全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
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第十二章全等三角形
12.1全等三角形（对应顶点、对应边、对应角）
全等形：能够完全重合的两个图形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
12.2三角形全等的判定
SSS边边边
SAS边角边
ASA角边角
AAS角角边
HL斜边、直角边
12.3角的平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
证明几何命题的大概步骤：
1、明确命题中的已知和求证；
2、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
1。
人教版八年级数学第12章全等三角形综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是( )A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′2.如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，为了直接用“ASA”说明△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是( )A．BC＝EF B．∠A＝∠DC．∠C＝∠F D．AC＝DF3. 如图，△ABC≌△EDF，DF=BC，AB=ED，AC=15，EC=10，则CF的长是()A.5B.8C.10D.154.如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去( )A．只带①B．只带②C．只带③D．带①和②5.如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对6.已知△ABC的六个元素，下列甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙7. 如图，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则∠ABD等于( )A．∠EAC B．∠ADE C．∠BAD D．∠ACE8. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6 cm,DE=4 cm,S△ABC=30 cm2,则AC 的长为()A.10 cmB.9 cmC.4.5 cmD.3 cm9. (2019•陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为A．2+B．C．D．310. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共7道小题）11.如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________．(只需写一个，不添加辅助线)12.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．13.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAC＝65°，则∠ACD 的度数为________．14.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．15.如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝________°.16.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．17.如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.(1)如图K－10－13①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.19.如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E ，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF 的面积之和．20.如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取CG＝A B，连接AG，AD.求证：(1)△BAD≌△CGA；(2)AD⊥AG.21.如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.人教版 八年级数学 第12章 全等三角形 综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】A[解析] ∵△ABC ≌△EDF ，AC=15，∴EF=AC=15. ∵EC=10，∴CF=EF-EC=15-10=5.4.【答案】C [解析]由“ASA”的判定方法可知只带③去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃．5. 【答案】C[解析] ①∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠CFB ＝∠BEC ＝90°.在Rt △BCF 和Rt △CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝BE ，BC ＝CB ，∴Rt △BCF ≌Rt △CBE(HL)．②∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°.在△ABE 和△ACF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠A ＝∠A ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(AAS)． ③设BE 与CF 相交于点O. ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ， ∴∠OFB ＝∠OEC ＝90°.∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，AE ＝AF. ∴BF ＝CE.在△BOF 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OFB ＝∠OEC ，∠BOF ＝∠COE ，BF ＝CE ，∴△BOF ≌△COE(AAS)．6. 【答案】D7.【答案】D [解析]∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴∠ABD ＝∠ACE.8. 【答案】B[解析] 如图,过点D 作DF ⊥AC 于点F .∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, ∴DE=DF=4.∵AB=6,∴S△ABC =S△ABD+S△ACD=×6×4+AC×4=30,解得AC=9(cm).故选B.9. 【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD==，∴BC=BD+CD=，故选A．10. 【答案】A [解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AD ＝CD [解析] 因为AB ＝BC ，BD ＝BD ，所以：(1)当AD ＝CD 时，△ABD ≌△CBD(SSS)；(2)当∠ABD ＝∠CBD 时，△ABD ≌△CBD(SAS)；(3)当∠A ＝∠C ＝90°时，Rt △ABD ≌Rt △CBD(HL)．12. 【答案】答案不唯一，如AB ＝DE[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．13. 【答案】25°14. 【答案】② [解析] ∵已知∠ABC ＝∠DCB ，且BC ＝CB ，∴若添加①∠A ＝∠D ，则可由“AAS”判定△ABC ≌△DCB ；若添加②AC ＝DB ，则属于“SSA”，不能判定△ABC ≌△DCB ；若添加③AB ＝DC ，则可由“SAS”判定△ABC ≌△DCB.15. 【答案】80 [解析] ∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠BOC)＝80°.16. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BA C的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABDS△ACD＝12AB·h12AC·h＝43.17. 【答案】5或10 [解析] ∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝QP，BC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；②当AP＝CA＝10时，在Rt△ABC和Rt△PQA中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝PQ，AC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：由作法得OD ＝OC ＝O′D′＝O′C′，CD ＝C′D′.在△OCD 和△O′C′D′中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝O′C′，OD ＝O′D′，CD ＝C′D′，∴△OCD ≌△O′C′D′.∴∠COD ＝∠C′O′D′，即∠A′O′B′＝∠AOB.19. 【答案】∵∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE ＋∠ABE ，∠2＝∠CAF ＋∠ACF ，∠BA C ＝∠BAE ＋∠CAF ，∴∠BAE ＝∠ACF ，∠ABE ＝∠CAF.在△ABE 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACF ，AB ＝CA ，∠ABE ＝∠CAF ，∴△ABE ≌△CAF(ASA)．∴S △ABE ＝S △CAF .∴S △ABE ＋S △CDF ＝S △CAF ＋S △CDF ＝S △ACD .∵CD ＝2BD ，△ABC 的面积为15，∴S △ACD ＝10.∴S △ABE ＋S △CDF ＝10.20. 【答案】证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.∴∠ABE ＝∠ACF.在△BAD 和△CGA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝GC ，∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，∴△BAD ≌△CGA(SAS)．(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.∵∠AFG ＝90°，∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG .21. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.。
