相似三角形-模型分析与典型例题讲解大全

相似三角形重难点模型(五大模型)【题型01：(双)A字型相似】【题型02：(双)8型相似】【题型03：母子型相似】【题型04：旋转相似】【题型05：K字型相似】【题型01：(双)A字型相似】1.如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，求AN的长．【答案】2【分析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x，易证四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC，∴AN AD =EFBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，∵BC=12,AD=6，∴AN=6-x，∴6-x6=x 12，解得：x=4，∴AN=6-x=6-4=2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．2.如图，光源P 在水平横杆AB 的上方，照射横杆AB 得到它在平地上的影子为CD (点P 、A 、C 在一条直线上，点P 、B 、D 在一条直线上)，不难发现AB ⎳CD ．已知AB =1.5m ，CD =4.5m ，点P 到横杆AB 的距离是1m ，则点P 到地面的距离等于m ．【答案】3【分析】作PF ⊥CD 于点F ，利用AB ∥CD ，推导△P AB ∽△PCD ，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，∵AB ∥CD ，∴△P AB ∽△PCD ，PE ⊥AB ，∵△P AB ∽△PCD ，∴AB CD =PE PF ，(相似三角形对应高之比是相似比)即：1.54.5=1PF，解得PF =3．故答案为：3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AC =6，AD 平分∠BAC ，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．(1)求线段DE 的长；(2)取线段AD 的中点M ，连接BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【答案】(1)4(2)23【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC =60°，∴∠DAC =30°，在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，∠DAC =30°，AC =6，∴CD =23，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AC =6，∴BC =63，∴BD =BC -CD =43，∵DE ∥CA ，∴DE CA=BD BC =23，∴DE =4；(2)解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM =AM ，∵DE ∥CA ，∴DF AG =DM AM．∴DF =AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG =BF BG ，BF BG =BD BC ．∴EF AG=BD BC ．∵BD =43，BC =63，DF =AG ，∴EF DF=23．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．4.如图，△ABD 中，∠A =90°，AB =6cm ，AD =12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．(1)求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；(2)当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】(1)t 1=4，t 2=2；(2)t =3或245【分析】(1)由题意得DN =2t (cm )，AN =(12-2t )cm ，AM =tcm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：(1)由题意得DN=2t(cm)，AN=(12-2t)cm，AM=tcm，∴△AMN的面积=12AN•AM=12×(12-2t)×t=6t-t2，∵∠A=90°，AB=6cm，AD=12cm∴△ABD的面积为12AB•AD=12×6×12=36，∵△AMN的面积是△ABD面积的29，∴6t-t2=29×36，∴t2-6t+8=0，解得t1=4，t2=2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；(2)由题意得DN=2t(cm)，AN=(12-2t)cm，AM=tcm，若△AMN∽△ABD，则有AMAB=ANAD，即t6=12-2t12，解得t=3，若△AMN∽△ADB，则有AMAD=ANAB，即t12=12-2t6，解得t=24 5，答：当t=3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．【题型02：(双)8型相似】5.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．