定义域问题专题训练

定义域试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，请找出该函数的定义域。

答案：函数 \( f(x) \) 的定义域是除了 \( x = \pm 2 \) 以外的所有实数。

因为当 \( x = \pm 2 \) 时，分母为零，函数无定义。

2. 函数 \( g(x) = \sqrt{2x - 3} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( g(x) \) 的定义域是 \( x \geq \frac{3}{2} \)。

因为根号下的表达式必须非负，所以 \( 2x - 3 \geq 0 \)。

3. 确定函数 \( h(x) = \log_2(x - 1) \) 的定义域。

答案：函数 \( h(x) \) 的定义域是 \( x > 1 \)。

因为对数函数的自变量必须大于零，所以 \( x - 1 > 0 \)。

4. 函数 \( p(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( p(x) \) 的定义域是所有实数，除了 \( x = 3 \)。

因为分母 \( x^2 - 6x + 9 \) 可以分解为 \( (x - 3)^2 \)，当 \( x = 3 \) 时分母为零。

5. 求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域。

答案：函数 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域是 \( x \neq 0 \)。

因为 \( x = 0 \) 时分母为零，所以 \( x = 0 \) 不在定义域内。

6. 函数 \( r(x) = \sqrt[3]{x^3 - 8} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( r(x) \) 的定义域是所有实数。

因为立方根函数对所有实数都有定义。

7. 确定函数 \( s(x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \) 的定义域。

函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一 直接法万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步 找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形：（1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 0x 的底数不为零；（4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．第二步 列出不等式（组）；第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域．【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-- ） A ．[]1,2B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,2【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()261xf x x x x =-++-的定义域为（ ） A ．(][)23∞∞--⋃+，， B ．[)(]3112-⋃，， C ．[)(]2113-⋃，， D ．()()2113-⋃，，例2．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【变式演练2】5．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22ln 2y x x a x =+++的定义域为[)1,+∞，则=a （ ） A ．-3B ．3C ．1D ．-1例3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,4【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．方法二 抽象复合法 万能模板 内 容使用场景 涉及到抽象函数求定义域 解题模板利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()31g x x =-的定义域为（ ）()f x (,)a b [()]f g x ()a g x b <<[()]f g x [()]f g x (,)a b ()f x a x b <<()g x ()f xA ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练5】11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M NB ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M方法三 实际问题的定义域万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A ．()10,20B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为.①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.【高考再现】1．【2017山东理】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2） （B ）（C ）（-2，1） （D ）[-2，1)2．【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x21305h t t =-3．【2014山东．理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A ．)21,0( B ．),2(+∞ C ．),2()21,0(+∞ D ．),2[]21,0(+∞ 4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D)5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．6.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 7．【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．8．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ ．【反馈练习】1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数21y x =-A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，则函数()211f x x --的定义域为（ ）22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞256()4||lg 3x x f x x x -+=--(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,2A ．(0,1)B ．(1,2)C ．()()0,11,2D ．()(),11,1-∞--5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2019·河北张家口中学月考）若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8) D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 8．（2022·全国·高三专题练习）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是________ 9．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．10．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）函数()1f x x=-的定义域为___________. 11．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lg 1tan π14y x x =+-___________. 12．（2023·全国·高三专题练习）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______．13．（2023·全国·高三专题练习）函数()()22log 29142f x x x =-+-___________.14．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lgcos 25f x x x =-______．15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10AB BC CD a++=120ABC ︒∠=点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．(1)设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置．17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 为曲线与x 轴的交点.(1)若直线l 过原点，且斜率为-2，与曲线交于点D ，求此时等腰梯形ABCD 的面积；(2)若设2CD x =，等腰梯形ABCD 的面积为()S x ，写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域.。

一、常见抽象函数定义域一）已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．二）已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．三）已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．练习题： 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(l o g 2x f 的定义域为 。

二、常用函数定义域的求法已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。

一般有以下几种情况：●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ● 对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。

● 正切函数x y tan = ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且例1（2000上海） 函数x x y --=312log2的定义域为 。

