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涡度方程和散度方程

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第5章涡度方程和散度方程

第5章涡度方程和散度方程



v u x y
Vh

s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度 12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
0；
反气旋弯曲：rs<0, 则
单位压容（力）管
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的 力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数
和）外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环
流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为：
Va
x y z x z y

1
2
(
x
p y


y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：

t

Vh h
w
z
v (

f ) Vh

动力气象学第五章

动力气象学第五章
由“环流”概念引出“环流定理”——用以 考察环流随时间的变化，以及引起环流变化 的动力学原因。可以用来定性解释海陆风， 山谷风的形成。
由“涡度”概念引出“涡度方程”——用以 考察涡度随时间的变化，以及引起涡度变化 的原因。涡度方程描述了涡旋运动满足的方 程形式。
二、大尺度大气涡旋运动
1．大涡 尺度度大主气要运是动在是垂准直水方平向运上动，，即所：以
（2） “环流”的定义：
任取定一有向物质环线 l ，定义：
C＝ V dl l
（1）
（速度矢量沿一闭合路径 l 的线积分）
1）“任取定”——L氏观点：任意选取一物质 环线，此环线上的质点是确定的，环线的形状位 置是变化的。 2）物质环线是闭合的，有方向的，规定逆时针 方向为环线的正向。 3）“环流” 表示流体随闭合环线运动的趋势， 描述了涡旋的强度, 是积分量(总体量—宏观量)。 4）C>0时为正环流（也称气旋式环流），表示 空气有沿环线正方向运动的倾向；C<0时为反环 流（也称反气旋式环流），表示空气有沿环线反 方向运动的倾向。
四、位涡方程
1．位涡(Potential vorticity)：
综合动力作用和热力作用的物理量，
与
,有,关 。
位涡方程 ：
d dt
(1
a
ln )
1
ln
F
1
a
( Q ) C pT
物理量
1
a
ln
称为位涡
2.位涡方程的推导
从
d dt
(
1
a
ln
)
看：
左边包含三项：
d 连续方程
dt
d 位温方程 热力学方程
1、数学推导

大气科学名词

大气科学名词

大气科学名词1、均质层（Homosphere）：地面到85 km之间大气成分保持定常的大气层。

2、非均质层（Heterosphere）：均质层顶110 km以上，空气成分随高度而变化的大气层。

3、均质层顶（Homopause）：均质层与非均质层之间的过渡层，距地面高度85~110 km。

4、大气边界层（Atmoshperic Boundary Layer）：又称“行星边界层（Planetary Boundary Layer）”、“摩擦层（Friction Layer）”。