(1)求证：△BND∽△CNM；(2)如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；(2)先利用AD 2=AB •AF 可证明△ADB ∽△AFD ，则∠1=∠F ，再根据平行线的性质得∠F =∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC =∠CMD ，于是可判断△MNC ∽△MCD ，所以MC ：MD =CN ：CD ，然后利用CD =AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ，∴BE =CD ，而BE ∥CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴BD ∥CE ，∵CM ∥DB ，∴△BND ∽△CNM ；(2)∵AD 2=AB •AF ，∴AD ：AB =AF ：AD ，而∠DAB =∠FAD ，∴△ADB ∽△AFD ，∴∠1=∠F ，∵CD ∥AF ，BD ∥CE ，∴∠F =∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC =∠CMD ，∴△MNC ∽△MCD ，∴MC ：MD =CN ：CD ，∴MC •CD =MD •CN ，而CD =AB ，∴CM •AB =DM •CN ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，AE =2ED ，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为()A.23B.12C.13D.34【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．先根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，则可判断△ABG ∽△CFG ，△ABE ∽△DFE ，于是根据相似三角形的性质和AE =2ED 即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△ABG ∽△CFG ，∴BG GF =AB CF∵△ABE ∽△DFE ，∴AE DE =AB DF，∵AE =2ED ，∴AB =2DF ，∴AB CF =23，∴BG GF=23．故选：A ．7.如图1，在四边形ABDE 中，∠ABC =∠BDE ，点C 在边BD 上，且AC ∥DE ，AB ∥CE ，点F 在边AC 上，且AF =CE ，连接BF ,DF ，DF 交CE 于点G ．(1)求证：BF =DF ；(2)如图2，若∠ACE =∠CDF ，求证：CE ⋅CF =BF ⋅DG ；(3)如图3，若延长BF 恰好经过点E ，求BC CD的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1+52【分析】(1)证明△ABF ≌△CAE ，得出BF =AE ，证明四边形AFDE 为平行四边形，得出AE =DF ，则可得出结论；(2)证明△FCG ∽△FDC ，得出CF DF =GF CF ，证明△FCG ∽△DEG ，得GF DG =CF DE ，则得出结论；(3)证明△ABF ∽△CEF ，得出AB CE =AF CF，设AB =x ,AF =CE =m ，解方程求出x ，则可得出答案．【详解】(1)∵AC∥DE,AB∥CE∴∠BDE=∠ACB,∠ABC=∠DCE,∠BAC=∠ACE ∵∠ABC=∠BDE∴∠ABC=∠BDE=∠ACB=∠DCE∴AB=AC,CE=DE在△ABF和△CAE中，又∵AF=CE∠BAC=∠ACE AB=AC∴△ABF≌△CAE(SAS)∴BF=AE∵CE=DE,AF=CE∴AF=DE∵AF=DE,AC∥DE∴四边形AFDE为平行四边形∴AE=DF∴BF=DF(2)∵∠CFG=∠CFD ∠ACE=∠CDF∴△FCG∽△FDC∴CF DF =GF CF又∵AC∥DE∴△FCG∽△DEG∴GF DG =CFDE，即GFCF=DGDE∴CF DF =DGDE．又∵DE=CE,DF=BF∴CF BF =DGCE，即CE⋅CF=BF⋅DG(3)∵∠ABC=∠DCE ∠ACB=∠EDC∴△ABC∽△ECD∴BC CD =AB CE∵AB∥CE，∴△ABF∽△CEF∴AB CE =AF CF∴AB⋅CF=AF⋅CE．设AB=x,AF=CE=m，则有x(x-m)=m2解得x=1+52m(负值舍去)∴BC CD =ABCE=1+52【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键．8.如图1，在矩形ABCO 中，OA =8，OC =6，D ，E 分别是AB ，BC 上一点，AD =2，CE =3，OE 与CD 相交于点F ．(1)求证：OE ⊥CD ；(2)如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长．【答案】(1)见解析；(2)CH 的长为6．【分析】(1)根据四边形ABCO 是矩形，可得OA =BC =8，OC =AB =6，根据勾股定理可得OE 和CP 的长，进而得EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE ⊥CD ；(2)在Rt △CBD 中，CB =8，BD =AB -AD =6-2=4，根据勾股定理可得CD =45，根据点G 是CD 的中点，可得CG =DG =25，所以得点G 是CP 的三等分点，根据OA ∥BC ，对应边成比例即可求出CH 的长．【详解】(1)∵四边形ABCO 是矩形，∴OA =BC =8，OC =AB =6，在Rt △OCE 中，CE =3，∴OE =OC 2+CE 2=62+32=35，∵AB ∥OC ，即AD ∥OC ，且AD =2，∴AD OC =P A PO ，∴26=P A P A +8，∴P A =4，∴PO =P A +OA =12，∴在Rt △OPC 中，OC =6，∴CP =OC 2+PO 2=62+122=65，∵OA ∥BC ，即OP ∥CE ，∴CE OP =EF OF =CF PF ，∴EF OF=CF PF =312=14，∴EF =15OE =355，CF =15CP =655，∵355 2+655 2=95+365=9，∴EF 2+CF 2=CE 2，∴△CEF 是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；(2)在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根据勾股定理，得CD=CB2+BD2=82+42=45，∵点G是CD的中点，∴CG=DG=25，由(1)知：CP=65，∴DP=CP-CD=25，∴点G是CP的三等分点，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴CH OP =CG GP，∴CH12=12，∴CH=6．