2018届北京市丰台区高三5月综合练习(二模)数学文试题图片版含答案

丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科） 2019.05一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．3π10．35 11．412．满足12,0a a >,0d <(答案不唯一) 13．( 14．6； 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）因为11a =，1e n n a a +=⋅()n *∈N ，所以数列{}n a 是1为首项，e 为公比的等比数列，所以1n n a e -=. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1ln ln e 1n n a n -==-， ………………5分所以 (1)012(1)2n n n T n -=++++-=， ………………7分 所以23111nT T T +++2222122334(1)n n =++++⨯⨯⨯-11111112[(1)()()()]223341n n =-+-+-++-- ………………10分 12(1)n =-.………………11分 因为10n >，所以111n -<.所以12(1)2n -<即231112nT T T +++< ………………13分16．（共13分）解:（Ⅰ）由已知)(x f 图象得 2.A =3342T π=，则 2T =π. 因为22T ωπ==π，0ω> 所以1ω=. …………2分 因为02ϕπ<<， 所以3ϕπ=. …………4分 所以()2sin(+)3f x x π=． …………6分（Ⅱ）由题可得：()2cos2g x x =． …………8分故()2sin 2y g x x =+2cos22sin2x x =++)4x π=． …………10分因为3+22+2242k x k ππππ+π≤≤， …………11分所以5++88k x k ππππ≤≤. 所以()g x 的单调递减区间为5+,+,88k k k ππ⎡⎤ππ∈⎢⎥⎣⎦Z . …………13分17．（共13分） 解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=. ………………4分（Ⅱ）高一年级成绩为[95,100]的有0.025404⨯⨯=名，记为1A ，2A ，3A ，4A ，高二年级成绩为[95,100]的有2名，记为1B ，2B . ………………6分 选取2名学生的所有可能为：12A A ，13A A ，14A A ，11A B ，12A B ，23A A ，24A A ，21A B ，22A B ，34A A ，31A B ，32A B ，41A B ，42A B ，12B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12A A ，13A A ，14A A ，23A A ，24A A ，34A A ，12B B ，共7种； ………………8分 设2名学生来自于同一年级为事件A ， 所7()15P A =. ………………10分（Ⅲ）12X X <． ………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点， 所以'OD AO ⊥． ………………1分因为平面⊥'AOD 平面ABCO ， 平面 'AOD 平面AO ABCO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． ………………4分 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． ………………5分（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP ，PM ；因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，所以AB PM //，AB PM 21=． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，DC AB //，所以122aOC CD ==．所以AB OC //，AB OC 21=． ………………6分 所以OC PM //，OC PM =．所以四边形OCMP 为平行四边形， ………………7分 所以OP CM //，因为⊄CM 平面'AOD ，⊂OP 平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ； ………………10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高． ………………11分因为1'3V S OD =⨯⨯==底，所以2a =． ………………14分解：（Ⅰ）由题知22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………3分 所以求椭圆E 的方程为22143x y +=．…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2,0A -,()2,0B当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =．由221 1.43x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得1213,22k k ==或1213,22k k =-=-；均有1213k k =． 猜测存在13λ=．…………………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由()2211.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．则212221228,43412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………8分故1212121323(2)y y k k x x -=-+-…………………9分2112123(2)(2)3(2)(2)x y x y x x --+=+-()1212122583(2)(2)k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=+- 2222128(3)40843433(2)(2)k k k k k x x ⎡⎤--+⎢⎥++⎣⎦=+- 0.= …………………13分所以存在常数13λ=使得1213k k =恒成立 …………………14分解：（Ⅰ）当3a =时， 32()3f x x x =-，2'()363(2)f x x x x x =-=-． …………………2分当[0,2]x ∈时，'()0f x ≤，所以()f x 在区间[0,2]上单调递减． …………………4分 所以()f x 在区间[0,2]上的最小值为(2)4f =-． …………………5分（Ⅱ）设过点(1,(1))P f 的曲线()y f x =的切线切点为00(,)x y ，2'()32f x x ax =-，(1)1f a =-， 所以320002000,(1)(32)(1).y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩ 所以320002(3)210x a x ax a -+++-=．令32()2(3)21g x x a x ax a =-+++-， 则2()62(3)2g x x a x a '=-++(1)(62)x x a =--，令()0g x '=得1x =或3a x =， 因为3a >，所以1a>． ()g x 的极小值为()(1)03ag g <=，所以()g x 在(,)3a-∞上有且只有一个零点1x =．因为3222()2(3)21(1)(1)0g a a a a a a a a =-+++-=-+>，所以()g x 在(,)3a+∞上有且只有一个零点．所以()g x 在R 上有且只有两个零点．即方程320002(3)210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． …………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2018年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）1i - （10）121（11）1± （12）18000018y v v =+(0120)v <≤；100 （13）4；π3- （14）①②注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分；第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题： （15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ACD 中，因为 π()DAC ADC C ∠=-∠+∠，π3ADC ∠=， 所以 πsin sin()3DAC C ∠=+∠1cos sin 22C C =∠+∠． …………………2分因为 cos C ∠=， 0πC <∠<，所以 sin C ∠==…………………4分所以 1sin 272714DAC ∠=⨯⨯． …………………5分 （Ⅱ）在△ABD 中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠， …………………7分所以 222214626cos3AD AD π=+-⨯⨯⨯， 所以 261600AD AD +-=， 即 (16)(10)0AD AD +-=．