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《运筹学考研试题》PPT课件

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运筹学(二)PPT课件

运筹学(二)PPT课件

y1
a22 y2
a22 y2
a32 y3
c2
st. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c3
y1a, 1y32y,1
a23 y2, y3
y2
0
a23 y2
a33 y3
c3
令y2 y2 y2, y3 y3，则有：
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
第二章
线性规划的 对偶理论与灵敏度分析
主要内容：
第一节 线性规划的对偶问题 第二节 对偶问题的基本性质 第三节 影子价格 第四节 对偶单纯形法 第五节 灵敏度分析
第一节
线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
例1（回顾第一章）：美佳公司计划制造 Ⅰ，Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A,B的台时、调试时间、 调试工序及每天可用于这两种家电的能力、 各售出一件的获利情况，如表1-1所示。 问该公司应制造两种家电各多少件，使获 取的利润为最大。
表1-1
项目
Ⅰ
设备A（h)
0
设备B （h)
6
调试工序（h) 1
利润（元）
2
Ⅱ
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
设x1, x2 分别代表Ⅰ，Ⅱ两种家电的生产量， 此问题的数学模型为：
目标函数 约束条件
max z 2x1 x2
5 x2 15
st
.6
x1 2 x1
x2 x2
24 5
x1 , x2 0
min w 15 y1 24 y2 5 y3
5 x2 15
st
.
6
x1 x1

运筹学复习ppt课件

运筹学复习ppt课件

算
bj
3/0
88/5
4/0
6/1
列差 1 111115155 22222828 333332322
4
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
B4
ai 行差
尔 A1 3 2 5 9 0 10 1 7 9/6 5 252 2
法 A2 0 1 0 3 0 4 5 2 5/0 1 11
计
A3 0 8 3 4 4 2 0 5 77/3/3/0 2 222 1
max w 4 y1 3 y2
y1 2 y2 2
y1
y2
3
2 y1 3 y2 5
y1
y2
2
3
y1
y2
3
y1 0, y2 0
min z 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
x1
x2
2 x3
x4
3 x5
4
2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3
算
bj
3/0
88/5
4/0
6/1
列差 1 1 115 5 2 228 3 332 2
5
得到产销平衡运输问题的一个初始方案.
B1
B2
A1 3 2 5 9
B3
B4
ai
10 1 7 9
A2
1
3
452 5
A3
8 3 442
57
bj
3
8
4
6
可以得到基可行解对应的位势方程组是：
u1 v1 2
u1
v2
9
增加如下割平面，
1 2
1 2
x3
1 2

运筹学复习提纲分解PPT课件

运筹学复习提纲分解PPT课件

3
v1
5
2
v4 5
2
1
3
1
5
v3
v5
第32页/共40页
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
第28页/共40页
28
§3
复杂情况下的目标规划
例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一
件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3
工时。A、B产品的单位利润分别为260元和125元。为了最
大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高
负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也
（*）并整理得
50 c2
+
• 假若产品Ⅰ、Ⅱ的利润均改变，则可直接用式（*）来 判断。
• 假设产品Ⅰ、Ⅱ的利润分别为60元、55元，则
- 2 - (60 / 55) - 1
那么，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100第，8页x/共24=0页 200 。
23
17
• 如果把工作时间看成创造的效益，那么又该如何指派，
才能获得最大效益？
• 如果再增加一项工作E，四人完成的时间分别是
17,20,15,16分钟，那么又该如何指派使得所花时 目标规划

运筹学讲义(考研)

运筹学讲义(考研)

研究生入学考试辅导《运筹学讲义》1.线线规划与单纯形法●线性规划问题和数学模型；●线性规划图解法●线性规划解的概念和单纯形法●单纯形法的一些具体问题2.对偶理论与灵敏度分析●线性规划问题的对偶及其变换；●线性规划的对偶定理；●对偶单纯形法；●线性规划的灵敏度分析写出规划模型和标准化问题；指出解的类型；和对偶问题结合的题目；求解的问题；1.某饲料厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。

已知各种牌号饲料中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-1】所示。

表1-1问该厂每月应生产这三种牌号饲料各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的的线性规划的数学模型。

2.有如下线性规划问题，令X6,X7分别为约束条件（1）和（2）的松弛变量，指出下表各组解的类型（可行解、非可行解、基础可行解、基础非可行解）,,,,7204234360 22 264242x ax5432154315 432154321≥≤++ +≤+++ +++++xxxxxx xx xxxxx xxxxxxfM）＝（3.设某投资者有30000元可供为期四年的投资。

