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长春市普通高中2015届高三质量监测（二）数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，所以{|2}P Q x x =>. 故选D.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】D 131255i i i -=--. 故选D. 3. 【命题意图】本题考查解三角函数与几何概型等知识，属于基础题.【试题解析】C 在区间[0,]π上，当5[0,][,]66x πππ∈时，1sin [0,]2x ∈，由几何概型知，符合条件的概率为13.故选C. 4. 【命题意图】本题考查含有一个绝对值的函数的单调区间问题，属于简单题.【试题解析】A 函数()f x 在(,)a -∞-上是单调函数，所以1a -≥-，解得1a ≤.故选A.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D 由题意可知，35x y +在(1,0)-处取得最小值，在(0,1)处取得最大值，即35[3,5]x y +∈-. 故选D. 6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为41138362--=. 故选D.7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B |2|+==a b 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查学生对三角函数图像的掌握情况，属于基础题.【试题解析】C ()sin(2)6f x x π=+，函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后的解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而()12k k πϕπ=+∈N ，有ϕ的最小值为12π. 故选C. 10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】B 由直线与圆相切可知||m n +=(1)(1)2m n --=，由222(1)(1)()2m n m n +-=--≤可知2m n +≥+故选B.11. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于较难题.【试题解析】B 由题意知，2n n S na +=，当2n ≥时，1(1)(1)n n n a n a -+=-，从而3241231121341n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅=⋅⋅+，有2(1)n a n n =+，当1n =时上式成立，所以2(1)n a n n =+. 故选B. 12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C 由题可知，过I 、III 象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b aθ=，222tan 2ab a b θ=-，因此△OAB 的面积可以表示为3222112tan 227a b a a a a b θ⋅⋅==-，解得34b a =，则54e =. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)简答与提示：13. 【命题意图】本题考查导数的运算.【试题解析】由21ln ()x f x x -'=，得1ln 2(2)4f -'=. 14. 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的基本运算能力.【试题解析】抛物线焦点为(1,0)，直线l 方程为1y x =-，与抛物线方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩得两交点纵坐标差的绝对值为OAB 的面积为15.【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定的难度.【试题解析】由三棱锥的外接球半径为2，可知PA =，从而三棱锥的表面积为8+16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知()f x 是周期为4的偶函数，对称轴为直线2x =. 若()F x 恰有2个零点，有(1)(1)g f =，解得2a =.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解：(1) +,tan tan()A B C C A B π+=∴=-+ (3分)tan 2,tan 3,tan 1,4A B C C π==∴=∴= (6分)(2)因为tan 3B =sin 3sin3cos cos B B B B ⇒=⇒=，而22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，可求得sin B =. (9分)所以在△ABC中，由正弦定理得，sin sin AB AC B C =⨯=. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识.本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知0.035a =，0.025b =. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. (6分)令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况，(8分)其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，(10分) 因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题.【试题解析】解：(1) 取PB 中点N ，连结MN 、AN M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==， 又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形,AP AD AB AD ⊥⊥，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB =，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (6分)（2）由（1）知，,PN AN PN AD ⊥⊥，所以PN ⊥平面ADM ，即点P 到平面ADM 的距离为PN ，在Rt △PAB 中，由2PA AB ==，得PB =12PN PB ==. (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 已知11(||||||)||||22ABC A S AB AC BC r BC y ∆=++⋅=⋅，且||2BC =,||3A y r =，其中r 为内切圆半径，化简得：||||4AB AC +=，顶点A 的轨迹是以B C 、为焦点，4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中2,1,a c b === 进而其方程为22143x y +=(0)y ≠. (5分) (2) 证明：当直线PQ 斜率存在时，设直线:(1)PQ y k x =-且11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)H m 联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. (8分) 由题意：13m k =，1214y m k x -=-，2324y m k x -=-.11212312()(4)()(4)(4)(4)y m x y m x k k x x --+--+=-- 21212121212882(5)()2424224()1636363m k kx x m k x x mk m m k x x x x k ++-+++====-+++ 当直线PQ 斜率不存在时，33(1,),(1,)22P Q -，231332222333m m m k k k -++=+== 综上可得1232k k k =+. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）()2a f x x a x'=--，由题意可得(1)0f '=，解得1a = 经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极值，所以1a = (3分)（2）证明：由（1）知，2()ln f x x x x =-- 令3232511311()()(4)3ln 326326x x x x g x f x x x x =--+-+=-+-- 由33211(1)()333(1)(0)x x g x x x x x x x x--'=-+-=--=>， 可知()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数 所以()(1)0g x g ≥=，所以32511()4326x x f x x ≥-+-+成立 (8分) （3）由[,)x e ∈+∞知，ln 0x x +>所以()0f x ≥恒成立等价于2ln x a x x≤+在[,)x e ∈+∞时恒成立 令2()ln x h x x x=+，[,)x e ∈+∞，有2(12ln )()0(ln )x x x h x x x -+'=>+， 所以()h x 在[,)e +∞上是增函数，有2()()1e h x h e e ≥=+，所以21e a e ≤+. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，则△PED ∽△PAC ，则PE PD PA PC =，又PE ED PB BD =，则ED PB PD BD PA PC⋅=. (5分) (2) 由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠，在△ECD 中，30CED ∠=，可知75PCE ∠=. (10分) 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=.(5分)(2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. (10分)。
