初中数学奥林匹克训练题(二)及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。

2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。

两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。

两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。

3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。

4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。

7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。

数学奥林匹克初中训练题(2)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于 ( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%m n ( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+45+ (D)5( )5.设p =.其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y +=,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第 二 试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a ab b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC的外接圆与ΔIOH的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)。

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP=S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，②AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD＝1，BC＝3，DC＝ 2 ，试判断△ DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△ PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ ABN≌ △ADN；②若∠ ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ ABC = 90 °，记点M运动所经过的路程为x （6≤x≤12）试问：x为何值时，△ ADN为等腰三角形.3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动” ．正方形ABCD和点P，P 点关于 A 左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2 关于C左转弯运动到P3，P3 关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，⋯⋯．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1 的位置；（2）P 两点的坐标为（0，4）、（ 1 0三点的坐P由。

（3）以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A、A4、如图 1 和 2，在 20×20 的等 QAC 的面积为 y.(1) 如图 1，当 Rt △ABC 向下平移到 Rt △A 1B 1C 1 的位置时，请你在网格中画出 Rt △A 1B 1C 1关于直线 QN 成轴对称的图形；(2) 如图 2，在 Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与 x 的函数关系式， 并说明当 x 分别取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多 少？ (3)在 Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当 x 取何值时， y 取得最大值和 最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ ABC 中， AB=AC ，∠ B 、∠C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥BC 交 AB 、 AC 于 E 、F ．(1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF 与 BE 、CF 之间有怎样的关系，并说 明理由．(2) 如图②，若 AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ?如果有， 分别指出它们．在第 (1) 问中 EF 与 BE 、CF 间的关系还存在吗 ?(3) 如图③，若△ ABC 中∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、CF6、已知，如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC,D 为 AC 上一点，且 ∠ BDC=12°4 ，延长 BA 到点 E ，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F ， 求∠ E 的度数。

数学奥林匹克初中训练题（6套）综述数学奥林匹克初中训练题(1)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第二试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25ab c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第二试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a ab b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=??++=?的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第一试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第二试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。

F EA DCB 初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。

(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD ＝1，BC ＝3，DC ＝2，试判断△DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .①求证：△ABN ≌△ADN ；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断△ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。

(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．B AO4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠Ｃ的平分线交于O点，过O点作EF∥BC 交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF 关系又如何?说明你的理由。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。

(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD＝1，BC ＝3，DC DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .①求证：△ABN ≌△ADN ；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。

(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C 与点P 重合时，Rt △ABC 停止移动.设运动时间为x 秒，△QAC 的面积为y .（1）如图1，当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B 1C 1的位置时，请你在网PDCBAO NM图1图2格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO 交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。

F EA DC B 初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F,EF ＝EC ，连结DF 。

（1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；（2）若AD ＝1，BC ＝3，DC 2DCF 的形状；（3）在条件（2)下,射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形,若存在，请直接写出PB 的长；若不存在,请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .(1）如图25－1,当点M 在AB 边上时，连接BN 。

①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC = 60°,AM = 4，求点M 到AD 的距离； (2)如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形。

3、对于点O 、M ,点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1,P 1关于B 左转弯运动到P 2,P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2)连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。

(3）以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系,并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0,4）、(1，1),请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等PBAON距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中,Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时,Rt△ABC停止移动。