例2 函数y的定义域为_ ___ .例3 求函数y 11x -的定义域．例4 求函数y ＝()022x x -+.巩固练习1、（2002上海春）函数2231x x y --=的定义域为 。

函数的定义域练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 1/x的定义域是：A. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 若函数f(x) = √x的定义域为[0, 1]，则其反函数的定义域为：A. [0, 1]B. [1, √1]C. [√0, √1]D. [1, 0]3. 函数f(x) = log2(x - 3)的定义域为：A. (-∞, 3)B. (3, +∞)C. [3, +∞)D. (-∞, +∞)4. 函数f(x) = sin(πx)的定义域是：A. (-∞, +∞)B. [0, 1)C. [0, 1]D. (0, 1)5. 若函数f(x) = √(x - 1) + 2的定义域为[1, 3]，则其反函数的定义域为：A. [1, 3]B. [3, 5]C. [2, 4]D. [1, 5]二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = 1/√x的定义域为_________。

7. 若函数f(x) = log10(x + 1)的定义域为(-2, 3]，则其值域为_________。

8. 函数f(x) = √(4 - x)的定义域为_________。

9. 若函数f(x) = 1/(x^2 - 1)的定义域为(-∞, -1) ∪ (1, +∞)，则其值域为_________。

10. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的定义域为_________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 已知函数f(x) = √(-x) + 3x^2，请求解其定义域，并判断该函数在定义域内是否单调。

12. 给定函数f(x) = log3(x + 2) - 1/x，求其定义域，并讨论其在定义域内的单调性。

四、综合应用题（每题25分，共25分）13. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000，其中x表示生产数量。

