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2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷文科数学答案解析一、选择题1．【答案】D【解析】解绝对值不等式化简集合A B ，的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 因为{}{}321012A x x x Z =<∈=--，，，，，，{}{}111B x x x Z x x x x Z =>∈=><-∈，或，， 所以{}22A B =-，.故选：D .【考点】绝对值不等式的解法，集合交集的定义2．【答案】A【解析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.()()()()2422221i [1i ]12i i 2i 4-=-=-+=-=- 故选：A .【考点】复数的乘方运算性质3．【答案】C【解析】根据原位大三和弦满足34k j j i -=-=，，原位小三和弦满足43k j j i -=-=，，从1i =开始，利用列举法即可解出．根据题意可知，原位大三和弦满足：34k j j i -=-=，．∴158i j k ===，，；269i j k ===，，；3710i j k ===，，；4811i j k ===，，；5912i j k ===，，．原位小三和弦满足：43k j j i -=-=，．∴148i j k ===，，；259i j k ===，，；3610i j k ===，，；4711i j k ===，，；5812i j k ===，，．故个数之和为10．故选：C ．【考点】列举法的应用4．【答案】B【解析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=， 故需要志愿者9001850=名. 故选：B【考点】函数模型的简单应用5．【答案】D【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 由已知可得：11cos601122a b a b ︒==⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +=+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +=+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因213(2)221022a b b a b b -=-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -=-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D .【考点】平面向量数量积的定义和运算性质，两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直6．【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.设等比数列的公比为q ，由53641224a a a a -=-=，可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)12221112n nn n n n n a q a a q S q ----=====---，， 因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B .【考点】等比数列的通项公式的基本量计算，等比数列前n 项和公式的应用7．【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值.模拟程序的运行过程0,0k a ==第1次循环，2011011a k =⨯+==+=，，210＞为否第2次循环，2113112a k =⨯+==+=，，310＞为否第3次循环，2317213a k =⨯+==+=，，710＞为否第4次循环，27115314a k =⨯+==+=，，1510＞为是退出循环输出4k =.故选：C .【考点】求循环框图的输出值8．【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为()0a a a >，，，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()21，在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=.故选：B .【考点】圆心到直线距离的计算9．【答案】B 【解析】因为2222:1(00)x y C a b a b-=＞，＞，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE △的面积为8，可得ab 值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案.2222:1(00)x y C a b a b-=＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=± 直线x a =与双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ， 联立x a b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>， ∴其焦距为28c ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B .【考点】求双曲线焦距的最值问题10．【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递增， 而331y x x-==在()0+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递减， 所以函数()331f x x x =-在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递增． 故选：A ．【考点】利用函数的解析式研究函数的性质11．【答案】C【解析】根据球O 的表面积和ABC △的面积可求得球O 的半径R 和ABC △外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =.设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴，解得：3a =，2233r ∴=∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C .【考点】球的相关问题的求解12．【答案】A【解析】将不等式变为2323x x y y ----＜，根据()23t t f t -=-的单调性知x y ＜，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A .【考点】对数式的大小的判断问题二、填空题 13．【答案】19【解析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.22281cos212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 【考点】余弦的二倍角公式的应用14．【答案】25【解析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-=可得1152a d a d +++=即：()2252d d -++-+=整理可得：66d =解得：1d = 根据等差数列前n 项和公式：*1(1)2n n n S na d n N -=+∈， 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.【考点】求等差数列的前n 项和15．【答案】8【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可. 不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大， 此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩， 因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=.故答案为：8.【考点】线性规划的应用，数形结合思想16．【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【考点】空间中线面关系有关命题真假的判断三、解答题17．