高考总复习命题及其关系、充分条件与必要条件(答案含详解)

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设，则“”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】若，①，则，即成立；②，则显然成立；③，则，即，∴成立；若，①，，则；②，，则显然成立；③，，则，故综上所述，“”是“”的充要条件.【考点】1.不等式的性质；2.充分必要条件.2.在△中，“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故；当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C．【考点】充要条件．3.已知a∈R,且a≠0,则是“a>1”的( ).A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由或.所以是“a>1”的必要不充分条件.故选B【考点】1.分式不等式的解法.2.充要条件.4.“”是“函数(且)在区间上存在零点”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】令，得，若，则，所以充分性成立；若函数在区间上存在零点时，则有，显然存在，且由不能得出，所以必要性不成立.故正确答案为A.【考点】1.充分条件；必要条件；充要条件；2.函数零点.5.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，有，但当时，，故选A.【考点】充分与必要条件.6.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，选A.7.已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．8.设a,b∈R,则“a>1且0<b<1”是“a-b>0且>1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然a>1且0<b<1⇒a-b>0且>1;反之,a-b>0且>1⇒a>b且>0⇒a>b且b>0,推不出a>1且0<b<1.故“a>1且0<b<1”是“a-b>0且>1”的充分而不必要条件.9.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】命题①在c=0时不正确,即“a=b”只是“ac=bc”的充分而不必要条件;注意到无理数的概念与实数的加法运算,可知命题②是真命题;命题③在a,b至少有一个是负数时不一定正确,命题③为假命题;由不等式的性质,若a<3,必有a<5,命题④是真命题.综上所述,命题②④是真命题,选B.10.设，，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】即又，,，即成立,相反，代入特殊值，当时，满足,但不成立.所以是充分不必要条件,故选A.【考点】充分必要条件的判定11.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.12.己知实数满足,则“成立”是“成立”的（）.A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．既非充分又非必要条件．【答案】C【解析】这是考查不等式的性质，由于，因此不等式两边同乘以可得，即，同样在不等式两边同除以可得，即，因此应该选C．当然也可这样分析：说明同正同负，由于函数在和两个区间上都是减函数，因此“”与“”是等价的，即本题选C．【考点】不等式的性质，13.记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为则“t=1”是“为等边三角形”的。

第二课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.命题的四种形式(A) 2.充分条件、必要条件、充分必要条件(B)知识梳理：1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2p⇒q且q pp q且q⇒pp⇔qp q且q p 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)“sin 45°＝1”是真命题．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(7)q不是p的必要条件时，成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√(7)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)提示：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要例题讲解：[典题1](1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是________．(2)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是________．(3)下列命题中为真命题的是________．(填序号)①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析：(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)②(4)④小结：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2](1)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(2)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(3)“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：(1)|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．(2)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(3)“a ＝2”⇒“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立． 答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充分不必要小结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①非q 是非p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；②非q 是非p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；③非q 是非p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．练习1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要[典题3](1)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：(1)由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，即a ≤－3.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：(1)(－∞，－3] (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．注意：由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．练习：已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，，因此a ≥1.答案：[1，＋∞)总结：1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q的充要条件．注意： 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别． 课后作业：1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝ －2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要 3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________． 解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <13，借助数轴，所以⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故该命题的否命题是：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<35．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：充分不必要6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________．(填序号)解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④7．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β ”是“sin α＞sin β ”的________条件．解析：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α＝π3＋2π，β＝π3时，满足α>β，但sin α＝ sin β，故sin α>sin β不成立，即充分性不成立；当α＝π3，β＝π6＋2π时，满足sin α>sin β，但α>β不成立，即必要性不成立，故“α>β ”是“sin α>sin β ”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且 cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形．答案：充分不必要9．