2020年高考全国卷考前冲刺演练文科数学（二）试题

2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35-3．在ABC V 中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ）A B C ．23 D ．124．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）}{n a 25932a a a =A ．B ．C ．D ．2 【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >> 7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 21222A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C D ．211．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,1-- B ．[]2,0- C ．[]5,1-- D ．[]2,1- 12．若函数()1(2)ln x f x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞- B ．1(,)e -∞- C ．2111(,)(,)4e e e -∞---U D ．211(,)(1,)4e e --⋃+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米．15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小；（2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r . （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．（12分）已知函数． （1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； （2）若，求证：． (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．P ABCE -()23xf x xe ax =++()y f x =0x =92a 12a =-()ln 4f x x ≥+（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(]1,2【答案】D【解析】 由集合{}24{|2}x A x x x =≤=≤，(){}{}lg 11B x y x x x ==-=>， 所以{|12}A B x x =<≤I ，故选D.2．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35- 【答案】D 【解析】根据复数除法的运算法则可得，()()()()1i 12i 1i 13i 13i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，由复数实部与虚部的定义可得，复数z 的虚部是35-，故选D. 3．在ABC V中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ） AB．2 C ．23 D ．12【答案】D【解析】因为)1AB =-u u u r，所以()BA =u u u r，所以cos 222BA BC B BA BC ⋅-===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1sin 2B ==.故选D. 4．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 }{n a 25932a a a =21222【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>.又323c =<，故1c <.综上，b a c >>，故选A .7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B 【解析】由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z .故选B. 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C【解析】因为FA FB +u u u v u u u v=0，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选C.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C ．2D 【答案】A 【解析】图1连接1BC ,则11BC B C E =I ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,BC C D C D BC ⊥==1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭,设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD Q的方程为1x =，①'EE k ∴==，∴直线'EE的方程为y x =+，②由①②组成方程组，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'EE 与1BD的交点1,33M ⎛ ⎝⎭， ∴对称点2'3E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-【答案】B【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 的对称轴为x=1.因为()f x 在[5,5]-上是增函数,所以()f x 在[5,5]-上是减函数,因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1102x -≤-≤,又因为不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,所以,当a=0时,不等式()()21f ax f x +≤-显然成立；当0a >时,12222ax a +≥+>,根据题意可得()()()220f ax f f +>=,故不满足题意；当0a <时,12222a ax a +≤+≤+,则02a ≤+且1222a +<,所以20a -≤<.综上，可得实数a 的取值范围是20a -≤≤.12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e-∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e-∞---U D ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞ 【答案】D【解析】由题意可知211()(1)0xf x ae x x x =-+-='有两个不等根.即21(1)x x ae x x--=,(0,2)x ∈,有一根1x =.另一根在方程21x x e a=-,(0,2)x ∈中,令2()x h x x e =,(0,2)x ∈,2()(2)0x h x e x x +'=>所以()h x 在(0,2)x ∈且1x ≠上单调递增.所以1(1),h e a -≠=即2()(0,)(,4)h x e e e ∈⋃13a e≠.所以a ∈()211,1,e 4e ∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________. 