答：CH的长为6．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．【题型03：母子型相似】9.【典例3】如图1，∠C=90，BC=6，tan B=43，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．(1)求AB的长．(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．【答案】(1)10(2)t=125或t=1811时，以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似(3)t=2或t=4017或t=5031时，△MNA为等腰三角形【分析】(1)根据三角函数解得即可；(2)分①当△MCN ∽△BCA 时和②当△MCN ∽△ACB 时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；(3)分①当AM =AN 时，②当AM =MN 时，③当MN =AN 时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．【详解】(1)解：∵∠C =90°,BC =6,tan B =43∴AC =8∴AB =BC 2+AC 2=62+82=10(2)解：解：①当△MCN ∽△BCA 时，∴MC BC =CN CA ，即6-t 6=2t 8，解得：t =125，②当△MCN ∽△ACB 时，∵MC AC =CN BC ，即6-t 8=2t 6，解得：t =1811，综上所述，t =125或t =1811时，以点M 、C 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，(3)解：①如图3，当AM =AN 时，10-3t =2t ，解得：t =2，②如图4，当AM =MN 时，过点M 作MD ⊥AC 于D ，则∠ADM =90°，AM =MN =10-3t ，AD =12AN =t ，∵∠ACB =90°，∴MD ∥BC ，∴△AMD ∽△ABC ，∴AM AB =AD AC ，即10-3t 10=t 8，解得：t =4017，③如图5，当MN =AN 时，过点N 作ND ⊥AB 于D ，则∠ADN =∠ACB =90°，AD =DM =12AM =12(10-3t )，∵∠A =∠A ，∴△ADN ∽△ACB ，∴AD AC =AN AB ，即12(10-3t )8=2t 10，解得：t =5031，综上所述，t =2或t =4017或t =5031时，△MNA 为等腰三角形【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用．10.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AD 上一点，且AB AC=AD CE ，∠BAD =∠ECA ．(1)求证：AC 2=BC •CD ；(2)若AD 是△ABC 的中线，求CE AC 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)22【分析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD ∽△ACE △，得∠B =∠EAC ，进而求出△ABC ∽△DAC ，再利用相似三角形的性质得出答案即可；(2)由△BAD ∽△ACE 可证∠CDE =∠CED ，进而得出CD =CE ，再由(1)可证AC =2CD ，由此即可得出线段之间关系．【详解】(1)证明：∵AB AC =AD CE ，∠BAD =∠ECA ，∴ΔBAD ∽ΔACE ，∴∠B =∠EAC ，∵∠ACB =∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AC CD =BC AC，∴AC 2=BC ·CD ．(2)解：∵△BAD ∽△ACE ，∴∠BDA =∠AEC ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BC =2BD =2CD ，∴AC 2=BC ·CD =2CD 2，即：AC =2CD ，∴CE AC =CD 2CD=22．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD ∽△ACE 是解题关键．11.如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．(1)如果△DEF 与△ABC 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为()A.2B.12C.2或12(2)已知：如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB =2AD , ∠ADE =∠B ．求证：△ABD 与△ADE 互为母子三角形．(3)如图2，△ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作EG ⎳BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若△AGE 与△ADC 互为母子三角形．