交集、并集知识点复习资料总结

【必修一】高中数学必备知识点：6.交集和并集知识点解析并集并集的概念：并集的性质：疑难解析：交集交集的概念交集的性质：疑难解析理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.并集的运算[例1](1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N ＝ ( )A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2x<>A∪B等于 ( )A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2x－1}>x|－1x<>[解析](1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．[答案] (1)B (2)A并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．练习：若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0.答案：C交集的运算[例2] (1)(北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}交集的运算技巧求交集运算应关注两点：(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．交集、并集性质的应用性质应用技巧并集、交集的性质应用技巧：对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B ＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．本节易错题：预警：含字母的集合运算忽视空集或检验[典例](1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N ＝{2,3}，则a的值是( )A．1或2 B．2或4C．2 D．1(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．[解析](1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N ＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；0，解得a>当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．[答案] (1)C (2){a|a≥2}易错防范1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．2．在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．。

集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。

一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。

通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。

二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。

记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。

并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。

2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。

记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。

交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。

3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。

记作A-B，其中A和B是待操作的集合。

差集包含了属于A但不属于B的元素。

4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。

一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。

记作A的补集为A'或A^c。

补集包含了全集中属于但不属于A的元素。

三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。

记作A⊇B。

如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。

2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。

3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。

记作A⊆B。

空集∅是任何集合的子集。

4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。

假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。

四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。

即N={1, 2, 3, …}。

2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。

数学高一交集并集知识点数学是一门抽象而又神秘的学科，它在我们的日常生活中起着至关重要的作用。

在高中的数学学习中，交集和并集是我们经常会遇到的概念。

本文将深入探讨交集和并集的相关知识点，希望对高一学生们的学习能有所帮助。

一、什么是交集？交集是指两个（或多个）集合中共有的元素组成的集合。

简单来说，就是两个集合中共同存在的元素构成的集合。

例如，假设集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5, 6}，那么A 和B的交集记作A∩B，即交集为{3, 4}，因为3和4同时存在于A和B中。

交集的一个基本性质是，交集中的元素一定属于参与交集的所有集合。

也就是说，如果x属于A∩B，那么x必定属于集合A和集合B。

二、交集的运用交集在实际生活中的运用非常广泛。

例如，在染发店购买染发剂时，顾客可以根据自己的需求选择颜色和功效。

染发颜色可以看做一个集合A，染发剂功效可以看做另一个集合B。

那么，顾客希望染发既有颜色又有功效，就需要选择集合A和集合B的交集作为自己的染发剂。

交集还可以用于解决一些实际问题。

例如，假设一个班级有60名学生，其中35名学生喜欢游泳，40名学生喜欢足球。

那么，喜欢游泳和喜欢足球的学生一共有多少人呢？可以用交集的概念来解决这个问题。

喜欢游泳的学生构成了一个集合A，喜欢足球的学生构成了一个集合B。

通过求A和B的交集，我们可以得到喜欢游泳和足球的学生人数。

三、什么是并集？并集是指两个（或多个）集合中所有的元素组成的集合。

简单来说，就是把两个集合中的元素合在一起构成一个新的集合。

例如，假设集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5, 6}，那么A 和B的并集记作A∪B，即并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，因为A和B中的所有元素组成了一个新的集合。

并集的一个基本性质是，所有属于任意一个集合的元素都属于并集。

也就是说，如果x属于集合A或属于集合B，那么x必定属于集合A∪B。

1.3 交集并集学习目标：1．理解交集、并集的含义．2．能进行交集并集的运算．重点难点：交集、并集的运算．授课内容：一、知识要点1．集合的并、交运算并集：A ∪B ＝{x | x ∈A 或x ∈B}．交集：A ∩B ＝ ．2．交并集的性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．二、典型例题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = ． 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B = ．3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 ．(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=．4．知集合A ={x |-5<x <5}，B ={x |-7<x <a }，C ={x |b <x <2}，且A ∩B =C ，则 a ，b 的值分别为 ．5．设全集U ={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A ,B )为一个“理想配集”．（若A ＝B ，规定(A ,B )＝(B , A )；若A ≠B ，规定(A ,B )与(B , A )是两个不同的“理想配集”）．那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