【答案】2【解析】4655102105a a a a +=⇒=⇒=，155335()551,2a a S a a +===⇒=公差为53512.22a a --== 14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米． 【答案】2【解析】Q 半圆的周长为底面圆的周长，设母线为l ，则122,22l r l r ππ⋅=∴=，2213,2r l ππ∴=+⋅⨯2233,1r r ππ∴=∴=，这个圆锥的侧面积是222rl r ππ== ，故答案为2.15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元. 【答案】5000【解析】设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30)x y --个遥控火车模型，依题得，实数,x y 满足线性约束条件10128(30)320,300,0,0,x y x y x y x y ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为160180z x y =++120(30)x y --，化简得240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩40603600z x y =++，作出不等式组240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域(如图所示)：作直线02:603l y x =--，将直线0l 向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大， 由240,30,x y x y +=⎧⎨+=⎩得20,10,x x =⎧⎨=⎩所以(20,10)P ，此时max 402060z =⨯+⨯1036005000+=（元）. 故答案为5000.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112xy x y =-，222x y x y =-，将P点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12P x x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x xx x +=++=+….故答案为4. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .【解析】（1）由222cos sin sin sin cos B A A B C --=,得222sin sin sin sin sin A A B C B +=- 由正弦定理，得222c b a ab -=+，即222a b c ab +-=-,所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-,又0C π<<，则23C π=（2）因为6A π=，所以6B π=.所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=.因为1sin 2ABC S ab C ∆===所以2a =.在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=，所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅ 1=4+1+221=72⨯⨯⨯,解得AM =18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180⨯=人， 经常使用微信的有18060120-=人，其中青年人有2120803⨯=人，使用微信的人中青年人有18075%135⨯=人．所以22⨯列联表为：(2)将列联表中数据代入公式可得：()221808055540k 13.3331206013545⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于13.33310.828>，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”． (3)从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有8064120⨯=人， 中年人有4062120⨯=，记4名青年人的编号分别为1，2，3，4，记2名中年人的编号分别为5，6， 则从这6人中任选2人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6，共15个，其中选出的2人均是青年人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个，故所求事件的概率为62P 155==． 19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥P ABCE -体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q , ∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===,ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥, BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I , AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB , AE PB ∴⊥.（2）当四棱锥P ABCE -的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE ,又Q 平面PAE I 平面ABCE AE =，PO ⊂平面PAE ,PO AE ⊥,OP ∴⊥平面ABCE,OP OB ==QPB ∴=1AP AB ==Q , 31112cos 24PAB +-∴∠==, sin 4PAB ∴∠=.1sin 28PAB S PA AB PAB ∴=⋅∠=V ,又111338P ABC ABC V OP S -=⋅==V Q , 设点C 到平面PAB 的距离为d,335C PABPABV d S -∴===V .20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【解析】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-= ,∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =. （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-= ,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-= ,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+,设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k=+=+, ∴2243(,)3434km mP k k-++ ,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．（12分）已知函数()23xf x xe ax =++．（1）若曲线()y f x =在0x =处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数a 的值； （2）若12a =-，求证：()ln 4f x x ≥+． 【解析】（1）()()12xf x x e a '=++，则()021f a '=+为切线斜率．又()03f =，∴切点为()0,3．