清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
一、选取题1.设复数z=cos 23π+isin 23π,则2111-1z z +-=( ) (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 焦点 (D)O 到直线AB 距离不大于等于14.设函数()f x 定义域为(-1,1),且满足:①()f x >0,x ∈(-1,0);②()f x +()f y =()1x yf xy++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有( )(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有( ) (A)b=2a (B)△ABC 周长为3 (C)△ABC 23(D)△ABC 237.设函数2()(3)xf x x e =-,则( )(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值(C)若方程()f x =b 恰有一种实根,则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则( )(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 最小值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则( )(A){n a }也许为等差数列 (B){n a }也许为等比数列(C){n a }任意一项均可写成{n a }两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S 11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道选手得第一名;观众乙猜测:3道选手不也许得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道选手都不也许获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛成果,此人是( )(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 距离为( )(A)13 (B)23(C)213.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所示区域为D,其面积为S,则( )(A)若S=4,则k 值唯一 (B)若S=12,则k 值有2个 (C)若D 为三角形,则0<k ≤23(D)若D 为五边形,则k>4 14.△ABC 三边长是2,3,4,其外心为O,则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=( ) (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立,且P(B)=0.5,P(A −B)=0.2,则( )(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 重心作直线将△ABC 提成两某些,则这两某些面积之比( ) (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同选法有( )(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r,使得圆周222x y r +=上正好有n 个整点,则n 可以等于( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|,则( ) (A)|z|最大值为1 (B)|z|最小值为13 (C)z 虚部最大值为23 (D)z 实部最大值为1320.设m,n 是不不大于零实数,a =(mcosα,msinα),b =(ncosβ,nsinβ),其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b =(2β2β),记θ=α−β,则( )(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足:1a =6,13n n n a a n++=,则( ) (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠(C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中,下列方程表达图形是椭圆有( )(A)ρ=1cos sin θθ+ (B)ρ=12sin θ+ (C)ρ=12cos θ- (D)ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+,则( )(A)()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 三边分别为a ,b,c,若△ABC 为锐角三角形,则( ) (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 定义域是(−1,1),若(0)f =(0)f '=1,则存在实数δ∈(0,1),使得( )(A)()f x >0,x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1,x ∈(0,δ) (D)()f x >1,x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中,已知A(−1,0),B(1,0)．若对于y 轴上任意n 个不同点k P (k=1,2,…,n),总存在两个不同点i P ,j P ,使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13,则n 最小值为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1,则)(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为1328.对于50个黑球和49个白球任意排列(从左到右排成一行),则( )(A)存在一种黑球,它右侧白球和黑球同样多 (B)存在一种白球,它右侧白球和黑球同样多 (C)存在一种黑球,它右侧白球比黑球少一种 (D)存在一种白球,它右侧白球比黑球少一种 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字构成五位数,其中有两个数字各用两次,例如12231,则能得到不同五位数有( )(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0,则( ) (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+-- =212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )6622i i ππ++-=1,选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d,与公差d 符号关于,选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅==≥=2,对的;答案(B),|OA|+|OB|≥2≥2,对的;答案(C),直线AB 斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程,错误;答案(D),原点到直线AB:(111x x -)x-y+1=0距离≤1,对的。
2021年自主招生华约数学试题一、选择题(1) 设复数z满足|z|<1且15||2zz+=那么|z| = ( )4321 A B C D 5432解：由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2〔舍去〕，12 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角。
那么异面直线DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]此题有许多条件，可以用“求解法〞，即假设题中的一局部要素为，利用这些条件来确定其余的要素。
此题中可假设底面边长为〔不妨设为2〕，利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，。
如图建立坐标系，那么A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，)，那么1111(,,),(,,222222M N-，31213(,,),(,,222222DM AN=-=-。
设所成的角为θ，那么1 cos6DM ANDM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2，。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN= AQ= ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，那么直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)假设222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 () 3131A1,B ,C1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