现有下列五项投资机会可供选择：A:在四年内，投资者可在每年年初投资，每年每元投资可获得0.2元，每年获利后可将本利重新投资；B：在四年内，投资者应在第一年年初或第三年年初投资，每年每元获利0.5元，两年后获利。

然后再将本利投资；C：在四年内，投资者应在第一年年初投资，三年后每元获利0.8元。

获利后可将本利重新投资，这项投资最多不超过20000元；D：在四年内，投资者应在第二年投资，两年后获利每元投资可获利0.6元，获利后可将本利和投资，这项投资最多不超过20000元；E：在四年内，投资者应在第一年投资，四年后获利每元1.7元，最大投资不超过20000元；求：四年后，投资获利最大？不求解。

4.某公司计划在三年的计划期内，有四个项目可以投资：项目一从第一年到第三年年初都可以投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目二需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目三需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目四需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。

《运筹学总复习》课件

《运筹学总复习》课件
应用领域：物流、供应链管理、路径规划等。
难点：计算复杂度高，难以找到最优解。
生产与存储问题
问题描述：生产与存储问题是指在给定时间内，如何安排生产计划和存储策略，以最小化生产成本和存 储成本。 经典模型：经济批量模型（EOQ）、生产存储模型（P-S模型）、生产存储模型（P-S模型）等。
求解方法：动态规划、线性规划、整数规划等。
非线性规划的求解方法：非线性规划的求解方法包括梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
整数规划
定义：整数规划是一种特殊的线性规划，其中所有变量都必须是整数
目标函数：整数规划的目标函数通常是线性的，表示为决策变量的 线性组合 约束条件：整数规划的约束条件通常是线性的，表示为决策变量的线 性不等式或不等式 求解方法：整数规划的求解方法包括分支定界法、割平面法、遗传 算法等
MATL AB在运筹学中的应 用包括优化问题、决策问题、
排队论等
Python在运筹学中的应用
Python语言简介：一种广泛应用于科学计算、数据分析和机器学习等领域的编程语言 Python在运筹学中的应用：可以用于求解线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学问题 Python库介绍：如scipy、numpy、pandas等，可以用于进行运筹学计算和可视化 Python代码示例：展示如何使用Python编写运筹学问题的求解代码
Gurobi优化器介绍与使用
Gurobi优化器是一款功能强大的优化工具，广泛应用于运筹学、数学规划等领域。
Gurobi优化器支持多种编程语言，如Python、C++、Java等，方便用户进行编程实 现。
Gurobi优化器提供了丰富的优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划等，满足 不同问题的求解需求。

运筹学课件PPT课件

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整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。

运筹学PPT完整版


Page 4
运筹学的主要内容
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、 数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
Page 5
本课程的教材及参考书
选用教材 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社 运筹学基础及应用》 参考教材 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 运筹学教程》
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。 约束方程的转换：由不等式转换为等式。
Page 23
∑a x
ij
j
≤ bi
∑a
ij
x j + xn+i = bi
称为松弛变量
xn+i ≥ 0
∑a x
ij
j
≥ bi
∑a x
ij
j
− xn+i = bi
称为剩余变量
xn+i ≥ 0
变量x
j
≤ 0 的变换
线性规划问题的数学模型
（2）如何化标准形式 目标函数的转换
Page 22
则可将目标函数乘以( 1)， 如果是求极小值即 min z = ∑ c j x j ，则可将目标函数乘以(-1)， 可化为求极大值问题。 可化为求极大值问题。 即
max z ′ = − z = −∑ c j x j
也就是： 可得到上式。 也就是：令 z ′ = − z ，可得到上式。 变量的变换 若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j = x′j − x′j′ 其中： 其中：x ′j , x ′j′ ≥ 0
运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面： 运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：

运筹学复习ppt课件

依单位工时的利润比例确定权系数；
P3：生产线加班时每月不超过20小时； P4：A，B，C的月销售指标分别定为10，12，
10台，依单位工时利润比例确定权系数.
试建立目标规划模型.
2020/4/5
5 x1
8 x2
12
x3
d
1
d
1
170
x1
d
2
d
2
5
x2
d
3
d
3
5
x3
d
4
d
4
8
d
1
2 x 1 3 x 2 14
s .t .
x1 0 .5 x1, x2
x2 0
4 .5
x 1 , x 2 是整数
2020/4/5
解：将约束条件的系数化整；去掉“x1,x2是整数” 的条件，得到一个线性规划的标准型（LP1）为：
2
y2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
5
3
y1
y2
3
y 1 0 , y 2 0
2020/4/5
minz 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5
m ax w 4 y1 3 y2
x1
x2
2x3
x4
3x5
4
2x1 x2 3x3 x4 x5 3
xj
0,
j
1,2,3,4,5
利用松紧关系，将最优解 y1* 45, y2* 53
2020/4/5
解：加入松弛变量，标准化得
max z 2 x1 3x2 x3
x1 3x2 x3 x4 15
s.t.
建立单纯形表如下：
2 x1 3x2 x1 x2 x1, x2 , x3 ,