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2015年高三第二次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ．8 B ．7 C ．4 D ．32．命题“若x >1，则x >0”的否命题是 A ．若x ≤l ，则x ≤0 B ．若x ≤l ，则x >0 C ．若x >1，则x ≤0 D ．若x <1，则x <03．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1z 2=-2i ，则|z 1|=A ．1BC ．2D ．44．已知a ，b ，m ，n 是四条不同的直线，其中a ，b 是异面直线，则下列命题正确的个数为 (D 若m ⊥a ，m ⊥b ，n ⊥a ，a ⊥b ，则m ∥n ； ②若m ∥a ，n ∥b ，则m ，n 是异面直线；③若m 与a ，b 都相交，n 与a ，b 都相交，则m ，n 是异面直线． A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知向量AB u u u r与向量a =(1，-2)的夹角为π，||AB =u u u r ，点A 的坐标为(3，-4)，则点B的坐标为A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(5，-8)D ．(-8，5) 6．函数2()sin sin()3f x x x π=+-图象的一条对称轴为 A ．2x π=B ．x π=C ．6x π=D ．3x π=7．阅读程序框图，若输出结果910S =，则整数m 的值为A ．7B ．8C ．9D ．108．设F 1、F 2分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且12||23PF PF +=u u u r u u u u r，则12F PF ∠= A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为A ．16πB ．9πC ．4πD ．π10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x +是偶函数，当x ∈(2，4)时，()|3|f x x =-，则(1)(2)(3)(4)f f f f +++=A ．1B ．0C ．2D ．-211．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x ya b+=截得的弦长为6a ，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 12．若函数1sin 2cos 2y x a x =+在区间(0，π)上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．(一∞，一l] B ．[一1，+∞) C ．(一∞，0) D ．(0，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．)13．4(1)(2)x x +-的展开式中含3x 项的系数为 。
东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或22．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3510．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10 D．1111．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10 C．11 D．12二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．[来源:Z#xx#]16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；[来源:Z_xx_] （2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．[来源:学.科.网]3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故选C．点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用．4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ．利用（+）⊥（2﹣），可得（+）•（2﹣）=+=0，即可解出．解答：解：设向量与的夹角为θ．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=+==0，化为cosθ=0，∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．故选：C．点评：本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．∴该三棱锥的体积V===．故选：B．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点坐标，设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的数量积运算和余弦函数的单调性即可得出．解答：解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）•（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，连结OD，OC判断棱锥的特征，求解体积即可．解答：解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD与ACB 都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，∴AD=BD=AC=BC=，DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD•（AO+OB）==故选：A．点评：本题考查球的内接体知识，几何体的体积的求法，空间想象能力以及计算能力．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．解答：解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+s in+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，所以讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，m需要满足，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可．解答：解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选D．点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10 C．11 D．12考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解答：解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，[来源:学科网ZXXK]结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．点评：本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式性质及其前n项和公式即可得出解答：解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，a4+a6+a2010+a2012=8，∴2（a1+a2015）=8，∴a1+a2015=4，∴S2015==4030．故答案为：4030．点评：本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，属于基础题．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．解答：解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．点评：本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．