“a ≥3”是“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择填空)．解析：若“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，等价于∀x ∈[1,2]，x 2≤a 为真命题，则a ≥4.则“a ≥3”是“a ≥4”的必要不充分条件．答案：必要不充分10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． 答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是________．(填序号)①17≤a <13；②0<a <13；③17<a <13；④0<a <17. 解析：由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎡⎭⎫17，13的真子集，故③正确．答案：③ 15．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．答案：充要16．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要17．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >918．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．对于p ，|x －a |<4，∴a －4<x <a ＋4，对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)， ∴－1≤a ≤6.答案：[－1,6]。

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.“”是“且”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:根据不等式的性质，由“且”成立，可以推出“”成立，反过来，令，此时“”成立，但“且”不成立；所以“”是“且”的必要不充分条件．故选A．【考点】1、不等式的性质；2、充要条件．2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，成立；当时，或，∴不一定成立.【考点】充分必要条件.3.设,则“”是“”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若，则，但当时也有，故本题就选B．【考点】充分必要条件．4.已知是虚数单位，,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，反过来，则，解得或，故是的充分不必要条件，故选A【考点】充要条件的判断,复数相等.5.[2014·黄山模拟]“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】要使方程＋＝1表示椭圆，应满足，解得－3<m<5且m≠1，因此“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．6.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．7.已知数列，则“”是“数列为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，若“数列为递增数列”，则，但不能推出，如，则不能推出“数列为递增数列”，所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.【考点】1.充分必要条件；2.数列的单调性.8.已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件【答案】D【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数．若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件．9.已知条件，条件，则是成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解析】由等价于，得：，，所以，是成立的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件，不等关系.10.是的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【解析】因为的解为或，所以是的充分不必要条件.【考点】逻辑与命题.11.设命题p和q,在下列结论中,正确的是()①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【解析】据真值表知:当“p∧q”为真时,p和q皆为真,此时“p∨q”为真,反之当“p∨q”为真时,p和q至少有一个为真,“p∧q”不一定为真,故①正确.若“p∧q”为假,则p,q中至少有一个为假,所以②不正确.若“p”为假,则p为真,故③正确.若“p”为真,则p为假,因此“p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件,故④不正确.故选B.12.设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能得到且，如也满足；由且一定可以得到，因为，故选B.【考点】充要条件13.已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】C【解析】因为f(x)＝(ax＋b)2＝ax2＋2a·bx＋b2，所以若f(x)＝(ax＋b)2为偶数，则a·b＝0，即a⊥b.若a⊥b，则有a·b＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2，为偶函数．14.设f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，给出下列四组条件：①p：f(x)是奇函数，q：f′(x)是偶函数；②p：f(x)是以T为周期的函数，q：f′(x)是以T为周期的函数；③p：f(x)在区间(－∞，＋∞)上为增函数，q：f′(x)＞0在(－∞，＋∞)恒成立；④p：f(x)在x0处取得极值，q：f′(x)＝0.由以上条件中，能使p⇒q成立的序号为 ()．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】由f(－x)＝－f(x)，得－f′(－x)＝－f′(x)．∴f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是偶函数①正确．易知②正确．③不正确．根据f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x取得极值的必要不充分条件，∴④正确．15.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，故是充分条件.当时，所以，所以也是必要条件.选C.【考点】充要条件.16.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.17.设为向量。

考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件1．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③命题“”的否定是“”;④“”是“”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 1【答案】C2．下列说法正确的是A．”的否定是B．命题“设，若，则或是一个假命题C．“m＝1”是“函数为幂函数”的充分不必要条件D．向量，则在方向上的投影为5【答案】C【解析】“，”的否定是“，”，A错误；B中的命题的逆否命题为：若，，则为真命题，B错误；为幂函数时，，可判断C正确；在方向上的投影为，D错误，故选C．3．下列说法错误的是（）A．若，则；B．若，，则“”为假命题.C．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；D．“”是“”的充分不必要条件；【答案】D4．下列四个命题中，正确的命题是( )A．“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；B．“平面向量，的夹角是钝角”的充分必要条件是·；C．若命题，则；D．命题“，使得”的否定是：“，均有”.【答案】D5．下列说法错误．．的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则、均为假命题．D．若命题：“，使得”，则：“，均有”【答案】C【解析】A，命题命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，命题正确；B，当时，成立，当时，有或，所以原命题正确；C，当为假命题时，有与至少一个是假命题，所以原命题为假命题；D，命题：“，使得”，则：“，均有”，命题正确；故选C.6．已知p：，q：，且是的充分不必要条件，则a的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D7．下列命题中的假命题是( )A．且,都有B．,直线恒过定点C．,函数都不是偶函数D．,使是幂函数,且在上单调递减【答案】C【解析】逐一考查所给命题的真假：当时，，当且仅当时等号成立，则且,都有，题中的命题为真命题；很明显,直线恒过定点，题中的命题为真命题；当时，函数为偶函数，题中的命题为假命题；当时，是幂函数,且在上单调递减，题中的命题为真命题；本题选择C选项.8．在下列四个命题中,其中真命题是( )①“若,则”的逆命题;②“若,则”的否命题;③“若,则方程有实根”的逆否命题;④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题.A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】B9．下列说法正确的是A．“x+x-2>0”是“x>1”的充分不必要条件B．若“am<bm,则a<b”的逆否命题为直命题C．命题“x∈R,使得2x-1<0”的否定是“x∈R,均有2x-1>0”D．命题“若x=,则tanx=1”的逆命题为真命题【答案】B10．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若,则”的否命题为:“若,则”B．“” 是“”的必要不充分条件C．