数学奥林匹克初中训练题2第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.若x 、y 、z 均为实数,且满足1))(())(())((=++++++++z y y x zx y x x z yz x z z y xy , 则x 、y 、z 的取值情况是( ).(A)全为正数 (B)全为非负数 (C)全为负数 (D)有且仅有一个为零2.如图,在钝角△ABC 中,BC=1,∠A=30°,D 为边BC 的中点,G 为△ABC 的重心.若B 、C 为定点,当点A 运动时,线段GD 长度的取值范围是( ).(A)0<GD ≤613 (B)61<GD<613 (C)0<GD ≤632+ (D) 61≤GD ≤652+ 3.设a 、b 为正整数,且a+b 、a+5、b-2是某个直角三角形的三边长.则正整数对(a,b)的个数是( )个.(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.已知抛物线y=a x 2+bx+c(a>0)与直线y=k(x-1)-4k 2.无论k 取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ).(A)y=x 2 (B)y=x 2-2x (C)y=x 2-2x+1 (D)y=2x 2-4x+25.若x 为实数,记{x}=x-[x]([x]表示不超过x 的最大整数),则方程2006x+{x}=00721的实根的个数是( ).(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的整数6.如图,正方形ABCD 内接于⊙O,P 为劣弧CD 上一点,PA 交BD 于点M,PB交AC 于点N,记∠PAC=θ.若MN ⊥PA,则2cos 2θ-tan θ的值等于( ). (A)1 (B)2／2 (C)1／2 (D)2／4 二、填空题(每小题7分,共28分)1.已知x 、y 为实数,且满足(x+008 2x 2+)(y+008 2y 2+)=2 008.则x 2-3xy-4y 2-6x-6y+2 008的值等于 .2.设实数a 、b 、c 满足a+b+c=0,abc=2.则u=|a|3+|b|3+|c|3的最小值为 .3.在直角坐标平面内,已知A(-3 ,0)、B(3 ,0),点P 在直线y=33(x+4)+1上运动.当∠APB 最大时,PBPA 的值为 . 4.设Rt △ABC 的三边长分别为a 、b 、c,且a<b<c.若2017=+++b c a a c b .则a ∶b ∶c= .第二试一、(20分)已知m 、n 均为正整数,且m>n,2006m 2+m=2 007n 2+n.问m-n 是否为完全平方数?并证明你的结论.二、(25分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD=12,E 是边CD 上一点,且45ED CE .设过A 、B 、C 、E 四点的⊙O 1的半径为R 1,过A 、C 、D 三点的⊙O 2的半径为R 2,且边BC 与⊙O 2相切.(1)求边CD 的长;(2)求21R R 的取值范围.三、(25分)求实数a的值,使得函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图像为中心对称图形.数学奥林匹克初中训练题2参考答案第一试一、1.D.显然,(x+y)(y+z)(z+x)≠0.去分母得xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=(x+y)(y+z)(z+x).化简整理得xyz=0.所以,x 、y 、z 中至少有一个为零.若x 、y 、z 中有两个或三个为零,则x+y 、y+z 、z+x 中至少有一个为零,等式无意义. 故x 、y 、z 中有且仅有一个为零.2.B.因为∠A= 30°,且△ABC 为钝角三角形,所以,点A 在如图所示的不含端点的弧A 1B 、弧A 2C 上(其中,A 1B ⊥BC,A 2C ⊥BC).设G1为Rt △A 1BC 的重心,则31BD<GD<G1D. 易知A 1B= 3 ,则G1D=31A 1D=613.又31BD=1/6,所以,1/6<GD<613. 3.A.若a+b 为斜边长,则(a+b)2=(a+5)2+(b-2)2,即 2(ab-5a+2b)=29.上式左边为偶数,右边为奇数,矛盾.若a+5为斜边长,则(a+5)2=(a+b)2+(b-2)2,即 2(5a-ab-b 2+2b)=-21.矛盾.若b-2为斜边长,则(b-2)2=(a+b)2+(a+5)2,即 2(a 2+ab+5a+2b)=-21.矛盾.故满足条件的正整数对(a,b)不存在.4.C.由y=a x 2+bx+c,y=k(x-1)-k 2/4得a x 2+(b-k)x+c+k+k 2/4=0.①由题设知,方程①有两个相等的实根,则Δ=(b-k)2-4a( c+k+k 2/4)=0,即(1-a)k 2-2(2a+b)k+b 2-4ac=0.因为k 为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x 2-2x+1.5.C.因为x=[x]+{x},所以,原方程可化为2 006[x]+2 007{x}=1/2 007.又0≤2 007{x}<2 007,所以,[x]=-1或[x]=0.