解答：解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，[来源:学+科+网]由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．[来源:学科网ZXXK]∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得．解答：解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[﹣，），∴sin（2θ﹣）∈[﹣，1]，∴1+sin（2θ﹣）∈[，2]，∴f（θ）的取值范围为：[，2]点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…（2分）∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（5分）（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF 是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A﹣BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．解答：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，[来源:学+科+网Z+X+X+K]∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A﹣BDEF=2×=2×=．点评：本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．[来源:学_科_网]考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，利用点（2，0）在圆上及被y轴所截得的弦长为4，计算即可；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，通过将点P（1，2）代入抛物线y2=4x并与直线l1联立，计算可得直线AB的斜率，不妨设l AB：y=﹣x+b，利用直线AB与圆C相切可得b=3或1，分b=3、b=1两种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），点P（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，k AB===﹣1，不妨设l AB：y=﹣x+b，∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，当b=3时，直线AB过点P，舍去，当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，此时△=32，∴|AB|==8，∴P到直线AB的距离d=，△PAB的面积为=4．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h （x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x （0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x （0，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．解答：证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）[来源:学+科+网Z+X+X+K]=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．点评：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】[来源:学*科*网]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
201５年哈尔滨市高三二模测试 数学（文科）参考答案与评分标准 一．选择题 （1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5) A；（6）C；（7）D；（8）B； （9）C；（10）D；（11) B；（12）D． 二.填空题 （13）；（14）17；(15) ；（16）. 三.解答题 （17）解：（Ⅰ）设数列的公差为，则由已知条件可得：， ……………2分 ，……………4分 ，……………6分 ，……………7分 ， ……………8分 ……………10分 ，……………11分，……………12分 (Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，.……………2分甲班的方差，.……………3分乙班的方差，.……………4分因为甲班的方差较小，所以甲班的比较稳定.……………6分 (Ⅱ)甲班1到5号记作，乙班1到5号记作，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为=，由25个基本事件组成，这25个是等可能的；..……………8分， 则，由10个基本事件组成，..……………10分...……………12分(Ⅰ)证明：作FM∥CD 交PC于M. ……………1分 ∵点F为PD中点，∴.∵，∴， ∴AEMF为平行四边形，……………分 ∴AF∥EM，……………分 ∵，∴直线AF平面PEC. ……………分 (Ⅱ) ……………分……………分 ……………分……………12分，..……………1分，，..……………3分椭圆方程为..……………4分存在时，设切线方程为 又因为..……………5分， .……………6分不存在时，切点坐标为，切线方程为，符合， .……………7分.……………8分坐标为，是圆的切线，切点，过点的圆的切线为，过点的圆的切线为 两切线都过点，切点弦的方程为，.……………9分， ，，.……………10分 ，当且仅当，时取等号，.……………11分，的最小值为..……………12分为，则处的切线方程为。
.……………1分，所以有，化简得， 解得或，.……………3分和..……………4分只有一个根， 设，则，因为所以有两个零点，即（），且，， ..……………5分，所以在单调递增，在单调递减， 为极大值，为极小值，..……………6分只有一个根等价于且，或者且，..……………7分， 设，所以，所以为减函数， 又，所以时，时，..……………9分大于或小于，由知， 只能小于，..……………10分性质可得， 且..……………11分...……………12分22) 解：（1）连接， 是直径，..……………1分≌..……………2分同理≌..……………4分.……………5分 (2) , ,.……………6分∥.，.……………7分∽..……………8分 .……………9分.……………10分23)解：（1）圆的参数方程为（为参数） 所以普通方程为..……………2分圆的极坐标方程：..……………5分2）点到直线的距离为 ..……………7分的面积| ..……………9分面积的最大值为..……………10分1），..……………1分..……………2分 当..……………3分..……………4分．..……………5分2）易得，..……………7分，恒成立， 则只需，..……………9分 综上所述．------------------------------10分。
东北三省四市教研联合体2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）向量与满足||=1，||=，且，则||为（）A．B．C．2 D．24．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．25．（5分）x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6D．n≤87．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或09．（5分）在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．1610．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||=b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b=1 B．b=0 C．b＞1 D．b＞012．（5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列函数不是M函数的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=ln（x2+1）D．f（x）=x2+1二、填空题（每题5分）13．（5分）函数y=的单调递增区间是．14．（5分）将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是．16．（5分）如图，半球O内有一内接四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．18．（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6 5 7 9 8乙班4 8 9 7 7（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，0＜k＜1，点F为PD中点．（1）若k=，求证：AF∥平面PEC；（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C﹣PEB的体积等于四棱锥P﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．