高考数学一轮总复习：一元二次不等式的解法

高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

【重点难点】1。

教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。

教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

由常见问题的解决和总结，使学。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结5 一元二次不等式的解法 高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 答案 A解析 不等式可化为⎩⎨⎧4x （x －1）≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( )A ．－81B ．81C ．－64D ．64答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集为{x |1<x <3}，所以1，3是方程x 2－ax －b ＝0的根，所以⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81. 3．不等式5x －102x －3≤0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2或x <32 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32 答案 C解析 不等式5x －102x －3≤0等价于(5x －10)(2x －3)≤0，且2x －3≠0，解得32<x ≤2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6，2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．{k |0＜k ≤1}B ．{k |k ＜0或k ＞1}C ．{k |0≤k ≤1}D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎨⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧k ＞0，36k 2－4k （k ＋8）≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B ．(－7，24)C ．(－24，7)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)答案 B解析 由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B.7．关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为( )A ．(5，6]B ．(5，6)C ．(2，3]D ．(2，3)答案 A解析 关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5，6].故选A.8．对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1>k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x 2＋2x ＋2>kx 2＋kx ＋k 对x ∈R 恒成立，即(k －3)x 2＋(k －2)x ＋k －2<0恒成立，∵当k ＝3时，x ＋1＜0不恒成立，∴⎩⎨⎧k －3<0，Δ<0，Δ＝(k －2)2－4(k －3)(k －2)＝(k －2)(k －2－4k ＋12)＝(k －2)(10－3k ).由Δ<0，得k <2或k >103.又k <3，∴k <2，∵k 为正整数，∴k ＝1.9．(多选)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则关于x 的不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为( )A ．10B ．3C ．－4.5D ．－5答案 BC解析 不等式[x ]2＋[x ]－12≤0可化为([x ]＋4)([x ]－3)≤0，解得－4≤[x ]≤3.又[x ]表示不小于实数x 的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.10．(多选)关于下列四个不等式的说法，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1答案 BCD解析 对于A ，由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)·(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，故错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23，故正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，故a ＝3，故正确；对于D ，依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，∴q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故正确．故选BCD.11．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a ).12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.则同时满足①②的x 的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 (2，3) (－∞，9]解析 由①得1<x <3，由②得2<x <4，故同时满足①②的x 的取值范围为2<x <3.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2，3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上大于9，所以实数m 的取值范围为m ≤9.二、高考小题13．(2022·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示).答案 (－4，1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.三、模拟小题16．(2022·山东枣庄八中月考)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 B解析 令f (x )＝x 2－4x －2－a ，则函数的图象为开口向上且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f (x )<f (4)＝－2－a ，若不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则－2－a >0，解得a <－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2).故选B.17．(2022·北京房山区月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2，即⎩⎨⎧x ≤0，x ＋2≥x 2①或⎩⎨⎧x >0，－x ＋2≥x2②.解①可得－1≤x ≤0，解②可得0<x ≤1.综上可得，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1].故选A.18．(2022·湖南湘潭高三模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]答案 D解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为1<x <a ，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，即1<a ≤4；当a ＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a <1时，不等式的解集为a <x <1，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≥－2，即－2≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－2，4].故选D.19．(2022·山西运城模拟)某电商新售A 产品，售价每件50元，年销售量为11.8万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x %的营业税(即每销售100元征税x 元).第二年，电商决定将A 产品的售价提高50·x %1－x %元，预计年销售量减少x 万件．要使第二年A 产品上交的营业税不少于10万元，则x 的最大值是( )A ．2B ．5C ．8D ．10答案 D解析 由题意，第二年A 产品年销售量为(11.8－x )万件，A 产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %元，所以第二年A 产品年销售额为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )万元，则第二年A 产品上交的营业税为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %万元．由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %≥10，化简得x 2－12x ＋20≤0，即(x －2)(x －10)≤0，所以2≤x ≤10，所以x 的最大值是10.故选D.20．(多选)(2022·湖北宜昌模拟)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥66答案 ACD解析 因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25，故A 正确；因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66，故B 错误；由题意，得⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66，故C 正确；由题意，得⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66，故D 正确．故选ACD.21．(多选)(2022·江苏省淮安市清江浦区校级期末)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法中正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m ＞－14C ．当m ＞0时，2＜x 1＜x 2＜3D ．当m ＞0时，x 1＜2＜3＜x 2答案 ABD解析 当m ＝0时，方程为(x －2)(x －3)＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，所以A 正确；方程整理可得x 2－5x ＋6－m ＝0，有不同的两实数根的条件为Δ＝25－4(6－m )＞0，可得m ＞－14，所以B 正确；当m ＞0时，即(x －2)(x －3)＞0，函数f (x )＝(x －2)(x －3)－m 的图象与x 轴交于点(x 1，0)，(x 2，0)，可得x 1＜2＜3＜x 2，所以C 不正确，D 正确．故选ABD.22．(2022·广西柳州模拟)若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意的实数a ，b 均成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8，4]解析 由已知可得a 2－λab ＋(8－λ)b 2≥0，若b ＝0，则a 2≥0恒成立；若b ≠0，对不等式两边同除以b 2可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－λ·a b ＋8－λ≥0恒成立，故Δ＝λ2－4(8－λ)≤0，解得－8≤λ≤4，故实数λ的取值范围为[－8，4].一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·河南信阳高三模拟)已知关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a <1时，解上述关于x 的不等式．解 (1)当a ＝2时，代入可得(2x －1)(x －1)<0，解不等式可得12<x <1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.若a <1，当a ＝0时，代入不等式可得－x ＋1<0，解得x >1；当0<a <1时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，由1a >1，可得1<x <1a ； 当a <0时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，解不等式可得x ＞1或x <1a . 综上可知，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1a . 2．(2022·湖北襄阳模拟)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1，1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1，1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1，1]，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1；③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0恒成立．综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞).(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ， 所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a ＋1a <x <1. 3．(2022·陕西咸阳高三阶段检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小.解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n ).当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .4．(2022·上海松江区高三检测)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意x ∈[－1，1]，不等式tf (x )≤2恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎨⎧b ＝－10，c ＝0， 所以f (x )＝2x 2－10x .(2)不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0， 即⎩⎨⎧2x 2－10x >0，2（x 2＋2kx ＋k 2）－10（x ＋k ）<0， 解得⎩⎨⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1， 所以实数k 的取值范围是[－2，－1).(3)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0， 当t ＝0时显然成立；当t >0时，有⎩⎨⎧t ·1－5t ·（－1）－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎨⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1，1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0.综上，实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，16.。