大气圈的最底层，其上界离地面约600~800 m。

5、均质大气（Homogeneous Atmosphere）：假设密度不随高度变化的一种模式大气。

6、湿球温度（Wet-Bulb Temperature）：暴露于空气中而不受太阳直接照射的湿球温度表上所读取的数值。

7、干球温度（Dry-Bulb Temperature）：暴露于空气中而不受太阳直接照射的干球温度表上所读取的数值。

8、外场观测（Field Observation）：为完成某一试验计划在野外进行的现场专门观测。

9、定点观测（Fixed Point Observation）：在固定地点进行的气象观测。

10、地基观测（Ground-Based Observation）：在地表观测平台上进行的气象观测。

11、观测场（Observation Site）：安装气象仪器进行气象观测的场地。

12、观测误差（Observational Error）：又称“测量误差”。

观测值与真值之间的差。

13、地面资料（Surface Data）：地面气象观测获取的并经过整理的数据。

14、直接辐射表（Pyrheliometer）：测量给定平面上法向直射辐照度的辐射表。

15、总辐射表（Pyranometer）：测量从2π立体角落在水平面上的总辐射（太阳直接辐射与散射辐射之和）的仪器。

16、天空辐射表（Sky Radiometer Diffusometer）：测量天空散射辐射的仪器。

第三章 2涡度和涡度方程

第三章 2涡度和涡度方程
做运算： 注意：
绝对涡度个别变化
d f u v u v f dt y P x P f f u v u v u v u v f t x y x y P y P x P x P
11
10
11
1010
上式简化：
——11
对于不可压缩，水平无辐散 天气
绝对涡度守恒。
反之
，水平涡度倾斜， （产生负的垂直涡度分量） ，局地涡度减小
⑤散度项
北半球，f
0, f ,（大一个量级） f 0
f 0, f , f 0
空气辐合产生正涡度，气流做气旋式旋转 空气辐散产生辐涡度，气流做反气旋式旋转
3，涡度方程的简化
天气图上 槽线上具有曲率涡度极大值
脊线上具有曲率涡度极小值
②
切变涡度
，正涡度，气旋式切变
，负涡度，反气旋式切变
切变越大，涡度越大
天气图上急流区： 高空西风急流北侧为正涡度
高空西风急流南侧为负涡度
6．绝对涡度 绝对坐标系
V a V V e
—相对速度
V a —绝对速度 V
有 —绝对涡度
V e —牵连速度
实际上定性判断： 短波槽以相对涡度平流为主
长波槽以地转涡度平流为主——稳定，西退
③相对涡度的垂直输送
P
0 P
，相对涡度随高度增加
，相对涡度随高度减小
④涡度倾侧项
，u随高度减小，在负y方向，产生切变涡度
，ω随y轴增大
∴
，水平涡度倾斜 （产生正的垂直涡度分量） ，局地涡度增大

环流定理,涡度方程和散度方程

环流定理,涡度方程和散度方程

Ca C Ce C Ca Ce 绝对环流=相对环流+牵连环流：
故相对环流定理形如：
dCa dC dCa dCe ——（*） ，其中， dt 刚已讨论，那么 dt dt dt
Ce
？
○L A dr A d ，有： 由曲线-曲面积分转换（Stokes ）定理：
N区上升，L区下沉，近地面北风，高空南风。实际上引入地转效应后， 不应是单圈环流，而是三圈环流。这就是Hadley 等环流。 当然也可用其解释一些局地风，如海陆风，山谷风等。
RT p0
总之：斜压作用是大气运动中的一个重要因子。
6
§6.2 相对环流定理
已知，绝对速度为相对速度与牵连速度之矢量和：V V r a 两端对环线L积分： ○ LVa dr ○ LV dr ○ L ( r ) dr ，可见：
算子只对Ω运算，故 可互换，且省写下标
( r ) 2 ，代之入牵连环流的表达式（6.12），有：
Ce 2 d 2 d 2 ——（6.14）


~ 在赤道面上的投影，即其法线方向与 一致。 其中，
8
（6.14）代回到（*），有相对环流定理（Bjerknes环流定理）：
由于大中尺度运动是准水平的，故水平运动引起的垂直涡度较重要，
●
故有时又称
●
v u 为涡度 ， x y
v u ) 2 sin f x y
Ωsinφ Ω j Ω
φ
k
而绝对涡度～
a
(
——（6.27）
φ Ωcosφ
பைடு நூலகம்11
§6.4 绝对涡度矢量方程，Taylor-Proudman定理

流体的涡度、散度和形变率

流体的涡度、散度和形变率

15
涡度：



这样，把 称作【涡度】，是量度流体旋转程度的物 理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。 是对 这个物理量作涡度运算。 涡度的三维分量：
16
涡度与角速度：
涡度≡
涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点 角速度的两倍。 2 V curlV
① ②
③
④
要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识： 矢量代数 哈密顿算子 stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换） 速度环流
2
矢量代数：矢量的正交分解 z
A Ax i Ay j Az k
大小：A A2 A2 A2 x y z Ax cos A Ay 方向： cos A Az cos A x
A B ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k i j k Ax Ay Az Bx By Bz
i j k j k i k i j i i j j k k 0
性质：
S A B
1） A B B A 2） A ( B C ) A B A C 3） A B 0 A // B 4） A A 0
矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：

法形变率：

散度：
可见，流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度 是体形变率。若流体运动只限于二维，则 又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。

