2010高考数学小题狂做冲刺训练(附详细解析)1

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1．（14分） 已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2， 方法一： ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一： g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ， ∴x 1=－01x ， 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2 由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.5．（14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为 22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，， 则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．。

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1．（14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x ③ ④③ ④由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分2．（12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3． 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列； （II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n ->又()011211nn n n n n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y k x b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，x =得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pbp k=所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5． 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 6． 数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； （Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nn n n n b a b 即。

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知正方体的外接球的体积是332π,则这个正方体的棱长是( ) A.322 B.332 C.324 D.334 解析:根据球的体积是332π,可得球的半径为2.而球的直径4就是正方体的对角线长,从而正方体的棱长为334. 答案:D2.将7个人（含甲、乙）分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为P,则a 、P 的值分别为（ ）A ．a ＝105,P ＝215 B ．a ＝105,P ＝214 C ．a ＝210,P ＝215 D ．a ＝210,P ＝214解析：将7个人分成三组按要求有22222437A C C C ＝105种分法,将甲、乙两人分在同一组有两种情况：①在三人一组,这时有22222415A C C C 种情况;②在两人一组,这时有35C 种情况. ∴2151053522222415=+=C A C C C P . 答案：A3.若x 2+xy+y 2=1且x 、y∈R,则n=x 2+y 2的取值范围是（ ）A.0＜n≤1B.2≤n≤3C.n≥2D.32≤n≤2 解析：直接法：x 2+xy+y 2=1⇒xy=1-(x 2+y 2),又222y x +-≤-|xy|≤xy≤|xy|≤222y x +，知222y x +-≤1-(x 2+y 2)≤222y x +,得出32≤x 2+y 2≤2. 间接法：利用x 2+xy+y 2=1的对称性和边界值特点，取31==y x 时，32=n ,取x=-y=1时，n=2. 答案：D4.已知实数a,b 均不为零,βααααtan sin cos cos sin =-+b a b a ,且6παβ=-,则ab等于（ ）A.3 B.33C.3-D.33-解析:)6tan(tan παβ+=ααπαπαtan 33133tan 6tan tan 16tantan -+=-+=ααααααtan 1tan sin cos cos sin ab a bb a b a -+=-+=. ∴33=a b .故选B. 答案:B5.已知)4,2(-=,则下列说法正确的是（ ）A.A 点的坐标是(-2,4)或B 点的坐标是(-2,4)B.按向量(-2,4)平移后,)8,4(-=C.当B 是原点时,A 点的坐标是(-2,4)D.当A 是原点时,B 点的坐标是(-2,4),且不论按任何方向平移,)4,2(-=不变 解析：)4,2(-=只与终点、始点的坐标差有关,与平移无关,换句话说,平移改变的仅仅是向量起点、终点的坐标,并不能改变向量本身. 答案：D6.由直线y ＝x+1上的一点向圆(x-3)2+y 2＝1引切线,则切线长的最小值为( )A.1B.22C.7D.3解析:切线长的最小值是当直线y ＝x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为222|103|=+-=d ,圆的半径为1,故切线长的最小值为71822=-=-r d ,故选C.答案:C 7.123lim1--+→x x x 等于( )A.21 B.0 C.21- D.不存在解析：)23)(1()1)(1(lim)23)(1)(1()23)(1)(23(lim11++-+-=+++-+++-+=→→x x x x x x x x x x x x 原式 21231lim1=+++=→x x x .答案：A8.设实数a∈［-1,3］,函数f(x)＝x 2-(a+3)x+2a,当f(x)＞1时,实数x 的取值范围是…( )A.［-1,3］B.(-5,+∞)C.(-∞,-1)∪(5,+∞)D.(-∞,1)∪(5,+∞)解析:f(x)＝x 2-(a+3)x+2a ＞1⇒(2-x)a+x 2-3x-1＞0,令g(a)＝(2-x)·a+x 2-3x-1,∴由题意有⎩⎨⎧>>-0)3(0)1(g g ⇒x∈(-∞,-1)∪(5,+∞).答案:C9.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成的角为( )A.arccos23 B.arccos 1010 C.arccos53 D.arccos 52 解析:如图建立空间直角坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0），M （1，21，1），C （0，1，0），N （1，1，21）,∴AM=（1，21，1）-（1，0，0）=（0，21，1）, CN=（1，1，21）-（0，1，0）=（1，0，21）. 故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21.又|AM|=251)21(0222=++, |CN|=25)21(01222=++, 设α为直线AM 与CN 所成的角,∴cos α=52252521||||=∙=∙CN AM CNAM . ∴α=arccos52. 答案:D10.右图为函数y ＝m+log n x 的图象,其中m,n 为常数,则下列结论正确的是( )A.m ＜0,n ＞1B.m ＞0,n ＞1C.m ＞0,0＜n ＜1D.m ＜0,0＜n ＜1解析:由题中图象可知0＜n ＜1,又由函数的零点的范围为(0,1),可知y ＝m+log n x 的图象是由y ＝log n x 的图象向下平移而来,∴m＜0. 答案:D、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.如下面的图a 和图b ，则错误的图是_________,理由是_________.解析:图b 将出现死循环. 答案:b b 将出现死循环12.(2008湖南高考,理14)已知函数13)(--=a axx f (a≠1).(1)若a ＞0,则f(x)的定义域是___________;(2)若f(x)在区间(0,1］上是减函数,则实数a 的取值范围是_________. 解析:(1)当a ＞0且a≠1时,由3-ax ≥0得ax 3≤, 即此时函数f(x)的定义域是(-∞,a3］. (2)当a-1＞0,即a ＞1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1＜a ≤3.当a-1＜0,即a ＜1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需-a ＞0,此时a ＜0. 综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(1)(-∞,a3］(2)(-∞,0)∪(1,3］ 13.(1)在演绎推理中,只要___________________是正确的,结论必定是正确的.(2)用演绎法证明y ＝x 2是增函数时的大前提是_________________________.(3)由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_____________________.解析:(1)演绎推理的定义;(2)演绎推理及增函数的定义;(3)类比定义.答案:(1)大前提和推理过程 (2)增函数的定义 (3)侧面都是全等的三角形14.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X ；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X ；⑤某种水管的外径与内径之差X.其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上)解析:②④中X 的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X 的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X 的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量. 答案:①②④15.（2009湖北第二次联考,13）某车队有7辆车,现在要调出4辆,再按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加而且甲车在乙车前开出,那么不同的调度方案有____种.（用数字作答）解析：当甲车排第①个时,乙车可排2、3、4号,有3种选择;当甲车排第②个时,乙车可排3、4号,有2种选择;当甲车排第③个时,乙车只可排4号,只有1种选择;除甲、乙两车外,在其余5辆车中任意选取2辆按顺序排列,有25A 种选法;因此共有：（3＋2＋1）25A ＝120种不同的调度方案. 答案：120。

