝4，P4的坐标为（﹣4，0）．OP5＝4，点P5的坐标为（﹣4，﹣4），而2020＝252×8+4，所以点P2020的坐标在与点P4一样的x轴上，而OP2020＝21010，所以点P2020的坐标为（﹣21010，0）．故答案为（﹣21010，0）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）由题意得：f[g（﹣3，2）]＝f（3，2）＝（3，﹣2）；（2）f[g（a，b）]＝f（﹣a，b）＝（﹣a，﹣b）＝h（a，b），所以，fg＝h，f[h（a，b）]＝f（﹣a，﹣b）＝（﹣a，b）＝g（a，b），所以，fh＝g，g[h（a，b）]＝g（﹣a，﹣b）＝（a，﹣b）＝f（a，b），所以，gh＝f，所以，fg＝h；fh＝g；gh＝f．17．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故答案为：（36，0）．18．【解答】解：如图，设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，∴四边形DED′F是正方形，∵正方形ABCD的边长为1，∴BD＝＝，∵OB＝x，∴OD＝BD﹣OB＝﹣x，∴DE＝＝（﹣x）＝2﹣x，＝DE2＝（2﹣x）2．∴y＝S正方形DED′F∴y与x之间的函数关系式为：y＝（2﹣x）2．19．【解答】解：（1）图中右上角正方形的面积为（x﹣y）2，也可以表示为x2﹣xy﹣xy+y2，即（x﹣y）2＝x2﹣xy﹣xy+y2，由此可得（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；（2）如图所示，大正方形的面积为c2，也可以表示为（b﹣a）2+4×ab＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2，所以，a2+b2＝c2；（3）设计图形如图，梯形的面积为（a+b）（a+b）＝（a2+2ab+b2），也可以表示为2×ab+c2，所以，（a2+2ab+b2）＝2×ab+c2，整理得，a2+b2＝c2．23.3课时学习图案设计一．选择题1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．2．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条3．如图，两个三角形可以通过变换而相互得到，则需要通过的变换是（）A．旋转B．旋转和平移C．平移D．平移和轴对称4．观察图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（）A．旋转B．轴对称C．位似D．平移5．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，则田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A．1个B．3个C．2个D．4个6．如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有（）A．6种B．7种C．8种D．9种7．下列基本图形经过平移，旋转成轴对称变换后不能得到下图的是（）A．+ B．+++ C．D．8．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似9．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，阴影部分的图案是由3个小正方形组成的，我们称这一的图案为L形，在网格中通过平移还能画出不同位置的L形图案的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：（1）对应线段平行；（2）对应线段相等；（3）对应角相等；（4）不改变图形的形状和大小，其中正确的有（）A．（3）B．（4）C．（4）D．（4）二．填空题11．把一个“基本图案”旋转后得到的图案与“基本图案”的对应边．12．如图所示，画出三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形（画在图上）13．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．14．在五行五列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子，骰子在棋盘上只能向它所在格的左、右、前、后格翻动．开始时骰子在3C处，如图1，将骰子从3C 处翻动一次到3B处，骰子的形态如图2；如果从3C处开始翻动两次，使朝上，骰子所在的位置是．15．如图，一个正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体①②③三种状态时所显示的数字，可推断“？”处的数字是．三．解答题16．如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，1），B（0，3），C（0，1）（1）将AABG以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的坐标．（2）分别连接AB1、BA1后，求四边形AB1A1B的面积．17．如图，△ABC各顶点坐标分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0），①画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C'；②在y轴上有一点P，使BP+C'P最小，求出P点坐标．18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）（1）画出△ABC关于原点对称的三角形△A1B1C1；（2）将三角形A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出图形，并直写出点B的对应点B2的坐标；（3）直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．19．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出将△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1．（2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2．（3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3．（4）在直线上找一点P，使△ABP的周长最小（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：△AOB与△DOE关于点O中心对称的只有D选项．故选：D．2．【解答】解：如图所示：能满足条件的线段有4条．故选：C．3．【解答】解：根据图形的位置和变换可得两个三角形可以通过平移和轴对称得到．故选：D．4．【解答】解：A、大小相同的图形是旋转得到的，故A正确；B、一个图形沿一条直线对着直线两旁的部分能完全重合，故B正确；C、位置相同、形状相同的图案、大小不同的图形是位似得到的，故C正确；D、图形没有平移，故D错误；故选：D．5．【解答】解：如图所示：符合题意的有3个三角形．故选：B．6．【解答】解：如图，得到的不同图案共有8种．故选：C．7．【解答】解：A、经过平移可得到上图，故此选项错误；B、经过平移可得到上图，故此选项错误；C、经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到上图，故此选项正确；D、经过旋转可得到上图，故此选项错误．故选：C．8．【解答】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换．故选D．9．【解答】解：如图所示：1，2，3的位置可以组成图案为L．故选：C．10．【解答】解：一个图形无论经过平移还是旋转，对应线段和角相等，不改变图形的形状和大小，旋转后对应的线段可能不平行．故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵根据图形旋转的性质，图形旋转前后大小不发生变化，∴把一个“基本图案”旋转后得到的图案与“基本图案”的对应边相等．故答案为：相等．12．【解答】13．【解答】解：应填E的对称图形，如图：．14．【解答】解：根据已知，可将骰子从3C处先翻滚一次到2C处，再翻滚一次到2B处，此时朝上；或将骰子从3C处先翻滚一次到4C处，再翻滚一次到4B处，同样朝上．故答案为：2B或4B．15．【解答】解：∵1与2，3，4，5相邻，只能与6相对，2与5相对；3与4相对．当5在上，3在右时，前面只能是1．故答案为：1．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（3，1），B1（0，﹣1），C1（0，1）．（2）由题意四边形ABA1B1是菱形，∴＝×AA1×BB1＝×6×4＝12．17．【解答】解：①如图，△A'B'C'为所作；②如图，BC于y轴的交点即为P点，∵C点和C′点关于y轴对称，∴PC＝PC′，∴BP+PC′＝BP+PC＝BC，∴此时BP+C′P的值最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣2，2），C（3，0）分别代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，∴P点坐标为（0，）．18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；点B2的坐标为（0，﹣6）；（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（3，3）或（7，3）或（﹣5，﹣3）．19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2BC2即为所求；（3如图所示，△A3BC3即为所求；（4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，P点即为所求．。