命题“若,则”的逆否命题为真命题D．命题“使得”的否定是:“均有”【答案】C【解析】命题“若,则”的否命题为:“若,则”，所以该选项错误；“” 是“”的充分不必要条件，所以该选项错误；命题“若,则”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，所以该选项正确；命题“使得”的否定是:“均有”，所以该选项错误.故答案为：C11．下列说法正确的是( )A．若，则的否命题是若，则B．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是C．，使成立D．若，则【答案】D12．给出下列四个结论：①命题“”的否定是“”；②“若，则”的否命题是“若，则”；③是真命题，是假命题，则命题中一真一假；④若，则是的充分不必要条件，其中正确结论的个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据含有一个量词的否定形式可判断①正确；由否命题定义可知②正确；根据复合命题真假判断可知③正确；若，则，而可得，所以p是q的必要不充分条件，所以④错误综上，有3个命题正确所以选C.13．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B14．若是或的充分不必要条件，则a的取值X围是( ) A． B． C． D．【答案】A【解析】∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．【点睛】本题考查了充分条件问题，易错点为端点处的等号.15．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A16．已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意“”是“”的充分不必要条件，则由可知，要使得成立，则.选.17．已知是等比数列，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】是等比数列，，，，“”能推出“”则，，“”是“”的充要条件故选18．设不同直线l1:2x－my－1＝0,l2:(m－1)x－y＋1＝0．则“m＝2”是“l1∥l2”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C19．“”是“”成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，即充分性成立；当时，或，即必要性不成立；综上可得：“”是“”成立的充分不必要条件.本题选择A选项.20．下列说法中正确的是A．“”是“”的充要条件B．函数的图象向右平移个单位得到的函数图象关于轴对称C．命题“在中，若”的逆否命题为真命题D．若数列的前项和为，则数列是等比数列【答案】B21．下列命题中，，为复数，则正确命题的个数是①若，则；②若，，，且，则；③的充要条件是．A． B． C． D．【答案】A【解析】①若，则,是错误的，如；②若，，，且，则，是错误的，因为两个虚数不能比较大小；的充要条件是，是错误的，因为当x+yi=1+i时，x可为I,y可以为-i. 故答案为：A.22．设a,b都是不等于l的正数，则“a>b>l”是“log a3<log b3”的( )条件A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】B23．已知命题：，.（Ⅰ）若为真命题，某某数的取值X围；（Ⅱ）若有命题：，，当为真命题且为假命题时，某某数的取值X围. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）或24．已知命题p：，ax2+ax+1>0，命题q:|2a-1|<3．(1)若命题p是真命题，某某数a的取值X围。

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.在△中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故；当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C．【考点】充要条件．2.若实数满足，且＝0，则称a与b互补．记φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（）A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．【考点】充要条件的判定．3.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【考点】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.4.已知条件：，条件：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：因为：：，所以：而：所以是的充分不必要条件，故选A.【考点】1、一元二次不等式及分式不等式的解法；2、充要条件.5.求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？【答案】必要条件但不是充分条件，见解析【解析】证明：设x2＋ax＋1＝0的两实根为x1，x2，则平方和大于3的等价条件是即a>或a<－.∵{a|a>或a<－}，{a||a|>}，∴|a|>这个条件是必要条件但不是充分条件．6.（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．7.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.8.（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．9.设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．10.已知向量，，则的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，由于，则，即，即，故选A.【考点】平面向量垂直的等价条件11.设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】当时，，而当时，；当时，，∴，∴综上可知：是的必要而不充分条件.【考点】充分必要条件.12.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．【考点】解不等式，充要条件．13.“”是“” 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以“”是“” 的必要不充分条件.【考点】充分与必要条件.14.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．15.“m=1”是“直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m=1时，直线x-my=1和直线x+my=0即可化为x-y=1和x+y=0.即y=x-1和y=-x所以斜率积为-1，所以这两条直线垂直.所以充分性成立.若直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直，因为m=0显然不成立.所以两条直线分别为和.所以由斜率乘积为-1可得.所以即.所以必要条件不存在.故选A.【考点】1.充分必要条件.2.直线的位置关系.3.含参数的讨论.16.“”是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数为奇函数，则当时，，即，因此“”是“函数为奇函数” 的充分不必要条件，故选A.【考点】1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件17.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.18.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若的不等式对一切恒成立，则，解得；在上递减，则，解得，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.【考点】1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.19.设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，又，解得，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件．故选C.【考点】等比数列的通项公式，充要条件.20.两个非零向量的夹角为，则“”是“为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.【考点】充分必要条件.21.或是的条件.【答案】必要不充分【解析】若，，则，故或是的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.22.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要【解析】如果时，那么，所以“”是“”的充分条件，如果，那么，或，所以“”是“”的不必要条件，综上所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.23.“函数在区间上存在零点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数在区间上存在零点，则：.即.所以“函数在区间上存在零点”是“”的必要不充分条件.【考点】1、函数的零点；2、充分条件与必要条件.24.“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】令t=（ax-1）x=ax2-x,则，设=0，解得x=，所以，当a≥0时，函数t=（ax-1）x在（－∞，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，即极小值为－，当x<0时，t>0,所以a≥0时，函数在区间（－∞，0）内单调递减；若函数在区间（－∞，0）内单调递减，则x时，<0,即成立,所以2a ≥0，故选A.【考点】1.导数的应用；2.充分必要条件的判断.25.若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件.26.已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.【答案】【解析】将两个命题化简得，命题，命题.因为是成立的必要不充分条件，所以或，故的取值范围是.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.必要不充分条件.27.已知是实数，则“且”是“且”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】因为，且，所以，且；反之，当且时，说明a,b同号，而若a，b均为负数，与a+b>0矛盾，所以且。