四、选修题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示， AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．东北三省四市教研联合体2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出A与B的交集即可．解答：解：∵A=[﹣1，1]，B=[0，2]，∴A∩B=[0，1]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：==1﹣i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）向量与满足||=1，||=，且，则||为（）A．B．C．2 D．2考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的模的平方与数量积的关系求解即可．解答：解：向量与满足||=1，||=，且，则，||===．共线：B．点评：本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．2考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．解答：解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．5．（5分）x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：解不等式x2﹣3x+2＜0，然后利用集合法，可得答案．解答：解：解x2﹣3x+2＜0得：1＜x＜2，∵{x|x＜2}⊋{x|1＜x＜2}，故x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6D．n≤8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积V=×4×4×4=，故选D．点评：本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，从而求得f（）的值．解答：解：由函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故选：B．点评：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．（5分）在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（4，2），此时z的最大值为z=4+2×2=8．故选：B．点评：本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案．解答：解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．11．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||=b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b=1 B．b=0 C．b＞1 D．b＞0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意得log a|x+b|=b，或log a|x+b|=﹣b；从而分类讨论以确定方程解的个数即可．解答：解：∵|log a|x+b||=b，∴log a|x+b|=b，或log a|x+b|=﹣b；①若b=0，则x=±1，成立；②若b＞0，则|x+b|=a b，|x+b|=a﹣b；此时有四个解；故不成立；故选B．点评：本题考查了绝对值方程的求解及对数函数与指数函数的性质应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．12．（5分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列函数不是M函数的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=ln（x2+1）D．f（x）=x2+1考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据M函数的定义，由函数的单调性、函数的值域，或作差比较两个函数值的大小的方法判断每个选项的函数是否满足条件①②，即可判断该函数是否为M函数．解答：解：A．f（x）=x2，该函数显然满足①，f（x1+x2）=≥f（x1）+f（x2），即满足②；∴该函数是M函数；B．f（x）=2x﹣1，x∈[0，1]时，显然f（x）≥0，即满足①；x1≥0，x2≥0，f（x1+x2）=，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=≥0；∴该函数为M函数；C．f（x）=ln（x2+1），显然满足①；，f（x1）+f（x2）=；x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；∴2x1x2≥（x1x2）•（x1x2）；∴f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），即满足②；∴该函数是M函数；D．f（x）=x2+1，当x1=0，x2=1时，f（x1+x2）=2，f（x1）+f（x2）=3；∴不满足②；∴该函数不是M函数．故选：D．点评：考查对M函数定义的理解，对数函数、指数函数的单调性，根据函数的单调性求函数的范围，作差法比较两个函数值的大小，根据函数的单调性比较f（x1+x2）与f（x1）+f（x2）的大小关系．二、填空题（每题5分）13．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，]．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈[0，]可得．解答：解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．14．（5分）将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．解答：解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是{x|x≥3或x≤1}．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．16．（5分）如图，半球O内有一内接四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．解答：解：设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=，四棱锥的体积为：=，解得r=，半球的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．解答：（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6 5 7 9 8乙班4 8 9 7 7（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据两组数据求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；（2）分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（1）两个班数据的平均值都为7，..…（2分）甲班的方差=[（6﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2]=2，..…（3分）乙班的方差=[（4﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=，..…（4分）因为＜，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…（6分）（Ⅱ）甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，共25个基本事件组成，这25个是等可能的；..…（8分）将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则A={a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，..…（10分）所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=…（12分）点评：本题考查了方差的计算，古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，0＜k＜1，点F为PD中点．（1）若k=，求证：AF∥平面PEC；（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C﹣PEB的体积等于四棱锥P﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）作FM∥CD交PC于M，证明四边形AEMF为平行四边形，得到AF∥EM，利用直线与平面平行的判定定理证明直线AF∥平面PEC．（2）通过求解V C﹣PEB=V P﹣CEB，V P﹣ABCD，列出方程即可求解常数k．解答：（1）证明：作FM∥CD交PC于M．∴FM∥AE…（1分）∵点F为PD中点，∴FM=CD．