【答案】（1）3A π=（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c ＞，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC △是直角三角形．【解析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出； 因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π＜＜， 所以3A π=；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将b c -=代入可找到a b c ，，关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c ＞，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC △是直角三角形．【考点】诱导公式和平方关系的应用18．【答案】（1）12000（2）0.94（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【解析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可； 样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=；（2）利用公式20()()i i x x y y r --=∑ 样本()i i x y ，的相关系数为20()()0.943i i x x y y r --===≈∑ （3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样. 由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取19．【答案】（1）12（2）1C ：2211612x y +=，2C ：28y x =.【解析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设A C ，在第一象限，运用代入法求出A B C D ，，，点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； 解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：()c 0F ，，所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c = 不妨设A C ，在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b+=， 所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此A B ，的纵坐标分别为2b a ，2b a-； 又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⇒=±，所以C D ，的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为ABC △，(20)c -，，(0)，(0)，，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =. 【考点】椭圆的离心率，椭圆和抛物线的标准方程，椭圆的四个顶点的坐标，抛物线的准线方程 20．【答案】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC △中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M =，MN AM ⊂，平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）24【解析】（1）由M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1//MN AA ，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC △中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M =，MN AM ⊂，平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V -. 过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图//AO 平面11EB C FAO ⊂平面1A AMN ，平面1A AMN平面11EB C F NP = //AO NP ∴ 又//NO AP∴6AO NP ==O 为111A B C △的中心. ∴1111sin606sin60333ON AC ==⨯⨯=故：ON AP ==3AM AP ==平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN∴MH ⊥平面11EB C F 又在等边ABC △中EF AP BC AM = 即323AP BC EF AM ⨯=== 由（1）知，四边形11EB C F 为梯形∴四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP ++=⨯=四边形 111113B EBC F EB C F V S h -∴=四边形，h 为M 到PN 的距离sin 603MH ==，∴1243243V =⨯⨯=.【考点】证明线线平行和面面垂直，求四棱锥的体积21．【答案】（1）1c -≥；（2）()g x 在区间()0a ，和()a +∞，上单调递减，没有递增区间 【解析】（1）不等式()2f x x c +≤转化为()20f x x c --≤，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；函数()f x 的定义域为：()0+∞，()()()2202ln 120f x x c f x x c x x c +⇒--⇒+--*≤≤≤，设()()2ln 120h x x x c x =+--＞，则有()()2122x h x x x-'=-=， 当1x ＞时，()()0h x x h '＜，单调递减，当01x ＜＜时，()()0h x h x '＞，单调递增， 所以当1x =时，函数()h x 有最大值，即()()max 12ln11211h c x h c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在()0+∞，上恒成立， 只需()max 0101h x c c ⇒--⇒-≤≤≥；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x '分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x '的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.()()()()2ln 12ln 12ln ln 0x a x a g x x a x ax x a +---==≠--＞且 因此()()()22ln ln x a x x x a g x a x x --+'=-，设()()2ln ln m x x a x x x a =--+，则有()()2ln ln m x a x '=-，当x a ＞时，ln ln x a ＞，所以()0m x '＜，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a =＜，即()0g x '＜，所以()g x 单调递减；当0x a ＜＜时，ln ln x a ＜，所以()0m x '＞，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a =＜，即()0g x '＜，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间()0a ，和()a +∞，上单调递减，没有递增区间. 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数判断含参函数的单调性22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=. 的【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=. （2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【考点】极坐标与参数方程的综合应用问题23．【答案】（1）31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤或≥ （2）(][),13,-∞-+∞【解析】（1）分别在3x ≤、34x ＜＜和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤或≥. （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a -≥，由此构造不等式求得结果.()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+---+=-+-=-≥（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a -≤或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值的问题。