==P 则T P 的元素有 个．7．若(){}(){}2,|,,,|,,A A x y y x x R B x y y x x R B ==∈==∈则= ．8．已知集合{}{},11|,52|+≤≤-=≤≤-=k x k x Q x x P 求使∅=Q P 的实数k 的取值范围．9．已知集合{},413,12,4,1,3,222⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=+=a a a B a A 且{}2=B A ，求实数a 的值．10．设U ={小于10的正整数}，已知A ∩B ={2}，()()U U C A C B ={1，9}，(){4,6,8}U C A B =，求A ，B ．11．设全集22{},{|560},{|120},U A x x x B x x px ==-+==++=不超过5的正整数 {1,3,4,5}U C A B =,求p 及A B ．12．已知集合A ={x |x <3}，B ={x |x <a }，①若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．②若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．③若R C A 是R C B 的真子集，求实数a 的取值范围．三、课堂练习1．设集合{}{},9,8,6,3,1,7,5,4,2,1,0==B A {},8,7,3=C 则集合()=C B A ． 2．设全集{},,8|+∈≤=N x x x U 若(){}(){}1,8,2,6,U U A C B C A B ==()(){}4,7,U U C A C B =则=A ，=B ．3．已知P ={y |y=x 2+1，x ∈N }，Q ={y |y=－x 2+1，x ∈N }则P ∩Q = ．4．设集合{}{}{},20|,31|,24|≥≤=<≤-=<≤-=x x x C x x B x x A 或则_______)(=B C A ．5．设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差为{}|,,M P x x M x P -=∈∉且则()M M P --= ．6．已知全集{},4,3,2,1,0,1,2,3,4----=U 集合A ={-3，a 2，a + 1}，B ={a – 3，2a – 1，a 2 +1}，其中R a ∈，若{}3-=B A ，求)(B A C U ．7．A = {x ∣x 2 – 3x +2 = 0，x ∈R }，B = {x ∣x 2 – ax + a – 1 = 0，x ∈R }，C = {x ∣x 2 – mx + 2= 0，x ∈R }，且,AB A AC C ==，求m a ,的值．8．已知集合},1{},21{<=<<=x x B ax x A 且满足B B A = ，求实数a 的取值范围．【拓展提高】10．已知φ==++=+R A m x x x A 且}02{2，求实数m 的取值范围．四、巩固练习1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则集合∁U (A ∪B)＝________．2．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是________．3．已知全集U＝{x|0≤x<10，x∈N}，A∪B＝U，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，则集合B＝________．4．集合M＝{x|－2≤x<1}，N＝{x|x≤a}，若∅(M∩N)，则实数a的取值范围为________．5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是________．6．对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)．设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中元素的个数为________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围________．8．已知非空集合A＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，B＝{(x，y)|y＝(5－3a)x－2a}．若A∩B＝∅，则a＝________．9．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝________．10．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∩B)等于________．11．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，而A∩(∁U B)等于________．12．设集合A＝{x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z且－5≤x≤5}，则A∪B的元素个数是________．13．已知集合M是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≠0)的解集，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，若M∩A＝∅，且M∪B＝B，试求p、q的值．14．已知全集U＝{不大于5的自然数}，A＝{0,1}，B＝{x|x∈A，且x<1}，C＝{x|x－1 A，且x∈U},求∁U B，∁U C.15．设集合A＝{a2,2a－1,－4}，B＝{a－5,1－a,9}．(1)若{9}＝A∩B，求实数a的值；(2)若9∈(A∩B)，求实数a的值．。

【知识点】集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）一、交集：数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。

由属于A 且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

交集越交越少。

若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合 {1， 2， 3} 和 {2， 3， 4} 的交集为 {2， 3}。

数字 9 不属于素数集合 {2， 3， 5， 7， 11} 和奇数集合 {1， 3， 5， 7，9， 11}的交集。

若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B =? ;。

例如集合 {1， 2} 和 {3， 4} 不相交，写作 {1，2} ∩{3， 4} = ? 。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。

