苏科版九年级数学上册第5章二次函数小结与思考

二次函数是中学数学中一个重要的知识点，它也是函数解题的基本功之一、本文将围绕它的相关知识进行总结，旨在帮助学生更好地掌握这一重要的知识点。

一、定义
从表达形式上来看，二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0 ）可以说明它具有二次项x2、它是一元二次函数中最基本的表达形式，也是高中数学中最常见的函数形式。

二、函数曲线
1.曲线特点
二次函数曲线的基本特点是对称性，即关于直线y=mx+n的对称（m 为抛物线的斜率，n为抛物线在y轴上的截距），该直线叫函数曲线的对称轴（又可称为准线）。

其他还有：（1）当a>0时，曲线为上凸的锥形；
（2）当a<0时，曲线为下凹的锥形；
（3）抛物线的顶点（即相对应的x值）为x=-b/2a。

2.应用
结合抛物线的特点，可以应用于实际的几何图形，例如抛物线是球反弹的反弹轨迹，也是一些宇宙物体的运动轨迹，可以应用于水力动力学、声学现象、电磁学等方面。

三、函数的特征和性质
1.函数的表达式
二次函数的表达式有：
（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c，（a≠0）
（2）标准式：f(x)=a(x-p)2+q（a>0）
（3）指数式：f(x)=ax2+b（a≠0）
（4）参数式：f(t)=a(t-p)2+q（a>0）
2.性质。

初三数学上学期《二次函数》知识点归纳：苏版
学习是一个不断深入的过程，他需要我们对每天学习的新知识点及时整理，接下来由查字典数学网为大提供了二次函数知识点归纳，望大家好好阅读。

I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左;
当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.假设a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2
是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a。

九年级上册数学知识点二次函数（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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《二次函数》九年级数学教学反思范文（精选5篇）《二次函数》九年级数学教学反思范文（精选5篇）作为一名人民老师，我们要在课堂教学中快速成长，通过教学反思可以有效提升自己的教学能力，来参考自己需要的教学反思吧！以下是小编精心整理的《二次函数》九年级数学教学反思范文（精选5篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

《二次函数》九年级数学教学反思1二次函数的图像是教学的重点，也是教学的难点。

学会并理解了函数的图像，可以说就掌握了函数的性质。

如何进行函数图像的教学呢？1、学习图像之前，让学生正确画平面直角坐标系，准备不同颜色的彩笔。

2、每节课基本都是学生自己画图、比较、讨论、总结。

本节画出的图像比较，和上节学习的图像比较，和小组其他同学比较，看形状、看开口、看对称轴、看顶点有什么相同点和不同的地方，尽可能自己总结函数的图像。

3、小组展示成果，其他小组听、评和补充。

总结出顶点形式的图像性质。

4、画出函数的图像，根据图像确定ahk的数值。

5、注意二次函数的对称性，步骤是列表、描点、连线。

取值时从对称轴开始取，注意左右对称取值。

《二次函数》九年级数学教学反思2这节课是在学完正、反比例、一次函数，认识了一元二次方程之后的二次函数的第一节课，从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。

但是如果光从这些知识点上来讲这节课，其实很简单，学生在原有知识的储备基础上很容易迁移和接受这些知识，那么这节课还有什么好设计的呢？重新思索教材的编写意图，发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题，由此引出了二次函数，我才意识其实这节课的重点实际上应该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”上，有了这个认识，一切变得简单了！整节课的流程可以这样概括：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——有练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结，这样设计一气呵成，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，是容易让学生理解和接受的。

一、引言二次函数是初中数学课程中的重要内容，也是九年级上册数学课本中的重点章节之一。

掌握二次函数的知识对于理解数学原理、解决实际问题都具有重要意义。

通过九年级上册的学习，我们已经初步接触了二次函数的概念和基本性质，下面将对九年级上册二次函数的知识点进行总结，帮助大家巩固所学内容。

二、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，其中a、b、c是已知常数，且a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。