∵k=，∴AE=AB=FM，∴AEMF为平行四边形，…（2分）∴AF∥EM，…（3分）∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．…（5分）（2）解：V C﹣PEB=V P﹣CEB==…（7分）=…（9分）…（10分）所以存在常数k=…（12分）点评：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得b=2，再由离心率公式可得a=4，b=2，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论切线的斜率存在和不存在，由直线的点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅲ）设点P坐标为（x P，y P），求得过A，B的切线方程，可得切点弦AB方程，再由两点的距离公式和基本不等式即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得b=2，e==，又c2=a2﹣b2，即有a=4，b=2，则椭圆C方程为+=1；（Ⅱ）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），又因为k=﹣．故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即有x0x+y0y=r2．当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合x0x+y0y=r2，综上，切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅲ）设点P坐标为（x P，y P），PA，PB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1．由两切线都过P点，x1x P+y1y P=1，x2x P+y2y P=1．则切点弦AB的方程为x P x+y P y=1，由题知x P y P≠0，即有M（，0），N（0，），|MN|2=+=（+）•（+）=++•+•≥++2=，当且仅当x P2=，y P2=时取等号，则|MN|≥，|MN|的最小值为．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，以及直线方程的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入点（1，0），求得切点横坐标，则过（1，0）点的切线方程可求；（Ⅱ）把曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点转化为关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根，进一步转化为方程只有一个实根．构造函数，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程只有一个实根时的实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣x2，设切点P为（x0，y0），则，∴过P点的切线方程为．该直线经过点（1，0），∴有，化简得，解得x0=0或x0=1，∴切线方程为y=0和y=x﹣1；（Ⅱ）曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根．显然x≠0，∴方程只有一个实根．设函数，则．设h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；∴g（x）在x=1时取极小值1．又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．∴g（x）图象大致如图所示：∴方程只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是压轴题．四、选修题[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：（1）首先利用三角形的全等的判定证明△BCD为等腰三角形，从而得出结论．（2）利用三角形的相似进一步得出线段成比例最后转化出结果．解答：证明：（1）连接OD，BD，AB是直径，所以：AB⊥BD，OC⊥BD．…（1分）AD∥OC，所以：∠BOE=∠DOE设BD∩OC=E，且OD=OB，OE=OE，所以：△BOE≌△DOE，则：BE=DE，BD⊥OC，所以：CO平分∠DCB．（2）由于：AO=OD，所以：∠OAD=∠ODA，AD∥OC，所以：∠DOC=∠ODA，则：∠OAD=∠DOC，…（7分）所以：Rt△BDA∽Rt△CDO，所以：AD•OC=AB•OD=2OD2=8所以所求的圆的半径为2．点评：本题考查的知识要点：三角形全等和三角形相似的判定和性质的应用，平行线性质的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．解答：解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）点评：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．点评：题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
哈三中2014---2015学年度上学期高三学年第二次验收考试文科数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．A．B．C．D．2．在中，，，，则的值是A．B．C．D．3．下列函数中，周期为且为奇函数的是A. B.C. D.4．等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则A．B．C．D．5．边长为、、的三角形的最大角与最小角之和为A. B. C. D.6．函数在区间恰有个零点，则的取值范围为A．B．C．D．7．已知，，，则A．B．C．D．8．在所在的平面内有一点，如果,那么的面积与的面积之比是A．B．C．D．9．设向量满足，与的夹角为，则的最大值等于A．1 B．C．D．210．函数，其中为数列的前项和，若，则A．B．C．D．11．如图所示，为函数()的部分图象，其中两点之间的距离为，则A．B．C．D．12．已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前项的和,则A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．已知向量，，若，则___________.14．如果，且，那么= .15．已知数列满足，则的最小值为__________.16．已知函数，对于曲线上横坐标成公差为1的等差数列的三个点,给出以下判断：①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③可能是等腰三角形④不可能是等腰三角形其中所有正确的序号是_________.三、解答题（本题共6大题，共70分）17．(本小题满分10分）已知，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最小值为2，求在区间上的最大值．18．(本小题满分12分）已知数列的前项和为，若．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足且数列为递增数列，求的取值范围．19．(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，是边长为的正三角形，是的中点，是上的点，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离．20．(本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求及的值．21．(本小题满分12分）已知等差数列公差不为零，前项和为，且、、成等比数列，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和为．22．(本小题满分12分）已知函数（为实数）(Ⅰ) 当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ) 若当时，求函数的极值．哈三中2014---2015学年度上学期高三学年第二次验收考试文科数学答案一、选择题ADBCB BAADB DC二、填空题4 9 ①④17.（1）（2）518.（1）（2）19.20.（1）（2）21.（1）（2）22.（Ⅰ）当时，令得的增区间为………………4分（Ⅱ）若使有意义，则或………………6分①当时，，若，则恒成立，故无极值若，令，，，递减；，，递增，，此时，……………………… 9分②当时，，若，则恒成立，故无极值若，令，，，递增；，，递减，，此时，.……………………… 12分。