考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大． 【典型高考试题变式】（一）充分条件与必要条件的判定例1．（2021全国甲卷理7）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则 （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解析】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，∴甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，∴甲是乙的必要条件，故选B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．【变式1】【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【变式2】【变式1中的条件与结论换位】设a,b,c,d 是非零实数，则“a,b,c,d 成等比数列”是“ad=bc ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a,b,c,d 成等比数列可得ad=bc ，当时，a,b,c,d 不是等比数列，所以“a,b,c,d成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选A.例2．（2021年高考天津卷2）已知a ∈R ，则“6>a ”是“362>a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解．【解析】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，必要性不成立；∴“6a >”是“236a >”的充分不必要条件，故选A ． 【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征：①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”．②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)． 【变式1】【改变例题的条件】设，则“24x >”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由242x x >⇔>或2x <-，所以“24x >”是“||2x >”的充分必要条件，故选C. （二）充分条件与必要条件的运用例3．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行，故选B ．【变式1】【改变例题中的问法】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． 例4.【2011全国卷】下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A【解析】由1a b >+，得a b >；反之不成立，故选A.【名师点津】命题p 是q 的必要不充分条件⇔p q ⇒且q p ⇒；命题p 的必要不充分条件是q ⇔q p ⇒且p q ⇒. 这两种说法有区别，不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】B【解析】由a b >，可得1a b >-；反之不成立，故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中，使33a b >成立的充要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．a b <C ．22a b >D ．a b > 【答案】C【解析】由a b >，可得33a b >；反之也成立，故选C. （三）新定义问题例5.【2011湖北卷】若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【名师点津】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．【变式1】【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.函数在处导数存在，若；是的极值点，则（）A．是的充分必要条件B．是的充分条件，但不是的必要条件C．是的必要条件，但不是的充分条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件【答案】C【解析】若是函数的极值点，则；若，则不一定是极值点，例如，当时，，但不是极值点，故是的必要条件，但不是的充分条件，选C ．【考点】1、函数的极值点；2、充分必要条件．2.设，则|“”是“”的A．充要不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充要又不必要条件【答案】C．【解析】设，则，∴是上的增函数，“”是“”的充要条件，故选C．【考点】1．充分条件、必要条件、充要条件的判断；2．不等式的性质．3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m>B．0<m<1C．m>0D．m>1【答案】C【解析】不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.4.中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，由余弦定理得，，故，即，所以是等腰三角形，反之，当是等腰三角形时等腰三角形时，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件．【考点】1、余弦定理；2、充分必要条件.5.“”是“直线与平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既充分而不必要条件【答案】【解析】因为直线与平行所以，得或由“”是“或”充分而不必要条件故选【考点】两直线平行的充要条件；充分性和必要性.6.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．7.若且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】所以当时，所以“”是“”的充分不必要条件.故选【考点】充分条件和必要条件；三角恒等变换.8.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，有，但当时，，故选A.【考点】充分与必要条件.9.命题甲:或;命题乙:,则甲是乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分条件也不必要条件【答案】B【解析】该命题的逆否命题为：，则且，这显然不成立，从而原命题也不成立，所以不是充分条件；该命题的否命题为：且，则，这显然成立，从而逆命题也成立，所以是必要条件.【考点】逻辑与命题.10.“”是“函数存在零点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】“函数存在零点”，的充要条件是“m≤0”，∴充分不必要条件.【考点】函数的零点.11.“”是“”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由显然可得，而当时，对应的角有无数多个，比如，所以答案是B.【考点】（1）充要条件；（2）三角函数.12.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】命题①在c=0时不正确,即“a=b”只是“ac=bc”的充分而不必要条件;注意到无理数的概念与实数的加法运算,可知命题②是真命题;命题③在a,b至少有一个是负数时不一定正确,命题③为假命题;由不等式的性质,若a<3,必有a<5,命题④是真命题.综上所述,命题②④是真命题,选B.13.已知空间三条直线a，b，m及平面α，且a，bα.条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】m⊥α，m⊥a，m⊥b，而当a∥b时，不能反推，选A.14.已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】a＜5【解析】命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，∴a＜5.15.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．16.“M>N”是“log2M>log2N”成立的______条件(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)．【答案】必要不充分【解析】“M>N”⇒/ log2M>log2N，”因为M，N小于零不成立；“log2M>log2N”⇒M>N.故“M>N”是“log2M>log2N”的必要不充分条件．17.设函数，则“为奇函数”是“”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】必要性：当时，为奇函数；而当时，也为奇函数，所以充分性不成立.解答此类问题，需明确方向.肯定的要会证明，否定的要会举反例.【考点】充要关系.18.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，则；当时，，此时无法得出，当时不成立．【考点】充要条件的判断．19.“成立”是“成立”的（）.A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．既非充分又非必要条件．【答案】B【解析】把两个命题都化简，“成立”等价于“”，“成立”等价于“”，而，故选B．【考点】解不等式与充分必要条件．20.