高考数学一轮总复习考点突破：一元二次不等式恒成立问题[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])， 又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.(3)将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧ g－1<0，g 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0， 解得1－52<x <1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨：一元二次不等式恒成立问题1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0或≤0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝b 2－4ac <0或≤0.2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，结合图象，只需f (x )min ≥0即可．(2)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0恒成立，只需f (x )max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f (x )≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f (x )<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f (x )>0的解集为∅”即“f (x )≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0； ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0. 【变式训练】1．若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D )A ．(－∞，3)B ．(－1,3)C ．[－1,3]D ．(－1,3] [解析] 当a ＝3时，－4<0恒成立；当a ≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，Δ＝4a －32＋16a －3<0，解得－1<a <3.所以－1<a ≤3.故选D.2．(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m <0D ．m ≥－4 [解析] 令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值－3，∴m ≤－3，故选A.3．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} [解析] 记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g 1>0，g －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B.。

课时作业38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( B ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪[4,5)解析：由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的X 围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.6．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( A )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0]解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0.7．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值X 围为( B ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)解析：m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值X 围是( C )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]解析：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅.要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值X 围是a ∈[－1,3]，故选C.二、填空题9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值X 围是(－1,1)．解析：由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.10．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a . 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围为[－5，＋∞)． 解析：由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.12．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值X 围是(1,5]．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立； 当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0，符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值X 围是(1,5]． 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，某某数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值X 围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值X 围为(－∞，－10]．15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，所以c ＝9.16．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值X 围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32.。

考点47 一元二次不等式解法及运用(讲解)【思维导图】【常见考法】考法一 不等式的解法1．不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为 。

【答案】11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】∵11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴11023x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜解得：1132x <<，即不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．不等式321x x +≥-的解集是 。

【答案】{}|15x x <≤ 【解析】原不等式化为352011x x x x +-+-=≥--，即501x x -≤-， 根据分式不等式的解法，可得15x <≤，即不等式321x x +≥-的解集为{}|15x x <≤． 3．不等式01xx <-的解集是 。

【答案】()0,1 【解析】原不等式01xx <-可化为(1)0x x -<，∴01x <<． 4．不等式222221x x x x --<++的解集为 。

【答案】{}2x x ≠-【解析】由222221x x x x --<++得：222222442011x x x x x x x x ------=<++++210x x ++>恒成立 2440x x ∴---<又()22442x x x ---=-+ ()220x ∴+> 2x ∴≠-∴不等式222221x x x x --<++的解集为{}2x x ≠- 5．关于x 的不等式4(1)(1)0(1)x x x ---≥-的解集是 。

【答案】[)1,1-【解析】由题意，原不等式的解等价于不等式组(1)(1)010x x x ---≥⎧⎨-≠⎩的解，而(1)(1)010x x x ---≥⎧⎨-≠⎩的解为11x -≤<，所以原不等式的解集为[)1,1-.考法二 根与系数的关系1．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a =0的一个根为2，则另一个根是 。