高考文数预测密卷二本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知集合{}2|230A x x x =--≥，4|5B y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，则R A C B I =（ ） A.{}|1x x ≤- B. {}|3x x ≥ C. 5|4x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ D. 5|14x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭2.若复数()12a iz a R i+=∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则2017z =（ ） A ．i - B. i C.1 D.-1 3. 0000cos 45sin105sin135sin15-=（ ）A. 32-B. 32C. 12-D. 124. 3m =是直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=垂直的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知正项数列{}n a 满足1*12()n n a a n N +=∈，则2017a =（ ） A. 20152B. 20162C. 20172D. 201826．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若得到的π的近似值为3.126,则输出的结果为（ ）A. 512B. 521C. 520D. 5237.已知实数x ，y 满足1,21,3,y y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩则31z x y =++（ ）A. 有最大值20 B ．有最小值20C ． 有最大值8，最小值203D ．有最大值8，最小值5 8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，离心率为52， 若以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于点M ，且OMF ∆的面积为16，则双曲线方程为（ ）A. 22125664x y +=B. 2216416x y +=C. 221164x y +=D. 2214x y +=9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积与底面积之比为（ ）225217++74541++22521741+++24541++10.数列{}n a 满足111,(1)(1)n n a na n a n n +==+++，数列cos n n b a n π=，设n S 为数列{}n b的前n 项和，则27S =（ ）A. 351B. 406C. 378-D. 324-11.已知函数322,0()69,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩，若存在()f x 图象上的相异两点,A B ，使得,A B 关于原点的对称点仍然落在()f x 图象上,则实数a =（ ） A. 2- B. 2 C. 1 D. 012．设点M 为圆C ：222(5)(0)x y r r +-=>上一点，过点M 作圆C 的切线l 交抛物线214y x =于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 只有2条，则r 的取值范围是（ ） A. (0,2] B. (2,4] C. [4,5) D. (0,2][4,5)U第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
高考文数预测密卷新课标II 卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.已知复数z 满足(1)i z i =-，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 已知集合A={1，2}，B={x|ax ﹣1=0}，若A B B =I ，则实数a 的取值个数为（ ） A ．0 B.1 C.2 D.33. 已知等差数列{}n a 满足2810a a +=, 且1a ,2a ,4a 成等比数列，则2016a =( )A.2014B.2015C.2016D.2017 4.下列命题中正确的是（ ）A.命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈均有210x x ++<”.B.若p 为真命题，q 为假命题，则（¬p）∨q 为真命题.C.为了了解高考前高三学生每天的学习时间，现要用系统抽样的方法从某班50个学生中抽取一个容量为10的样本，已知50个学生的编号为1,2,3…50，若8号被选出，则18号也会被选出.D.已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，α∩β=m，则“n α⊂，n⊥m”是“α⊥β”的充分条件.5. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且4AB AC AP +=u u u r u u u r u u u r,则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13 B.12 C.23 D.346.一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )A ．434+ B.43 C ．8 D ．127. 已知不等式组表示的平面区域为D ，若直线2y x a =-+与区域D 有公共点，则a 的取值情况是（ ）A ．有最大值2，无最小值B ．有最小值2，无最大值C ．有最小值，最大值2D ．既无最小值，也无最大值8．已知2log (1),2()(1),2x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，执行如图所示的程序框图，若输入A的值为(1)f ，则输出的P 值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59. 已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，要得到函数3cos(2)32y x π=+-的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位C ．向右平移4π个单位 D ．向左平移个单位10. 已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P . 若14PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的方程为( )A. 270x y -+=B. 2130x y +-=或270x y -+= C ．2130x y +-= D. 270x y ++=11．已知()f x 为偶函数，且满足()(2)f x f x =-+，方程()0f x =在[0，1]内有且只有一个根12016，则方程()0f x =在区间[-2016，2016]内的根的个数为( ) A ．4032 B.4036 C ．2016 D.201812.