例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。

交集运算满足结合律，即A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。

若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素 A，x 属于 A。

这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合 {A，B，C} 的交集。

（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。

这一概念的符号有时候也会变化。

集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。

后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈ I} 的交集。

这里 I 非空，Ai 是一个 i 属于 I 的集合。

注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。

二、并集：并集（union）：在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

集合知识点和公式总结一、集合的基本概念和运算集合是由确定的、互不相同的元素所组成的整体，数学上常用大写字母A、B、C等表示集合，而集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。

集合通常用花括号{}表示，例如集合A={1,2,3,4}。

1. 交集和并集交集：集合A与B的交集，记作A∩B，表示A和B都具有的元素的集合。

即A∩B={x|x∈A且x∈B}。

并集：集合A与B的并集，记作A∪B，表示A和B所有的元素的集合，不重复计算。

即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

2. 补集和差集补集：集合A的补集，记作A'或A^C，表示集合U中所有不在A中的元素构成的集合。

即A'={x|x∈U且x∉A}。

差集：集合A与B的差集，记作A-B，表示属于A而不属于B的元素构成的集合。

即A-B={x|x∈A且x∉B}。

3. 子集和真子集子集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称A为B的子集，记作A⊆B。

真子集：若A是B的子集，但A不等于B，则称A为B的真子集，记作A⊂B。

4. 交换律、结合律和分配律交换律：集合的交集和并集满足交换律，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

结合律：集合的交集和并集满足结合律，即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。

分配律：集合的交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

5. 德摩根定律德摩根定律是集合运算中的重要定律，它包括两个方面的内容：(1) 互补律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。

(2) 反演律：A'=U-A，A∪B=U-(A'∩B')。

6. 其他运算除了交集、并集、补集、差集等基本运算外，集合还可以进行笛卡尔积、幂集等运算。

二、概率与统计中的集合应用在概率与统计中，集合是一个非常重要的概念，它与事件、随机变量、概率分布等有着密切的关系。

高一数学复习知识点专题讲解与训练并集与交集知识点一并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称自然语言为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}(读作“A并B”)图形语言知识点二交集一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称自然语言为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．4.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C. 答案：C类型一并集概念及简单应用例1(1)设集合A＝{1,2,3}, B＝{2,3,4}, 则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}(3)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)由题意A∪B＝{1,2,3,4}．(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．(3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．【答案】(1)A(2)A(3)A(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B.(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.(3)先明确集合A，B都是点集，再判断A∪B中的元素的特征．方法归纳此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．,跟踪训练1(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}解析：(1)先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示．则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．答案：(1)D (2)A ,先解方程，求出集合M ，N .求M ∪N 时要注意两点：(1)把集合M ，N 的元素放在一起；(2)使M ，N 的公共元素在并集中只出现一次．类型二 交集概念及简单应用例2 (1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 D ．A ∪B ＝R(2)已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x <2}和N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个(3)已知集合M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2<x <0}，若M ∩N ＝∅，则a 的取值范围为( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <－2 D ．a ≤－2,【解析】 (1)由3－2x >0，得x <32，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，又因为A ＝{x |x <2}，所以A ∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}． (2)由题意得，阴影部分所示的集合为M ∩N ，由N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }知N 表示奇数集合，又由M ＝{x |－2≤x <2}得，在－2≤x <2内的奇数为－1,1.所以M ∩N ＝{－1,1}，共有2个元素． (3)画数轴可知，当M ∩N ＝∅时，a 的取值范围是{a |a ≤－2}． 【答案】 (1)A (2)B (3)D(1)先解不等式确定集合B ，再根据交集、并集的定义分别确定A ∩B 和A ∪B.(2)先判断集合N 中元素的特征，再判断Venn 图中阴影部分表示的集合M ∩N ，最后求元素个数．(3)画数轴，根据M ∩N ＝∅，求a 的取值范围．方法归纳(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．,跟踪训练2(1)若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________，P∪M＝________；(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<－2或x>5}，则M∪N＝________，M∩N ＝________；(3)已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈Z}，集合N＝{y|y＝－x2－2x，x∈Z}，求M∩N.解析：(1)P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}，P∪M＝{－1,1,3}．(2)借助数轴可知：M∪N＝{x|x>－5}，M∩N＝{x|－3<x<－2}．(3)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈Z，∴M＝{－1,0,3,8,15，…}．又∵y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，x∈Z，∴N＝{1,0，－3，－8，－15，…}，∴M∩N＝{0}．答案：(1){－1}{－1,1,3}(2){x|x>－5}{x|－3<x<－2}(3){0}先求出集合P、M，再求P∩M , P∪M.集合M ，N是函数的值域．类型三交集、并集性质的运用例3已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.综上知，a＝－2.审结论(明解题方向)审条件(挖解题信息)(1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C.(2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．∅(A∩B)，A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．,由A ∩B ＝B 得B ⊆A ，B 分2类，B ＝∅，B ≠∅，再利用数轴求.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－5} B ．{x |x ≤2} C ．{x |－3<x ≤2} D ．{x |－5≤x ≤2} 解析：结合数轴(图略)得A ∪B ＝{x |x ≥－5}． 答案A2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a －1，a ∈N *}，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{1,2} C ．{1} D ．{2}解析：因为N ＝{1,3,5，…}，M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1}． 答案：C3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝－4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x ＝－1，y ＝2} B ．(－1,2)C ．{－1,2}D ．{(－1,2)}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，2x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以A ∩B ＝{(－1,2)}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2解析：在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设集合A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}7．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±2，或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±2，0，共3个．答案：38．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：{a|a≤1}三、解答题(每小题10分，共20分)9．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}，∵B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝1 3；(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－1 2；(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.∴m＝13或m＝－12或m＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是() A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A12．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．答案：{6}13.设A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－a ＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．解析：由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.所以A ＝{0,2}．(1)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}．当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，所以a <0.当B ＝{0}或{2}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，a 2－a ＝0⇒a ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，4－4a ＋a 2－a ＝0无解， 所以a ＝0，B ＝{0,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝04－4a ＋a 2－a ＝0⇒a ＝1， 综上，a 的取值范围为{a |a ≤0或a ＝1}．(2)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以B ＝{0,2}，所以a ＝1.。