运筹学OperationsResearchppt课件

实际问题 提出
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 1 of 21
LP问题
基本概念
LP问题 数学模型 解的概念
可行解、最优解 基本解、基可行解 基本最优解
基本方法
图解法
原始单纯形法
单纯形法
2
x1
x2
x3
x4
100
2x2 x3 3x5 2x6 x7 100
x1
x3
3x4
2 x6
3x7
4x8
100
x
j
0,
j
1,2，8
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 11 of 21
大M法
人工变量法
对偶单纯形法
两阶段法
对偶理论
进一步讨论
灵敏度分析──参数规划*
在经济管理领域内应用
运输问题（转运问题）
特殊的LP问题
整数规划 多目标LP问题*
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 2 of 21
2024年7月28日星期日 Page 6 of 21
线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的

运筹学例题及答案ppt课件


解：a）
1
b
4
0
0
2/3 1/3 0 0 1 2 b 1/3 2/3 0 043
1 1 1 0 0 5 2/3 1/3 0 1 0 2
将其加到表（1）的最终单纯形表的基变量b这一列数 字上得表（2）
（表2）
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x2 10/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 3 x1 1/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 x5 -2 0 0 -1 1 1 0 0 x6 -4/3 0 0 -2/3 1/3 0 1
5(x1 x2 x3)10x7 6000 7(x4 x5 x6)9x8 12x9 10000
6(x1 x4)8(x7 x8)4000 4(x2 x5)11x9 7000
7(x3 x6)4000
xj 0
对偶理论
1. 已知线性规划问题：
max z 2 x 1 4 x 2 x 3 x 4
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0 1/3
因x2已变化为x/2，故用单纯形法算法将x/2替换出基变 量中的x2，并在下一个表中不再保留x2，得表（9）
表9
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 X’2 x3 x4 x5 x6 4 X’2 1 0 1 1/2 -1/4 0 0 3 x1 3 1 0 -1/2 3/4 0 0 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 x6 0 0 0 -1 1/2 0 1
y1 2 y2 y4 2
3
y
1
y2
y3
y4
4
s.t. y3 y4 1
y1
y3
1
y1, y2 , y3 , y4 0
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5、目标规划中，d
i
和
d
i
分别表示
对于第i个目标约束 ，如果希望
fiX
d
i
d
i
bi
fi X ，bi 则目标函数为
。
6、序贯式算法的核心是序贯地
，即
根据优先级别，将线性目标规划依次求解。
7、动态规划的两种递推方法是
和
。
对于给定的问题，如果的最优结果。
二、计算题（共60分）
B1 B2 B3 B4
A1 15 18 21 24
A2 19 23 22 18
A3 26 17 16 19
A4 19 21 23 17
2、某公司有三个服装加工厂甲、乙、丙，每天的服装产量分别为1000件、 1200件、1100件，供应A、B、C三个销售点，各销售点的需求量分别为900件、 1300件、1000件。从服装厂到各个销售点的运费和销售利润见下表（单位： 元/件）：
运筹学
Operational Research
运筹学考研试题汇编
北京工商大学2004年攻读硕士学位 研究生入学考试试题
考试科目：物流管理与运筹学
第一部分 运筹学（60分）
一、线性规划（每题20分） 设线性规划问题为：
min z x1 2x2 x3
2x1 x2 x3 4 s.t. x1 2x2 6
台/h,现有两种级别的工人可聘：A级工，其工作能力
为1 0.28 修，平
台/小时，工资每小时20元。因设备送
均每台每小时造成停工损失为40元。问应聘用哪一种
工人，可使工厂的经济效益较高。
杭州商学院2003年硕士研究生入学考试试卷（A卷）
招生专业：管理科学与工程