抛物线开口方向由二次函数的系数a的正负性决定。

3. 二次函数的自变量、因变量：自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。

三、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：二次函数的图像在其顶点处取得极值，当a>0时，抛物线的顶点是最小值点；当a<0时，抛物线的顶点是最大值点。

3. 抛物线的对称轴：对称轴是垂直于x轴过抛物线顶点的直线，其方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：焦点是抛物线上所有点到定点的距离与到定直线的距离相等的点。

四、二次函数的基本性质1. 判别二次函数的开口方向：利用二次函数的一阶导数的正负性可以判断抛物线的开口方向。

2. 求解二次函数的零点：利用二次函数的根的求法，可以求出二次函数的零点。

3. 求解二次函数的顶点：利用二次函数的完全平方公式，可以求出二次函数的顶点。

五、二次函数的应用1. 利用二次函数解决实际问题：例如利用二次函数的图像特征和性质，可以解决抛物线运动、抛物线的方程等实际问题。

2. 二次函数与其他函数的关系：二次函数是数学中的一种基本函数，也是其他函数的重要组成部分，掌握二次函数的知识对于理解其他函数具有重要意义。

六、总结九年级上册的二次函数知识点虽然不算太多，但其中蕴含的数学思想和方法却是非常丰富的。

通过对二次函数的定义、图像特征、基本性质和应用进行总结，希望大家能够更加深入地理解和掌握二次函数，为今后的数学学习打下坚实的基础。

第5章 《二次函数》知识点康 进 成一、二次函数的概念和一般式1、概念： ；2、一般式： ；3、自变量的取值范围： ；4、列实际问题的二次函数表达式 ；二、二次函数y=ax 2的图象特征和性质1、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；2、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .三、二次函数2()y a x h k =-+的图像画法、平移规律、特征和性质1、图像画法：列表（取五对数）、描点（描五个点）、连线2、平移规律：左加右减、上加下减3、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 .4、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .四、二次函数2()y a x h k =-+中a 、h 、k 的意义（1）a 决定 ，（2）h ① ；② ；③ ，（3）k ① ；② ；③ . 五、二次函数一般式2y ax bx c =++对应的顶点式224()24b ac b y a x a a -=++、特征、性质 1、转化：2y ax bx c =++224()24b ac b a x a a -=++. 2、特征：开口方向、顶点坐标（2b a -，244ac b a -）、对称轴是直线2b x a=-. 3、性质（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .注：由一般式回答图像特征和性质的思路：（1）直接通过计算相关代数式（如2b a-，244ac b a -）的值后解决问题. （2）将一般式转化成顶点式：224()24b ac b y a x a a-=++，结合顶点式来解决问题. 六、二次函数一般式2y ax bx c =++中a 、b 、c 符合和一些重要代数式的符合的确定1、a 看 而确定符合；b 看 而确定符合；c 看 而确定符合；2、2a b +看2b a -与 而确定符合，2a b -看2b a-与 而确定符合， 24b ac -看 而确定符合.3、a b c ++ 而确定符合，a b c -+ 而确定符合， 42a b c ++ 而确定符合，42a b c -+ 而确定符合.七、二次函数的对称规律1、二次函数一般式2y ax bx c =++的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2y ax bx c -=++，即：2y ax bx c =---（2）关于y 轴对称的表达式为：()()2y a x b x c =-+-+ 即：2y ax bx c =-+ （3）关于原点轴对称的表达式为：()()2y a x b x c -=-+-+即：2y ax bx c =-+- 2、二次函数顶点式2()y a x h k =-+的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2()y a x h k =---（2）关于y 轴对称的表达式为：2()y a x h k =++（3）关于原点轴对称的表达式为：2()y a x h k =-+-八、二次函数的三种形式和用待定系数法确定函数表达式1、一般式：2y ax bx c =++，已知条件 ，设为一般式求出待定系数的值确定表达式.2、顶点式：2()y a x h k =-+，已知条件 ，设为顶点式求出待定系数的值确定表达式.3、交点式：12()()y a x x x x =--，已知条件 ，设为交点式求出待定系数的值确定表达式.九、二次函数与一元二次方程1、二次函数的图像与x 轴的交点情况与相应的一元二次方程的根的情况的关系.2、由24b ac -的符合确定二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点情况.3、求二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴的交点坐标.4、确定（求出）二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点坐标，结合图像由y 值的符合确定x 的取值范围.5、由x 值的取值范围值，结合图像根据x 值的取值范围与抛物线对称轴的位置关系（有三种情况：对称轴在x 值的取值范围右边、之间、左边），而确定y 值的取值范围.6、利用图像由二次函数值与一次函数值、二次函数值与反比例函数值的大小关系确定x 的取值范围（关键是组成方程组，解出方程组的解而确定交点坐标，然后看图像而确定x 的取值范围）.7、利用图像（或表格）确定相应的一元二次方程的近似解.十、二次函数与几何图形的综合1、这类问题的三大特点：一数形结合、二分类讨论、三运动.2、抓住二次函数的性质和一些几何图形的性质3、几何图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形（菱形、正方形）、相似三角形、圆，并注意这些几何图形性质的灵活应用，如等腰三角形中等边对等角，直角三角形中勾股定理，平行四边形（菱形、正方形）中对边平行且相等，由相似三角形得比例式，圆中有圆周角定理、切线长定理的应用等等4、如有求值必找等式，用方程思想解决问题、设动点横坐标，代入函数关系式表示出纵坐标，再写成坐标便于解决问题、注意数值与线段长度的区别十一、用二次函数解决问题1、用二次函数知识解决“数”的问题列二次函数解决问题与列整式方程解决问题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．常见的问题主要是解决最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)问题.2、用二次函数的图像解决“形”问题把涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”建立在适当地直角坐标系中，转化为二次函数图像而解决问题常见的问题主要是解决涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”的实际问题.。