专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域 (2)【题型二】解绝对值函数不等式求定义域 (3)【题型三】抽象函数定义域 1：f(x)→f(g(x))型 (4)【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型 (6)【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型 (7)【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）) (8)【题型七】抽象与具体函数混合型 (9)【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域 (11)【题型九】恒成立含参型 (12)【题型十】对数函数定义域 (14)【题型十一】定义域：解指数函数不等式 (15)【题型十二】正切函数定义域 (16)【题型十三】解正弦函数不等式求定义域 (17)【题型十四】解余弦函数不等式求定义域 (18)【题型十五】求分段函数定义域 (20)【题型十六】实际应用题中的定义域应用 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (26)培优第三阶——培优拔尖练 (30)综述：常考函数的定义域：1 . f (x )0 → f (x ) ≠ 0 ；②. →f →ff (x )→ f (x )> 0 ；④. loga⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】的定义域为 ( ) 例1（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数f(x)=√x(3−x)+√x−1A ．[0, 3]B ．[1, 3]C ．[3, +∞)D ．(1, 3]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为(−∞, 1] ，则实数a 的取值集合为 ( )A ．{1}B ．(∞, 1]C ．[1, +∞)D ．(∞,1) (1, +∞)的定义域是 ( )2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数y=√1−x2+1x3A ．(∞, 1]B ．(1, 0) U (0, 1)C ．[1, 0) U (0, 1]D ．(0, 1]3.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 ( )A．B.C． D .【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】例2函数y = 的定义域是 ( )A ．(0, +∞)B ．(∞, 0)C ．(0, 1) U (1, +∞)D ．(∞, 1) (1, 0 ) (0, +∞)【提分秘籍】基本规律绝对值不等式：| f(x) |< g(x) g(x) < f(x) < g(x)1.2. | f(x) |> g(x) f(x) > g(x)或者f(x) < g(x)【变式训练】1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y = 的定义域是.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数f(x)=√2−|1−2x|的定义域是.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数f(x)=√|2x−3|−1的定义域是.【题型三】抽象函数定义域1：f(x)→f(g(x))型【典例分析】例3（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x2 -1) 的定义域为 ( )A ．[0, 3]B ．[-3.3]C ．[−√3，√3]D ．[-3, 0]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知f的定义域为 ( )A ．(-∞, 1) (1, 3)B ．(-∞, 2) (2, 4)C ．(-∞, 0) u (0, 2 )D ．(-∞, 2)2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数y = f (x +1) 的定义域为[-2 ，3] ，则函数y = f (2|x|−1)的定义域为 ( )B ．[-1，4]D.3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[3, +∞) ，则函数f (+1) 的定义域为 ( )A ．B ．C ．D .【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】例4（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是[1, +∞) ，则函数y = f (x ) 的定义域是.【变式训练】1.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数f(x -1) 的定义域为[-1, 2] ，那么函数f(x) 中的x 的取值范围是.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数f(2x -1) 的定义域为[0, 1] ，则函数f(x) 的定义域为 ( )A ．[-1, 0]B ．[-3, 0]C ．[0, 1]D ．[-1, 1]3.（2023·全国·高一专题练习）已知f(x2 -1) 的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域为 ( )A ．[-2,2] B．[0, 2] C．[-1, 2] D .[−√3，√3]【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型【典例分析】例5（2022·全国·高一课时练习）函数y = f (x - 3) 的定义域为[4, 7 ] ，则y = f (x2 ) 的定义域为()A ．(1, 4)B ．[1, 2]C ．(-2, -1) (1, 2)D ．[-2, -1] U [1, 2]【变式训练】1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数f(|x|+1)的定义域为[-1, 2]，则函数f (2x ) 的定义域为 ( )B.D.2.（2022 ·全国·高一课时练习）若函数f (x2 - 2) 的定义域为[-1, 3] ，则函数f (x ) 的定义域为; 若函数f(2x - 3) 的定义域为[1, 3) ，则函数f (1- 3x ) 的定义域为.3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）f(2x -1) 的定义域为[0, 1) ，则f(1-3x) 的定义域为 ( )A ．(-2, 4]B ．C ．（0,D ．(0,【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】例6（2021·全国·高一单元测试）已知函数f (x ) 的定义域为，若c ∈则函数g (x ) = f (x + c )+ f (x - c )的定义域为 ( )A ．(-c, 1 - c )B ．(c, 1- c )C ．(1- c, c )D ．