数学知识点归纳集合的基本运算与性质在数学中，集合是由一组特定元素构成的，而集合的基本运算和性质则是用来描述和操作这些集合的方法和规律。

本文将对集合的基本运算和性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用数学中的集合概念。

一、集合的基本运算1. 交集：表示为A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素的集合。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

2. 并集：表示为A∪B，表示属于集合A或集合B的元素的集合。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

3. 差集：表示为A-B或A\B，表示属于集合A但不属于集合B的元素的集合。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

4. 互斥事件：指两个集合没有相同元素，其交集为空集。

“互斥”表示两个事件不可能同时发生。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={4, 5, 6}，则A∩B={}。

二、集合的性质1. 交换律：集合的交集和并集满足交换律，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

这意味着两个集合的交集和并集的顺序可以随意调换。

2. 结合律：集合的交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

这意味着多个集合的交集和并集的计算可以不用考虑括号的位置。

3. 分配律：集合的交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

这意味着两个运算在同时进行时，可以通过分配律来简化运算。

4. 对偶律：集合的交集和并集满足对偶律，即(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。

这意味着对两个集合进行交集或并集运算后再取相对补集，结果与先取相对补集再进行交集或并集运算的结果相同。

5. 恒等律：集合与全集的并集为全集，集合与空集的交集为空集，即A∪U=U，A∩∅=∅。

辅导讲义――交集、并集教学目的1交集和并集的定义 2集合间的关系和运算 重点难点1交集和补集的定义 2集合的关系和运算教学内容1、交集的定义定义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集；记作A ∩B ，(读作“A 交B ”) 符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }图示语言例：1、{1，2，3，6}∩{1，2，5，10}＝{1，2}. 2、{1，2，3，6}∩{5，10}＝∅3、设A ＝{x |x ＞－2}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}2、集合的常用性质（1）A ∩A ＝A （2）A ∩∅＝∅ （3）A ∩B ＝B ∩A （4）A ∩∁U A ＝∅ （5）(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B[例1]（1）设集合A ＝｛-1，0，1｝，B ＝｛0，1，2，3｝，求A ∩B ；（2）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ≤1}，求A ∩B.[巩固]（1）已知集合A ＝｛-1，1，3，5｝，B ＝｛x |-4<x -3≤0｝，求A ∩B ；（2）设A ＝{x |x =2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x =2k+1，k ∈Z }，求A ∩B.[例2]若集合A =｛1，m -2｝，B =｛-1，2，4｝，且A ∩B =｛2｝，则实数m =______.[巩固] 已知集合A =｛1，3，m ｝，B =｛1，m ｝，若A ∩B = B ，则m =_________. 知识模块1交集精典例题透析[例3]已知集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B=A ，则实数a 的取值范围为_______________.[巩固]已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |x <a }，全集为实数集R ，且A ∩B=∅，则实数a 的取值范围为_______________.