已知双曲线C ：22221(0)1x y a a a-=>-的左右焦点分别为12,F F ，若存在k ，使直线(1)y k x =-与双曲线的右支交于P,Q 两点，且1PFQ ∆的周长为8，则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ） A. (,)32ππB. (,)62ππC. (0,)6πD. (0,)3π第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{log (1)0}A x x =-<，则R C A =（ ） A.(,1]-∞B.[2,)+∞C.(,1)(2,)-∞+∞D.(,1][2,)-∞+∞2.若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数11()22x f x e x =--的图象大致为（ ） A.B.C.D.4.在ABC ∆中，90B ∠=︒，(1,2)AB =，(3,)AC λ=，λ=（ ）A.1B.2C.3D.45.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()2a b c a c b ab +-++=，则角C 的正弦值为（ ） A.12B.32C.22D.16.双曲线221mx ny -=（0mn >）的一条渐近线方程为12y x =，则它的离心率为（ ） A.5B.52C.5或52 D.5或527.执行如图所示的程序框图，若输出的值为1-，则判断框中可以填入的条件是（ ）A.999n ≥B.999n ≤C.999n <D.999n >8.已知单位圆有一条直径AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≤的概率为（ ） A.12B.14C.24ππ- D.24ππ+ 9.长方体1111ABCD A B C D -，4AB =，2AD =，15AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A.25B.35C.45D.1210.将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象上所有点向左平移38π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心是（ ） A.(,0)3πB.(,0)4πC.(,0)6πD.(,0)2π11.已知()f x 是定义在R 上偶函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=且(1)4f -=，则(2020)f 的值为（ ） A.2B.3C.4D.5此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12.过抛物线C：22x py=（0p>）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若4AF BF=，O为坐标原点，则AFOF=（）A.54B.3C.4D.5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =±C ．2y = D ．3y = 7．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．258．为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1-B ．2CD 112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年新课标二高考数学(文科)预测卷 （二）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知集合{}2|20A x x x =-≥，{}|1B y y =>-，则A B ⋂=( )A.(]10-,B.(]1102⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭,, C.112⎛⎤- ⎥⎝⎦, D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.设复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1)2-,，则()12i z -+=( ) A.43i --B.43i -C.34i +D.33.若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )A. 3B.52C. 5D.24.已知12==，a b ，且()()52+⊥-a b a b ，则a 与b 的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°5.已知(0,π)α∈,2sin2cos21αα=-,则cos α=( )A.55B.55-C.255D.255-6.如图,在等腰直角三角形ABC 中, AB BC =, 90ABC ∠=︒,以AC 为直径作半圆,再以AB 为直径作半圆,若向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在阴影部分的概率为( )A.4π1+ B.2π1+ C.22π1+ D.1π1+7.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A,//α平面11CB D ,α平面ABCD m =,α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A.32B.22C.3 3D.138.函数3()cos ()exx x xf x +=的图象可能是( )A. B.C. D.9.函数()()(sin 00π)f x x ωωϕϕ=+><<,的部分图象如图所示，关于函数()f x 有下述四个结论: ①3π4ϕ=②2122f ⎛⎫⎪⎭=- ⎝；③当51,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)(f x 的最小值为1-；④()f x 在117,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中所有正确结论的序号是( )A.①②④B.②④C.①②D.①②③④10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为( )323πB. 32πC. 36πD. 48π11.抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l , ,A B 是抛物线上的两个动点,且满足AF BF ⊥,P 为线段AB 的中点,设P 在l 上的射影为Q ,则PQ AB的最大值是( )A.233 C.223 12.已知函数()21log 2,1()15,1a x x f x x a x ⎧+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且(0a >,且1a ≠)在区间(),-∞+∞上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.13[,]55B.12[,]55C.1313[,]{}5520⋃ D.1213[,]{}5520⋃ 二、填空题13.命题“2210x x ax ∀∈-+>R ,”是假命题则实数a 的取值范围是 .14.已知直线:330l mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =则CD =__________.15.已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,若2z y z =-的最大值为11,则实数c 的值为________.16.在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，且 ()sin cos2cos sin 22A A C C =-，3cos ,45A a ==，则ABC △的面积为 .三、解答题17.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()21n n n a S n +=+，且35a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()111322n a n n b a -=++⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，1AB =，12AA AC E ==，为1AA 的中点.(1)证明:平面EBC ⊥平面11EB C . (2)求三棱锥1C BC E -的体积.19.下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y (单位:kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7).