考试科目：运筹学
考试时间：3小时
一、填空题（每小题4分，共28分）
x1, x2, x3 0
（1）利用两阶段法求解上述线性规划问题；
（2）写出相应的对偶线性规划问题数学模型。
二、动态规划（10分）
某商店在未来4个月里，准备利用它的一个仓库来专门经销某种 商品。仓库最大容量能储存这种商品1000单位。假定该仓库每 月只能出卖仓库现有的货。当商店在某月购货时，下月初才能到 货。预测该商品未来四个月的买卖价格如下表所示，假定商品在 1月开始经销时，仓库储有该商品500单位。试问若不计库存费 用，该商店应如何制定1月至4月的订购与销售计划，使预期获 利最大。试用动态规划建立相应的数学模型。
销地 B1
B2
B3
产量
产地
A1
4
2
5
8
A2
3
5
3
7
A3
1
3
2
4
销量 4
8
5
要求：用表上作业法求出最优调运方案。
三、（20分）
某市共有6个区，每个区都可以设消防站，市政 府希望设置消防站最少以便节省费用，但必须保 证在城区任何地方发生火灾时消防车能在15分钟 内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶 时间如下表所示。建立该问题的规划模型。
2、求解0—1规划问题：（15分）
max z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
s.t.
x1
4x2 x1 x2
x3 3
4
4x2 x3 6
x1, x2, x3 0或1
3、用动态规划方法求解整数规划问题：（15分）
min f (x) 10x1 4x2 5x3
1、已知线性规划的数学模型为：（30分）
min z 3x1 2x2 x3
s.t.
2x1 x1 x2
x3 x3
5
2
xi 0(i 1,2,3)
（1）用两阶段法求该模型的最优解；
（2）用对偶单纯形法求该模型的最优解；
（3）写出对偶问题的数学模型，并求其最优解；
（4）价值系数C3在什么范围内变化可保持最优 解不变？
（1）求线性规划问题的最优解（20分）
（2）求对偶问题的最优解（5分）
（3）当△b3=－150时最优基是否发生变化？为什么？（5分）
（4）求c2的灵敏度范围（5分）
(5)如果x3的系数由[1,3,5]变为[1,3,2]，最优基是否改变？若改变求最优解。 （5分）
二、已知某运输问题其供销关系及单位运价表如下表所示：
s.t.x3ix1
5x2 4x3 10 0，且为整数（i
1，2，3）
三、应用题（共50分） 1、某公司计划新开4家连锁店B1、B2、B3、B4， 并通知了4家建筑公司A1、A2、A3、A4，以便每家 商店都分别由一个建筑公司来承建；设建筑公司 Ai对商店Bj投标的建造费用为Cij万元（见表）。 试求解：对这4家建筑公司如何分配建造任务，才 能使总建造费用最少？所需的建造费用是多少？ （15分）
北京交通大学2005年硕士研究生入学 考试试卷
考试科目：管理运筹学
一、（40分）已知线性规划问题
max z x1 5x2 3x3 4x4
2x1 3x2 x3 2x4 800
s.t.53xx11
4x2 4x2
3x3 5x3
4x4 3x4
1200 1000
x1, x2, x3, x4 0
各区之间的行驶时间
一区 二区 三区 四区 五区 六区
一区 0
二区 10 0
三区 16 24 0
四区 28 32 12 0
五区 27 17 27 15 0
六区 20 10 21 25 14 0
四、（30分）
某公司有资金10万元，若投资于各项目（i=1，2， 3）的投资额为xi时，收益分别为
g1(x1) 4x1, g2(x2) 9x2, g3(x3) 2x32
1、线性规划行问题的可行域为
，特殊情况下为
或
。
2、用单纯形法解线性规划问题时，目标函数中人工变量的
系数为
，附加变量的系数数为
。
3、单纯形法与对偶单纯形法的主要区别在于：迭代过程中，前者始终保持
的可行性，后者始终保持
的可行性。
4、分支定界法和割平面法的基本思路都是通过在原线性规划问题中不断
来缩小
，最终得到原问题的整数最优解。
问如何分配投资数额才能使总投资最大？
五、（20分） 求下图所示的网络的最小费用最大流。（每条弧 旁边的数字(bij, cij)）
v1 (4,10) ●
（1,7）
vs ●
(2,5) (6,2)
(1,8)
v●2 （3,4）
●v3
vt ●
(2,6)
六、（20分）
某厂拟用1名修理工人，已知平均送修的设备数 0.2
月份k 1
购买单价（ck） 销售单价（pk）
10
12
2
9
8
3
11
13
4
15
17
3
三、对策论（每题15分）
用图解法求解矩阵对策G={S1,S2,A},其中
A
3 6
4 3
7 2
四、存储论（15分）
某厂按合同每年需提供D个产品，不允许缺货。 假设每一周期工厂需装配费b元，存储费每年每 单位产品为a元，问全年应分几批订货才能使装 配费、存储费两者之和为最少。