[例4]已知集合A =｛-1，1｝，B =｛x |x 2-2ax+b =0｝，若A ∩B = B=∅，则实数a ，b 的关系是______________.[巩固]已知集合A =｛-1，21｝，B =｛x |mx -1=0｝，若A ∩B = B ，则所有实数m 组成的集合是________________.1、并集的定义定义 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合，叫做A ，B 的并集；记作A ∪B (读作“A 并B ”) 符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }图示语言2、并集的常用性质（1）A ∪A ＝A （2）A ∪∅＝A （3）A ∪B ＝B ∪A （4）A ∪∁U A ＝U （5）A ⊆ (A ∪B ) ，B ⊆ (A ∪B ）[例1]根据下面给出的集合A ，B ，求A ∪B . （1）A ＝｛-1，0，1｝，B ＝｛0，1，2，3｝； （2）A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ≥-2}.[巩固] （1）已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ≤1}，求A ∪B ；（2）已知集合A ＝｛-1，1，3，5｝，B ＝｛x |-4<x -3≤2｝，求A ∪B .[例2]已知集合A ＝｛2，m ｝，B ＝｛1，m 2｝，若A ∪B=｛1，2，3，9｝，则m=________. 知识模块2并集精典例题透析[巩固]设集合A ＝｛a+5，3，5｝，B ＝｛2a+1，a 2+2a ，a 2+2a -1｝，若A ∩B=｛2，3｝，则A ∪B =______________.[例3] 已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x >a }，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为____________.[巩固]已知集合S ＝{x |x ≤-1或x ≥2}，P ＝{x | a ≤x ≤a+3}，若S ∪P=R ，则实数a 的取值集合为[例4] 已知集合A ＝{x |ax -1=0}，B ＝{x |x 2-3x+2=0}，若A ∪B= B ，则a =____________.[巩固] 已知集合A ＝{x |x -a =0}，B ＝{x | ax -1=0}，若A ∪B=A ，则a =_____________.设a ，b 是两个实数，且a<b ，我们规定如下表：定义 名称 符号 数轴表示｛x|a ≤x ≤b ｝ 闭区间 [a ，b ] ｛x|a<x<b ｝ 开区间 （a ，b ） ｛x|a ≤x<b ｝ 左闭右开区间 [a ，b ） ｛x|a<x ≤b ｝ 左开右闭区间（a ，b ] ｛x|x ≥a ｝ [a ，+∞） ｛x|x>a ｝ （a ，+∞） ｛x| x ≤b ｝ （-∞，b ] ｛x| x<b ｝（-∞，b ）R（-∞，+∞）数轴上的所有点[例]将下列集合用区间表示出来.（1）｛x |2x -1≥0｝； （2）｛x | x<-4，或-1<x ≤2｝[巩固1]已知全集U=R ，A=｛x |-4≤x <2｝，B =(-1，3]，P=｛x |x ≤0，或x ≥25｝，求下列各集合，将结果用区间表示. （1）（A ∪B ）∩P ； （2）（∁U B ）∪P （3）（A ∩B ）∪（∁U P ） 知识模块3区间的概念精典例题透析2、集合A={-1,2,3,6}，B={x|x=-2<x<3}，则A⋂B=__________.3、已知全集U=｛x|0≤ x <10，x∈N｝，A∪B=U，A∩(∁U B)=｛1，3，5，7，9｝，则集合B=_______________.4、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x-2)=0,x∈Z}，则A B=_________.5、设集合M=｛-1，0，1｝，N=｛a，a2｝，若M∪N=M，则a=________.4、满足条件｛1，2｝∪B=｛1，2，3，4，5｝的所以集合B的个数为__________.5、用集合表示下列的阴影部分.（1）____________ （2）______________ （3）___________ （4）____________6、已知方程x2+px+q=0的两个不相等实数根分别为α，β，集合A=｛α，β｝，B=｛2，4，5，6｝，C=｛1，2，3，4｝，A∩C=A，A∩B=∅，求p，q的值.7、已知集合P=(){}(){}bxyyxQxy+===,,yx，，若P∩Q≠Φ，则求出实数b的最大值。