求AG GF的值．【答案】(1)C ；(2)见解析；(3)AG GF=13或3．【分析】(1)根据互为母子三角形的定义即可得出结论；(2)根据两角对应相等两三角形相似得出△ABD ∽△ADE ，再根据AB =2AD 从而得出结论；(3)根据题意画出图形，分当G ,E 分别在线段AD ,AC 上时和当G ,E 分别在射线DA ,CA 上时两种情况加以讨论；【详解】(1)∵△DEF 与△ABC 互为母子三角形，∴DEAB=12或2故选：C(2)∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵∠ADE =∠B ，∴△ABD ∽△ADE ．又∵AB =2AD ，∴△ABD 与△ADE 互为母子三角形．(3)如图，当G ,E 分别在线段AD ,AC 上时，∵△AGE 与△ADC 互为母子三角形，∴CD GE =AD AG=2，∴AG =DG ，∵AD 是中线，∴BD =CD ，又∵GE ⎳BC ，∴△GEF ∽△DBF ．∴DF GF =DB GE =CD GE=2，∴DG =3GF ，∴AG GF=3．如图，当G ,E 分别在射线DA ,CA 上时，∵△AGE 与△ADC 互为母子三角形，∴CD GE =AD AG =2，∴AG =12AD =13DG ，∵AD 是中线，∴BD =CD ，又∵GE ⎳BC ，∴△GEF ∽△DBF ．∴DF GF =DB GE =CD GE=2，∴DG =GF ，∴AG GF =13．综上所述，AG GF =13或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．12.如图1，AB =AC =2CD ，DC ∥AB ，将△ACD 绕点C 逆时针旋转得到△FCE ，使点D 落在AC 的点E 处，AB 与CF 相交于点O ，AB 与EF 相交于点G ，连接BF ．(1)求证：△ABE ≌△CAD ；(2)求证：AC ∥FB ；(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．(温馨提示：请用简洁的方式表示角)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】(1)根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到CE=CD，根据AC=2CD，就能得到AE=CD，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上AB=AC，就可以通过边角边证明两个三角形全等．(2)根据旋转和第一小题的结论，可以得到BE=FE，然后用等角对等边即可得到∠EFB=∠EBF，又可以从前面的两个全等中得到∠EFC=∠EBA，∠OAC=∠OCA从而得到∠OFB=∠OBF，那么△ACO和△BOF就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即∠CAO=∠FOB，那么内错角相等，两直线平行即可证结论．(3)根据D，E，F在同一条直线上，可以证明△AEG和△CED全等，即可得到AG=12AB，那么EG就是中位线，则EG∥CB，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF是平行四边形，那么BC=AD，然后通过三角形外角的性质，可以证得∠ADE=∠ACD，就能证△ACD和△ADE是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】(1)解：∵将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，∴△FCE≌△ACD，∴CE=CD，∵AC=2CD，∴AC=2CE，∴AE=AC-CE=2CE-CE=CE=CD，∵DC∥AB∴∠DCA=∠EAB，在△ABE和△CAD中，∵AE=CD∠EAB=∠DCA AB=CA，∴△ABE≌△CAD SAS．(2)解：由(1)得BE=AD，∠ABE=∠CAD，∵△CEF≌△CDA，∴FE=AD，∠EFC=∠DAC，∴BE=FE，∠EFC=∠EBA，∴∠EFB=∠EBF，∵∠OFB=∠EFB-∠EFC，∠OBF=∠EBF-∠EBA，∴∠OFB=∠OBF，∵∠ECF=∠DCA，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OBF+∠OFB+∠BOF=180°，又∠AOC=∠BOF，∴∠OCA+∠OAC=∠OBF+∠OFB，即2∠CAO=2∠FOB，∴∠CAO=∠FOB，∴AC∥FB(3)解：在△AEG和△CED中，∵∠GAE=∠DCE AE=CE∠AEG=∠CED ，∴△AEG≌△CED ASA∴AG=CD=12AB，∵AE=CE，∴EG∥CB，∵AC∥FB，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC=FE=AD，∵∠AEG=∠ACD+∠CAD=∠DAE+∠ADE，∴∠ADE=∠ACD，∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴EA DA =DA CA，即DA2=EA⋅CA=2EA2，∴DA=2EA，∵AB=AC=2EA，∴AB BC =ABDA=2EA2EA=22=2．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键．【题型04：旋转相似】13.【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠P AQ=90°，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；(2)变式探究：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为210，CQ=22，请直接写出正方形ABCD的边长．