(c, 1+ c )【变式训练】1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数f (x )的定义域是[0, 2] ，则函数g(x)=f(x+12)+)的定义域是 ( )f(x−12B ．,C ．-,D ．[0, 2]2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[0, 4] ，求函数y = f(x + 3) + f(x2 )的定义域为 ( )A ．[-2, -1]B ．[1, 2]C ．[-2, 1]D ．[-1, 2]3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数y = f(x) 的定义域是[0, 1] ，则函数F(x) = f(x + a) + f(2x + a)(0 < a <1) 的定义域是( )B.【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】例7（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数f (2x - 2) 的定义域为{x | x < 1} ，则函数的定义域为 ( )A ．(-∞, 1)B ．(-∞, -1)C ．(-∞, -1) U (-1, 0)D ．(-∞, -1) U (-1, 1)【变式训练】1.（2021·河南·高一期中）已知函数y = f (2x -1) 的定义域是，则y = 的定义域是 ( )A ．[-2, 5]B ．(-2, 3]C ．[-1, 3]D ．(-2, 5]3.（2022·全国·高一专题练习则的定义域为（）.A.（-4,0）∪（0,4）B.（-4,-1）∪（1,4）C.（-2,-1）∪（1,2）D.（-4,-2）∪（2,4）3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数f (x +1) 的定义域为[-1, 15] ，则函数的定义域为 ( )A ．[1, 4]B ．(1, 4]C ．[1, 14]D ．(1, 14]【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】例8（2021·全国·高一课时练习）已知f的定义域为 ( )A ．{x | x ≠ -2}B ．{x | x ≠ -1}C ．{x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ．{x x ≠ 0 且x ≠ -1}【变式训练】1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1] ，g (x ) = x + 2 ，那么f(g (x )) 的定义域是 ( )A ．(2, 3]B ．[0, 1)C ．(0, 1]D ．(-2, -1]设f＝.【题型九】恒成立含参型【典例分析】例9（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax2+ax+1定义域为R，则a 的范围是 ( )A ．[0, 4]B ．[0, 4)C ．(0, 4]D ．(0 , 4)【变式训练】1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数f(x)=√2的定义域是 R ，则m的取值范围是 ( )A ． 0 ≤ m < 4B ． 0 ≤ m ≤1C ． m ≥ 4D ． 0 ≤ m ≤ 42.（2022·全国·高一专题练习） 已知y =√ax +(a−1)x+14的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是() A ．(0，3+√52) B .C ．(−∞，3−√52)∪(3+√52，+∞)3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0, 4)B ． [0, 4)C ． [0, 4]D ． (0, 4]【题型十】对数函数定义域【典例分析】例10（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习 ）函数y =ln√a x 2+2x −1的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．[0, +∞)B ． [-1, 0) (0, +∞) 【变式训练】1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1) ，则 的定义域为 .2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数f(x)=√12−log 4(x −1)的定义域为______.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合A ={x |x −1>0}，B ={x |y =log 2x −2x +1}，则 A ∩ (C R B ) = ( )A ． [0, 1)B ． (1, 2)C ． (1, 2]D ． [2, +∞)【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】例11（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )=√2x −a 的定义域为[2, +∞) ，则a =【变式训练】 1.（2023·全国·高一专题练习） 已知函数f (x )=lnx +√16−2x ，则f的定义域为 ( )A ．(0，1)B ．(1，2) C ． (0，4] D ． (0，2] 2.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 .3.（2022·全国·高一专题练习）函数y =√3x 2−2−9的定义域为 .【题型十二】 正切函数定义域【典例分析】例12（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数f (x )=√1−tan 2x 的定义域为 .【提分秘籍】 基本规律正切函数，形如tan f (x )【变式训练】1.（2022 ·云南昭通 · 高一期末）函数y = -tan的定义域为 .2.（2022·全国·高一课时练习）函数y = tan 的定义域为 .【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】例13（2022·北京八中高一期中）函数f (x ) = lg (1- 4sin 2x )的定义域为 .【变式训练】1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =的定义域为____________.2.（2023 ·全国 · 高一专题练习）函数f (x )=√sinx +1√16−x 2的定义域为 .3..（2023·全国·高一专题练习）函数f (x )=√1−√2sinx 的定义域为【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】例14（2022·陕西省安康中学高一期末）函数f的定义域为.【变式训练】1.（2022·广西·钦州一中高一期中）函数f(x)=lg(√2cosx −1)的定义域为 . 2.（2021·江苏·高一专题练习）函数f(x)=√cos 2x −sin 2x 的定义域为 . 3.（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）函数y =√2cosx −1 的定义域为 .____________【题型十五】求分段函数定义域【典例分析】例15（2021·广东·佛山市第三中学高一阶段练习）函数f 1的定义域是_______.