chapter8 一维输运问题

第八章 量子力学基础8.1 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schrödinger 方程为()()()()()()()()222222222d 2d d d '2d 2d x C x E x m x x x E C x E x m xm xψψψψψψψ-+=∴-=-⇒-=边界条件不变，因此Schrödinger 方程的解为()22'21282πsin n n n E m a n x x a a ψ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩即()0V x C =≠不影响波函数，能级整体改变C :222'8E E C n m a C=+=+8.2 一质量为m ，在一维势箱0x a <<中运动的粒子，其量子态为()122π3π0.5sin 0.866sin x x x a a a ψ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （1） （1） 该量子态是否为能量算符ˆH的本征态？ （2） （2） 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？（3） （3） 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ 解：对波函数的分析可知()()()()()()()132221133220.50.8663ˆˆH , H 88x x x hhx x x x m am aψψψψψψψ=+==（1） （1） 由于()()()(){}(){}()132221322ˆˆˆH0.5H 0.866H 0.530.50.86688x x x h hx x E x m am aψψψψψψ=+=⨯+⨯≠因此，()x ψ不是能量算符ˆH的本征态。

（2） （2） 由于()x ψ是能量本征态()1xψ和()3x ψ的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为2213229, 88hhE E mama ==其出现的概率分别为220.50.25, 0.8660.75==（3） （3） 能量测量的平均值为()22132270.250.750.250.75988hhE E E mama =+=+⨯=8.3 1 g 重的小球在1 cm 长的盒内，试计算当它的能量等于在300 K 下的kT 时其量子数n 。

