流体力学2.7 不可压无旋流动的基本方程

m y 2 2 2 x y
天津大学力学系 方一红
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A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
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11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
天津大学力学系 方一红
2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
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2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
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a ln r , a
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速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C

数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
9
绕无限翼展的流动(平面流动)
10
绕有限翼展的流动(三维流动)
11
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
V
x
m
2
x2
x
y2
V
y
m
2
x2
y
y2
i
38
V
y
m
2
y x2 y2
V
m
2
x2
1
y2
y
C
Ψ＝0时，为零流线，即绕流
的边界线
y0
x2 y2 m
2V
当r a m 时，为圆柱定常绕流的流线
2V
39
V
y
m
2
y x2 y2
V
m
2
x2
1
y2
y
C
m a
2V
y r sin
m
V y 2
y x2 y2
V
1
a2 r2
r
s in
V
x
m
2
x x2 y2
V
1
a2 r2
r
cos
40
V
x
m
2
x x2 y2
V
1
a2 r2
r
cos
ur
r
V 1
a2 r2
cos

ϕ = xV∞ cos α + yV∞ sin α + c1 ∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −V∞ sin α dx + V∞ cos α dy
∂x ∂y
ψ = − xV∞ sin α + yV∞ cos α + c2
令通过原点的流函数及势函数及势函数的值为零，则 c1 = c2 = 0 ，最后得到均匀场速度势与流函数为
V×V = 0
将V = ∇ϕ 及 V = ∇ψ × k 代入，得
V × V = ∇ϕ × (∇ψ × k ) = (∇ϕ ⋅ k )∇ψ − (∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = −(∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = 0
∇ϕ ⋅ ∇ψ = 0
所以
§ 9-4 不可压理想流体平面无旋流动的 复势与复速度
一.复势与复速度
2 2
1 d[(x − x0 ) +(y − y0 ) ] 2 2 σ 1 2 d ln σ 2
Γ φ = ∫ dφ + const = − ln σ + const 2π Γ ln σ φ= − 2π y − y0 Γ arctg ϕ= 2π x − x0 Γ ' ϕ= ε 2π
Γ ' ⎛ Γ ⎞ χ = ϕ + iφ = ε + i ⎜ − ln σ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ iΓ ⎡ iε ⎤ =− ln σ + ln e ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ iΓ iε =− ln σ e 2π iΓ =− ( z-z0 ) 2π iΓ χ ( z ) = − ( z-z0 ) 2π
一、流函数的定义
∂ρ + ∇i( ρV ) = 0 ∂t ∇iV = 0 ∇i( ρV ) = 0 ∂ = 0 ,Vz = 0 ∂z 1 ⎛ ∂h2 ρV1 ∂h1ρV2 ⎞ ∇iV = + ⎜ ⎟=0 h1h2 ⎝ ∂q1 ∂q2 ⎠