附:回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑,a y bx =-.(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系;(2)根据散点图相应数据计算得77111074,4517ii i i i yx y ====∑∑,求y 关于x 的线性回归方程;(精确到0.01)(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.20.已知椭圆()2222:10y x C a b ab+=>>直线l 过焦点1(0)F ,并与椭圆C 交于M N ,两点，且当直线l 平行于x 轴时，MN =(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若2MF FN =，求直线l 的方程.21.已知函数()22()ln xae f x x a x x=+-∈R .(1)若0a ≤，讨论()f x 的单调性.(2)若()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，求实数a 的取值范围. 22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线(:0)01l y kx x k '=≥<<,与曲线C 交于O M ,两点.(1)写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.(2)若射线l '与直线l 交于点N ，求OMON的取值范围. 23.设函数()223f x x x =-++. (1)解不等式()8f x ≥；(2)若函数()f x 图象的最低点的坐标为(),m n ，且正实数a b ,满足a b m n +=+，求2211a b b a +++的最小值.参考答案1.答案：B2.答案：C3.答案：C4.答案：C5.答案：B6.答案：B7.答案：A8.答案：A 10.答案：D 11.答案：C 12.答案：C13.答案：[)1(1-∞-⋃+∞,］, 14.答案：4 15.答案：23 16.答案：617.答案：(1)由()21n n n a S n +=+，得()1n n na S n n =+-①，所以()()1111n n n a S n n +++=++②，由②-①，得()1112n n n n a na a n +++-=+，所以12n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为2的等差数列.因为35a =，所以112225a d a +=+⨯=，解得11a =， 所以()12121n a n n =+-=-.(2)由(1)得，134n n b n -=+⨯，所以()011123444n n T n -=++⋯++⨯+++()1143214n n n +-=+⨯-()1412n n n +=+-. 解析：18.答案：(1)易知1BB CB ⊥，3BC =1AB =，2AC =，222BC AB AC ∴+=，BC AB ∴⊥，又1BA BB B ⋂=，1BA BB ⊂，平面11ABB A ， BC ∴⊥平面11ABB A ，1B E ⊂平面11ABB A ，1BC B E ∴⊥.E 为1AA 的中点，11AE A E ∴==，2212BE B E ∴==，22211BE B E B B ∴+=，1BE B E ∴⊥.又BE BC B ⋂=，BE BC ⊂，平面BCE ，1B E ∴⊥平面BCE ， 又1B E ⊂平面11B C E ，∴平面EBC ⊥平面11EB C . (2)由(1)知BC AB ⊥，1AB BB ⊥，1B B BC B ⋂=，1B B BC ⊂，平面11B C CB ，AB ∴⊥平面11B C CB .又11//A A B B ，1B B ⊂平面11B C CB ，1A A ⊄平面11B C CB ，1//A A ∴平面11B C CB ，∴点E 到平面11B C CB 的距离为线段AB 的长.11C BC E E BC C V V --∴=113BC C S AB =⋅⋅△112132=⨯⨯.解析：19.答案：(1)根据散点图可知y 与x 正线性相关. (2)由所给数据计算得1(12...7)47x =+++=,721()28ii xx =-=∑,777111()()451741074221ii i i i i i i xx y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑,71421()()2217.8928()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑, 10747.894121.877a y bx =-=-⨯≈, 所求线性回归方程为7.89121.87y x =+.(3)由题中的残差图知历年数据的残差均在-2到2之间,说明线性回归方程的拟合效果较好. 解析：20.答案：(1)当直线l 平行于x 轴时，直线:1l y =， 则MN =221112b a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-又1c =，222a b c =+，22a ∴=，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2212y x +=.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时不满足2MF FN =. 且由(1)知当0k =时也不满足.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠ 设11(,)M x y ，22(,)N x y . 联立得方程组22112y kx y x =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 并整理，得()222210k kx x ++-=.12222k x x k ∴+=-+，12212x x k =-+. 2MF FN =，122x x ∴=-，()2121212x x x x +∴=-，即()22422k k =+，解得k = ∴直线l的方程为1k =+. 解析：21.答案：(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212xae x f x x x x -'=--()()32xx ae x x--=， 当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >， 所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增. (2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x -<， 记()xg x x ae =-，则()1xg x ae '=-， 因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点， 所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >. 令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意②当ln 2a -≥，即210a e <≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上， ()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意.③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减， 由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点， 必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<， 综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 解析：22.答案：(1)依题意，直线l 的直角坐标方程为4x =.曲线2:2cos 2sin C ρρθρθ=+，故22220x y x y +--=，故()()22112x y -+-=，故曲线C的参数方程为12cos 1x y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(φ为参数). (2)设1,()M ρα，2(,)N ρα，则12cos 2sin ραα=+，24cos ρα=. 