有限差分法在一维输运方程定解中的运用2012年2月第12卷第1期廊坊师范学院(自然科学版)JournalofLangfangTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Feb.2012V0l_12No.1有限差分法在一维输运方程定解中的运用林喜季(福建江夏学院,福建福州350108)【摘要】有限差分方法就是一种数值解法,在一维输运方程定解中可以巧用它来解题,把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程,然后利用电子计算机求此线性代数方程组的解.【关键词】一维输运方程;有限差分法;定解问题FiniteDifferenceMethodin0ne—DimensionalTransport EquationintheUseofDefiniteSolutionLINXii【Abstract】Thefinitedifferencemethodisanumericalmethod,one-dimensionaltransportequationinth esolutioncanbeskillfullyusedittosolveproblems,thecontinuousvariationofthatvariablepartialdifferential equationisdiscretizedintoafinitenumberofalgebraicequations,andthenusethecomputertosolveThishnearalgebraice quations.【Keywords】one-dimensionaltransportequation;finitedifferencemethod;definitesolutionproblem[中图分类号]0175.2(文献标识码]A[文章编号]1674—3229(2012)01—0016—03 在数学中,有限差分法的内涵是指用差商代替微商,即用泰勒级数展开式将变量的导数写成变量在不同时间或空间点值的差分形式的方法.它的基本思想是按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干方格网,用泰勒级数展开近似式代替所用偏微分方程中出现的各阶导数,从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程,然后,解此线性代数方程组.l导数用泰勒级数展开近似式导数(微商)y:=m0=±,是无限小的微分m0△),除以无限小的微分是△的商.它可以分别近似为:,,=dxAx=(1)y=Ax=(2)y=dxAx=坐(3)式(1),(2)相当于把泰勒级数y(+~xx)=y()+(Ax)y+1(△)+…(—Ax)=y()一(△)y+1(△)+…截断于(Ax)v项,把(Ax)项以及更高幂次的项全部略去.式(3)相当于把泰勒级数y(+Ax)一Y(一△)=2(Ax)Y+(△)y,-+..截断于2(Ax)项,把(Ax)项以及更高幂次的项全部略去.因此,式(3)的误差小于式(1)和(2).二阶导数类似的可近似为差商的差商,一X[dx…一血dx【一止]:志[(+△)+y(—Ax)一2y()](4)[收稿日期]2011—11—21[作者简介]林喜季(1977一),女,福建江夏学院讲师,研究方向:代数表示论.16?第12卷?第1期林喜季:有限差分法在一维输运方程定解中的运用2012年2月这相当于把泰勒级数Y(+△)一v(一△)=2y()+(△)+(△)Y+..'截断于(△)项,把(△)项以及更高幂次的项全部略去.偏导数也可仿照式(1)一(4)近似为商差.这样一来,偏微分方程就成了差分方程.2一维输运方程的定解问题如,在区间(0,L)上求解一维输运方程"='axx.分析:(1)把整个空间分为.,个"步子",每一步的长度=I/J.于是,自变量以步长跳跃,它的取值是(i=0,1,2,…,.,).把时间步长取为zI,即自变量t取值t=kv(k=0,1,2,…,).(2)仿照式(1)和(4),一维输运方程可近似为(1)=(1—2lM(￡),2+l_!["(+l,t)+u(一1,t)】(5)这样只要知道某个时刻t的u在各个地点的值(,t),代人式(5)就可以得到下个时刻t…的的各个地点的值u(i,t).但这种解法时间t的步长z.不能太大,必须满足条件≤1,否则,由于舍入误差,会在其后各步的计算中产生雪崩影响,以致计算结果完全失去意义. (3)仿照式(2)和(4),一维输运方程可近似为u(,t)一U(i,t一1)r2(+1,t)+u(i一1,t)一2U(,t)即"(¨)=(1+2竿)Ⅱ(),2一旦j三[(+1,t)+"(,t)】(6)这样做可以取消对步长r的限制.但是知道某个时刻t的Ⅱ在各个地点的值(,t),并不能代入式(6)直接得到下个时刻t川的的各个地点的值(,t),且必须把i=1,2,3,…,.,一1的共计J一1个同式(6)的方程联立起来求解u(t,t+1),u(2,t+1),…,u(J一1,t%+1),当然这种联立方程的计算依靠电子计算机还是很方便的.(4)仿照式(3),偏导数近似为u(Xi'tk+1):,从而一维输运方程可近似为M(,t+1)一u(,t):u(Xi+?,tk+1)+u(—t,+.)一2u(,t+吉).上式中(,tk+)可理解为:[配(,t+.)+u(,t)】/2,于是,上例差分方程即为窘u(…)一(+字)"()+au("~i-1+)=一Ⅱ()一(1一窘)"(3Ci~tk)一骞H+1)(7)知道某个时刻t的在各个地点的值M(,t)后,必须把i=1,2,3,…,J一1的共计.,一1个同式(7)的方程联立起来求解"(.,t…),U(2,t+1),…,(J—l,t+1),当然这种联立方程的计算依靠电子计算机还是很方便的.这种解法对时间的步长也有限制,应满足2≤1,但与解法(2)相比限制要宽些.3用近似式求一维波动方程的定解问题如,在区间(0,L)上求解一维波动方程%一a"=0.把整个空间分为.,个"步子",每一步的长度=l/J.把时间步长取为r,仿照式(4),一维波动方程可近似为"(戈,t+1)+(,t一1)一2u(,t)即(.):2(1一譬)u(+旦}[(+1,tk)+(;一1,)一¨(,一1)】.这就是说,只要知道某时刻t及其以前时刻的U在各个地点i的值u(,t),代入上式,就可以得到下个时刻tk+.的的各个地点的值"(,t…).在此f青景下,时间的步长r的限制条件为≤1.17?,J,L2一,J一,L2"r,+,L22012年2月廊坊师范学院(自然科学版)第12卷?第1期从上述例子可以看出,在研究一维输运方程定解问题时,可采用有限差分法,按适当的数学变换把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解.该方法具有简单,灵活,容易在计算机上实现的特点.并且该方法还有很强的通用性,如热传导过程,气体扩散过程这类定解问题,其过程都与时间有关,利用差分法解这类问题,就是从初始值出发,通过差分格式沿时间增加的方向,逐步求出微分方程的近似解.再如弹性力学中的平衡,电磁场及引力场等问题,其特征均为椭圆型方程,利用差分法解这类问题,就是合理选定的差分方格网,建立差分格式,最后求解代数方程组.[参考文献][1]吴顺唐,邓之光.有限差分法方程[M].南京:河海大学出版社.1993.[2]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2004.[3]王晓东.算法与数据结构[M].北京:电子工业出版, 1998.[4]王震,谢树森.解四阶拟线性波动方程的一类二阶差分格式[J].中国海洋大学,2004,(34).(上接15页)将上述n为奇数与n为偶数两种情况统一起来,可得数列{a)的通项公式为.=1[(口.+.)+(一1)(.一n.)】?r.2)看P≠1,根据文献l3j结论司知,b=+()p,即有an+lan=+【一)p,从而anan_l=+(?一-qp)p.若令一1)=+(一,(n≥2),贝0ana一:f(一1).当p≠±,g≠o时,一)+(g一)p=一p棚=qp(1一p)≠0(n≥2),从而,('一p)≠0(n≥).由%a一.=/(n一1)递推可得:当n为大于1奇数时,(n一1)(一1)厂(//,一3).n':(—.—.::—0n一:je'.——.::—'':e';:—:二—;0n一=?…?f1al;一厂(n一2)厂(一4)厂(3)'()'当ll,为大于2的偶数时,n=:;{—;——{.一:=.一18?=船?…?n一12Ⅱ[,(2Jl})]即当n为大于1奇数时,a=丁_—一a.;Ⅱ厂()Ⅱ()当n为大于2的偶数时,.=T或改写为a=Ⅱ[,(2)]二者可统一为n=—1[(nl+口2)+(一1)(n2一口1)]?{{一吉【3+(一1)】)n一吉[3+(一1)】[Ⅱ[(2)]/Ⅱ厂(+)](-1),nEN+且n≥3,其中f(n)=(1一p),n∈N+.[参考文献][1]劳建祥.递推数列求通项大观[J].数学教学,2005,(3): 41—42.[2]高焕江.也谈二阶线性递推数列的周期?t:ff-[J].廊坊师范学院,2009,9(6):8—10.[3]高焕江.二阶线性递推数列的通项公式[J].保定学院学报,2010,23(3):34—37.。