集合知识点总结归纳一、集合的定义集合是指具有某种共同性质的对象的汇聚。

这些对象可以是数字、字母、图形、物体等。

集合用大括号{}表示，其中的对象称为元素。

例如，集合A={1,2,3,4,5}，表示A是由数字1、2、3、4、5组成的集合。

在集合中，元素是没有顺序的，且不重复。

集合中没有元素的情况称为空集，记作Φ。

二、集合的运算1. 并集：设A和B是两个集合，A∪B表示A和B的并集，即集合A和B中所有元素的集合。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：设A和B是两个集合，A∩B表示A和B的交集，即同时属于A和B的元素的集合。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。

3. 差集：设A和B是两个集合，A-B表示A和B的差集，即属于A但不属于B的元素的集合。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}。

4. 补集：设U为全集，A为U的子集，A的补集记作A'或者~A，表示U中所有属于但不属于A的元素的集合。

5. 笛卡尔积：设A和B是两个集合，A×B表示A和B的笛卡尔积，即由所有形如(a,b)的有序数对组成的集合，其中a∈A，b∈B。

三、特殊集合1. 自然数集合：N={1,2,3,4,5,...}。

2. 整数集合：Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。

3. 有理数集合：Q={m/n|m，n∈Z,n≠0}。

4. 实数集合：R表示所有实数的集合。

5. 复数集合：C表示所有复数的集合。

四、集合的关系与表示方法1. 包含关系：若集合A中的每个元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B，或者B的超集，记作B⊇A。

2. 相等关系：若A⊆B且B⊆A，则称A等于B，记作A=B。

3. 元素的属于关系：若某个元素属于某个集合A，记作a∈A，否则记作a∉A。

4. 集合的表示方法：- 列举法：直接列举出集合中的元素。

并集运算和交集运算可以同时应用于多个集合， 即 A∪(B∩C) 表示先将 B 和 C 进行交集运算， 再将结果与 A 进行并集运算。
当两个集合相等时，它们的并集和交 集也相等。
05
并集与交集的应用举例
并集在集合合并中的应用
总结词
并集用于合并两个或多个集合，将它 们合为一个集合。
详细描述
并集运算通过将多个集合中的所有元 素组合在一起，形成一个新的集合。 例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5} 的并集C={1,2,3,4,5}。
集合的基本运算-第1课时并集、交集
目录
• 引言 • 引言 • 引言 • 并集的定义与性质 • 交集的定义与性质 • 并集与交集的运算规则 • 并集与交集的应用举例 • 总结与思考
01
引言
交集的定义
• 交集是将两个集合中共有的元素组成的集合。
交集的表示方法
• 用圆括号()或交集运算符∩表示。
交集的性质
• 交集运算满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A和 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
02
并集的定义与性质
并集的定义
01
并集是指两个或多个集合中所有元 素的集合，记作A∪B。
02
并集中的元素属于A或属于B或同 时属于A和B。
并集的表示方法
可以用大括号{}、逗号分隔的圆括号()或者并集符号∪来表示并集。 如：A={1,2,3}, B={3,4,5}, 则A∪B={1,2,3,4,5}。
可以用大括号{}、圆括号()或尖括号<>来表示集合，并在集合之间添加“∩”符号来表示交集。
如：A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
交集的性质