流体流动流体特性→流体静力学→流体动力学→流体的管内流动gΔZ+Δu2/2+Δp/ρ=W e-∑h f静压能：p/ρ，J/kg静压头：p/(ρg)，m流体密度：ρ，kg/m3 ,不可压缩流体与可压缩流体压强差：Δp，Pa, mmHg,表压强，绝对压强，大气压强，真空度流体静力学基本方程：gΔz+Δp/ρ=0或p1/ρ+gZ1=p1/ρ+gZ1或p=p A+hρg应用：U型压差计gΔZ+Δu2/2+Δp/ρ=W e-∑h f位能：gZ，J/kg位头：Z，m截面的选择基准面的选定gΔz+Δu2/2+Δp/ρ=W e-∑h f动能：u2/2，J/kg动压头(速度头)：u2/(2g)，m流速：u, m/s当两截面积相差很大时，大截面上(贮液槽)u≈0流体在圆管内连续定态流动：u2=u1(d1/d2)2体积流速：q v, m3/s q v=uA质量流速：q m, kg/s q m=q vρ=uAρ流速测定：变压差(定截面)流量计：测速管/孔板/文丘里u=C(2Δp/ρ)1/2=C[2R(ρA-ρ)g/ρ]1/2孔板C=0.6-0.7；测速管/文丘里C=0.98-1.0变截面(定压差)流量计：转子流量计gΔZ+Δu2/2+Δp/ρ=W e-∑h f管路总阻力：∑h f=h f+h f’，J/kg；总压头损失：H f=∑h f/g，m对静止流体或理想流体：∑h f=0直管阻力：h f=λ.L/d.u2/2局部阻力：h f’=ζu2/2 (阻力系数法)或h f’=λ.L e /d.u2/2 (当量长度法)(进口：ζ=0.5；出口：ζ=1)雷诺准数：Re=duρ/μ, 流型判断管内层流：Re≤2000ur=Δp f/(4μL).(R2-r2), u=u max/2；λ=64/Re管内湍流：Re>2000λ=0.3164/Re0.25 (光滑管)λ=f(Re,ε/d)(粗糙管)牛顿黏性定律：τ=μ(du/dy)当量直径：d e=4流通面积/润湿周边长度gΔZ+Δu2/2+Δp/ρ=W e-∑h f有效功(净功)：W e，J/kg；有效压头：H e=W e/g，m有效功率：P e=W e q m,W功率：P=P e/η非均相混合物分离及固体流态化非均相混合物(颗粒相+连续相)→相对运动(沉降/过滤)→分离颗粒相+连续相→固体流态化→混合沉降沉降(球形颗粒)：连续相：气体/液体颗粒受力：（重力/离心）场力-浮力-阻力=ma沉降速率重力沉降离心沉降ζ=f(Re t,υs)，Re t=du tρ/μ<10-4-1(层流区),ζ=24/ Ret离心分离因数沉降设备设计沉降条件：θ≥θt重力沉降：降尘室离心沉降：旋风分离器生产能力qv=blu t q v=hBu i(q v与高度无关)n层沉降室q v=(n+1)blu t过滤（滤饼过滤）恒压滤饼过滤(忽略过滤介质阻力)K过滤常数：K=2k(Δp)1-s, m2/s；*K取决于物料特性与过滤压差;单位过滤面积所得的滤液体积q=V/A，m3/m2；单位过滤面积所得的当量滤液体积q e=V e/A，m3/m2；s-滤饼的压缩性指数每得1m3滤液时的滤饼体积υ(1m3滤饼/1m3滤液)体积为V W的洗水所需时间θW = V W/(dV/dθ)W过滤机的生产能力(单位时间获得的滤液体积)间歇式连续式Q=V/T=V/(θ+θW+θD)若V e可忽略转筒表面浸没度ψ=浸没角度/3600转筒转速为n-- r/min，过滤时间θ=60 ψ/n传热传热方式及定律热传导：傅立叶定律对流：牛顿冷却定律辐射；斯蒂芬-波耳兹曼定律：E b=σ0T4=C0(T/100)4传热基本方程Q=KS△t m换热器的热负荷用热焓用等压比热容用潜热两平行灰体板间的辐射传热速度Q1-2Q1-2=C1-2S[(T1/100)4-(T2/100)4对流和辐射联合传热总散热速率：Q=Q c+Q R=αTS w(t w-t b)αT=αc+αR恒温传热△t m=T-t变温传热：平均温差*逆流和并流错流和折流温差校正系数=f(P,R)传热单元数法计算确定C min→NTU,C R→ε→由冷热流体进口温度和ε→冷热出口温度传热表面积S=Q/(K△t m)热传导和对流联合传热总传热系数R so,R si垢阻；壁阻对流传热系数αi,αo流体有相变时的对流传热系数层流膜状冷凝时：努塞尔特方程湍流液膜冷凝时：水平管外液膜冷凝时：液体沸腾传热系数：罗森奥公式：α=(Q/S)/Δt蒸发蒸发器的热负荷Q，kJ/hQ=D(H-h c)=WH’+(F-W)h1-Fh c+Q L冷凝水在饱和温度下排出Q=Dr=WH’+(F-W)h1-Fh0+Q L溶液稀释热可忽略D=[Wr’ +Fc0(t1–t0)+Q L]/rr’=(H’-c W t1)近似可作为水在沸点t1的汽化热。