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B.【解析】因，所以“”是“”必要不充分条件.【考点】充要条件.21.已知α，β为不重合的两个平面，直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线mα，且“m⊥β”，则定有α⊥β，若直线mα，且α⊥β，则得不到m⊥β，所以直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分而不必要条件，选A.【考点】线面关系、充分必要条件.22.实数，条件: ，条件:，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由条件知，则，故由不等式的性质知，则能够推出成立；而:中还存在的情况，故不能推出成立，所以是的充分不必要条件.【考点】不等式性质的应用，充分不必要条件的判定.23.“x=3”是“x2=9”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】当时有，当时，故是的充分不必要条件，选A.【考点】充要条件24.“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线互相垂直，则，即，即，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选A.【考点】1.两直线的位置关系；2.充分必要条件25.设，则“直线与直线平行”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】则直线与直线平行,但直线与直线平行,则,故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.26.已知命题方程在上有解，命题函数的值域为，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围.【答案】实数的取值范围是.【解析】先就命题为真和命题为真时求出相应的参数的值，然后就复合命题“或”为假命题对命题和命题的真假性进行分类讨论，从而得出参数的取值范围.试题解析：若命题为真，显然，或，故有或， 5分若命题为真，就有或命题“或”为假命题时， 12分【考点】1.一元二次方程；2.二次函数；3.复合命题27.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A.【解析】当，若，则定有；当，若，不一定有，所以，当时，“”是“”的充分而不必要条件，选A.【考点】充分不必要条件.28.若命题：，：方程表示双曲线，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程表示双曲线，则满足或，解得或，因此是的充分不必要条件.【考点】1.充要条件；2.双曲线的方程.29.“”是“”成立的条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分【解析】若去此时无法推出，但是反之，根据对数函数单调递增可知成立，故填“必要不充分”.【考点】充分必要条件的判断.30.“”是“直线和直线互相垂直”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据题意，由于直线和直线互相垂直” 等价于1-m=0,则“”是““直线和直线互相垂直”的充要条件，故选C.【考点】充分条件点评：主要是考查了两直线垂直的充要条件的运用，属于基础题。

专题02命题及其关系、充分条件与必需条件一、【知识精讲】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈说句叫做命题，此中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图1-2-1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；②两个命题互为抗命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必需条件(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必需条件；(2)若p?q，且q?/p，则p是q的充分不用要条件；(3)若p?/q且q?p，则p是q的必需不充分条件；(4)若p?q，则p是q的充要条件；(5)若p?/q且q?/p，则p是q的既不充分也不用要条件．[知识拓展]会集与充要条件设会集A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1) 若A?B，则p是q的充分条件，若 A B，则p是q的充分不用要条件．(2) 若B?A，则p是q的必需条件，若 B A，则p是q的必需不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、【典例精练】例1.(2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的抗命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．此中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③【答案】D【分析】①原命题的抗命题为“若x ，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1， ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ?A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确． 【方法小结】1．由原命题写出其余三种命题的方法由原命题写出其余三种命题，要点要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得抗命题，将条件与 结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．例2．(1)(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．既不充分也不用要条件例2.(2018 ·天津高考 ) 设 x ∈，则“x － 1＜1 ”是“ x 3 ＜”的( )R 2 21A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件【答案】(1)A(2)A【分析】(1)法一由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴·＝||| |cos θ＝－||||<0.mnmnmn当90°<θ<180°时，m ·n <0，此时不存在负数 λ，使得m ＝λn .故“存在负数 λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不用要条件． 应选A ．法二∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由 ·＝||| |cos 〈，〉<0?cos 〈，〉<0? 〈， 〉∈ π，π，mn mnmnmnmn2当〈m ，n 〉∈π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不用要条件．应选A ．由x － 11 ＜ ＜ ，则 ＜ 3 ，即“ 1 1“3＜”；(2)＜，得0 x ＜x －＜”? x2 2 0x 1 1221由x 3＜1，得x ＜1，11 当x ≤0时，x －2≥2，3－11即“x ＜1” “x 2＜2”．1 ＜1”是“ x 3＜1”的充分而不用要条件．所以“x －2 2 【方法小结】充分条件、必需条件的三种判断方法1定义法：依据p ?q ，q ?p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.2会集法：依据p ，q 成立的对象的会集之间的包括关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推测问 题.3 等价转变法：依据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转变成其逆否命题进行判断，适用于 条件和结论带有否定性词语的命题.例3.已知＝{ | x 2－8－20≤0}，非空会集 ＝{ x|1－≤ ≤1＋}．若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必需条件，则mPx xS mxm的取值范围是________． 【答案】[0,3]【分析】由 x 2－8 －20≤0，得－2≤ ≤10，x x所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必需条件，知S P .1－m ≤1＋m ，则1－m ≥－2，所以0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必需条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．【方法小结】依据充分、必需条件求参数范围的方法(1) 解决此类问题一般是把充分条件、必需条件或充要条件转变成会集之间的关系，而后依据会集之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2) 求解参数的取值范围时，必定要注意区间端点值的检验，特别是利用两个会集之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否可以取等号决定端点值的弃取，办理不妥简单出现漏解或增解的现象． 三、【名校新题】21．(2019·长春质监)命题“若x <1，则－1<x <1”的逆否命题是( )B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 【答案】D【分析】命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若,则”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若 x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2.(2019·湖北八校联考)若a ， ， ，∈R ，则“ a＋＝ ＋ ”是“ a ，， ， d 挨次成等差数列”的( )b c ddbc bcA ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件【答案】B【分析】当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不行等差数列；而当 a ，b ，c ，d 挨次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 挨次成等差数列”的必需不充分条件，应选B.3.(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必需不充分条件是()1 A ．m >4 B ．0<m <1C ．>0D ．>1mm【答案】C2212【分析】若不等式x －x ＋m >0在R 上恒成立，则＝(－1) －4m <0，解得m >4，所以当不等式 x －x ＋m >0在R 上恒建马上，必有 m >0，但当m >0时，不必定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必需不充分条件可以是m >0.4．（蚌埠一中2019届高三考试题）已知 a ，b 都是实数，那么“2a2b”是“a 2b 2”的（）A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件 D．既不充分也不用要条件【答案】D【分析】由条件得不可以获取a 2b 2；反之，由a 2b 2 得,从而2 2不成立。