九年级数学上册第二十三章旋转：23.1 图形的旋转一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E 的位置，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．110°D．120°3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15° B．60° C．45° D．75°4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21° B．45° C．42° D．24°6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．27．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56° B．50° C．46° D．40°8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55° B．60° C．65° D．80°9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是914．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．115．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣218．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=度．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= ．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．29．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．30．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．2016年人教版九年级数学上册同步测试：23.1 图形的旋转参考答案与试题解析一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C 是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E 的位置，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．110°D．120°【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质可知AC=EC，BC=DC，∠BCD=∠ACE=40°，在△BCD中，由内角和定理求∠1，根据外角定理可求∠2．【解答】解：在△BCD中，∠BCD=∠ACE=40°，BC=CD，∴△BCD为等腰三角形，∴∠1=（180°﹣40°）=70°，∵∠BEC为△ACE的外角，∴∠2+∠DEC=∠ACE+∠A，而∠DEC与∠A为对应角，∴∠2=∠ACE=40°，∴∠1+∠2=70°+40°=110°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15° B．60° C．45° D．75°【考点】旋转的性质．【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB求解．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，∴∠BOD=60°，∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．故选：C．【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角．4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．【考点】旋转的性质；平移的性质．【专题】网格型．【分析】首先作出线段A1B1和A2B2，确定线段AB，A1B1，A2B2的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：三角形的面积是：×3×5=．故选A．【点评】本题考查了图形的旋转以及平移作图，以及三角形的面积公式，正确作出线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形是关键．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21° B．45° C．42° D．24°【考点】旋转的性质．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠BOB′的度数，结合∠AOB=21°，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOB′=45°，∵∠AOB=21°，∴∠AOB′=45°﹣21°=24°，故选D．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2【考点】旋转的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=CD=3，再根据旋转的性质得AF=AE=，则可根据勾股定理计算出DF=2，所以CF=CD﹣DF=1，然后证明△CGF∽△DAF，再利用相似比可计算出CG．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=3，∵△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，∴AF=AE=，在Rt△ADF中，∵AD=3，AF=，∴DF==2，∴CF=CD﹣DF=3﹣2=1，∵AD∥CG，∴△CGF∽△DAF，∴=，即=，∴CGF=1.5．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．7．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56° B．50° C．46° D．40°【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质以及等腰三角形的性质得出∠AC′C=∠AC′B′=67°，进而得出∠B′C′B 的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∴AC′=AC，∴∠C=∠AC′C=67°，∴∠AC′B=180°﹣67°=113°，∵∠AC′C=∠AC′B′=67°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=113°﹣67°=46°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠AC′C=∠AC′B′=67°是解题关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55° B．60° C．65° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB1是等边三角形是解题关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】几何图形问题．【分析】利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为： =π．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：的长==1.5π．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9【考点】旋转的性质；平行线的判定；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先由旋转的性质可知∠EBD=∠ABC=∠C=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，故选项A正确；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；∴DE=BD=4，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的是B，故选：B．【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．14．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．1【考点】旋转的性质．【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∵AC=，∴AB=AC•tan30°=×=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．15．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．