第5章涡度方程与散度方程


c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
0；
反气旋弯曲：rs<0, 则水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀
有关。
Vh 0 n
例子
急流轴
Vh 0 n
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度 项较大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一 项。例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度 项，而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为： Va
V
r
LVa
r
L
V
r
L
(
r)
r
Ca C C e
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和
C
LV
r
Ce
(
r)
r
L
对牵连 环流：
dCa dC dCe dt dt dt
Ce
L
(
r) r
A
(
r)
ndA
S
其中： (p) p
若令：
B
(
p)
斜压矢量
则力管项：
N
Lp
r
B
ds
S
数学推导
力管项非零的必要条件是大气的斜压性
6
斜压矢量 的模的物理含义：
B | B || || p | sin
1
1
sin
h hp
1 sin
1
1
hp DC cos h p DC S ABCD
单位压容（力）管
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的 力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。

动力气象学第4章环流定理、涡度方程和散度方程

1

的正方形 ABCD 边界的逆时针环流位多大？ABCD 中平均相对涡度是为多大？沿边界位 1000km 的任意正方向边界 A ' B ' C ' D ' 的逆时针环流又是多大？ 解：沿正方形 ABCD 的边 BC 的风速为 u BC ，由题中条件知 DA
10 100 ( u BC 20 ) m / s 500 由于沿 CD、 AB 的切向速度为零， 所以围绕正方形 ABCD 的先对环 流为
57
常值）对局地铅直轴的绝对角动量守恒。
图 4.2 解：绕地轴和局地轴绝对角动量为 M r cos ( u r cos ), M r ( v 1 fr ) 2 正压大气中，绝对环流守恒，即 C 2A 常数。 （1）西风环流 u 常数 , v 0 , w 0 则C
y N y ( z N z ( x N x (
所以
p p ) z z y p p ) x x z p p ) y y x
（2）若大气满足静力平衡条件 p g z 又满足准地转关系， 1 p f V g k 0
L


N d
N 3 ( 3 p ) 3 3 p
定义为力管（或斜压）矢量。试 （1）写出 N 在 i 、 j 、 k 方向的分量 N x 、 N y 、 N z ； （2）证明，若大气满足静力平衡和地转风条件，则有




u g N x N i f z v g N y N j f z f f 2 V g (V g )k N z N k V g 2T T g z 解： （1）由 N 3 3 p ( i j k ) ( p i p j p k ) x y z x y z

第5章 涡度方程和散度方程

10-10 10-10 10-10 10-11 10-10
u v u v u v p [( ) p ( ) p ] f [( ) p ( ) p ] [( ) p ( ) p ] x y x y y p x p
10-11
10-10 10-11
Vh 0 rs
Vh rs
； ； 0
2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀 有关。 V 0
h
n
例子
Vh 0 n
急流轴
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度 项较大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一 项。例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度 项，而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
v Vh j V hsin
则： v
Vh sin Vh cos x x u Vh cos Vh sin y y
x y
自然坐标系和直角坐标系
取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方 向，涡度垂直分量可表示为： V V

L
Va r

L
V r ( r ) r
L
Ca C C e
C

L
V r
Ce
L
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和 ( r ) r
dCa dC dCe dt dt dt
对牵连 环流：
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该 dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。

涡度、散度与垂直速度

涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。

在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。

本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。

§7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s 1。

根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。

从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：wvuz y x k j i∂∂∂∂∂∂=Λ∇)))3V k yu x v j y w z u i z v y w ))))()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= k j i )))ζηξ++= (7.1.1)其中)(3k w j v i u )))++=V 是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度ζ。

ζ的表达式为：yu x v ∂∂-∂∂=ζ (7.1.2) 需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度ζ，其全称应是垂直相对涡度。

将式(7.1.2)变微分为差分，得： yux v ∆∆-∆∆=&ζ (7.1.3) §7.1.2 相对涡度ζ的计算方法犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度ζ有实测风涡度o ζ与地转风涡度g ζ两种。

下面分别介绍它们的计算方法。

1. 实测风涡度o ζ计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。

首先把实测风分解为u 、v 分量，然后分别读取图7.1.1所示的A 、C 点的u 值和B 、D点的v 值，最后代入式(7.1.3)即得O 点的涡度：yu u x v v CA B D o ∆--∆-=ζ (7.1.4)图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)2. 地转风涡度g ζ计算方法假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。