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C　根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D　原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是 ( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B　原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 ( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3解析：选A　由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.考点一四种命题的关系　[例1]　(1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是( )A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答]　(1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]　(1)C　(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题． 【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是 ( )A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b解析：选C　“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”．2．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．考点二命题的真假判断 [例2]　(1)下列命题是真命题的是( )A ．若＝，则x ＝y1x 1y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则＝x yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[自主解答]　(1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案]　(1)A (2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R )不可能是偶函数；②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列；③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k ＝时，y ＝sin(x ＋k π)就是偶函数，故①错；②当a ＝1时，S n ＝0，则a n 的12各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x ＋2)＋f (x ＋4)＝3，相减得f (x )－f (x ＋4)＝0，即f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.答案：③高频考点考点三充 要 条 件 1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3]　(1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件a |a|b|b|是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝，则3“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．[自主解答]　(1)当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，则曲线y ＝－sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，则曲线y ＝sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇐/“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．(2)，分别是与a ，b 同方向的单位向量，由＝，得a 与b 的方向相同．而a ∥b 时，a |a |b |b |a |a |b |b |a 与b 的方向还可能相反．故选C.(3)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得＝ba ＝，若B ＝60°，则sin A ＝，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝sin Bsin A 312，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.32[答案]　(1)A (2)C (3)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．1．(2014·西安模拟)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1；反之，若|x －y |＜1，如取x ＝1.1，y ＝0.9，则[x ]≠[y ]，即“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的充分不必要条件．2．已知p ：<1，q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的1x －1取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)解析：选A 不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x >2或x <1，所以p 为1x －11x －1x －2x －1(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综上可知a 的取值范围为(－2，－1]．3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根为x ＝＝2±，因为x 是整数，4±16－4n24－n 即2±为整数，所以为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知4－n 4－n n ＝3,4符合题意，所以n ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————　1个区别——“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不　必要条件是B ”的区别　“A 是B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是B ”中，B 是条件，A 是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．　2条规律——四种命题间关系的两条规律　(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．　3种方法——判断充分条件和必要条件的方法　(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法．方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1]　设0＜x ＜，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )π2A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导]　由0＜x ＜可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x ＜1”π2与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析]　因为0<x <，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，π2所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <，而由0<sin x <1，知>1，故x sin 1sin x 1sin x x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．