形ABA′【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2OB=AC=2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′=AB，∴BA′=2OB，∴∠OA′B=30°，∴∠A′BA=60°，即旋转角为60°，S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′，=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，=﹣，=π﹣π，=π．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．18．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， =，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO===，OM=AC=1，则BM=BO﹣OM=﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC=AC=，根据互余得到∠CAB=60°，再根据旋转的性质得到AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，则∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，接着在Rt△AC′D中，利用∠C′AD=30°可得C′D=AC′=，所以B′D=B′C′﹣C′D=，然后根据三角形面积公式、扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S扇形BAB′﹣S△ADB′进行计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，AB=2AC=2，BC=AC=，∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，∴AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，∴∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，在Rt△AC′D中，∵∠C′AD=30°，∴C′D=AC′=，∴B′D=B′C′﹣C′D=﹣=，∴图中阴影部分的面积=S扇形BAB′﹣S△ADB′=﹣××1=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算和含30度的直角三角形三边的关系．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=70 度．【考点】旋转的性质．【分析】首先证明∠CAC′=40°然后证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠AC′C=70°即可解决问题．【解答】解：∵∠B=50°，AB′⊥BC，∴∠B′AB=40°，∴旋转角为40°，∴∠CAC′=40°，由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∴∠AC′C=70°，故答案为70．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D 的长是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是2π．【考点】旋转的性质．【分析】首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．【解答】解：∵AB=4，∴BO=2，∴圆的面积为：π×22=4π，∴阴影部分的面积是：×4π=2π，故答案为：2π．【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握圆的面积公式．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为 6 ．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴=，∴=，解得AD=8，∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′A′C 是解题关键．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= 28 ．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质得出∠B=∠BDE=45°，BD=4，进而由S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE求出即可．【解答】解：由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，∴BE=DE=2，∴S△BDE=×2×2=4，∵S△ACB=×AC×BC=32，∴S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE=28．故答案为：28．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出S△BDE是解题关键．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．。

第二十三章旋转23.1图形的旋转一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面图形的旋转一般情况下会改变图形的A．位置B．大小C．形状D．性质【答案】A【解析】旋转和平移一样只改变图形的位置．故选A．2．如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是A．球B．圆柱C．半球D．圆锥【答案】A3．…依次观察这三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是【答案】D【解析】根据图形，有规律可循．从左到右图形顺时针方向旋转，可得到第四个图形是D．故选D．4．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是A．15°B．30°C．45°D．75°【答案】C【解析】如图：∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，∴∠AOD=∠AOB–∠BOD=60°–15°=45°，故选C．5．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是A．96 B．69 C．66 D．99【答案】B【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．故选B．6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．如图，将△AO B绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠BOC=__________度．【答案】60°【解析】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠AOB=45°+15°=60°.故答案为：60°.8．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得C′C ∥A B，则∠B′AB等于__________．【答案】50°9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC =2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=__________．【答案】31-【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，'''''' AB BBAC B C BC BC⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，可证得AD=12AB′=12AB．∵∠C =90°，AC =BC =2，∴A B =()()2222+=2，∴BD =22AB AD -=3，C ′D =12×2=1，∴BC ′=BD −C ′D =3−1. 故答案为：3−1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图，已知点A ，B 的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ；（2）A 的对应点为A 1，写出点A 1的坐标； （3）求出B 旋转到B 1的路线长．【解析】（1）△A 1B 1C 如图所示．（2）A 1（0，6）．（3）点B 旋转到B1的路线长即为1B B 的长度． 由题知旋转角为90°，BC=10， ∴1B B =90π10180⨯=10π2．11．如图，等腰Rt △ABC 中，BA =BC ，∠ABC =90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ． （1）求∠DCE 的度数；（2）若AB =4，CD =3AD ，求DE 的长．（2）∵BA =BC ，∠ABC =90°， ∴AC 2242AB BC +=∵CD =3AD ，∴AD 2，DC 2．由旋转的性质可知：AD =EC 2．∴DE 2225CE DC +=12．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD –BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE–CD=AD–BE．（3）DE=BE–AD（或AD=BE–DE，BE=AD+DE等）．易证得△ACD≌△CBE，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD–CE=BE–AD．。