所以()122cos 2sin cos 4OM ON αααρρ+==2sin cos cos 2ααα+=()11sin 2cos244αα=++π1244α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为01k <<，故π04α<<，所以ππ3π2444α<+<πsin 214α⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以1π12244α⎛⎫<++ ⎪⎝⎭OM ON 的取值范围是112,24+⎛⎤ ⎥⎝⎦.解析：23.答案：(1)()34,28,3234,3x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，所以不等式()8f x ≥等价于2348x x ≥⎧⎨+≥⎩，或3288x x -<<⎧⎨+≥⎩，或3348x x ≤-⎧⎨--≥⎩， 解得2x ≥或02x ≤<或4x ≤-，所以不等式()8f x ≥的解集为,(),40-∞-⋃+∞］［(2)由(1)可得函数()f x 图象的最低点的坐标为(35)-,， 则3,5m n =-=，所以2a b m n +=+=，2211a b b a +++()()22111411a b a b b a ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()2222111411a a b b a b b a ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()22124ab a b ≥++()22114a b =+=，当且仅当1a b ==时取等号， 所以2211a b b a +++的最小值为1。
2020年全国普通高等学校统一招生考试（新课标II 卷）押题猜想卷数 学（文）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么M N =I （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,4 【答案】C【解析】 {}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=Q ，因此，{}2,3M N =I ，故选：C.2. 复数i i 1z =-的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2- 【答案】B【解析】i i 1z =-(1)(1)(1)i i i i --=-+--111222i i -==-, 所以复数z 的虚部为12-. 故选：B3．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D. 又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．136【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa ，Bb ，)Cc ，(Aa ，Bc ，)Cb ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ac ，Bb ，)Ca ，(Ac ，Ba ，)Cb ，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac ，Ba ，)Cb ，只有1个，∴田忌获胜的概率为16p =． 故选：B. 5.已知向量,a b v v 满足5,4,61a b b a ==-=v v v v ,则a v 与b v 的夹角θ=( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B【解析】由||b a -=r r ()2226126125254cos 1661b a a a b b θ-=⇒-⋅+=⇒-⨯⨯+=r r r r r r . 解得1cos 2θ=-.因为[]0,180θ∈︒,故θ=120°. 故选：B6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D 【答案】D【解析】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为y =，∴b a=∴双曲线的离心率为e c a === 故选：D ．7．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A ．2B ．3CD ．【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆的面积为23R R ππ=∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理：2220a c b ac +-+=根据余弦定理：22212cos cos 1202a c b ac B ac B B +-==-∴=-∴∠=︒故b 为最长边：2sin 3b R B ==故选B .8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．i>5B ．i<5C ．i>4D ．i<4【答案】D【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．22 B 3C 5D ．72【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =， 则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为2-；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+ ()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ， 3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③.故选：B11．已知1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】 由已知得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-，又2F 到直线1PF 的距离等于b ，即2F H b =，由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥，可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，故选：B. 12.已知是定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，且当[)0,1x ∈时，()1x f x x =-，则函数()()2sin g x f x x π=+在区间()3,5-上的所有零点之和为（ ）A ．13B ．18C ．15D ．17【答案】C【解析】由()()20f x f x -+=知()f x 关于()1,0成中心对称.又()f x Q 为奇函数，则()f x 周期为2.易知，()()()()10,350,10===-=f f f f作出函数()f x 在区间()3,5-图像如图所示.所以()2sin x x ϕπ=-在()3,5-间，所有零点之和为()()()8404210123415+++-+-+-+++++=.故选C第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】 由题可得：1'()2f x x x =+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=14．已知实数,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则y x 的最小值为（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【解析】如图所示：画出可行域 00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率 根据图像知，当31,22x y ==-时，有最小值为13-15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9-【解析】由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-（舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，，，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为______.