大连市2015年高三第二次模拟考试数学（文科）能力测试本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合，，则等于（ ）A.{2}B.{3}C.{1}D.{1，3}（2）已知复数的共轭复数为，若||＝4，则·＝( )A.4B.2C.16D.±2（3）对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 （4）已知命题则是（ ）A. B. C.D.(5)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( )A. 7B. 6C. 9D. 8（6）在△中，为边的中点，若，,则（ ）A.B. C.D.{}2,3A ={}2|430B x x x =-+=AB z z z zz ABC D BC (2,0)BC =(1,4)AC =AD =(2,4)--(0,4)-(2,4)(0,4)(7) 对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为则实数的值为（ ） A.B.C.D.（8）如图所示的流程图，最后输出的n 的值是( )A.3B.4C.5D.6（9）设为抛物线 的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于 两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为， 则与的比为（ ） A.B. 2C. 3D. 4（10）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64an的最小值为( )A.7B.152C.172 D.8（11) 已知三棱锥的外接球的球心在上，且平面，，若三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. (B) C. D. （12）设点在曲线上，点在曲线上，则的1558.0-=x y m 82.84.85.8F 2:2C y px =F 060C ,A B B A O A C M ||OB ||OM P ABC -O AB PO ⊥ABC 2AC =P ABC -32P )0(12≥+=x x y Q )1(1≥-=x x y ||PQ最小值为( ) A.B.C. D.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） （13）已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是 ．（14）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为 ．(15) 已知变量满足约数条件，则的最小值为 ．（16）如图在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的表面积为 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) （17）(本小题满分12分)如图，跳伞塔高4，在塔顶测得地面上两点的俯角分别是，又测得,求两地的距离.224232223y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥-≥21122x y x y x y y x z -=CD B A ,︒︒4530，︒=∠30ADB AB某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm ）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表： 甲厂：乙厂： （Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”.附：（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂抽取五件零件，求从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率.22⨯22()()()()()n ad bc a b c d a c b d κ-=++++162在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面.（20） （本小题满分12分）已知定点，为圆上一动点，点满足，. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程； (Ⅱ)设点坐标为，求证：； （Ⅲ）过点作直线交于两点，求的值.12(1,0),(1,0)F F -P 221:(1)8F x y ++=M 22()0MP MF F P +⋅=11(01)FM F P λλ=≤≤M C M (,)xy 2||2MF x =2F l C ,A B 2211||||AF BF +（21）（本小题满分12分）设函数，（）（Ⅰ）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对任意，都有唯一的，使得成立，求实数的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． (22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 内切于△ABC 的边于D ，E ，F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G .（Ⅰ）求证：圆心O 在直线AD 上； （Ⅱ）求证：点C 是线段GD 的中点.(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求和的极坐标方程； (Ⅱ)已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点，与交于两点，求取最大值时点的极坐标.(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知和是任意非零实数.xOy 1C ⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x α2C ⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x βO x 1C 2C )20(:1πααθ<<=l 1l 6π2:6l πθα=+1l 1C P O ,2l 2C Q O ,||||OQ OP ⋅P a b（Ⅰ）求的最小值．（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.|||2||2|a b a b a -++|)2||2(||||2||2|x x a b a b a -++≥-++x大连市2015年高三第二次模拟考试参考答案数学（文科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（1）B ；（2）C ；（3）C ； （4）B ；(5) D ；（6）D ；(7) A ；（8）B ；（9）C ；（10）C ； （11) C ；（12）B ． 二.填空题（13）.x ＋y －3＝0；（14）160；(15) （16）2128+. 三.解答题（17）解： ︒=︒-︒=∠454590BCD ,∴在BCD Rt ∆中,445tan 4=︒⨯=BD ，又 ︒=︒-︒=∠603090ACD ,∴在ACD Rt ∆中,3460tan 4=︒⨯=AD在ABD ∆中，1630cos 3442)34(4cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD AD BD AB故4=AB（18）解： (Ⅰ)列联表如下222()1000(400200300100)47.61910.828()()()()500500700300n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与分厂有关”. 6分（Ⅱ）乙厂抽取3件优质品，2件非优质品，优质品记为,,a b c ，非优质品记为1,2 8分从中任意抽取2件，抽取的情况构成的集合为{,,1,2,,1,2,1,2,12}ab ac a a bc b b c c ，至少有一件优质品的情况为为{,,1,2,,1,2,1,2}ab ac a a bc b b c c ，所以从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率为910. 12分 （19）解： (Ⅰ)证明：取BC 中点O ，因为底面ABC 是等边三角形，则AO ⊥BC ， 又因为面⊥''B BCC 底面ABC ，所以AO ⊥面''BCC B ，所以'AO BB ⊥， 又因为AC BB ⊥'，AOAC A =，所以'BB ⊥面ABC ，又因为底面ABC 是等边三角形，所以三棱柱'''C B A ABC -为正三棱柱， 4分四棱锥ACFE B -的体积为1(12)232+⨯⨯= 8分(Ⅱ)在''A B 如果存在一点M 使得//'M C 面BEF ，则过//'MN BB 交BE 于N ，连接FN ， 因为//'M C 面BEF ，所以//'M C FN ，所以'C MNF 为平行四边形，所以'2C F MN ==，所以M 为''A B 的中点. 12分（20） 解（Ⅰ）因为点M 满足22()0MP MF F P +⋅=，22222()()0MP MF MP MF MP MF ∴+⋅-=-=，即2||=||MP MF又11F M F P λ=，1,,F M P ∴三点共线，由题意知M 在线段1F P 上，1||||FM MP ∴+=又2||=||MP MF 12||||FM MF ∴+=∴M 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为椭圆，所以M 的轨迹C 的方程为2212x y += 4分（Ⅱ）设(,)M x y，1||MF =，又因为2212x y +=，1||MF ∴|2|2x - 22x -≤≤2||2M F x ∴-（Ⅲ）（1）当直线l 斜率不存在时，2||AF=2||2BF =，2211||||AF BF ∴+=，8分 （1） 当直线l 斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y直线l 与2212x y +=联立得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， 韦达定理得：22121222422,,1212k k x x x x k k-+==++ 0∆>恒成立由（Ⅱ）问结论知2122||,||,22AF x BF x ==12221212)1121||||2()2x x AF BF x x x x +∴+==-++2222224()21241222()()12212k k k k k k +==--+⋅++=综上2211||||AF BF += 12分 （21）解：（Ⅰ）()x ax x x g 142'-+-= 且()x g 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,41上不单调，0142=-+-∴ax x 区间⎪⎭⎫⎝⎛2,41上有两不等实根或有一根，……………….3分即x x a 14+=区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,41上有两不等实根或有一根 令()x x x 14+=ϕ，()x ϕ在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41上单调递减，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上单调递增， 4)21(,217)2(,541===⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕϕ ，a ∴的取值范围是17[4,)2………………….6分 （Ⅱ）()x f x e x f x ∴-=-),1()(1' 在()1,0上单调递增，在()e ,1上单调递减， 且()()x f e e f f f e ∴>+===-,33)(,4)1(,302的值域为(]4,3，记)(,ln 2)()(2x f m x ax x x g x h =-=+=，原问题等价于：(]4,3∈∀m ，存在唯一的[]e e x ,40-∈，使得()m x h =0成立． ()[]e e x x ax x a x h ,,114'-∈-=-= ① 当e a 1≤时，()0'≤x h 恒成立，()x h 单调递减，由()()4444max ≥+==--ae e h x h ， ()()31min ≤-==ae e h x h ，解得：e a 10≤≤…………………..8分 ② 当4e a ≥时，()0'≥x h 恒成立，()x h 单调递增，()()4444min >+==--ae eh x h ，不合题意，舍去…………………10分③ 当41e a e <<时，()x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a e 1,4上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,1上单调递增， 且()1)(,4444-=>+=--ae e h ae e h ， 要满足条件则ea e ae 41,31≤<∴≤-． 综上所述：a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡e4,0．……………………12分 (22)解：（Ⅰ）,AB AC AF AE ==，CF BE ∴=。
2015年校联考数学试题（文科）第I 卷(选择题 60分)一、选择题 （本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则A B =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2.已知向量a=（1，-2），b=（x ，4），且a ∥b ，，则a ⋅b= A ．5 B ． -5 C ．10 D ．-103.若复数z 满足(1)1i z i -=+，则z i += A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的 面积为12D. 25．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为A.4B.8C.10D.126．设a ，b 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中不正确的一个是A ．若a ⊥α,b ∥α,则a ⊥bB ．若a⊥α,a ∥b ，β⊂b 则αβ⊥C ．若a ⊥α,b ⊥β,α∥β，则a ∥bD ．若a ∥α，a ∥β则α∥β7. 已知,x y 满足约束条件1323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩,若2z x y =+的最大值和最小值分别为,a b ，则a b += A.7B.6C.5D.48．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为A.2B.16C.83 D.329.已知函数()x x f x +=2,()x x x g +=3log ,()xx x h 1-=的零点依次为a ，b ，c ，则A ．a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.c ＜a ＜b D.b ＜a ＜c10．一个几何体的三视图如图所示，它的一条体对角线的两个端点为 A 、B ，则经过这个几何体的面，A 、B 间的最短路程是A ．B．．74 D ．11.已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，12,F F 是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90°，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是D.512.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数： (i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列三个函数中不是．．M 函数的个数有① 2()f x x =② 2()1f x x =+ ③ ()21xf x =- A. 0 B. 1C. 2D. 3第II 卷(非选择题 90分)本卷包括必考题和选考题两部分。
201５年哈尔滨市高三二模测试数学（文科）参考答案与评分标准一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；(5) A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ． 二.填空题 （13）[0,]6π；（14）17；(15) (,1][3,)-∞+∞U ；（16）423π. 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ，……………2分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，……………4分于是可求得212+-=n a n ，……………6分（Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，……………7分 故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ， ……………8分)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n……………10分又因为211123+-+-n n 23<，……………11分 所以43->n T ，……………12分(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，..……………2分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8），..……………3分乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7），..……………4分 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定. ..……………6分(Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；..……………8分 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成，..……………10分 所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=...……………12分 (19)(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . FM ∴∥AE ……………1分 ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，……………2分 ∴AF ∥EM ，……………3分∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………5分 (Ⅱ))1(1221221)1(2131k k V V EBC P PEB C -=⨯⨯⨯-⨯⨯==--……………7分621221131=⨯⨯⨯⨯=-ABCD P V ……………9分6231)1(122⨯=-∴k ……………10分 所以存在常数31=k ……………12分 (20) 解：(Ⅰ) (Ⅰ) 2=b Θ，..……………1分3=2c e a =， 32,4==∴c a ，..……………3分 MFEBACDP∴椭圆C 方程为221164x y +=..