专题讲座5-一维问题1. 自由粒子问题自由粒子（处处()0V x =）。

在经典理论中它意味着等速运动，但是在量子力学中这个问题相当微妙。

定态薛定谔方程为:222,2d E m dxψψ-= 或者222,d k dx ψψ=- 其中k ≡用指数形式来表示其一般解：().ix ixx Ae Be ψ-=+ 对自由粒子没有边界条件去限制k 的取值（E 的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。

加上标准的时间因子，exp(/)iEt - ，22(,).k k ik x t ik x t m m x t AeBe ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ψ=+ 我们知道，任何函数以特定的组合()x vt ±依赖变量x 和t （对某个常数v ）都代表一个具有固定波形的在x 方向传播的波。

波形上一个固定点（例如，最高点或最低点）对应着宗变量的一个固定值，使得变量x 和t 满足x vt ±=常数，或者 x v t =+常数 既然波形上的每一点都以同样的速度运动，波形的形状在转播的过程中是不改变的。

这样2.93式右边的第一项代表一个向右转播的波，而第二项代表一个向左的波(能量相同)。

既然这两个波的区别仅在于k 前面的正负号，我们也可以写作2()2(,),k i kx t mk x t Ae-ψ=并让k 可以取负值以包括向左传播的波：00 k k k >⇒⎧≡±⎨<⇒⎩向右传播，向左传播.显然，自由粒子的“定态”是传播着的波；它们的波长是2/k λπ=，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有动量.p k = 这些波的速度(t 前面的系数除以x 前面的系数)是2kv m == 量子另一方面，一个具有能量2(1/2)E mv =（纯动能，既然势能0V =）的经典自由粒子的速度是2.v v ==量子经典 表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬−这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。

第三章 一维势场中的粒子§3.1 一维运动问题的一般分析一维问题的实际背景是平面型固体器件，“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。

3.1.1 一维定态Schrödinger 方程的解的一般特征一维定态Schrödinger 方程是222(),2d V x E m dx ψψψ-+= 或者写为二阶常微分方程的标准形式 ()2222()0.d m E V x dxψψ+-= 在经典力学的意义上E T V =+，其中T 是动能，永远0≥，因此我们永远有0E V -≥。

而在量子力学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子在某点处有多大的动能，因此即使在0E V -<的区域里，波函数仍然有非零解。

然而方程在0E V -<的区域和0E V ->的区域解的特征是完全不同的。

我们把0E V ->的区域称为经典允许区，0E V -<的区域称为经典禁戒区。

把方程重写为22212(),d m E V dxψψ=-- 并假设ψ是实函数。

画出()vs ()x x ψ的曲线，那么我们发现：在经典允许区(0->E V 即>E V )里，()x ψ在横轴上方是向上凸的，在横轴下方是向下凹的；在经典禁戒区(0-<E V 即<E V )里，()x ψ在横轴上方是向下凹的，在横轴下方是向上凸的。