【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知函数求这个函数的定义域与值域.2.（2020·辽宁省建昌县高级中学高一阶段练习）已知函数求f (x )的定义域，值域；3.（2022 全国高一课时练习）函数y={x2，x>0−2，x<0的定义域为，值域为【题型十六】实际应用题中的定义域应用【典例分析】例16（2020·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为定值a ，设它的一条边长为x ，则矩形面积的函数S = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(0, +∞)B ．(0, a )C ．[0, +∞)D ．(0,)【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形ABC 的周长为10,且底边长y 关于腰长x的函数关系为y= 10-2x,则函数的定义域为( )A ．{x|x∈R}B ．{x|x>0}2.（2019·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长l 为常数，底边长为y ，腰长为x ，则函数y = g(x) 的定义域为 ( )A ．(0, )B ．C ．D .3.（2022·全国·高一专题练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h（单位：m ）与时间t（单位：s）的关系为h = 130t - 5t2 .①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数f(x)=1√x−1+√2−x的定义域为 ( )A ．[1, 2]B ．(1, 2)C ．(1, 2]D ．[1, 2)2.（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）函数y = 的定义域是.3.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )的定义域为(3, 5) ，则函数f(2x +1) 的定义域为 ( )A ．(1, 2)B ．(7, 11)C ．(4, 16)D ．(3, 5)4.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2 ，3] ，则y=f(x)的定义域是 ( )A ．[0 ，5]B ．[-1 ，4]C ．[-3 ，2]D ．[-2 ，3]5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x +1) 的定义域为[1, 5]，则f(2x) 的定义域为 ( )A ．[1, 3]B ．[1, 4]C ．[2, 5]D ．[2, 6]6..（2021·安徽·芜湖一中高一期中）已知函数y = f(x) 的定义域为(-1, 1) ，则函数g(x) =f(x - 2) + f(1- x)的定义域为( )A ．(1, 2)B ．(-1, 1)C ．(0, 2)D ．(1, 3)7.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x + 2) 的定义域为(-3, 4) ，则函数的定义域为( )A ．B ．C ．D .8.（2023·全国·高一专题练习）已知f的定义域为( )A ． {x | x ≠ -2}B ． {x | x ≠ -1}C ． {x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ． {x x ≠ 0 且x ≠ -1} 9.（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为 R ，则 a 的范围是 ( ) A ．(0, 4) B ． [0, 4) C ． (0, 4] D ． [0, 4]10.（2022·北京·清华附中高一阶段练习）函数f (x ) = lg (x 2-1)的定义域为 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为.12.（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数f = tan的定义域_______13.（2018·黑龙江·鸡西市第十九中学高一期中（理））函数f(x)=log 12sinx 的定义域为( )14.（2022·上海市进才中学高一期中）函数y =lg (2cosx −√3)的定义域为 . 15.已知等腰三角形的周长为40cm ，设其底边长为y cm ，腰长为 x cm.则函数y = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(10, 20) B ． (5, 10) C ． [5, 10) D ． (0, 20) 培优第二阶——能力提升练1.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）函数f的定义域是 ( )D B..2.（2021·宁夏·银川一中高一期中）f(x)=√|x −1|−2的定义域为 ( ) A ．(-1, 3) B ． [-1, 3] C ． (-∞, -1) (3, +∞) D ． (-∞, -1]U [3, +∞)3.（2021·黑龙江·哈九中高一阶段练习）若函数y = f (x ) 的定义域是[1, 2] ，则函数y =f (√x)的定义域是 ( )A ．[1, 2]B ． [1, 4]C ．[1，,√2] D ． [2,4]4..（2023·全国·高一专题练习）已知函数f (3x +1) 的定义域为[1, 7] ，求函数f (x ) 的定义域.5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x +1) 的定义域为(-1, 1) ，则f(|x |)的定义域为( ) A ．(-2, 2) B ． (-2, 0)U (0, 2)C ． (-1, 0) U (0, 1)D ． (−12，0)6.（2021·全国·高一课时练习）函数f (x ) 的定义域为[一2, 2]，则函数g (x ) = f (x 一 2) . f (x 一 3) 的 定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 5]C ． [0, 20]D ． [1, 9] 7.（2020·江西·宜春九中高一阶段练习） 已知函数f (x +1) 的定义域为[一2, 1] ，则函数的定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 3]C ． [1, 2)U (2, 4]D ． [1, 2 ) (2, 3] 8.（2016 ·安徽合肥 · 高一阶段练习）函数 ，则y =f (f (x))的定义域是A ．B .C ．D .9.（2021·全国·高一专题练习）函数f(x)=√−mx 2−2x +1定义域为 R ，则实数 m 的取值 范围是 ( )A ．（0 ，1）B . ( ﹣∞ , ﹣ 1]C ．[1 ，+∞ )D . ( ﹣∞ , ﹣ 1）10.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=1√log 2(2x 2−9x +14）−2的定义域为 .11.（2016·河北保定·高一）已知函数y = x ) 的定义域为则函数y = f (2x ) 的定义域为A ． [-1, 0]B ． [0, 2]C ． [-1, 2]D ．[0, 1] 12.