∴曲线在0x =处切成方程为()321y a x -=+．当0x =时，3y =，当0y =时，321x a -=+（易知210a +≠） 则切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a -⨯⨯=+．∴211a +=得211a +=±．所以0a =或1-．（2）法一：12a =-时，()3x f x xe x =-+ 要证的不等式为3ln 4x xe x x -+≥+，即ln 10x xe x x ---≥．令()ln 1x h x xe x x =---，则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭． 易知()h x '递增，()10h '>，)132022h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，∴()0h x '=仅有一解0x 且001x e x =，即00ln x x =-．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增． 从而()h x 最小值为()0000000ln 11ln 10xf x x e x x x x =---=---=∴()()00h x h x ≥=，故原不等式成立． 法二：12a =-时，要证的不等式为ln 10x xe x x ---≥．令x t xe =，则ln ln t x x =+． 故问题化为证不等式ln 10t t --≥恒成立．()0,x ∈+∞时，()0,x t xe =∈+∞令()ln 1h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，当()0,1t ∈时，()0h t '<，()h t 递减； 当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 递增．∴()()10h t h ≥=，从而原不等式成立．(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合{1,2，3}的非空真子集共有 ( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −3B. −2C. 2D. 34. 从1，2，…，10这十个数中任取三个不同的数，则至少有一个奇数和一个偶数的概率为( )A. 56B. 512C. 518D. 5365. 已知sin(x +π12)=13，则cos(x +712x)的值为( )A. 13B. −13C. −23√2D. 23√26. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29−y 227=1的左、右焦点，点A 为双曲线上一点，∠F 1AF 2的平分线交x 轴于点 (2,0)，则|AF 2|=( )A. 3B. 6C. 8D. 107. 已知等差数列{a n }满足a 1=2，公差d ≠0，且a 1,a 2,a 5成等比数列，则d =( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A. i ≤50？和p =p +1B. i ≤51？和p =p +1C. i ≤51？和p =p +2D. i ≤50？和p =p +29. 已知f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)在区间[π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,23]B. (0,23]∪[7,263] C. [7,263]∪[503,19]D. (0,23]∪[503,19]10. 对于定义域是R 的任意奇函数f(x)，都有( )A. f(x)−f(−x)>0B. f(x)−f(−x)≤0C. f(x)⋅f(−x)≤0D. f(x)⋅f(−x)>011. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱12. 设f(x)={3−x +a(x ≤2)f(x −1)(x >2)，若f(3)=−89，则实数a 是( )A. 1B. −1C. 19D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )=x 3+ax 在点(1,2)处的切线方程为____．14. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的半焦距为c ，(c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是______．16. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50． 通项公式：a n ={n 2−12,n 为奇数n 22,n 为偶数如果把这个数列{a n }排成右侧形状，并记A(m,n)表示第m 行中从左向右第n 个数，则A(10,4)的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 在△ABC 中，cosBcosC =−b2a+c ，(1)求B ；(2)b =√13,a +c =4，求S △ABC ．18. 如图，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE ，DE =DA =2AF =2．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求AE 与平面BDE 所成角的大小； (3)求三棱锥D −BEF 的体积．19.改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利．已知某市某快递点的收费标准为：首重(重量小于等于1kg)收费10元，续重5元/kg(不足1kg按1kg算).(如：一个包裹重量为2.5kg，则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)(1)若你有三件礼物A，B，C重量分别为0.4kg，1.2kg，1.9kg，要将三个礼物分成两个包裹寄出，如：A，B合为一个包裹，C一个包裹．那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？(2)对该快递点近5天的每日揽包裹数(单位：件)进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率．20. 已知函数f(x)=ax +1nx(a ∈R)，g(x)=e x ．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当a =0时，g(x)>f(x)+2．21. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．22. (1)已知f(x +1)=x 2+2x ，求f(x)的解析式．(2)已知不等式｜x −2｜+｜x +1｜>a 对于一切的实数x 恒成立，求a 的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【试题解析】本题考查的知识点是计算集合非空真子集的个数．根据集合{1,2，3}把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数； 解：集合{1,2，3}的非空真子集有： {1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个； 故选：B ．2.答案：C解析：解：∵Z =3−4i ， ∴|Z|=√32+(−4)2=5． 故选：C ．直接利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积，向量的模的运算，向量的加减运算，属基础题．