所以，在经典允许区里()x ψ呈现出振荡式的行为，而在经典禁戒区里()x ψ通常是单调变化的。

这样一个直观的图像对于我们理解以后的问题很有帮助。

3.1.2 关于一维定态Schrödinger 方程的解的基本定理朗斯基(Wronski)定理：若势能()V x 在-∞<<+∞x 上没有奇点，ψ1()x 和ψ2()x 都是一维定态Schrödinger 方程的解，而且属于相同的能量，那么12121212ψψψψψψψψ''∆≡≡-=''常数, 其中/d dx ψψ'≡。

一维Riemann 问题数值解与计算程序一维Riemann 问题，即激波管问题，是一个典型的一维可压缩无黏气体动力学问题，并有 解析解。

对它采用二阶精度MacCormack 两步差分格式进行数值求解。

同时，为了初学者入门和练习方便,这里给出了用C 语言和Fortran77编写的计算一维Riemann 问题的计算程序，供大家学习参考。

A-1利用MacCormack 两步差分格式求解一维Riemann 问题1.一维Riemann 问题一维Riemann 问题实际上就是激波管问题。

激波管是一根两端封闭、内部充满气体的直管，如图A.1所示。

在直管中由一薄膜将激波管隔开，在薄膜两侧充有均匀理想气体（可以是同一种气体，也可以是不同种气体），薄膜两侧气体的压力、密度不同。

当0≤t 时，气体处于静止状态。

当0t =时，薄膜瞬时突然破裂，气体从高压端冲向低压端，同时在管内形成激波、稀疏波和接触间断等复杂波系。

2.基本方程组、初始条件和边界条件设气体是理想气体。

一维Riemann 问题在数学上可以用一维可压缩无黏气体Euler 方程组来描述。

在直角坐标系下量纲为一的一维Euler 方程组为：,11x t x∂∂+=-≤≤∂∂0u f(A.1) 其中 2,()u u u p E E p u ρρρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u f (A.2)这里ρ、u 、p 、E 分别是流体的密度、速度、压力和单位体积总能。

理想气体状态方程：()()()221112p e E u v γργρ⎡⎤=-=--+⎢⎥⎣⎦（A.3）初始条件：1111,0,1u p ρ===；2220.125,0,0.1u p ρ===。

图A.1 激波管问题示意图边界条件：1x =-和1x =处为自由输出条件，01u u =,1N N u u -=。

3.二阶精度MacCormack 差分格式MacCormack 两步差分格式：()121111122211122n n n njj j j n n n n n jj j j j r r +-+++++=--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u f f uu u f f (A.4)其中tr x∆=∆。