二次函数是中学数学中重要的一个章节，主要涉及到解析式、图像和性质等方面。

本文将对九年级数学中二次函数的知识点进行总结，包括定义、基本性质、图像及其变化规律、求解等方面，以及与实际生活中的应用。

一、定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，并且a的值决定了图像的开口方向。

二、基本性质：1.零点和轴对称：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，零点的个数取决于判别式的值。

二次函数关于y轴对称。

2.求导和凹凸性：二次函数的导数是一次函数，二次函数的凹凸性由二次项系数的符号决定。

当a>0时，函数的图像开口向上，二次函数是凹的；当a<0时，函数的图像开口向下，二次函数是凸的。

3.极值：二次函数的极值点是函数图像的最高点或者最低点，极值点的x坐标是二次函数的顶点。

当a>0时，函数的极值是最小值；当a<0时，函数的极值是最大值。

三、图像及其变化规律：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

2.平移：二次函数的图像可以进行平移操作，平移后的函数图像仍然是一条二次曲线。

平移的规律是对原函数的输入x进行平移操作。

例如，y=(x-3)²平移到y=x²后，图像整体向右移动3个单位。

3.缩放：二次函数的图像也可以进行缩放操作，缩放后的函数图像仍然是一条二次曲线。

缩放的规律是对原函数的自变量x进行缩放操作。

例如，y=(2x)²相当于y=4x²，图像整体变窄。

四、求解：1. 二次函数的解析式：求解二次函数的关键是求出二次函数的零点，即令y=0，并解方程ax²+bx+c=0。

根据二次函数的解析式，可以根据判别式的值确定二次函数的零点个数，判别式D=b²-4ac。

-当D>0时，有两个不相等的实数根；-当D=0时，有两个相等的实数根；-当D<0时，没有实数根，但有两个共轭复数根。

初中九年级二次函数知识点总结初中九年级二次函数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，让我们一起认真地写一份总结吧。

那么总结应该包括什么内容呢？以下是小编收集整理的初中九年级二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家。

初中九年级二次函数知识点总结1教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点：求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：一、问题引新1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为_m，先取_的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，AB长_(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9BC长(m) 12面积y(m2) 482._的值是否可以任意取?有限定范围吗?3.我们发现，当AB的长(_)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y 是_的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=_m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=_(20-2_)二、提出问题，解决问题1、引导学生看书第二页问题一、二2、观察概括y=6_2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-_)2以上函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)3、二次函数定义：形如y=a_2+b_+c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做_的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.4、课堂练习(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5_+1 (2)y=4_2-1(3)y=2_3-3_2 (4)y=5_4-3_+1(2).P3练习第1，2题。