高三理科数学小题狂做〔1〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1、全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，那么U A =〔 〕A ．()1,3B ．()[),13,-∞+∞C ．()[),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭〔 〕 A ．2i - B ．4i - C ．2iD ．4i3、抛物线的焦点()F ,0a 〔0a <〕，那么抛物线的标准方程是〔 〕A ．22y ax =B ．24y ax =C ．22y ax =-D ．24y ax =-4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，那么〔 〕A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5、执行右边的程序框图，那么输出的A 是〔 〕A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB =，2C 2CD AB =B =，那么cos D C ∠A =〔 〕A ．B ．C ．D 7、2sin 21cos 2αα=+，那么tan 2α=〔 〕A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或08、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为〔 〕 A ．8- B ．12- C ．20-D ．209、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为〔 〕A ．⎡⎣ B ．[]1,2 C ．⎡⎣ D ．⎤⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．假设2F F A =B ，那么C 的离心率是〔 〕A ．B ．2C ．D 11、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，那么AB 的最小值为〔 〕A．3B．2C．324D．3212、某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．4B．213+C．3312+D．3312+2二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13、()a=-，()1,1,3=，假设()2a b ab t-⊥，那么b=．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25=-．由以上信息，得到下y x表中c的值为．天数t〔天〕34567繁殖个数y〔千2.534 4.5c个〕15、在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，假设B被球所截得图形的面积为．C D2AB=A=A=，那么平面CD16、x，Ry∈，满足22z x y=+的取值范围4++=，那么22246x xy y为．高三理科数学小题狂做〔1〕参考答案一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1314、615、16π16、[]4,12。