【答案】(1)BP=CQ(2)BP=2AQ(3)6【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明△ABP≌△ACQ，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ 的数量关系；(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明△CBP∽△CAQ，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系；(3)连接BD，先由正方形的性质判断出△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出△BDP∽△CDQ，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．【详解】(1)解：∵△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴AP=AQ，∠BAP+∠P AC=∠CAQ+∠P AC，∴∠BAP=∠CAQ．在△ABP和△ACQ中，AB=AC∠BAP=∠CAQ AP=AQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴BP=CQ；(2)解：结论：BP=2AQ，理由如下：∵△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴QCPC=ACBC=22，∠ACB=∠QCP=45°．∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，∴∠BCP=∠ACQ，∴△CBP∽△CAQ，∴QCPC=ACBC=AQBP=22，∴BP=2AQ；(3)解：连接BD，如图所示，∵四边形ABCD与四边形DPEF是正方形，DE与PF交于点Q，∴△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，∴QDPD=CDBD=22，∠BDC=∠PDQ=45°．∵∠BDP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=45°，∴∠BDP=∠CDQ，∴△BDP∽△CDQ，∴QDPD=CDBD=CQBP=22．∵CQ=22，∴BP=2CQ=4．在Rt△PCD中，CD2+CP2=DP2，设CD=x，则CP=x-4，又∵正方形DPEF的边长为210，∴DP=210，∴x2+(x-4)2=(210)2，解得x1=-2(舍去)，x2=6．∴正方形ABCD的边长为6．【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．14.如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．(1)证明：四边形CEGF是正方形；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG=9，GH=32，求BC的长．【答案】(1)答案见解析；(2)AG=2BE；理由见解析；(3)BC=95 2．【分析】(1)先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG= 45°即可证明；(2)连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；(3)先证△AHG∽△CHA可得AGAC =GHAH=AHCH，设BC=CD=AD=a，则AC=a，求出AH=23a，DH=13a，CH=103a最后代入即可求得a的值．【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形．(2)结论：AG=2BE；理由：连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG=cos45°=22，CB CA =cos45°=22，∴CG CE =CA CB=2，∴△ACG ∽△BCE ，∴AG BE =CA CB=2∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =2BE ；(3)∵∠CEF =45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC =135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC =∠BEC =135°，∴∠AGH =∠CAH =45°，∵∠CHA =∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ，∴AG AC =GH AH=AH CH ，设BC =CD =AD =a ，则AC =2a ，由AG AC =GH AH ，得92a =32AH ，∴AH =23a ，则DH =AD -AH =13a ，CH =CD 2+DH 2=103a ，∴AG AC =AH CH ，得 92a =23a 103a ,解得：a =952，即BC =952．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．【题型05：K 字型相似】15.综合探究如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，□ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上，A 在y 轴上，OA =OC =2OB =4，直线y =x +t (-2≤t ≤4)分别与x 轴、y 轴、线段AD 、直线AB 交于点E 、F 、P 、Q ．(1)当t =1时，求证：AP =DP ．(2)探究线段AP 、PQ 之间的数量关系，并说明理由．