[答案]　C[点评]　判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；(2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件；(5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2]　若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导]　分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析]　由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案]　B[点评]　利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 关系A ⊆B B ⊆A A B⊂B A ⊂A ＝B A B 且⊄B A ⊄结论p 是q 的充分条件p 是q 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3]　已知条件p ：≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且q 的一个充分不必要条4x －1⌝件是p ，则a 的取值范围是________．⌝[解题指导]　“q 的一个充分不必要条件是p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分⌝⌝条件”．[解析]　由≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，4x －1当a >1－a ，即a >时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝时，不等式的解为∅；1212当a <1－a ，即a <时，不等式的解为a <x <1－a .12由q 的一个充分不必要条件是p ，可知p 是q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个⌝⌝⌝⌝必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >时，由{x |1－a <x <a }　{x |－3≤x <1}，得Error!解得<a ≤1；1212当a ＝时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；12当a <时，由{x |a <x <1－a }　{x |－3≤x <1}，得Error!解得0≤a <.1212综上，a 的取值范围是[0,1]．[答案]　[0,1][点评]　条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p 、q 之间的关系和之间的关系p ⌝q ⌝p 是q 的充分不必要条件是的必要不充分条件p ⌝q ⌝p 是q 的必要不充分条件是的充分不必要条件p ⌝q ⌝p 是q 的充要条件是的充要条件p ⌝q ⌝p 是q 的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件p ⌝q ⌝[全盘巩固]1．“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”，其否命题是 ( )A ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根B ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根C ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根D ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根解析：选C 由原命题与否命题的关系可知，“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”的否命题是“若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立．3．(2014·黄冈模拟)与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．4．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．5．(2014·南昌模拟)下列选项中正确的是( )A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋≥21ln x B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题解析：选B 当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋≤－2，A 错；当|a n ＋1|＞a n 时，{a n }不1ln x 一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错．6．已知p ：≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数2x －1a 的取值范围是( )A. B. C ．(－∞，0)∪ D ．(－∞，0)∪[0，12](0，12)[12，＋∞)(12，＋∞)解析：选A 令A ＝{x |≤1}，得A ＝Error!，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得2x －1B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需Error!⇒0≤a ≤.127．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.答案：28．下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞”的充分不必要条件；12④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：①原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题是“若x 2＋x －6＜0，则x ≤2”，②也是真命题；在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”12的充要条件是“φ＝(k ∈Z )”，④是假命题．k π2答案：①②9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，由|x －1|＜1，得0＜x ＜2，∴β可看作集合B ＝{x |0＜x ＜2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．已知集合A ＝Error!，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－x ＋1＝2＋，∵x ∈，∴≤y ≤2，∴A ＝Error!.32(x －34)716[34，2]716由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤，解得m ≥或m ≤－，7163434故实数m 的取值范围是∪.(－∞，－34][34，＋∞)12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，∴Error!解得m ∈.[－54，1]∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴Error!∴m 为4的约数．又∵m ∈，∴m ＝－1或1.[－54，1]当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.[冲击名校]1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但是y ＝f (x )不一定为奇函数，如取函数f (x )＝x 2，则函数y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但函数f (x )＝x 2是偶函数不是奇函数，即“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”⇒/ “y ＝f (x )是奇函数”；若y ＝f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，即“y ＝f (x )是奇函数”⇒“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”，故应选B.2．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数f (－x )f (x )C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A解析：选D 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，从而可得m ＜－2或m ＞6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；f (－x )f (x )对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.[高频滚动]1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |2x ＞8}，那么集合(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |3＜x ＜4}B ．{x |x ＞4}C ．{x |3＜x ≤4}D ．{x |3≤x ≤4}解析：选C A ＝{x |x 2－3x －4＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞4}，所以∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，又B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}，所以(∁U A )∩B ＝{x |3＜x ≤4}．2．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝.设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，m ＋n2mn 则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，＝6⇒a ＋b ＝12，即a ＋b22＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．ab(2)当a，b为一奇一偶时，＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．综上可知，集合A中的元素共有17个．答案：17。