一维量子输运理论及其应用量子输运理论是物理学领域的一个重要分支，是对电子在量子体系下输运行为的研究。

近年来，随着科技的发展，量子计算机、量子通信等领域的兴起，量子输运研究变得越来越重要。

本文主要介绍一维量子输运理论及其应用。

一、一维量子输运模型一维量子输运模型是对电子在一维结构材料中输运行为的研究。

我们可以把一维结构理解为一些离散的原子链，每个原子链上只有一个自由度，即只能沿着链方向移动。

假设这个原子链上存在电子，电子可以通过与结构材料的相互作用，向左右两个方向运动。

电子受到的作用力主要包括向心力、离心力、库伦力等。

当电子在结构材料上运动时，它们会发生相互碰撞，这些碰撞过程对电子的输运性质产生了重要影响。

二、一维量子输运理论在一维结构材料中，电子的能量和动量在x方向的波动方式可以用波函数来描述。

根据薛定谔方程，可以得到波函数的演化方程式。

具体而言，波函数演化的速率可以用密度矩阵来描述。

在一维结构材料中，密度矩阵的主要变化包括自由演化和受到碰撞引起的衰减。

在量子输运理论中，最基本的量是传导系数。

传导系数可以表示为电流密度和排名运动速度的比值。

通过传导系数，我们可以研究电子的输运过程。

在一维结构材料中，电子的输运过程主要受到组态密度、电子互相作用、有限尺寸效应等影响。

这些因素会影响电子的散射状态，进而影响传导系数的大小。

三、一维量子输运的应用一维量子输运的应用非常广泛。

我们可以利用一维结构材料来设计和制造各种电子器件，比如无线电收发器、传感器、半导体器件等。

这些器件都需要电子在其中进行有效的传输。

通过对一维量子输运理论的研究，我们可以了解电子输运的机理，为器件的设计和制造提供依据。

此外，一维量子输运理论也有着广泛的研究领域。

比如在生物医学中，研究人类血液中电子的输运行为有助于对疾病的诊断和治疗。

在光伏领域中，利用一维结构材料来制备太阳能电池，可以大大提高电池的效率和稳定性。

总之，一维量子输运理论在科技领域中有着广泛的应用，通过研究电子在一维结构材料中的输运过程，我们可以深入掌握电子与材料的相互作用机理，为实现更高效、更稳定的电子器件提供理论和实践指导。

第七章-⼀维波动⽅程的解题⽅法及习题答案第⼆篇数学物理⽅程——物理问题中的⼆阶线性偏微分⽅程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理⽅程—偏微分⽅程；2、给定数理⽅程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(⾃然条件，连接条件)，从⽽与数理⽅程⼀起构成定解问题；3、⽅程齐次化；４、数理⽅程的线性导致解的叠加。

⼀、数理⽅程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I ．质点⼒学：⽜顿第⼆定律F mr = 连续体⼒学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ-?=+??=????-?+??=+=?????弹性定律弦弹性体⼒学杆振动：波动⽅程);膜流体⼒学：质量守恒律：热⼒学物态⽅程： II.麦克斯韦⽅程;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??==?=?=?==?=+?=+??=-?= d d d d d d d 满⾜波动⽅程。

Lorenz ⼒公式⼒学⽅程；Maxwell eqs.+电导定律电报⽅程。

III. 热⼒学统计物理220;0.T k T t D t ρρ??-?=-?=???热传导⽅程：扩散⽅程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量⼦⼒学的薛定谔⽅程：22.2u i u Vu t m=-+稳态⽅程 Laplace equation 20u ?= 椭圆型⼆、数理⽅程的导出推导泛定⽅程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的⾃变量。

（2）⽴假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“⽆理取闹”（物理趣乐）。

（3）取局部：从对象中找出微⼩的局部（微元），相对于此局部⼀切⾼阶⽆穷⼩均可忽略---线性化。

一维输运方程一维输运方程是描述在一维空间中物质输运的数学模型。

它在很多领域都有广泛的应用，例如流体力学、热传导和电子输运等。

在一维输运方程中，物质的输运是通过扩散和对流两个机制来实现的。

扩散是指物质由高浓度向低浓度的自发传播，而对流则是指物质随着流体的运动一起传输。

对于不同的物质和系统，扩散和对流的相对重要性是不同的。

一维输运方程的一般形式可以表示为：∂C/∂t = D∂²C/∂x² - v∂C/∂x其中，C是物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数，v 是对流速度。

方程的左边表示浓度随时间的变化率，右边第一项表示扩散对浓度的影响，第二项表示对流对浓度的影响。

扩散项的形式是二阶导数，表示了浓度梯度对扩散的贡献。

扩散系数D是一个常数，它决定了扩散的速率。

当扩散系数较大时，扩散对浓度的影响就比较显著。

对流项的形式是一阶导数，表示了流体速度对浓度的影响。

对流速度v可以是正值或负值，分别对应物质的向右或向左传输。

对流对浓度的影响与流体速度和浓度梯度的乘积成正比。

一维输运方程的求解需要给定初始条件和边界条件。

初始条件是指初始时刻物质浓度的分布情况，边界条件是指在空间两端的浓度值或梯度值。

通过求解一维输运方程，可以得到物质浓度随时间和空间的变化规律。

对于一些简单的问题，一维输运方程可以通过解析方法求解，得到精确解。

但对于复杂的问题，往往需要借助数值方法进行求解。

常用的数值方法包括差分方法、有限元方法和有限体积方法等。

一维输运方程的应用非常广泛。

例如，在流体力学中，一维输运方程可以用来描述流体中各种物质的输运过程，如气体中的热传导、液体中的溶质扩散等。

在电子输运中，一维输运方程可以用来描述电子在半导体器件中的运动和扩散过程。

在环境科学中，一维输运方程可以用来模拟污染物在土壤和水体中的传输和分布。

一维输运方程是描述一维空间中物质输运的重要数学模型。

通过对一维输运方程的求解，可以揭示物质扩散和对流的规律，为各个领域的问题提供理论和实践的指导。