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图2-24 单斜晶系中的晶轴
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图2-25 单斜晶系中的坐标系,其中y轴是二次旋转轴
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正交晶系
晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二 次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在222 点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为 a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次 旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴 和b轴，晶格常数大小为：c<a<b，晶轴之间夹 角为===90。 坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂 直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正 交晶系的实例如图1-26所示。
的点群； 晶体中一共有32个这样的点群；
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晶轴和直角坐标轴
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晶轴和直角坐标轴的选择
晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶 轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号 和晶棱符号也不一样。 其次，在讨论晶体的弹性性质、介电 性质和压电性质时，采用直角坐标系是比 较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于 90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直 角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得 到的数学表达式也不一样。 为了避免混乱，必须对晶轴的选择和 直角坐标系的选择作共同的规定。
中 级 晶 族
三 角
3
有 1 个 3 次轴（3 次旋转倒反轴） 32 3m
3m
6
6
六 六 角 有 1 个 6 次轴（6 次旋转倒反轴） 6/m 622 6mm
6 m2
6/mmm 高 级 晶 族 有 几 个 高 次 轴 23 m3 有 4 个 3 次轴 432
立 方
43m
m3m
小结 summary
对称元素和对称操作
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图2-27 四方晶系的晶轴
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三角晶系和六角晶系
晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一 个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三 次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的 法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=bc， 晶轴之间夹角为==90,=120。 坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴， x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶 系和六角晶系的实例如图2-28和图2-29所示 。
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图2-26 酒石酸钾钠（KNT）在非铁电相时属于
222点群，其中a、b、c轴都是二次旋转轴
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四方晶系
晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转 轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴 为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次 轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为a 轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹 角为===90。 坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互 相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y 、z。四方晶系的实例如图1-27所示。
晶体的三十二个点群 对称性和点群对于压电铁电体非常重要！ 只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶
压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁 性材料。
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晶体中的点群
由于无限大周期性的限制，晶体中的对称 操作只能有：1，2，3，4，6，， 1 m, 4 ；
由这些对称操作所构成的集合就是晶体中
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图2-28
-石英晶体属于32点群，c轴为三次轴
，a、b、d轴为二次旋转轴
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图2-29 碘酸锂晶体属于6点群，c轴为6次旋转轴
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立方晶系
晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转 轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个 相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴 ），就是有三个相互垂直的二次旋转轴， 分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。 晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为 ===90。 坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c 为坐标轴x、y、z。
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三斜晶系
晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴 外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同 一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是c 轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向 并向前倾。晶格常数的大小为b>a>c，晶轴间的 夹角为，并有>90，>90。 坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合 ；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方向 ；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1-23 所示。
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图2-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系
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单斜晶系
晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转 轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并 在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向 作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc， a>c，晶轴之间夹角为==90，>90。单 斜晶系的实例如图1-24所示。 坐标轴（x、y、z）。目前选择y轴与b轴重合 ；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图 2-25所示。
1
2
低 级 晶 系
单 斜
只有 1 个方向上具有 2 次轴（或 2 次旋转倒反轴）
2m
2 /m
222 mm2 mmm 4
正 交
在 3 个相互垂直的方向上有 2 次轴 （或 2 次旋转倒反轴）
4
四 方 4/m 有 1 个 4 次轴（4 次旋转倒反轴） 422 4mm
4 2m
只 有 1 个 高 次 轴 4/mmm 3
12
图2-15
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对称面（镜面）mirror
为一假想平面，相应的对称操作为对此平 面的反映。对称面将图形分为镜像反映的 两个相等的部分。图2-16表示通过对称面 m把M反映到M’。对称面在图形上常用双线 或粗线表示，国际符号为“m”。
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图2-16 m
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旋转轴（对称轴）roTaTion
为一假想直线，相应的对称操作为对此轴线 的旋转。一个晶体如绕此轴旋转360/n后， 能够复原，则称此晶体具有n次旋转轴或简 称n次轴。由于晶体结构的周期性（即晶体 的平移对称性）给晶体的转动对称性带来了 严格的限制，即n只能等于1、2、3、4、6， 或者说晶体只可能具有1、2、3、4、6次旋 转轴，不可能具有5次或高于6次的旋转轴。
对称类型 国际符号 1 熊夫利斯符号 C1 Ci C2 Cs C2h D2 C2v D2h C4 S4 C4h D4 C4v D2d D4h C3 C3i D3 C3v D3d C6 C6i C6h D6 C6v D3d D6h T Th O Td Oh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
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对称性和对称操作
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晶体中可能的对称操作
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对称中心 inversion
为一假想的定点，相应的对称操作为对此 定点的反演（或倒反）。图2-15表示通过 对称中心c把M点反演到M’点。如果把对称 中心作为坐标原点，那么对称中心的作用 将使点M(x,y,z)反演到点M’(-x,-y,-z)。 或者作通过对称中心的任意直线，在此直 线上，距对称中心等距离的两端，一定可 以找到相对应的点M和M’。对称中心的国际 符号是“1”。
数，压电常数等 研究方便：立方晶体11= 22= 33，其它 ij=0 计算方便
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对称操作和对称元素
能使对称图形复原的动作称为对称操作
，例如，前面提到的对称轴的旋转，对 称面的反映，此外，对称中心点的反演 （或倒反）等，都是对称操作。 进行对称操作时，还必须依赖于一定的 几何元素，如对称中心、对称面、对称 轴等，这些几何元素又称为对称元素
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晶体的对称性是由其内部格子结构所决 定的。它不仅与晶体的结构有密切关系 ，而且也于晶体的力学、电学、光学以 及压电铁电性质等有密切关系。 可以说，晶体的对称性是晶体分类的基 础，也是研究晶体其它性质的基础。 这里先主要介绍的对称性，不包括平移 对称性在内，所以是宏观对称性
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晶体结构本身具有对称性，x-射线衍射 晶体的物理性质与对称性有关，介电常
第二章 晶体结构及其弹性性质
• 2-1 晶体结构和基本概念
• 2-2 晶体的弹性性质 • 2-3 弹性常数与对称性
晶系和布喇菲格子
通常描写晶胞的六个 物理量是三个基矢的 长度和基矢之间的夹 角，如图所示 a，b，c，，，通 常又称为晶格常数， 可以由x射线确定 根据a，b，c，， ，的不同，晶格可 分为七大晶系和十四 种布喇菲格子
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32 poinT groups
人们经过长期研究的结果，发现这八种对 称元素共有32种组合方式，即32种点群。 这32种点群对应于晶体的32种宏观对称类 型，就是说自然界千千万万种晶体，可以 归纳为32种宏观对称类型。
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晶 族
晶 系 三 斜
对称特点 只有 1 次轴（或 1 次旋转倒反轴） 无 高 次 轴 HexagonalFra bibliotek simple
Trigonal: simple Cubic: simple(sc), body-cenTered(bcc), facecenTered(fcc)
4
对称性和点群 symmeTry and poinT groups
了解对称性和对称操作，认识晶体的
三十二个点群 To undersTand The symmeTry and 32 poinT groups in crysTals
2
2
3
27
1 2 3 4 6 1 m 4
知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后， 下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对 称元素和对称操作可以同时存在？它们的组 合方式有多少种？在数学上，把对称元素（ 或对称操作）的集合叫做“对称群”。因为 上述对称元素中，不包括平移对称性，进行 对称操作时总是有一点保持不动，所以只包 括上述对称元素的集合叫做“点群”。
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旋转轴符号