所以 10AD =或16AD =-（舍）．所以 10AD =． …………………8分 在△ACD 中，由正弦定理得sin sin CD ADDAC C=∠∠，即= …………………10分 所以 15CD =． …………………11分 所以11sin sin 222ABC S AD BD ADB AD DC ADC ∆=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯∠=．即ABC S ∆=…………………13分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）m n <． …………………3分 （Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则11210101022029()38C C C P M C +==． …………………6分 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25C C P C C ξ===； 1111189211101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 11121110101(2)50C C P C C ξ===． …………………10分 所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望01225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………12分 即103=ξE ． …………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在三棱柱 111ABC A B C -中，侧面 11A ABB 为平行四边形， 所以 11B B A A ∥．又因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC，所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………2分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D 平面11A ACC DE =，所以 1B B DE ∥． …………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，因为 =AB BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………………5分 设=BD a ，=AD b ，在△1AA D 中 1=2AA AD ，190A DA ∠=︒， 所以 1AD ，所以 (0,0,0)D ，(0,,0)A b -1)A ，(,0,0)B a ．所以 1(0,)AA b = ，(,0,0)DB a = ．…………………7分所以 10000AA DB a b ⋅=⨯+⨯⨯= ，所以 1AA BD ⊥． …………………9分（Ⅲ）解：因为 (0,)E b ， 所以 1(,)DB DE DB a b =+=，即1(,)B a b ．因为 (0,,0)C b ，所以 1()CB a =． …………………10分 设平面11ABB A 的法向量为 =(,,)n x y z，因为 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00by ax by ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令 =z a ，则y =，x =，EDA 1C 1B 1CABA1所以,,)n a =． …………………12分因为111|||cos ,|||||n CB n CB n CB ⋅<>==所以422441390a a b b -+=， 所以 =a b 或23a b =，即=2AC BD 或4=3AC BD ． …………………14分（18）（本小题共13分）（Ⅰ）解：依题意 ()cos sin f x x x x a '=--． …………………2分令 ()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈， 则 ()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．因为 (0)10g a =-≤，所以 ()0g x ≤，即 ()0f x '≤， …………………4分 所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间． …………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()g x 在区间π[0,]2上单调递减，且(0)1g a =-，ππ()22g a =--． 当 1a ≥时，()f x 在π[0,]2上单调递减． 因为 (0)0f a =>，ππ()(1)022f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………7分当 π02a --≥，即π2a ≤-时，()0g x ≥，即 ()0f x '≥，()f x 在π[0,]2上单调递增．因为 (0)0f a =<，ππ()(1)022f a =->，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………9分当 π12a -<<时，(0)10g a =->，ππ()022g a =--<， 所以存在0π(0,)2x ∈，使得0()0g x =． …………………10分x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以 ()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)2x 上单调递减． …………………11分 因为 (0)f a =，ππ()(1)22f a =-，且0a ≠， 所以 2ππ(0)()(1)022f f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点．…………………12分 综上所述，()f x 有且仅有一个零点． …………………13分（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）依题意得 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =． …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）椭圆的右焦点 (1,0)F ． …………………5分设直线 l ：(1)(0)y k x k =-≠，设 11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………8分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． …………………9分 因为 1212120y y k k m x m x --+=+=--， …………………10分所以122112()()0()()y m x y m x m x m x ----=--，即 1221()()0y m x y m x -+-=，…………11分所以 2112()(1)()(1)0k m x x k m x x --+--=恒成立． …………………12分因为 0k ≠，所以 1212(1)()220m x x x x m ++--=，即 222284(3)(1)2203434k k m m k k-+⋅-⋅-=++， …………………13分 化简为 2228(1)8(3)2(34)0k m k m k +---+=，所以 4m =． …………………14分（20）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ， 所以 12a a <，所以 3214a a =-=． …………………1分因为 23a a >，所以 1234341a a a a ++==-． …………………2分因为 34a a >，所以 54+14a a ==． …………………4分 所以 34a =，43a =，54a =．（Ⅱ）当 0m =时，30a =，40a =， …………………5分当 0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<，所以 12342133a a a m a ++-==．因为 34a a =，所以 2113m m --=，所以 2m =． …………………7分当 0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>，所以 12342133a a a m a +++==．因为 34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-． …………………9分所以 3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==，因为当 3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++=== ， 所以当 2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意． …………………10分 所以m 的取值范围是 {2,0,2}-．（Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤． …………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区高三年级第二学期综合练习（二）数 学（文科）. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在 答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B = （A ）(24), （B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞ 2. 下列函数中，既是偶函数又是(0+)∞,上的增函数的是（A ）3y x = （B ）x y 2=（C ）2y x =-（D ）)(log 3x y -=3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 （A ）14，9.5（B ）9，9（C ）9，10（D ）14，94. 圆22(1)1x y ++=的圆心到直线1y x =-的距离为 （A ）1（B ）22（C ）2（D ）25. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入x 的值为 （A ）2-（B ）16 （C ）2-或8（D ）2-或166. 已知向量31()(31)22，，==-a b ，31()(31)22，，，==-a b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4（B ）π3 （C ）π2（D ）2π37. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为 （A ）2 （B ）6（C ）22（D ）238. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是 （A ）首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用（B ）每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 （C ）每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用（D ）首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 双曲线2214xy -=的焦点坐标为 ．10. 已知复数(1i)(i 2)z =--，则z = ．12111侧视图俯视图正视图11. 在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c 3sin cos a B b A =，则角A 的大小为 .12. 若实数x y , ，x y , 满足约束条件00x y x x y a ≥≤++≤⎧⎪⎨⎪⎩，，，且y x z 3+=的最大值为4，则实数a 的值为 ．13. 已知函数2(1)21()11 1.,,,x x f x x x--+≤=+>⎧⎪⎨⎪⎩下列四个命题：①((1))(3)f f f >；②0(1)x ∃∈+∞,，01()3f x '=-；③()f x 的极大值点为1x =；④12(0)，,x x ∀∈+∞，12()()1f x f x -≤其中正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）14. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆221x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”.（1）点M (13),的“中心投影点”为________；（2）曲线2213y x -=上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，前3项和是7，等差数列{}n b 满足13b =，2242b a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2(21)n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.（本小题共13分）已知函数2π()sin sin()3cos 2f x x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．17.（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面PAB ， AD //BC ，12BC CD AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：CE //平面PAB ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比.（结论不要求证明）18.（本小题共13分）某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：FEB CDPA（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.19.（本小题共14分） 已知椭圆C ：22143xy+=，点P (40),，过右焦点F 作与y 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O 为圆心与P A 相切的圆，必与直线PB 相切.20.（本小题共13分） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x x<恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞，恒有()1f x <.丰台区~第二学期二模练习高三数学（文科）参考答案及评分参考．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBACDBCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(50)±, 1010．π612．2- 13．①②③④ 14．13(2,；4π3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）由已知，得1237a a a ++=，且等比数列{}n a 的公比2q =，所以111247a a a ++=，解得11a =， ……………………1分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=。

丰台区2018－2018学年度第二学期高三期末统一练习(一)高三数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铜笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）抛物线y 2=-2x 的准线方程为（A ）x =-1（B ）x =1（C ）x =-21 （D ）x =21（2）已知全集U ＝R ,集合A ＝{y ｜y =21log x ，x >2},B ＝{y ｜y =2x ，x >2}，则Cu(A ∪B)（A ）（－∞，4） （B ）［－1，4］ （C ）（－1，4） （D ）［1，＋∞］（3）函数f (x )=1g112+-x x 的定义域是 （A ）|x |x <-1或x >21| （B ）|x |x >21| （C ）|x |-1<x <21|（D ）|x |x >-1|（4）已知函数f (x )的导数为f ′(x )，若f ′(x)<0(a <x <b )，且f (b )>0，则在（a ，b ）内必有（A ）f (x )=0 （B ）f (x )<0 （C ）f (x )>0 （D ）不能确定 （5）下面有四个命题：①若直线a,b 不相交，则直线a,b 为异面直线；②若直线a 垂直于平面β内无数条直线，则直线a 垂于平 面β；③若直线a 垂直于直线b 在平面β内的射影，则直线a 垂直于直线b ； ④若直线a 平行于平面β内的一条直线，则直线a 平行于平面β. 其中不正确的命题的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设z =y -2x ，式中变量x ,y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥+-,02,042,01y y x y x 则z 的最大值是（A ）10（B ）0（C ）3（D ）4（7）已和数列{a n }满足a 1=0.a n+1=133+-n n a a (n=1,2,3,…),则a 100等于（A ）0（B ）3 （C ）-3 （D ）2（8）已知双曲线1a x 2222=-by (a >0,b >0)的离心率为2，点A (a ，0),B (0，-b ),若原点到直线AB 的距离为23，则该双曲线两准线间的距离等于 （A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。