由题意可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，然后利用向量的模与数量积进行求解即可得． 解：因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+(t −3)2=1，解得t =3， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+3×0=2， 故选C ．4.答案：A解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53= 100，由此能求出至少有一个奇数和一个偶数的概率．解：从1，2，3，…，10这十个数中任取3个不同的数，基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53=100，∴至少有一个奇数和一个偶数的概率为P=mn =100120=56．故选A．5.答案：B解析：本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题．根据诱导公式直接计算即可．解：故选B．6.答案：B解析：解：双曲线C：x29−y227=1的a=3，b=3√3，c=√a2+b2=6，则F1(−6,0)，F2(6,0)，∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得|F1M||F2M|=|AF1||AF2|=48=12，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|= 6，进而可得所求；本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d．解：等差数列{a n}满足a1=2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，即为(2+d)2=2(2+4d)，即d2=4d，解得d=4(d=0舍去)，故选D．8.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知，要计算50个数的和．故循环次数要50次，由循环变量的初值为1，故判断框①处应填：i≤50？由于每次累加的值步长为2，故执行框②处应填：p=p+2，故选：D．9.答案：B解析：解：f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3)， 由2kπ−π2≤ωx +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得2kπ−5π6≤ωx ≤2kπ+π6，k ∈Z ，即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，即函数的单调递增区间为[2kπ−5π6ω,2kπ+π6ω]，k ∈Z ，∵f(x)在区间[π6,π4]上单调递增，∴{2kπ−5π6ω≤π62kπ+π6ω≥π4，即{ω≥12k −5ω≤8k +23，即12k −5≤ω≤8k +23， ∵ω>0，∴当k =0时−5≤ω≤23，此时0<ω≤23， 当k =1时，7≤ω≤263，当k =2时，19≤ω≤16+23，此时不成立， 综上ω的范围是0<ω≤23或7≤ω≤263，即(0,23]∪[7,263]， 故选：B ．根据辅助角公式进行化简，结合函数单调递增的性质求出单调递增区间，建立不等式组关系进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合辅助角公式进行化简，以及利用三角函数单调性的性质是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：∵函数f(x)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，则f(x)⋅f(−x)=−f(x)⋅f(x)=−f 2(x)≤0， 故C 正确，其他不一定正确，故选：C根据函数奇偶性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，比较基础．11.答案：B解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．考点：三视图的考查12.答案：B解析：本题考查分段函数求值，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．推导出f(3)=f(2)=3−2+a=−89，由此能求出a的值．解：∵f(x)={3−x+a(x≤2)f(x−1)(x>2),f(3)=−8 9 ,∴f(3)=f(2)=3−2+a=−89，解得a=−1．故选B．13.答案：y=4x−2解析：本题主要考查了利用导数求解曲线某点处的切线方程，属于基础题.将点(1,2)代入f(x)中得到a值，然后求解f(x)的导数，利用导数的几何意义求解即可．解：因为(1,2)在f(x)上，所以1+a =2，解得：a =1，所以f (x )=x 3+x ，所以f′(x )=3x 2+1，所以f′(1)=4，所以f(x)在点(1,2)处的切线方程为y −2=4(x −1)，即y =4x −2．故答案为y =4x −2．14.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)， 此时C 在2x −y −m =0上，则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小，由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5，故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：12 解析：本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形ABFC ，求椭圆的离心率e ，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据四边形ABFC 是菱形得到B 的横坐标为12(a −c)，代入抛物线方程求出B 的纵坐标为√154b ，因此将点B 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e 的方程，即可得到该椭圆的离心率． 解：如图∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A(a,0)，F(−c,0)，a 2−c 2=b 2， ∵抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B ，C 两点，∴B 、C 两点关于x 轴对称，可设B(m,n)，C(m,−n)(n >0)，∵四边形ABFC 是菱形，∴m =(a−c )2将B(m,n)代入抛物线方程，得n 2=15(a +c )×(a −c )=15b 2 ∴B((a−c )2,√154b)，再代入椭圆方程， 得[12(a−c)]2a 2+(√154b)2b 2=1，又∵离心率e =ca ，化简整理，得4e 2−8e +3=0，解之得e =12(e =32>1不符合题意，舍去)，故答案为：12．16.答案：3612解析：解：由题意，前9行，共有1+3+⋯+17=9×182=81项，A(10,4)为数列的第85项，∴A(10,4)的值为852−12=3612．故答案为3612．由题意，前9行，共有1+3+⋯+17=9×182=81项，A(10,4)为数列的第85项，即可求出A(10,4)的值．本题考查归纳推理，考查等差数列的求和公式，属于中档题．17.答案：解：(1)由cosBcosC =−b2a+c，根据正弦定理，可得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，2cosBsinA+cosBsinC=−sinBcosC，即2cosBsinA=−sinA∵0<A<π，sinA≠0．