苏科版数学九年级上册《小结与思考》说课稿3一. 教材分析苏科版数学九年级上册《小结与思考》这一章节，是在学生已经学习了概率的初步知识、二次函数、相似三角形等数学知识的基础上进行讲解的。

本章主要内容包括：几何图形的对称性、圆的性质、函数的性质、概率的性质等。

这些内容是学生进一步学习高中数学的基础，也是培养学生逻辑思维、空间想象、抽象概括能力的重要环节。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则有一定的了解。

但是，学生在学习过程中，对于一些抽象的数学概念和理论的理解还不够深入，需要通过大量的练习来巩固。

此外，学生的学习兴趣和学习习惯也影响着他们的学习效果，因此在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯。

三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，本节课的教学目标如下：1.理解并掌握本章所涉及的几何图形的对称性、圆的性质、函数的性质、概率的性质等基本概念和性质。

2.培养学生的逻辑思维、空间想象、抽象概括能力。

3.提高学生的数学运用能力，使他们在解决实际问题时，能够灵活运用所学的数学知识。

4.激发学生的学习兴趣，培养他们积极主动探究数学问题的习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握本章所涉及的几何图形的对称性、圆的性质、函数的性质、概率的性质等基本概念和性质。

2.教学难点：对于一些抽象的数学概念和理论的理解，以及如何在实际问题中灵活运用所学的数学知识。

五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我将采用以下教学方法和手段：1.讲授法：对于一些基本的数学概念和性质，我将通过讲解来引导学生理解和掌握。

2.案例分析法：通过分析一些实际问题，让学生学会如何灵活运用所学的数学知识。

3.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养他们的合作意识和团队精神。

4.多媒体教学：利用多媒体课件，直观地展示一些几何图形的对称性、圆的性质等，帮助学生更好地理解和掌握。

六. 说教学过程1.导入：通过复习前几章的内容，引导学生进入本章的学习。

二次函数知识点总结九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理等领域都有广泛的应用。

在九年级数学学习中，我们学习了许多与二次函数相关的知识点，本文将对这些知识进行总结。

一、二次函数的定义与性质二次函数是指一元二次方程所对应的函数。

一元二次方程的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

其主要性质包括：1. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为该点的纵坐标。

3. 抛物线与x轴交点数目由判别式Δ=b^2-4ac的正负决定。

若Δ>0，则抛物线与x轴有两个交点；若Δ=0，则抛物线与x轴有一个交点，此时抛物线是切线；若Δ<0，则抛物线与x轴没有交点。

二、二次函数的图像和性质1. 抛物线的对称轴与顶点坐标有关。

对称轴的方程为x=-b/2a。

2. 抛物线的平移：对于一般形式y=a(x-h)^2+k，抛物线的顶点坐标为(h, k)，表示抛物线向左平移h个单位，向上或向下平移k个单位。

3. 抛物线的特殊情况：当b=0时，抛物线的对称轴与y轴重合，此时抛物线为关于y轴对称的。

当c=0时，抛物线过原点。

三、二次函数的函数值与因式分解1. 函数值：给定一元二次方程y=ax^2+bx+c，我们可以通过将x的值代入方程，计算出对应的函数值y。

这些值构成了二次函数的图像。

2. 因式分解：对于一元二次方程y=ax^2+bx+c，可以使用因式分解的方法将其写成两个一次因子的乘积形式。

这种形式可以更方便地求解方程的根。

四、解二次方程与判别式1. 解二次方程：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式来计算出方程的根。

求根公式为x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b^2-4ac称为判别式。

九年级上二次函数知识点归纳总结二次函数是初中数学中比较重要的一个内容，也是高中数学的重点。

在九年级上学期，我们学习了关于二次函数的各种知识点，包括定义、性质、图像和应用等方面。

在本文中，我们将对这些知识点进行归纳总结，以便加深对二次函数的理解和掌握。

一、二次函数的定义二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0，a、b、c为常数）的函数，它的图像是一个抛物线。