(3)在x 轴上是否存在点M ，使得∠PMQ =90°，且以点M 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时t 的值以及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)PQ =22AP(3)t =73时，M 13,0 ；t =23时，M 143,0 ；t =-1时，M -7，0 ．【分析】(1)根据t =1，求出t =1与AD 交点P 的坐标，即可求解；(2)先求出直线AB 的表达式为y =2x +4，再联立直线AB 与直线y =x +t 求出Q (t -4,2t -4)，再求出点P (4-t ,4)，利用坐标系中两点距离公式求出即可PQ =22(t -4)，结合AP =4-t 即可求解；(3)证明△PHM ∽△MIQ ，得到PM QM =AO BO =2或PM QM =BO AO=12，分四种情况画图求解．【详解】(1)证明：由OA =OC =2OB =4知，OC =4，OB =2，则AD =BC =6，则点A 、B 的坐标分别为：(0,4)、(-2,0)，当y =4时，y =x +1=4，则x =3=12AD ，即点P (3,4)，∴AP =DP =3；(2)解：PQ =22AP ，理由：设直线AB 的表达式为：y =kx +b ，将A 0，4 、B -2，0 代入得：4=b 0=-2k +b ，解得：k =2b =4 ．∴直线AB 的表达式为：y =2x +4，联立上式和y =x +t 得y =x +t y =2x +4 ，解得x =t -4y =2t -4 ，即点Q (t -4,2t -4)，同理(1)可得，点P (4-t ,4)，∴PQ =t -4 -4-t 2+2t -4 -4 2=224-t∵AP =4-t ，∴PQ =22AP ；(3)分别过点P 、Q 作PH ⊥x 轴，QI ⊥x 轴，∴∠PHM =∠MIQ =90°，∵∠PMQ =90°，∴∠PMH +∠QMI =90°，∵∠MQI +∠QMI =90°，∴∠PMH =∠MQI ，∴△PHM ∽△MIQ ，∴PH MI =MH QI =PM QM，设点M (x ,0)，由(2)知，点P 、Q 的坐标分别为：(4-t ,4)、(t -4,2t -4)，①若m >0，如图2，则MI =m -(t -4)，MH =4-t -m ，QI =2t -4，当△PMQ ∽△AOB 时，∴PM QM =AO BO=42=2，∴PH MI =MH QI=2．∴PH =2MI ，MH =2QI ，联立方程组：4=2m -(t -4) 4-t -m =2(2t -4) ，解得：m =13t =73∴t =73时，M 13,0 ，②若m >0，MI =m -(t -4)，MH =m -(4-t )，QI =4-2t ，如图3，当△QMP ∽△AOB 时，∴PM QM =BO AO=24=12∴PH MI =MH QI =12∴2PH =MI ，2MH =QI ，联立方程组：2×4=m -(t -4)2m -(4-t ) =4-2t ，解得m =143t =23．∴t =23时，M 143,0 ③若m <0，当△PMQ ∽△AOB 时，如图4，MI =(t -4)-m ，MH =(4-t )-m ，QI =4-2t ，∴PM AO =QM BO ，∴PM QM =AO BO=42=2，∴PH MI =MH QI =2∴PH =2MI ，MH =2QI ，联立方程组：4=2(t -4)-m 4-t -m =2(4-2t )，解得：m =-7t =-1 ∴t =-1，M -7，0④m <0，△QMP ∽△AOB 的情况不存在，综上，t =73时，M 13,0 ；t =23时，M 143,0 ；t =-1时，M -7，0 ．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．16.如图，边长为10的等边△ABC 中，点D 在边AC 上，且AD =3，将含30°角的直角三角板(∠F =30°)绕直角顶点D 旋转，DE 、DF 分别交边AB 、BC 于P 、Q ，连接PQ ．当EF ∥PQ 时，DQ 长为()A.6B.39C.10D.63【答案】B【分析】证明△ADP ∽△BPQ ，由相似三角形的性质得出AD BP =AP BQ =DP PQ ，求出BP =6，CQ =2，过点Q 作QM ⊥AC 于点M ，由勾股定理可求出答案．【详解】解：∵∠F =30°，∴∠E =60°，∵EF ∥PQ ，∴∠DPQ =∠E =60°，∠DQP =∠F =30°，∴∠APD +∠BPQ =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠B =60°，AC =BC =AB =10，∴∠APD +∠ADP =120°，∴∠BPQ =∠ADP ，∴△ADP ∽△BPQ ，∴AD BP =AP BQ =DP PQ，∵∠PDQ =90°，∠DQP =30°，∴PD =12PQ ，∴3 BP =APBQ=12，∴BP=6，∴AP=4，BQ=8，∴CQ=2，过点Q作QM⊥AC于点M，∴CM=12CQ=1，QM=3，∵CD=AC-AD=10-3=7，∴DM=CD-CM=7-1=6，∴DQ=DM2+QM2=62+(3)2=29．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明△ADP∽△BPQ是解题的关键．17.(1)问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP ⋅BP．(2)探究若将90°角改为锐角(如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．(3)应用如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)成立；理由见解析；(3)5【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(3)证明△ABD∽△DFE,求出DF=4，再证△EFC∽△DEC,可求FC=1,进而解答即可．