∴cosB=−12∵0<B<π，∴B=2π3(2)b=√13,a+c=4，由余弦定理：cosB=a2+c2−b22ac，可得：−ac=a2+c2−13，即(a+c)2−ac−13=0得：ac=3那么三角形的面积S△ABC=12acsinB=3√34．解析：(1)利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小．(2)根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S△ABC的值．本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO是AE与平面BDE所成角，在Rt△EAD中，EA=√AD2+DE2=2√2，AO=√2，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=AOEA =12，∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成角为30°；(3)∵DE⊥平面ABCD，DE⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，∴AB⊥AD，∵平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，∴三棱锥D−BEF的体积V D−BEF=V B−DEF=13×S△DEF×AB=13×12×22×2=43．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由AC⊥BD，得DE⊥平面ABCD，从而AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，由AC⊥平面BDE，得∠AEO是AE与平面BDE所成角，由此求出AE与平面BDE所成角；(3)推导出平面ADEF⊥平面ABCD，从而AB⊥AD，三棱锥D−BEF的体积V D−BEF=V B−DEF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)A，B一个包裹，C一个包裹时，需花费15+15=30(元)，A，C一个包裹，B一个包裹时，需花费20+15=35(元)，B，C一个包裹，A一个包裹时，需花费25+10=35(元)，综上，A，B一个包裹，C一个包裹时花费的运费最少，为30元．(2)5天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为a1，a2，a3，其余两天为b1，b2，从5天中随机抽出2天的所有基本事件如下：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3，b2)，(b1,b2)，一共10种，2天的日揽包裹数均超过100件的基本事件有(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，一共3种，所以从这5天中随机抽出2天，2天的日揽件数均超过100件的概率为310．解析：本题考查实际应用问题以及古典概型的计算与应用，属于中档题．(1)分别求出A，B一个包裹，C一个包裹时；A，C一个包裹，B一个包裹；B，C一个包裹，A一个包裹时三种情况的快递费用，再比较大小，即可得到答案；(2)5天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为a1，a2，a3，其余两天为b1，b2，得到所有的基本事件数，以及这2天的日揽包裹数均超过100件的事件个数，再通过古典概型的概率公式计算，即可得到答案．20.答案：(本小题满分12分)解(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x,(x>0)10当a≥0时，f′(x)>0，所以在(0,+∞)单调递增；20当a<0时，由f′(x)=0，解得x=−1a．则当x∈(0,−1a )时．f′(x)>0，所以f(x)单调递增．当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减．综上所述：当a ≥0时，f(x)增区间是(0,+∞)；当a <0时，f(x)增区间是(0,−1a )，减区间是(−1a ,+∞). …(4分)(2)f(x)=lnx ，f(x)与g(x)的公共定义域为(0,+∞)，令F(X)=e x −lnx ，F′(x)=e x −1x ，F″(x)=e x +1x 2>0，所以F′(x)单调递增因为F′(12)=√e −2<0,F′(1)=e −1>0，所以存在唯一x 0∈(12,1)使得F′(x 0)=e x 0−1x 0=0，∴x 0=e −x 0 且当x ∈(0,x 0)时F′(x)<0，F(x)递减； 当x ∈(x 0,+∞)时F′(x)>0，F(x)当递增；所以F min (x)=F(x 0)=e x 0−lnx 0=e x 0+x 0>e 12+12>1.6+12>2 故g(x)>f(x)+2. …(12分)解析：(1)求出f(x)的定义域是(0,+∞)，导函数f′(x)=a +1x ,(x >0)，通过10当a ≥0时；20当a <0时，求解函数的单调区间．(2)求出函数的定义域，化简令F(X)=e x −lnx ，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ， 整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：(1)令t=x+1，则x=t−1，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，∴f(x)=x2−1(2)要使不等式｜x−2｜+｜x+1｜>a，只需不等式(｜x−2｜+｜x+1｜)min>a，而不等式｜x−2｜+｜x+1｜≥|(x−2)−(x+1)|=3，当且仅当(x−2)(x+1)≥0时等号成立；所以a<3．解析：本题主要考查了求函数解析式和不等式中的恒成立问题，属于基础题．(1)首先令t=x+1，则x=t−1，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，再利用同一函数确定f(x)的解析式；(2)要使不等式｜x−2｜+｜x+1｜>a，只需不等式(｜x−2｜+｜x+1｜)min>a，而不等式｜x−2｜+｜x+1｜≥|(x−2)−(x+1)|=3，所以a<3．。

则最大利润是__________元.
【答案】 5000
【解析】设每天安排生产 x 个遥控小车模型， y 个遥控飞机模型，则生产 (30 x y) 个遥控火车模型，依 10x 12 y 8(30 x y) 320, 30 x y 0,
题得，实数 x, y 满足线性约束条件 x 0, y 0,
4
4…
4
.故答案为
4.
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 A，， B C 是 ABC 的内角， a，， b c 分别是角 A，， B C 的对边.若 cos2 B sin2 A sin Asin B cos2 C ,
（1）求角 C 的大小；
【答案】B
【解析】因为 f (x) [b, 2a b] ，又依题意知 f (x) 的值域为[5,3] ，所以 2a b 3 得 a 4 ，
b
5 ，所以 g(x) 5 cos 4x ，令 4x
k
2
(k Z) x
，得
k 4
8
(k Z) ，则 g(x) 的图象的
k 对称中心为 4
)
3, 1
A．
2, 0
B．
5, 1
C．
2,1
D．
【答案】B
【解析】由
f
x 1
f
1 x 可知函数
f
x 的对称轴为 x=1.因为
f
x
在
[5,
5]
上是增函数,所以
f
x 在 [5,
5]
上是减函数,因为
x
1 2
,1
,所以
1 2
x 1 0
,又因为不等式