在定义中，a决定了抛物线的开口方向和大小，b决定了抛物线在x轴方向上的平移，c决定了抛物线在y轴方向上的平移。

二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像以抛物线的开口处为对称轴对称。

对于 y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为 x = -b/2a。

2. 零点：二次函数的零点即为方程 y = ax^2 + bx + c 的解，可以通过求根公式或配方法得到。

零点的个数与二次函数与x轴的交点个数相同。

3. 最值：当 a > 0 时，二次函数的最小值为（-b/2a, f(-b/2a))；当 a < 0 时，二次函数的最大值为（-b/2a, f(-b/2a)）。

4. 单调性：当a > 0 时，二次函数在（-∞，-b/2a）上单调递增，在（-b/2a，+∞）上单调递减；当 a < 0 时，二次函数在（-∞，-b/2a）上单调递减，在（-b/2a，+∞）上单调递增。

三、二次函数的图像特征1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 平移：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像在 x 方向上的平移量为 -b/2a，即向左平移 -b/2a 个单位；在 y 方向上的平移量为 c，即向上平移 c 个单位。

3. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为抛物线对称轴上的点，即（-b/2a, f(-b/2a)）。

四、二次函数的应用1. 求解问题：利用二次函数的模型，可以求解与日常生活和实际问题相关的各种数学问题，如求解最值、零点等。

二次函数九年级知识点总结二次函数是数学中的一个重要概念，也是九年级数学课程中的一个重要内容。

通过学习和掌握二次函数的相关知识，可以帮助学生理解并解决与二次函数相关的问题。

本文将对九年级数学中的二次函数进行知识点总结和归纳。

一、二次函数的定义二次函数是指函数y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b则对称轴的位置起到了一定的决定作用。

二、二次函数的图像及其性质1. 对称轴和顶点对称轴是二次函数图像的一条垂直线，对函数y = ax² + bx + c来说，对称轴的方程为x = -b/(2a)。

而顶点则是该二次函数图像的最低点（开口向上时）或最高点（开口向下时）。

2. 零点二次函数的零点就是使得函数值为0的x值，也就是方程ax² + bx + c = 0的解。

求解零点有多种方法，可以使用因式分解、配方法、求根公式等。

3. 判别式和解判别式Δ（读作delta）是一个与二次函数相关的重要概念，用来判断二次方程是否有实数解或者有几个实数解。

判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac。

Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；Δ=0时，方程有两个相等的实数解；Δ<0时，方程无实数解。

4. 过顶点的切线二次函数的图像在顶点处有一个切线，这个切线与函数图像在该点处相切。

这个切线的斜率等于二次函数在该点处的导数值，即导数等于2a。

5. 函数值的变化二次函数在对称轴两侧的函数值存在一定的变化规律。

当a>0时，函数图像开口向上，随着x的增大，函数值增加；当a<0时，函数图像开口向下，随着x的增大，函数值减小。

三、二次函数的运用1. 求解二次方程二次函数可以用来求解与之相关的二次方程。

通过前面提到的求解零点的方法，可以将二次函数转化为二次方程，从而求解方程的解。

二次函数与几何图形教学设计及说明目标：1.会结合二次函数性质把图形关系转化为数量关系；2.掌握表达式与点坐标互化、点坐标与线段长互化的核心方法；3.理解函数与图形问题中的分类讨论、数形结合思想.重点：二次函数与几何图形的综合应用难点：图形关系与数量关系的灵活转化及辅助图形的构造过程：一、问题解决例：直线y=x-3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=x2+bx+c过B、C两点且与x轴交于另一点A，点P（m，n）是抛物线上一点.1.求抛物线的函数表达式.2.过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，若PQ=4，求m的值.3.若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求m的值.4.已知点E（0，2），点F是抛物线上另一点，当P、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求m（m>0）的值.二、总结归纳1.核心思想：（1）转化化归：要抓住哪些图形或数量的转化？（2）分类讨论：依据哪些方面进行分类？2.主要方法：此类问题中一般利用什么建立等量关系式求未知量？（1）代数方法【方程解析】：（2）几何方法【完形构造】：三、练习巩固条件同前例题：1. 若∠ABP=∠ACO，求m的值.2. 若点P在第四象限，PH⊥BC于H，PK⊥y轴交BC于K，求△PHK的周长最大值.教学设计思路说明一、教学内容及地位作用：本课主要教学二次函数背景下的几何图形问题，综合运用二次函数和几何图形的性质解决问题。