【详解】解：(1)证明：如图1，∵∠DPC=90°∴∠BPC+∠APD=90°，∵∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∴∠APD=∠BPC，又∵∠A=∠B=90°∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；(2)结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=α，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=α，∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；(3)∵∠EFD=45°,∴∠B=∠ADE=45°,∴∠BAD=∠EDF,∴△ABD∽△DFE∴AB:DF=AD:DE∵Rt△ADE是等腰直角三角形∴AD:DE=1:2∴AB:DF=1:2∵AB=22∴DF=4∵Rt△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=45°∵∠EFD=45°∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°又∵∠C=∠C∴△DEC∽△EFC∴DC:EC=EC:CF即EC2=FC⋅(4+FC)∵EC=5∴5=FC(4+FC)∴FC=1解得CD=5．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC =mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．(1)探究发现：如图1，若m =n ，点E 在线段AC 上，则DE DF =；(2)数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则DE DF =(用含m ，n 的代数式表示)；②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)拓展应用：若AC =5，BC =25，DF =42，请直接写出CE 的长．【答案】(1)1；n m ；(2)①n m ；②n m ；(3)CE =25或CE =255【分析】(1)先用等量代换判断出∠ADE =∠CDF ，∠A =∠DCB ，得到△ADE ∽△CDF ，再判断出△ADC ∽△CDB 即可；(2)方法和1 一样，先用等量代换判断出∠ADE =∠CDF ，∠A =∠DCB ，得到△ADE ∽△CDF ，再判断出△ADC ∽△CDB 即可；(3)由2 的结论得出△ADE ∽△CDF ，判断出CF =2AE ，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：1 当m =n 时，即：BC =AC ，∵∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠DCB ，∵∠FDE =∠ADC =90°，∴∠FDE -∠CDE =∠ADC -∠CDE ，即∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ，∴DE DF =AD DC，∵∠A =∠DCB ，∠ADC =∠BDC =90°，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD DC =AC BC=1，∴DE DF =12 ①∵∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠DCB ，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE DF =AD DC，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD DC =ACBC=nm，∴DEDF=nm②成立.如图3，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE DF =AD DC，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD DC =ACBC=nm，∴DE DF =n m．3 由2 有，△ADE∽△CDF，∵DE DF =ACBC=12，∴AD CD =AECF=DEDF=12，∴CF=2AE，如图4图5图6，连接EF．在Rt△DEF中，DE=22，DF=42，∴EF=210，①如图4，当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC-CE=25-CE，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+25-CE2=40∴CE=25，或CE=-255(舍)②如图5，当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC+CE=25+CE，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+25+CE2=40，∴CE=255，或CE=-25(舍)，③如图6，当E在CA延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2CE-AC=2CE-5，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+2CE-52=40，∴CE=25，或CE=-255(舍)，综上：CE=25或CE=25 5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．。