【人教版】高一上册数学交集并集知识点解析人教版高一上册数学交集并集知识点解析《交集、并集》知识点1.并集(1)并集的定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作A并B);(2)并集的符号表示A∪B={x|x∈A或x∈B｝.并集定义的数学表达式中或字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的.x∈A，或x∈B包括如下三种情况：①x∈A，但xB;②x∈B，但xA;③x∈A，且x∈B.由集合A中元素的互异性知，A与B的公共元素在A∪B 中只出现一次，因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.例如，设A={3，5，6，8｝，B={4，5，7，8｝，则A∪B={3，4，5，6，7，8｝，而不是{3，5，6，8，4，5，7，8｝.2.交集利用下图类比并集的概念引出交集的概念.(1)交集的定义由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作A交B).(2)交集的符号表示A∩B={x|x∈A且x∈B｝.同步练习题1.若集合A={0,1,2,3,4}，B={1,2,4}则A∪B=()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}答案：A2.设S={x||x|lt;3}，T={x|3x-5lt;1}，则S∩T=()A.#8709;B.{x|-3lt;xlt;3}lt; p=gt;C.{x|-3lt;xlt;2} p= d.{x|2lt;xlt;3}lt;=gt;答案：C3.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3}, A∩#8705;UB={9}，则A=( )A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}答案：D4.设A={(x，y)|4x+y=6}，B={(x，y)|3x+2y=7}，则A∩B为( )A.{x=1，或y=2}B.{1,2}C.{(1,2)}D.(1,2)解析：A∩B=#61480;x，y#61481;4x+y=63x+2y=7={(1,2)}.答案：C5.已知集合A={(x，y)|x，y∈R且x2+y2=1}，B={(x，y)|x，y∈R且x+y=1，则A∩B的元素个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个解析：由x2+y2=1，x+y=1#8658;x=1，y=0或x=0，y=1，即A∩B={(1,0)，(0,1)}.答案：C6.已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(#8705;UA)∪B为( )A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}答案：C7.已知方程x2-px+15=0与x2-5x+q=0的解分别为M和S，且M∩S={3}，则pq=________.解析：∵M∩S={3}，∴3既是方程x2-px+15=0的根，又是x2-5x+q=0的根，从而求出p，q.答案：438.已知全集S=R，A={x|x≤1}，B={x|0≤x≤5}，则(#8705;SA)∩B=________.解析：#8705;SA={x|xgt;1}.答案：{x|1lt;x≤5}lt; p=gt;9.设集合A={x||x-a|lt;1，x∈R}，B={x|1lt;xlt;5}，若a∩b=#8709;，则a的取值范围是________.lt; p=gt;解析：∵A={x|a-1lt;xlt;a+1}，若a∩b=#8709;，则a+1≤1或a-1≥5#8658;a≤0或a≥6.lt; p=gt;答案：{a|a≤0或a≥6}10.设集合A={0,1,2,3,4,5,7}，B={1,3,6,8,9}，C={3,7,8}，那么集合(A∩B)∪C是________.答案：{1,3,7,8}知识点是同学们提高总体学习成绩的重要途径，高一上册数学交集并集知识点为大家巩固相关重点，让我们一起学习，一起进步吧!。

高一数学交集与并集知识点在高一数学学习中，交集与并集是两个非常重要的概念，它们在解决集合相关的问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍高一数学中关于交集与并集的基本知识点。