……………4分（Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=- 又因为0x k y =-..……………5分 故切线方程为0000()x y y x x y -=--， 200x x y y r ∴+=.……………6分当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=，.……………7分综上，切线方程为200x x y y r +=.……………8分（Ⅲ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=， 过点B 的圆的切线为221x x y y +=Q 两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，.……………9分由题知0P P x y ≠ ，1(0)p M y ∴，，1(,0)pN x ，.……………10分22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111119=+++21641641646416p p p p p p p p x y x y y x y x ⋅+⋅≥+⋅⋅=，当且仅当2163P x =， 283P y =时取等号，.……………11分34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34..……………12分(21) 解：（Ⅰ）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-。
2015年高三第二次结合模仿测验文科数学答案一．选择题二．填空题13．23 14．23 15．()2,+∞ 16．225 三.解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1n =时211242a S a =+== (2)分当2n ≥时111222n n n nn n a S a a a S ++-=+⎫⇒=⎬=+⎭,……4分数列{}n a 知足12n n a a +=（*n N ∈）,且12,a =2nn a ∴=（*n N ∈）． ……6分 （Ⅱ）2n n n b n a n =⋅=⋅23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ……8分两式相减,得12(1)2(*)n n T n n N +=+-⋅∈．……12分18．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）由已知可得,该公司员工中应用微信的共：2000.9180⨯=人 经常应用微信的有18060120-=人,个中青年人：2120803⨯=人 所以可列下面22⨯列联表：……4分（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：()22180805554013.3331206013545K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯……7分因为13.33310.828>,所以有99.9%的掌控以为“经常应用微信与年纪有关”. ……8分（Ⅲ）从“经常应用微信”的人中抽取6人中,青年人有8064120⨯=人,中年人有2人设4名青年人编号分离1,2,3,4,2名中年人编号分离为5,6, 则“从这6人中任选2人”的根本领件为：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15个 ……10分个中事宜A“选出的2人均是青年人”的根本领件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6个 ……11分 故2()5P A =．……12分19. （本小题满分12分） （Ⅰ）证实：记1AC 与C A 1的交点为E .贯穿连接ME . 直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,∴28911====MC MC MA MA . 因为点E 是1AC .C A 1的中点,所以1AC ME ⊥且C A ME 1⊥, ……4分从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ,所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分（Ⅱ）解：过点Ａ作1AH AC ⊥于点H , 由（Ⅰ）知平面1A MC ⊥平面11AAC C ,平面1A MC 平面111AAC C AC =, 而AH ⊥平面11AAC C∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离． ……9分在1A AC ∆中,190A AC ∠=︒,即点A 到平面1A MC的距离为41……12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知：22222222321211a b a x y a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩ ……4分 （Ⅱ）若直线AB斜率不消失,:1AB x =．无妨设(1,A B ,(2,)M m则1221m k m ==-,2221m k m +==+-,122k k +=22,1m m ∴== ……6分若直线AB 斜率消失设为k设直线AB 方程为：(1)y k x =-,1122(,),(,),(2,)A x y B x y M m2212122242(1),1212k k x x x x k k-+==++, ……7分12k k +121212122(3)()4()2()4kx x k m x x k m x x x x -++++=-++ ……8分22442(1)k m mk +=+2=, 所以1m =……10分所以定点(2,1)M……12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()ln F x x x x m =-++,界说域()0,+∞()(1)F x F m==极大,没有微小值. ……4分 （Ⅱ）2()()(2)x f x g x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立;整顿为：(2)ln x m x e x x >-+-在(0,3)x ∈恒成立; 设()(2)ln x h x x e x x=-+-, 则1()(1)()x h x x e x'=--, (6)分1x >时,10x ->,且1,1x e e x ><,10x e x∴->,()0h x '∴>; ……7分01x <<时,10x -<,设211,0,x x u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)递增, 0x →时1,0u x→+∞∴<,1x =时,10u e =->, 0(0,1)x ∴∃∈,使得00010x u e x =-=,0(0,)x x ∴∈时,0u <;0(,1)x x ∈时,0u > 0(0,)x x ∴∈时,()0h x '>;0(,1)x x ∈时,()0h x '<函数()h x 在0(0,)x 递增,0(,1)x 递减,(1,3)递增 ……9分002(0,1),2x x ∈∴-<-,00002()12121h x x x x =--<--<- 3(3)ln330h e =+->,(0,3)x ∴∈时,()(3)h x h <,……11分(3)m h ∴≥,即3(ln33,)m e ∈+-+∞．……12分22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证实选讲解：（Ⅰ）证实：由ACE ∆∽BCA ∆,得,CE AE CE AB AE AC AC AB=⋅=⋅（Ⅱ）证实： CD 等分ACB ∠, ACF BCD ∴∠=∠AC 为圆的切线,CAE CBD ∴∠=∠ACF CAE BCD CBD ∴∠+∠=∠+∠,即AFD ADF∠=∠,所以=AF ADACF ∆∽BCD ∆12CF AF AD CD BD BD ∴===,CF DF ∴=……10分23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 和⎩⎨⎧+=+=).sin(),cos(00θθρθθρn m即⎩⎨⎧+=-=,sin cos cos sin ,sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m所以⎩⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos 0000θθθθy x n y x m……5分（Ⅱ）由题意知,22,22m x y n x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以)2x y x y =. 整顿得12222=-y x .……10分24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）证法一：≤……5分证法二：由柯西不等式得:2222222(111]3≤++++=,≤ （2）证法一：同理得4433,333131b cb c ≥-≥-++,以上三式相加得,1114()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++,11133131312a b c ∴++≥+++． ……10分 证法二：由柯西不等式得:11133131312a b c ∴++≥+++．。