相似三角形模型总结以及例题
相似三角形模型是同一个三角形被两次放大或缩小的一种模型，具有
以下特点：
1. 比较定理：三条边的比值相等，两个三角形都是一样的形状，只有
大小不同。

2. 角平分线定理：若两个三角形相似，则其中一角被平分线分割，得
到的两条边构成另一个三角形，且两个三角形也是相似的。

3. 中位线定理：若两个三角形相似，则其中一角的一边被中线分割，
形成的两个三角形，也是相似的。

理解相似三角形模型，最重要的是理解它的边和角之间的关系。

例题：若两个三角形的边比例是2:3:4和8:24:32，则它们是否相似？
答案：是的，它们是相似的。

由比较定理可知，若两个三角形的边比
例满足x:ax:ax^2关系，则它们是相似的，而2:3:4 = 8:24:32，满足
x:ax:ax^2关系，所以它们是相似的。

WORD 格式可编辑相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180°∽平行型平行型翻折 180°翻折 180°一般特殊翻折 180°斜交型斜交型特殊一边平移一般平移特殊双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】“平行型”【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ，则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FFM M : S四边形 MM C B _________1 1 1 1 1 1AE E1FF 1MM1B CWORD 格式可编辑【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____A DE FMNB C【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H求证： PE PHPF PGG D CE PFA B H【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且AE2, BE、 CD相交于点 F ，求BF的值ECEF ADF EB C【例 5】已知：在ABC 中， AD 1AB，延长 BC到F ,使CF1BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3求证：① DE EF ② AE 2CEADEB专业知识分享【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形ACDEB F【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1 .c a bACEB F D【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.CAEB F D【例 9】如图，四边形ABCD中，B D90M是AC上一点，ME AD于点EMF BC，，于点 F 求证：MFME 1AB CDDEMA CFB【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CFAEDBC F 【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,求证： CP CQDEP QA C B【例 12】阅读并解答问题 .在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法如下：ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，第一步：画一个有三个顶点落在第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D四边形 DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在 ABC 中，如果BC 6 3，ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长AG FG'F'E CWORD 格式可编辑“平行旋转型”图形梳理：E'F'AAAF'E'AEF'EFFFEE'FEF'BCBCBBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’CAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘F ’特殊情况： B 、 E'、 F '共线AAEF' EF'E'FE'FBC B CAEF 旋转到 AE ‘ F ’ AEF 旋转到 AE ‘ F ’C ， E'， F '共线E'AE'AEFEF'FF'BCBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’【例 13】已知梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线AC 、 BD 互相垂直，则①证明： AD 2 BC 2AB 2 CD 2ADOB CWORD 格式可编辑【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度（090 ），问上面的结论是否成立，请说明理由DAOB C【例 15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.A DGFB CE“斜交型”【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACDAFD EB C【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CE BE ，AD ，CE 相交于 M ，求证 : EAM : ECAAEMB DC AGF BE【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBDADOB C【例 19】如图，设ABBCCA，则 1 2 吗？AD DE EAA1 DE2B C【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高AEB D C【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1，作CH AD，H为垂足，连结BH。

相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

第一部分相似三角形知识要点大全知识点 1. ．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。

（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读 ：（ 1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（ 2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（ 3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例 1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。

因为它们的形状相同，大小不一定相同．例 2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角 80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是 100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________( 填序号 ) ．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形， 而圆、正多边形、 顶角为 100°的等腰三角形的形状不唯一， 它们都相似． 答案：②⑤⑥．知识点 2．比例线段对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．bd解读 ：（ 1）四条线段 a,b,c,d成比例，记作a c（或 a:b=c:d ），不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性．（ 2）在比例式a c（或 a:b=c:d ）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项， dbd是第四比例项．（ 3）如果比例内项是相同的线段，即a bb或 a:b=b:c ，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。

c(4) 通常四条线段 a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便， a 和 b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例 3．已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a． b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．b例 4．已知 a,b,c,d成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= 3dm ，求 c 的长度．2分析：由 a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d ，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c ．知识点 3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读 ：（ 1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （ 2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例 5．若四边形 ABCD 的四边长分别是 4， 6，8， 10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A 1B 1C 1D 1 的最大边长为 30，则四边形 A 1B 1C 1D 1 的最小边长是多少？分析：四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长． 知识点 4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读 ：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；（ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （ 4）相似用“∽”表示，读作“相似于” ；（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意 ：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△ A 1B 1C 1，相似比为 k, 若△ A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为1。

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t=秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．时，△CPQ与△CBA相似．．图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，相似三角形全章节教案和练习比例线段一，线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型”【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形M 1F 1E 1M E F A BC【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =M N A BCD E F【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H求证：PE PHPF PG=PHGFEDCBA【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且2AEEC=,BE 、CD 相交于点F ，求BFEF的值【例5】 已知：在ABC ∆中，12AD AB =，延长BC 到F ,使13CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE =ABCDFEFE DCBA【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC =求证：CEF ∆为等腰三角形FEDCBA【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC⊥于点F求证：1MF MEAB CD+= ABCDEF M【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F求证：AE BF BE CF ⋅=⋅FEDC BA【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q ,求证：CP CQ =QPEDC BA【例12】 阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在ABC ∆中，如果6BC =+45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长G'F'E'D'ABCDEFG“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEF E'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则①证明：2222AD BC AB CD +=+OAB CD【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是否成立，请说明理由DCB AO【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求::AG DF CE =_________.ABEF GGFEDCBA“斜交型”【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且2AD AF AB =⋅，求证：AEF ACD ∆∆:F ED CBA【例17】 如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，求证:EAM ECA ∆∆:M E D C B A【例18】 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ∠=∠,求证：DAC CBD ∠=∠ODCBA【例19】 如图，设AB BC CAAD DE EA==，则12∠=∠吗？ 21ABCDE【例20】 在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，ABC ∆和BDE ∆的面积分别等于18和2，2DE =，求AC 边上的高ABCDE【例21】 如图，在等边ABC ∆的边BC 上取点D ，使21=CD BD ，作CH AD ⊥，H 为垂足，连结BH 。

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而 其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。