一、交集（∩）的定义与性质所谓交集，指的是两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。

交集的符号表示为∩。

1. 定义：设A、B为两个集合，A与B的交集为A∩B，即A∩B={x | x∈A 且 x∈B}。

2. 性质：a. 交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。

b. 结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C =A∩(B∩C)。

c. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。

二、并集（∪）的定义与性质并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的一个新集合。

并集的符号表示为∪。

1. 定义：设A、B为两个集合，A与B的并集为A∪B，即A∪B={x | x∈A 或 x∈B}。

2. 性质：a. 交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。

b. 结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。

c. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

三、交集和并集的应用交集和并集在数学问题中有着广泛的应用，特别是在集合论、概率论以及逻辑推理等领域。

1. 集合论：交集和并集在集合论中被广泛研究和应用。

通过交集和并集的运算，我们可以推导出集合的包含关系、相等关系、差集等概念。

2. 概率论：在概率论中，交集和并集是计算事件概率的重要工具。

通过交集和并集的概念，我们可以计算同时发生两个事件的概率（交集），或者至少发生一个事件的概率（并集）。

3. 逻辑推理：交集和并集也在逻辑推理中起着重要的作用。

通过交集和并集的运算，我们可以进行命题的合取、析取运算，以及条件语句的推理。

四、交集和并集的解题技巧在解题过程中，我们可以运用交集和并集的性质和定义来简化问题，提高解题效率。

第10讲集合1.3交集、并集课标知识与能力目标1．理解交集、并集的概念及其性质；2．会求已知两个集合的交集、并集；3．初步会求集合的运算的综合问题；4．理解区间的表示法.知识点1交集1.交集的定义(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn图2．交集的常用性质：（1）A∩A = A；（2）A∩∅=∅；（3）A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5）A∩B⊆A，A∩B⊆B注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=∅.3.区间设a，b∈R，且a<b，规定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间；[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.典型例题考点1求已知两个集合的交集规律方法求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素：(1)对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解；(2)对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图法求解．例1 （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}， B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∩B；知识点2并集1.并集定义(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A∪B (读作“A 并B”)．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．(3)Venn 图① ② ③注意：并集（A∪B）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.2．并集的常用性质：（1） A∪A = A；（2） A∪∅= A ；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5） A ⊆A∪B， B ⊆A∪B典型例题考点1求集合的并集例1根据下面给出的A 、B ，求A∪B①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；②A={y|y=x 2-2x}，B={x||x|≤3}；③A={梯形}，B={平行四边形}．例2已知全集U=R ，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥52}， 求： ①(A∪B)∩P ②()U C B ∪P ③ (A∩B)∪()U C P ．例3已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x 2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，求()A C B拓展提优题型1运用交集性质求题中的参数注意：若A∩B＝∅，则A、B可能的情况为：(1)A、B非空但无公共元素；(2)A、B均为空集；(3)A 与B中只有一个是空集．例1已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例2已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．例3已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例4已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B ≠ ，求实数m的取值范围．题型2根据并集性质求参数取值范围问题例1已知A＝{x|x<3}，B＝{x|x<a}，(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．例2已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．例3若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的集合．例4已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a，m的值或取范围.。

数学交集知识点总结一、基本概念1. 交集的定义在数学中，集合A和集合B的交集定义如下：集合A和集合B的交集，记作A∩B，是由同时属于集合A和集合B的元素所构成的集合。

即A∩B={x|x∈A且x∈B}。

例如，如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∩B={2,3}。

2. 空集和全集的交集空集是不包含任何元素的集合，在数学中通常用符号“∅”表示。

全集是包含所有可能元素的集合。

空集和全集的交集结果为∅，即空集和任何集合的交集都是空集。

3. 交集的符号表示在数学符号中，使用“∩”表示交集。

例如，集合A和集合B的交集可以表示为A∩B。

如果有更多的集合，如A、B、C的交集，则可以表示为A∩B∩C。

二、性质1. 交换律交换律是指集合交集的顺序不影响结果。

即A∩B=B∩A。

这是因为同时属于A和B的元素，在A∩B和B∩A中都会被包含。

2. 结合律结合律是指集合交集的结合顺序不影响结果。

即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

这是因为同时属于A、B和C的元素，在(A∩B)∩C和A∩(B∩C)中都会被包含。

3. 分配律分配律是指集合的交并运算之间存在分配关系。

具体来说，对于集合A、B和C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)和A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

4. 包含关系交集的结果包含于原始集合之中。

即如果A∩B=C，那么C是A和B的子集，即C⊆A和C⊆B。

5. 同一性相同的集合进行交集运算，结果仍为原来的集合。

即A∩A=A。

6. 并集和交集的关系并集和交集的关系可以表示为A∪B=A+(B-A)或A+B-A∩B。

即集合A和B的并集表示为A加上B减去A和B的交集。

7. De Morgan定律De Morgan定律指出集合的补运算和交并运算之间存在关系。

具体来说，对于集合A和B，有(A∩B)'=A'∪B'和(A∪B)'=A'∩B'。

三、应用1. 几何在几何学中，交集的概念经常用来描述图形之间的关系。