浙教版数学九年级上册4.4 两个三角形相似的判定(一)

浙教版数学九年级上册《4.4 两个三角形相似的判定》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《4.4 两个三角形相似的判定》这一节主要让学生掌握三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的知识解决一些实际问题。

本节课的内容是初中数学的重要知识，也是进一步学习高中数学的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的计算等知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于相似三角形的判定和性质，学生可能初次接触，理解起来有一定难度。

因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步掌握相似三角形的判定方法。

三. 教学目标1.让学生掌握三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质。

2.培养学生运用相似三角形的知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形相似的判定方法，相似三角形的性质。

2.教学难点：三角形相似的判定方法的运用，相似三角形的性质的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握相似三角形的判定方法和性质。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如建筑物的设计、电路板的设计等，引导学生观察其中的三角形，并提出问题：这些三角形是否相似？如何判断两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示相似三角形的定义和判定方法，让学生直观地感受相似三角形的性质。

同时，教师可以结合具体的案例，解释相似三角形的判定方法和性质。

3.操练（10分钟）教师提出一些有关相似三角形的问题，让学生分组讨论、操作，通过实际例子来运用相似三角形的判定方法和性质。

教师可以引导学生用几何画板或其他工具，绘制出相似三角形的图形，并进行比较。

《4.4两个三角形相似的判定》本节课是浙教版初中数学九年级上册《相似三角形》的内容，在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础，同时还是研究圆中比例线段和三角函数的重要工具，可见一相似三角形的判定占据着重要的地位。

【知识与能力目标】使学生掌握三角形相似的判定定理1，2，3，和它们的应用.【过程与方法目标】通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力.【情感态度价值观目标】通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维【教学重点】判定的应用【教学难点】判定的引入教师准备课件、多媒体；学生准备课本、练习本、三角板；一、导入新课提问：1.什么是相似三角形？2.什么是全等三角形？3.全等三角形的判定方法有哪些？4.你认为三角形相似至少需要那几个条件？二、新课学习合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？合探 2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A 和∠A ′都等于∠α，∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？三边的比C B BC C A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE ∥BC ,AB =7，AD =5，DE =10，求B C 的长。

解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C.∴△ADE ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB =DE BC . ∴BC =AB×DE AD = 7×105=14. 合探31.（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和C A AC ''都等于给定的值k .设法比较∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？（2）改变k 值的大小，再试一试.定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2. 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA ''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.改变k 值的大小，再试一试.定理3：三边:成比例的两个三角形相似．例题学习例1：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长.解：∵AE =1.5，AC =2，∴AE AC =34， ∵AD AB =34， ∴AD AB =AE AC. 又∵∠EA D=∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴DE BC =AD AB =34. ∵BC =3，∴DE =34 BC =34×3=94. 例2：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.解：∵AB AD =BC DE =AC AE， ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).∴∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC =∠D AE －∠DAC ，即∠BAD=∠CAE .∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.结论总结本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件．四、课堂练习1.如图，在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A ＝50°，∠B ＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC 与△A′B′C′相似吗？为什么？2.如图，D 、E 分别是三角形ABC 边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。

4.4 两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC 中，DE ∥B C.若AD AB ＝13，DE ＝4，则BC ＝(D )(第1题)A. 9B. 10C. 11D. 122．有一个角相等的两个等腰三角形(C ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于点F .如果EC BE ＝23，那么BFFD 的值为(B )A. 25B. 35 C. 23 D. 53(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(C)A. 154 B. 7C. 152 D.2455．如图，在▱ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD 交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2 2，AB＝3，则BD＝__83__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__2．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题) 【解】结论：△AEC∽△AC D.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠AC B.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠AD C.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△AC D.10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点G ，则AG ∶GC 的值为(B ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3(第10题)【解】 如解图，连结BD ，交AC 于点O .(第10题解)∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥DB ，且EF ＝12DB ，∴△AEF ∽△ADB ，△AEG ∽△ADO ， ∴AG AO ＝AE AD ＝EF DB ＝12. ∴G 为AO 的中点． ∴AG ＝GO . 又∵OA ＝OC ， ∴AG ∶GC ＝1∶3.11．已知在▱ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶CF 的值是23或43．【解】 当点E 在线段AD 上时，如解图①. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ， ∴DE ∶BC ＝2∶3， ∴EF ∶CF ＝2∶3.(第11题解)当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图②. 同上可得△EFD ∽△CFB ， ∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝4AE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶CF ＝4∶3. 综上所述，EF ∶CF 的值是23或43.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t (s)(0≤t ≤5)，连结MN .(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3. 由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ， ∴BN ＝5 3－3t .当BM ＝BN 时，2t ＝5 3－3t ，解得t ＝10 3－15. (2)分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝5 3－3t 5 3，解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC ，即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157. 综上所述，当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似．(3)如解图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，(第12题解)∴MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t 10，解得MD ＝t .设四边形ACNM 的面积为y ，则y ＝12×5×5 3－12(5 3－3t )×t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32⎝⎛⎭⎫t －522＋75 38.∴当t ＝52时，y 取得最小值，为75 38，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为75 38 cm 2.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.在△A′B′C′中，∠C′＝90°，A′C′＝B′C′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．(第13题)【解】能分割，如解图所示(答案不唯一)．(第13题解)初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。