若[x]=-1,则{x}=2007 21007 2006 2+⨯=22007 21007 2-007 2+=1-20072006 2<1. 所以,x==-20072006 2. 若[x]=0,则{x}=1/2 0072,即x=1/2 0072.综上所述,x 1=-2 006/2 0072,x 2=1/2 0072.6.A.设⊙O 的半径为1,则AC=2.如图,联结PC.则∠APC=90°.从而,PA=ACcos θ=2cos θ. 在Rt △AOM 中,AM=OA/cos θ=1/cos θ;在Rt △AMN 中,MN=AM/tan θ=tan θ/cos θ;在Rt △PMN 中,因为∠MPN=∠APB=∠ADB=45°,所以,PM=MN=tan θcos θ.又AM+PM=PA,得1/cos θ+tan θ/cos θ=2cos θ.故2cos 2θ-tan θ=1.二、1.2 008.由题设得 (x+008 2x 2+))=2 008/(y+008 2y 2+).分母有理化得 x+008 2x 2+=008 2y 2+ -y.①同理,y+008 2y 2+=008 2x 2+-x.②①+②得x+y=0.故x 2-3xy-4y 2-6x-6y+2 008=(x+y)(x-4y)-6(x+y)+2 008=2 008.2.10.由题设知,a 、b 、c 必为一正两负.不妨设a>0、b<0、c<0.因为b+c=-a,bc=2/a,所以,b 、c 为方程x 2+ax+2/a=0的两个负根.于是,有Δ=a 2-8/a ≥0.解得a 3≥8.故u=a 3-b 3-c 3=a 3-(b+c)[(b+c)2-3bc]=a 3+a (a 2-6/a)=2a 3-6≥2×8-6=10.当且仅当a 3=8,即a=2时,上式等号成立.此时,b=c=-1.因此,u 的最小值为10. 3. 3 -1.如图,设直线与x 轴的交点为M.由平面几何知识即知,要使∠APB 最大,则过A 、B 、P 三点的圆必和直线相切于点P.因为∠MPA=∠MBP,所以,△MPA ∽△MBP.则有PA/PB=MP/MB.又由切割线定理得MP 2=MA·MB.故PA/PB=22MBMP =MA/MB. 因M(-4- 3 ,0)、A(-3,0)、B(3,0),所以, MA=4,MB=4+23.故PA/PB=3-1.4.8:15:17因为c 2-a 2=b 2,c 2-b 2=a 2,所以,a b c b a c bc b c a a c a c b b c a a c b -+-=--+--=+++=2222)()(2017 abc b a c ab b a b a c )()()(22-+=+-+= 又ab=2)(2)b (a -b)(a 222222c b a -+=++=21 (a+b+c)(a+b-c), 所以, cb ac ++=22017,即17(a+b)=23c. 两边平方得289(a 2+2ab+b 2)=529c 2=529(a 2+b 2).整理得(15a-8b)(8a-15b)=0.所以,a/b=8/15或a/b=15/8.又82+152=172,且a<b<c,故a ∶b ∶c=8∶15∶17.第二试一、m-n 为完全平方数.证明如下:设m=n+k(k 为正整数).代入2 006m 2+m=2 007n 2+n,得n 2-2×2 006kn -(2 006k 2+k)=0.因为n 为正整数,所以,Δ=4(2 006k)2+4(2 006k 2+k)为完全平方数.故Δ/4=k[(2 0062+2 006)k+1]为完全平方数.又因(k,(2 0062+2 006)k+1)=1,所以,k 与(2 0062+2006)k+1均为完全平方数.故m-n 为完全平方数.二、(1)因为BC 是⊙O 2的切线,所以,∠ACB=∠CDA.又AB ∥CD,则∠BAC=∠ACD.所以,△ABC ∽△CAD.从而,∠ABC=∠CAD.故AD 是⊙O 1的切线.由切割线定理得AD 2=DE ·DC.则122=94D C 2.解得CD=18. (2)由(1)知,△ABC ∽△CAD,CD=18.所以, R 1/R 2=AC/CD,即R 1/R 2=A C/18.因为6=CD-AD<AC<CD+AD=30,所以,1/3< R 1/R 2<5/3.又AC ≠CD(否则,四边形ABCD 为平行四边形),所以,R 1R 2≠1.故R 1R 2的取值范围是1/3< R 1/R 2<5/3,且R 1R 2≠1.三、为叙述方便,用max{a 1,a 2,…,a n }、min{a 1,a 2,…,a n }分别表示a 1,a 2,…,a n 中的最大数和最小数.当x ≤min{a-1,3}时,有f(x)=(x+a)(-2x+a+2)-2x+4a=-2x 2-ax+a 2+6a.当x ≥max{a-1,3}时,有f(x)=(x+a)(2x-a-2)-2x+4a=2x 2+(a-4)x-a 2+2a.当min{a-1,3}<x<max{a-1,3}时,f(x)为一次函数.可见,函数f(x)的图像在左、右两边为两段抛物线弧,而在中间这一段上为一条线段.当且仅当它的对称中心为中间这一线段的中点M,且左、右两端抛物线弧的顶点A 、B 也关于点M 对称时,函数f(x)的图像为中心对称图形.因为x M =231)-(a +=22a +,x A =-a/4,x B =-44-a , 所以,2x x B A + =xM,即-84-a a +=22a +. 解得a=-2/3.经检验,a=-2/3满足要求.。