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤ 同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分）已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >-∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][l o g 22][l o g 21122 =+=+<n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y yPF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π）∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞）. 设倾斜角为α,则tan α≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,则a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.故选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于( ) A.贫困 B.温饱 C.小康 D.富裕解析:设1998年人均食品消费x 元，则2002年人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,2002年人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,故选D.答案:D4.(2008海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,若f′(x 0)＝2,则x 0等于( )A.e2B.eC.22ln D.ln2 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.第29届奥运会在北京举行.设数列a n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数,则在区间［1,2 008］内的所有奥运吉祥数之和为( ) A.1 004 B.2 026 C.4 072 D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++∙∙k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原则是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i （i ＝1,2,…,6）,若a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．48解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴（1）当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； （2）当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； （3）当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,基本事件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3（n －1）（1≤n ≤6）,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2C.2iD.-2i解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(2008全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.已知函数13)(--=a axx f (a≠1).若f(x)在区间(0,1］上是减函数，则实数a 的取值范围是______________.解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.已知平面上三点A 、B 、C 满足3||=,5||=,4||=,则AB CA CA BC BC AB ∙+∙+∙的值等于________________.解析：由于0=++，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB ∙+∙+∙+++=++0)(225169=∙+∙+∙+++=,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时D ξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是-1,则z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),则yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.函数y＝log2(x+4)(x＞0)的反函数是…( )A.y＝2x+4(x＞2)B.y＝2x+4(x＞0)C.y＝2x-4(x＞2)D.y＝2x-4(x＞0)解析：∵x＞0,∴x+4＞4.∴y＞2.∵y＝log2(x+4),∴2y＝x+4.∴反函数为y＝2x-4(x＞2).答案：C2.下列推理错误的是( )A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线⇒α与β重合D.l⊄α,A∈l⇒A∉α解析：A、B、C分别是公理1、2、3的符号表示,故选D.对于D,l⊄α有两种可能,l∥α,l与α相交;若交点为A,则A∈l且A∈α.答案：D3.设全集U＝R,A＝{x∈N|1≤x≤10},B＝{x∈R|x2+x-6＝0},则右图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}解析:题图中阴影部分表示为A∩B,因为A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合B＝{-3,2},所以A∩B＝{2}.答案：A4.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行和跑步的速度均相同,则( )A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定答案:B5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下表,则这100人成绩的标准差为（ ）分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A ．3B ．5102 C ．3 D ．58答案：B6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2-9n,第k 项满足5＜a k ＜8,则k 等于( )A.9B.8C.7D.6解析:由S n ＝n 2-9n,可根据⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n解得a n ＝2n-10.再根据5＜2k-10＜8, 解得7.5＜k ＜9, ∴k＝8. 答案:B7.在△ABC 中,“A＞30°”是“sinA＞21”的…( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51 解析：P ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案：C9.平面α⊥平面β,α∩β＝l,点P∈α,点Q∈l,那么PQ⊥l 是PQ⊥β的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:根据线面垂直、面面垂直的判定定理可知,PQ⊥l 是PQ⊥β成立的充要条件. 答案:C 10.若数列{a n }是首项为1,公比为23-a 的无穷等比数列,且{a n }各项的和为a,则a 的值是( )A.1B.2C.21D.45、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知命题p: ∅⊆{0},q :{1}∈{1,2},由它们构成的“p 或q”“ p 且q”和“非p”形成的复合命题中,真命题有__________个.解析：∵p 真q 假,∴“p 或q”为真,“p 且q”为假,“非p”为假. 答案：112.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm,秒针匀速绕点O 旋转,当时间t ＝0时,点A与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d ＝__________________,其中t∈［0,60］.13.在平面几何里,有勾股定理“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,则AB 2+AC 2＝BC 2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直,则________________.”解析:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想:S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2＝S △BCD 2.答案:S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2＝S △BCD 214.若∠ACB=90°在平面α内,PC 与CA 、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60°,则PC 与平面α所成的角为_____________________.即∠PCO=45°.或由cos60°=cos θ·cos45°⇒θ=45°(θ为PC 与平面α所成的角). 答案:45° 15.定义dcb a ＝ad-bc,则符合0121211=-+--x y yx 的点P(x,y)的轨迹方程为______________.＝0.答案:x 2+4y 2-2x ＝0。