函数是非常重要的数学概念和方法，是解决很多数学问题的工具，在各个学习阶段都是核心内容，它体现了数与形的的完美结合。

二、教学目标与重难点：目标：1.会结合二次函数性质把图形关系转化为数量关系；2.掌握表达式与点坐标互化、点坐标与线长度互化的核心方法；3.理解坐标与函数问题中“改斜归正”的策略.重点：二次函数与几何图形的综合应用难点：图形关系与数量关系的灵活转化及辅助图形的构造三、教学过程设计1.导入设计：用心形函数吸引学生的注意力，激发兴趣，直观地了解数与形的相互关联和转化。

苏教版初三数学：二次函数知识点概括一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在以下关系：y=ax2+bx+c(a0) ，则称 y 为 x 的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a0) 极点式：y=a(x-h)2+k(a0) ，此时抛物线的极点坐标为P(h， k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 仅用于函数图像与x 轴有两个交点时， x1 、x2 为交点的横坐标，因此两交点的坐标分别为A(x1 ，0)和B(x2 ， 0))，对称轴所在的直线为x=注：在 3 种形式的相互转变中，有以下关系：h=-， k=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像能够看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x=- ，对称轴与抛物线独一的交点是抛物线的极点 P。

特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴 (即直线 x=0)2.抛物线有一个极点 P，坐标为 P(-，)。

当 x=- 时， y 最值 =，当a0 时，函数 y 有最小值 ;当 a0 时，函数 y 有最大值。

当 -=0 时，P 在 y 轴上 (即交点的横坐标为 0);当 =b2-4ac=0 时， P 在x 轴上 (即函数与x 轴只有一个交点)。

3.二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小(即形状 )。

当a0 时，抛物线张口向上;当 a0 时，抛物线张口向下。

|a|越大，则抛物线的张口越小。

对于两个抛物线，若形状同样，张口方向同样，则 a 相等 ;若形状同样，张口方向相反，则 a 互为相反数。

4.二次项系数 a 和一次项系数 b 共同决定对称轴的地点，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在 y 轴左侧时， a 与 b 同号(即 ab 当对称轴在 y 轴右侧时， a 与 b 异号 (即 ab0)。

5.常数项c 决定抛物线与 y 轴交点地点，抛物线与 y 轴交于点(0， c)。

九年级上册数学二次函数知识点总结“哎呀，这二次函数可真难啊！”我愁眉苦脸地对着同桌说道。

记得那是一个阳光明媚的上午，数学课上，老师正在黑板前激情澎湃地讲解着九年级上册数学二次函数的知识。

我看着黑板上那些抛物线、顶点、对称轴之类的，脑袋都快大了。

“同学们，二次函数可是很重要的知识点哦，大家一定要认真听！”老师大声说道。

我赶紧回过神来，努力去理解。

下课后，我就和同桌抱怨起来：“这二次函数也太复杂了吧，什么 a、b、c 的，都把我搞晕了。

”同桌笑着说：“别着急呀，咱们慢慢学嘛。

”于是，我开始认真总结二次函数的知识点。

二次函数的一般式是y=ax²+bx+c，其中 a 决定了抛物线的开口方向和大小，当 a 大于 0 时，抛物线开口向上，当 a 小于 0 时，抛物线开口向下，这就好像我们的心情，有时开心向上，有时低落向下。