命题及其关系、充分条件与必要条件【课前回顾】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充要条件1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．2．在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b2R，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．3．若x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x <1”的充分不必要条件，选A.4．“若a <b ，则ac 2<bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：原命题：“若a <b ，则ac 2<bc 2”，这是假命题，因为若c ＝0时，由a <b ，得到ac 2＝bc 2＝0，不能推出ac 2<bc 2.逆命题：“若ac 2<bc 2，则a <b ”，这是真命题，因为由ac 2<bc 2得到c 2>0，所以两边同除以c 2，得a <b ，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：25．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的________条件． 解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)， 若a ⊥b ，则a·b ＝0， 即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0， 解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件． 答案：必要不充分考点一四种命题的相互关系及真假判断1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．【典型例题】1．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选D原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的，故选D.2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析：选A可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真．其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2.3．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1解析：选C命题中，“已知a>1”是大前提，在四种命题中不能改变；“x>0”是条件，“a x>1”是结论．由于命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故该命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则a x≤1”．故选C.考点二充分、必要条件的判断1．熟记判断充分、必要条件的3种方法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．【典型例题】1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 2．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2， 由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒/ 0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．3．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．4．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R)，则f (x )>0的一个必要不充分条件是( ) A ．x <0 B ．x <0或x >4 C ．|x －1|>1D ．|x －2|>3解析：选C 依题意，f (x )>0⇔x 2－4x >0⇔x <0或x >4.又|x －1|>1⇔x －1<－1或x －1>1，即x <0或x >2，而{x |x <0或x >4}{x |x <0或x >2}，因此选C.【针对训练】1．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D ∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.2．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：选C 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.3． “log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x－3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.考点三 根据充分、必要条件求参数的范围1．解题“2关键”(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． 2．解题“1注意”求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【典型例题】1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}， 设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 又由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}， 设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞)【针对训练】1．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]解析：选D∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.2．已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]解析：选C由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p⇒/ q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.【课后演练】1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，若B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B ＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．5．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x<1时，x2<1不一定成立，∴q假，故选B.6．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.7．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B.答案：充要8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．下列命题：①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．其中真命题的是________(填序号)．解析：①a>b⇒/ a2>b2，且a2>b2⇒/ a>b，故①不正确；②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；③a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故③正确． 答案：②③10．下列命题中为真命题的序号是________． ①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④11．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题解析：选B 对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x ≤1”，易知为假命题，故选B.12．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．13．若x >5是x >a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5，＋∞) B ．[5，＋∞) C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]解析：选D 由x >5是x >a 的充分条件知，{x |x >5}⊆{x |x >a }，∴a ≤5，故选D.14．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：315．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)16．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．17．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)由题意知A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。