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知点A(1,-2),B(m,2),若线段AB 的垂直平分线的方程是x+2y-2＝0,则实数m 的值是( )A.-2B.-7C.3D.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),则S 15+S 22-S 31的值是( )A.13B.-76C.46D.76解析:对数列{a n }的相邻两项结合后,再求和. 答案:B3.已知点A(-2,1),y 2＝-4x 的焦点是F,P 是y 2＝-4x 上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是( )A.(41-,1) B.(-2,22) C.(41-,-1) D.(-2,22-)4.把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量a =(-m,m)(m ＞0)的方向平移后,所得的图象关于y轴对称,则m 的最小值是( ) A.6π B.3πC.32πD.65π解析:)3cos(2sin 3cos π+=-=x x x y ,y=cosx(x∈R)的图象关于y 轴对称,将y=cosx 的图象向左平移π个单位时,图象仍关于y 轴对称.故选C. 答案:C5.从N 个编号中抽n 个号码入样,考虑用系统抽样方法抽样,则抽样间隔为（ ）A.n NB.nC.][n ND.1][+n N注：][n N 表示n N的整数部分.解析：n N 不一定是整数,][n N 表示nN 的整数部分.答案：C 6.（理）已知21-+=a a p (a ＞2),22)21(-=x q (x∈R),则p,q 的大小关系为( ) A.p≥q B.p ＞q C.p ＜q D.p≤q解析：221)2(21+-+-=-+=a a a a p ≥2+2=4,当且仅当a=3时，取得等号；而由于x 2-2≥-2,故22)21(-=x q ≤4)21(2=-,当且仅当x=0时，取得等号，故p≥q.答案:A(文）已知不等式x -4x+3＜0①;x -6x+8＜0②;2x -9x+m ＜0③;要使同时满足①②的x 也满足③,则m 应满足( )A.m ＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤9解析：①②的解分别为1＜x ＜3,2＜x ＜4,同时满足①②的x 为2＜x ＜3.由题意2x 2-9x+m=0的两根分别在［3,+∞)，（-∞,2］内.∴2×32-9×3+m≤0,即m≤9. 答案:C7.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB 与CM 成60°角;③EF 与MN 是异面直线;④MN∥CD.其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③解析：将其还原成正方体,如图所示,AB⊥EF,EF 与MN 是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD.只有①③正确,故选D.答案：D8.5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为（ ）A ．480B ．240C ．120D ．96解析：先把5本书中的2本捆起来有25C 种方法,再将分好的4堆分给4位学生,有44A 种方法,∴分法种数为4425A C ＝240种. 答案：B9.已知直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=m+5(m∈R),其倾斜角为4π,则实数m 的值为( )A.34B.-1C.34-D.134-或 解析：直线的倾斜角为4π，则斜率为1,即直线方程中x 、y 的系数互为相反数,且不为0.由(m 2-2m-3)+(2m 2+m-1)=0,解得m=34或m=-1,但m=-1时,2m 2+m-1=0,故应舍去.答案：A10.已知集合A ＝{x|3x-2-x 2＜0},B ＝{x|x-a ＜0},且B A ，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B.1＜a ≤2C.a ＞2D.a ≤2解析:不等式3x-2-x 2＜0化为x 2-3x+2＞0⇒x ＞2或x ＜1,由不等式x-a ＜0，得x ＜a.要使B A,则a ≤1. 答案:A、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设随机变量ξ的分布列为ia i P )21()(==ξ,i ＝1,2,3的a 的值为_______________________. 解析：2)1(a P ==ξ,4)2(a P ==ξ,8)3(a P ==ξ, 又∵1842=++aa a , ∴78=a .答案：78 12.已知a,b 为常数,若f(x)＝x 2+4x+3,f(ax+b)＝x 2+10x+24,则5a-b ＝_________.解析:由f(x)＝x 2+4x+3,f(ax+b)＝x 2+10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3＝x 2+10x+24,即a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3＝x 2+10x+24.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=,2434,1042,122b b a ab a求得a ＝-1,b ＝-7,或a ＝1,b ＝3,则5a-b ＝2. 答案:213.若曲线y 2=|x|+1与直线y=kx+b 没有公共点,则k,b 分别应满足的条件是__________.解析:由曲线方程y 2=|x|+1,知该曲线关于原点、x 轴、y 轴均对称.又知该曲线在第一象限的图形为抛物线y 2=x+1,画出图形分析可得k=0,-1<b<1. 答案:k=0,-1<b<1 14.下列命题：①用相关系数r 来刻画回归的效果时，r 的值越大，说明模型拟合的效果越好；②对分类变量X 与Y 的随机变量的K 2观测值来说，K 2越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大；③两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1；其中正确命题的序号是______________.(写出所有正确命题的序号)解析:正确的是③，①是由于r 可能是负值，②中K 2越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大. 答案:③15.设a ＞0,a≠1,函数f(x)=log a (x 2-2x+3)有最小值,则不等式log a (x-1)＞0的解集为____________.解析：∵x 2-2x+3=(x-1)2+2有最小值2,∴由f(x)=log a (x 2-2x+3)也有最小值,可知a ＞1. ∴不等式log a (x-1)＞0可化为x-1＞1,即x ＞2. 答案：(2,+∞)。

2010高考数学三轮复习高考填空真题强化练习(含详解详析)2010高考数学三轮复习高考填空真题强化练习（含详解详析）1．集合∈=<--∈=x B x xR x A {},06|{2R|}2|2|<-x ，则B A = .2．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= .3．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= .4．nn n n n 231233232lim +-+∞→= .5．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 7．复数3123i i ++的值是 。

8．213(21)lim 21n n n n →∞+++-=-+ 。

9．已知()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=-⎪⎝⎭12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=。

10．在数列{}na 中，若111,23(1)n n aa a n +==+≥，则该数列的通项n a =。

11．设0,1a a >≠，函数2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，则不等式()2log 570a x x -+>的解集为 。

12．已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤若目标函数z ax y=+（其中0a >）仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围为 。

13．复数322i i +的虚部为________.14．已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1421x y x y x ，则函数z = x+3y 的最大值是________. 15．若函数f(x) =2221x ax a ---R ，则a 的取值范围为_______.16．设{na }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830xx -+=的两根，则=+20072006a a__________.17． 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。