b 呢，则和对称轴有关，它能影响抛物线的位置，就像我们走路的方向会改变我们到达的地方一样。

而 c 就是抛物线与 y 轴的交点啦，就像我们在某个特定的时刻所处的位置。

还有顶点式 y=a(x-h)²+k，这里的(h,k)就是顶点坐标呀，顶点可是抛物线很重要的地方呢！就像我们跑步比赛中的终点，大家都努力向它冲刺。

还有交点式呢，当抛物线与 x 轴相交时，那两个交点的横坐标可重要了，通过它们就能写出二次函数的表达式，这多神奇呀！在学习的过程中，我和同学们也经常一起讨论。

“嘿，你说这个二次函数的题该怎么做呀？”“我觉得应该先找到关键信息。

”我们你一言我一语地交流着，互相帮助，互相进步。

二次函数虽然有点难，但我可不会轻易放弃。

我要像攀登高峰一样，一步一步地去攻克它！我相信，只要我努力，就一定能学好二次函数！这就是我对九年级上册数学二次函数知识点的总结啦，大家觉得怎么样呢？是不是也对二次函数有了更深的认识呀！。

初三二次函数教学反思整理初三二次函数教学反思身为一名人民老师，我们需要很强的教学力量，写教学反思能总结教学过程中的许多讲课技巧，那么优秀的教学反思是什么样的呢？下面是我收集整理的初三二次函数教学反思，仅供参考，盼望能够关心到大家。

初三二次函数教学反思1二次函数的应用是学习二次函数的图像与性质后，检验同学应用所学学问解决实际问题力量的一个综合考查，它是本章的难点。

新的课程标准要求同学能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能依据图像的性质解决简洁的实际问题，而最大值问题是生活中利用二次函数学问解决最常见、最有实际应用价值的问题，它生活背景丰富，同学比较感爱好。

本节课通过学习求水流的最高点问题，引导同学将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延长，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的基础。

由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以同学动手动脑探究为主，必要时加以小组合作争论，充分调动同学学习乐观性和主动性，突出同学的主体地位，达到“不但使同学学会，而且使同学会学”的目的。

二次函数应用的教学后，比我预想的效果要好一些，消失了几个点引人深思：1、细心设计问题，引发同学思索建立数模在《二次函数的应用》的教学过程中，复习旧知后，主要支配了一道例3—水流最高点问题：人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷水水流的轨迹是抛物线。

假如要求水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距离水枪底部B的距离为2。

5m，那么，水流的最高点距离地面是多少米？以此题为契机，培育同学的分析问题、解决问题的`力量。

本节课重点放在分析问题，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型解决问题。

所以在教学时，老师应有意熬炼同学从读题开头，分析题意，搜寻与问题有联系的数学学问，运用学问和技能使问题获得解决。

《二次函数》小结与思考（1）学习目标 注重知识梳理，让零散的知识结构化、系统化；注重问题解决，将类似的问题联系起来，形成方法的总结；重点培养数形结合的思想。

学习重点与难点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数图象的性质解决问题，并对解决问题的策略进行反思.三、学习过程问题一：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图1所示，图象经过（从中你能得到哪些结论？问题二：问题三：（1）若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得到函数的表达式是 ，若再将得到的函数图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得新函数问题四：根据图象回答问题：(1)在此题中，方程ax 2+bx+c=0的根的情况如何确定？为什么？（2）m 满足什么条件时方程ax 2+bx+c=m ，①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？问题五：根据图象回答问题：:41B 01)0(22）两点，则，（），，（交于与该抛物线，若直线如图-++=≠+=A cbx ax y k m kx y ；的解为方程 )1(2m kx c bx ax +=++；的解为不等式 )2(2m kx c bx ax +>++；的解为不等式 )3(2m kx c bx ax +<++。

或填，则）也是抛物线上的两点，（，若),(___4B )y A(-2,2121=<>y y y 则所示抛物线上的两点，）是图，（，若12112B )y A(-3,y y -??m 12B )y A(m,212121y y y y y m >=+②则①取何值时，当所示抛物线上的两点，）是图，（，变式：若三、标测试1、次函数错误！未找到引用源。

化成错误！未找到引用源。

的形式是 .2、已知二次函数错误！未找到引用源。