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《动力气象学》
第五章 环流定理·涡度方程与散度方程
涡旋运动 涡度
涡度方程
位势运动 散度
散度方程
大气原始方程组 的变形方程
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该闭合曲线的线积分。
Ca L Va dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
(5.1)式等号右边第2项为零，因为：
L a r La 0
可得绝对环流定理
daCa dCa
p r
dt dt
L
力管项
绝对环流的加速度等于 封闭曲线L所包含的力管
若力管项为零，则绝对环流守恒
dCa 0 dt
5
2、力管项存在的条件及其物理意义
利用Stokes公式，有：
N Lp r (p)ds
方向环流增强。
10
§5.2 涡度方程
1 自然坐标系中的铅直涡度分量
绝对速度：
Va V r
绝对涡度：
Va
V
( 又r)：
( r ) 2
故：
a 2
相对涡度：
V
i
j
k
i
w
v
y z
j
u
w
z x
k
v
u
Байду номын сангаас
x y
11
相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚
直观，为此将铅直涡度分量 转换为自然坐标的表达形式。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为： Va
V
r
LVa
r
LV
r
L
(
r)
r
Ca C C e
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和
C LV r
Ce
( r ) r
L
对牵连 环流：
dCa dC dCe dt dt dt
Ce L ( r ) r A ( r ) ndA A[3 r ( 3)r ] ndA
A 2 ndA A2 cosdA A 2dAe 2Ae
9
可得相对环流定理：
dC dp 2 dAe
dt
L
dt
上述等式右边第一项为力管项。第二项称为惯性项，其本质
是科氏力的环流项，因为：
dCe d
(
r)
r
d
[(
r)
r]
(
dr
)
r
(
r)
dr
dt
dt
L
L
dt
有关。
Vh 0 n
例子
急流轴
Vh 0 n
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度项较 大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一项。 例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度项， 而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
2 涡度方程
z坐标系的涡度方程的推导思路：利用X和Y方向的水平运
动方程，分别对y和x求偏导数，然后后者减前者便可。
u u u v u w u fv 1 p
1
t x y z
x
v u v v v w v fu 1 p
t x y z
y
2
对(2)进行 运算，（1）进行 运算，然后两式相减
/ x
/ y
并注意到涡度垂直分量的定义： v / x u /，y得涡度方
取沿流线的自然坐标系（图5.5），则水平风矢量为：
Vh Vh s
u
Vh
i
Vh
cos
v Vh j V hsin
则：
v x
Vh x
sin
Vh
cos
x
u y
Vh y
cos
Vh
sin
y
自然坐标系和直角坐标系
取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方向，
涡度垂直分量可表示为：
v u x y
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的
力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数和）
外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
w y
v z
S
其中： (p) p
若令：
B
(
p)
斜压矢量
则力管项：
N Lp r B ds
S
数学推导
力管项非零的必要条件是大气的斜压性
6
斜压矢量 的模的物理含义：
B | B || || p | sin
1
1
sin
h hp
1 sin
1
1
hp DC cos h p DC S ABCD
单位压容（力）管
dCa ? dt
3
不考虑摩擦力的绝对运动方程为：
d aVa dt
P a
(5.1)
对闭合曲线L，取上式环流积分
daVa
L dt
r
p r
L
La r
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
LVa
da dt
(r )
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
=0
绝对环流加速度＝绝对加速度的环流 4
Vh
s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度
12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
；0
反气旋弯曲：rs<0, 则
Vh
；
0
rs
2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀
L
dt L
dt
L
(
V
)
r
L
(
r)
V
L
( V
)
r
L
[(
r
)
V
] L (r ) V
L (V ) r L (V ) r 2L (V ) r L 2(V ) r
推导？
牵连环流对相对环流的影响可解释如下：在北半球如果L所包围的面
积在赤道平面上的投影Ae随时间增大，则相对环流减弱，因为环线L 扩大时，表示环线上的空气微团有向外的法向速度分量Vn，这样对应 Vn的科氏力与L方向（逆时针）相反，故科氏力使得L方向的环流减弱 ；反之环线缩小，则法向速度向内，科氏力与L方向相同，因此使得L
程：
u v w ( f )(u v ) v w u w
t x y z
x y z x z y
1
2
(
x
p y
y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：
t
Vh h
w
z
v (
f ) Vh
1
2
(
x
p y
y
p ) ( u x z