微积分简介.ppt.53页PPT

和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。

，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。

多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。

微分学
微分学主要研究的是在函数自变量变化时如
何确定函数值的瞬时变化率（或微分）。换 言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学 的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应 用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找 点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。
积分学
积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出
原函数,又分为定积分与不定积分。一个一元 函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面 积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。 因此，我们可以用积分来计算平面上一条曲 线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或 体积等。而不定积分的用途较少，主要用于 微分方程的解。

牛顿

牛顿在1671年写了《流数法和 无穷级数》，这本书直到1736 年才出版，它在这本书里指出： 变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以 前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把 连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流 数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连 续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已 知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
2：微积分的创立

微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和 积分的思想在古代就已经产生了。 极限的产生 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面 积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题 中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如中国的庄周所 著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到 “割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆 周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限 概念。

(注意:v不为0)
设y=f(v),v=g(x)均有导数,则
y '(x) f '(v).g '(x)
dy dy . dv dx dv dx
10
例3. y tan x,求y
解：
y'


sin x cos x


(sin
x) 'cos x sin cos2 x
x(cos
x) '
h

h0

1 2
gt
2
2
二、极限
当自变量x无限接近于某一数值x0（记作x x0） 时，函数f(x)的数值无限趋于某一确定的数值a,则
a叫做x x0时函数f(x)的极限值,记作
lim f (x) a
xx0
例2:
lim(x2 2x 3) ?
x0
lim arctan x
当取 x0 0 时，有近似公式
f (x) f (0) f '(0)x
15
当x为小量时,可得到一系列的近似公式
(1 x)N 1 Nx 1 x 1 1 x 2
ex 1 x ln(1 x) x sin x x; tan x x
16
一、定积分
积分
物体做匀速直线运动，路程=速度X时间，即s=v x t,
f (x) f '(x)
则在x=a到x=b区间内f(x)对x的定积分等于f(x)在这区 间内的增量，即
b
a f (x)dx f(b) f(a)
其中f(x)称为原函数。积分是导数的逆运算。
19
例1. 求 2 x3dx 0
2

其中 , 为任意常数.
积分举例 例4 求积分

x 1 dx.
3
x2
解 先将 x 1 展开, 然后再利用积分公式及运算法
3
则, 得
3 1 x3 3x 2 3x 1 dx x 3 2 dx 2 x2 dx x x x x2 1 3x 3ln x C. 2 x
也是 f ( x) 的原函数.其中 C 为任意常数; 并且 f ( x) 的 原函数一定可写成 F ( x) C 的形式.
2.不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义. 定义 在区间 I上, 函数 f ( x) 的带有任意常数的原函数,
称为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分, 记作
即 f x dx F x C, 其中 F ( x) 是 f ( x) 的原函数.
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
3.基本积分公式
1 0dx C.
dx 3 ln x C x dx arcsin x C. 5 1 x2
1 x 2 x C 1 . dx 1 dx arctan x C. 4 2 1 x
cos x sin x.
又如,
1 ln x 1 x 2 , 1 x2


故,
1 1 x
2 ln x 1 x . 的原函数为 2


我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函 数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,
线过 1, 2 代入曲线方程得 C 1, 故所求曲线的方程为

y x 1.

微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。

第九章
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作

i 1
例 1 比较积分值0 e dx 和0 xdx 的大小.
解 令 f ( x ) e x x,
2
x
2
x [ 2, 0]
x ( e 2 x )dx 0, 0
f ( x ) 0,

0


0
2
e dx 2xdx ,
x
于是

2
0
e dx 0 xdx .
a
x1
x i 1 i xi
x n 1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f ( i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i ) x i
曲边梯形面积的近似值 n 为
i 1
A f ( i )xi
当分割无限加细 , 记小区间的最大长度 或者 ( x )
x max{ x1 , x2 , x n }
积分上限
为
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
n
积分和
积分下限
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注意：
（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分存在时 ，
b
b
b
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
三、存在定理
定理 1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b ] 上连续时