【答案】60o【解析】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，， 则()221113322A D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，312BD =+=，115142AB =+= 在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos 22BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以111sin 1222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin h AA θ== 所以60θ=o .故答案为：60o 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{n S n}的前10项和． 【答案】（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ， 又∵d ≠0，可得a 1=-5d ； 而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，所以n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 18．2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP 总量y （万亿元）的折线图. 注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP 的总量. 附注：参考数据：71492.01i i y ==∑，70.29y =，712131.99i i i t y ==∑()()271172165.15iii i t t y y ==--≈∑∑.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）详见解析（2）y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+;预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i t t y y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元. 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接交与，连接.因为为的中点，，所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，因为为的中点， 所以. 又因为，，所以平面.（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，所以为等边三角形，所以， 所以，即，即.因为平面，所以. 又因为，所以平面，所以为与平面所成的角，即，所以.20．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求抛物线的方程；（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）320x y ++=或320x += 【解析】（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（*）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则221212244y y x x p==． 因为12OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋8＝0． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又222121(1)(1632)AB m y m m =+-=+- ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m =所以，直线l 的方程为20x ++=，或20x -+=． …12分21．已知函数3211()1(,)32f x x ax bx a b =+++∈R ，其导函数设为()g x . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，试用,a b 表示()()12f x f x +；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()g x 的极值点恰为()f x 的零点，试求()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()()31226a f x f x ab +=-+；（Ⅲ）(,0)-∞ . 【解析】（Ⅰ）()2g x x ax b =++，24a b ∆=-.若0∆≤，()0g x ≥，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；若>0∆，方程()0g x =有两个不等实根12a x -=，22a x -=()f x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增 ；（Ⅱ）因()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（Ⅰ）知240a b ∆=->，且12x x a +=-，222122x x a b +=-，()()120g x g x ==.于是，()()()()()()221212121212223363x x a b f x f x g x g x x x x x +=++++++ ()()322222636a b a a b a ab =-+-+=-+. （Ⅲ）由()22224a a g x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，则()g x 的极值点为2a x =-.于是，02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即33102482a a ab -+-+=.显然，0a ≠，则226a b a=+.由（Ⅱ）知，240a b ∆=->，24a b <，则22264a a a +<，解得0a <或a > 于是，()()321222066a a f x f x a a ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭. 故()f x ，()g x 的所有极值之和为()22222246412a a a a b h a a a-=+-=-+=，因()226a h a a-'=-，若a >()0h a '<，()h a在)+∞上单调递减，故()0h a h<=.若0a <，知a >时有()0h a '<，则()h a在(,-∞上单调递增，在()上单调递减，故()(h a h ≤=. 因此，当0a <时，所求的取值范围为,2⎛-∞- ⎝⎦.当a >时，所求的取值范围为(),0-∞， 综上，()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(),0-∞ .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '. （1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=； （2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩,又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 23．已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)()9,3-;(2)[1,3] 【解析】(1)函数()|3|2f x x =+-,不等式||()4f x ＜即为()44f x -<< 即4324x -<+-<,即有2|3|6x -<+<.因为|3|0x +>恒成立 所以|3|6x +<,即636x +﹣＜＜,可得93x ﹣＜＜ 则原不等式的解集为()9,3-.(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立 由|3||1||(3)(1)|4x x x x +--≤+--=,可得2414t t -++≥,即2430t t -+≤. 解得13t ≤≤.则实数t 的取值范围是[1,3].。