（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）函数y =√1+tanx 的定义域是 . 13.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为 .14.（2021·河南·高一阶段练习）函数y =1lgsinx+√cosx −12的定义域为 .15.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长y (cm ) 是腰长x (cm ) 的函数，则函数的定义域为( )A ．(10, 20)B ．(0, 10) C ． (5, 10) D ． [5, 10)培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数f (x )=√−x 2+x +6+|x |x −1的定义域为 ( )A ．(-∞,- 2] [3，+∞) B ． [-3，1) (1，2 ] C ． [-2，1) (1，3] D ． (-2，1) (1，3)2.（2021·江苏·高一单元测试）关于函数f(x)=√x 2−x 4|x−1|−1 ，描述不正确的是 ( ) A ． f (x ) 的定义域为[-1，0)(0，1] B ． f (x ) 的值域为(-1，1)C ． f (x )在定义域上是增函数D ． f (x )的图像关于原点对称3.（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测） 已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x 2 -1)的定义域为 ( )A ．[0, 3] B ． [-3.3] C ．[−√3，√3] D ． [-3, 0] 4.（2021·全国·高一课时练习） 已知f (x 2 -1)的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域 为 ( )A ． [-2,2]B ． [0, 2]C ． [-1, 2 ]D ．[−√3，√3]s .（2021·新疆师范大学附属中学高一阶段练习）已知f (x +1) = , 则f (2x -1) 的定义域为 ( )B ．C ．D .6.（2019·黑龙江·哈师大青冈实验中学高一阶段练习）若函数f (x )定义域为[0, 1] ，则C ． [a , 1 - a ]D ． [0, 1 - a ]7.（2020·安徽·六安一中高一阶段练习） 已知f (x ) 的定义域为[-2, 2] ，且函数A ．(-1, 1] B ． (-1, 5) C ． (-1, 3] D ． [-1, 3] 8.（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高一阶段练习）设函数则函数f (f (x )) 的定义域为A ．(-9, +∞) B ． (-9, 1) C ． [-9, +∞) D ． [-9, 1) 9.（2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )D B ..10.（2022·全国·高一课时练习） 已知函数y = lg 的定义域是 R ，则实数 a的取值范围是 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=√x +1lg [(13)x −1]的定义域为 .12.（2022·全国·高一专题练习）函数y = lg (1+ tan πx ) +的定义域为 .13.（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=log x (6−x)+√1−2sinx 定义域为 .14.（2022·全国·高一专题练习）函数f(x)=lgcosx−√25−x2的定义域为.15.（2020·上海·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为10 ，设底边长为y ，腰长为x ，求y 关于x 的函数解析式.。

高中定义域试题及解析及答案1. 函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\) 的定义域是什么？2. 若 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，求 \(g(x)\) 的定义域。

3. 函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？4. 已知 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，求 \(k(x)\) 的定义域。

5. 函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？解析与答案1. 对于函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)，我们需要保证根号内的表达式非负，即 \(x - 3 \geq 0\)。

解得 \(x \geq 3\)。

因此，\(f(x)\) 的定义域是 \([3, +\infty)\)。

2. 对于函数 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，分母不能为零，所以\(x \neq 2\)。

因此，\(g(x)\) 的定义域是 \((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。

3. 对于函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\)，分母 \(x^2 -4\) 不能为零，即 \(x \neq \pm 2\)。

因此，\(h(x)\) 的定义域是\((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)。

4. 对于函数 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，对数函数的自变量必须大于零，即 \(x + 4 > 0\)。

解得 \(x > -4\)。

因此，\(k(x)\) 的定义域是 \((-4, +\infty)\)。

5. 对于函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\)，根号内的表达式必须非负，即 \(x + 2 \geq 0\)，同时分母不能为零，即 \(x \neq 1\)。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

第一讲 复合函数的定义域一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。

此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]．∴1210≤-≤x ，∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．)12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]，∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。

高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。

［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。