高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角 北师大版选修2-1

y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。

高二济南数学课本目录必修五第一章数列1.数列1.1数列的概念1.2数列的函数特性2.等差数列2.1等差数列2.2等差数列的前n项和3.等比数列3.1等比数列3.2等比数列的前n项和4.数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形1.正弦定理与余弦定理1.1正弦定理1.2余弦定理2.三角形中的几何计算3.解三角形的实际应用举例第三章不等式1.不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式2.一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用3.基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大（小）值4.简单线性规划4.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用选修2-1第一章常用逻辑用语1.命题2.充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3.全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定4.逻辑连结词“且”“或”“非”4.1逻辑连结词“且”4.2逻辑连结词“或”4.3逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何1.从平面向量到空间向量2.空间向量的运算3.向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示4.用向量讨论垂直与平行5.夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角6.距离的计算第三章圆锥曲线与方程1.椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质2.抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质3.双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质4.曲线与方程4.1 曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证1.归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2.综合法与分析法2.1综合法2.2分析法3.反证法4.数学归纳法第二章变化率与导数1.变化的快慢与变化率2.导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3.计算导数4.导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则5.简单复合函数的求导法则第三章导数的应用1.函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值2.导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题第四章定积分1.定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分2.微积分基本定理3.定积分的简单应用3.1平面图形的面3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入1.数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念2.复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。

空间向量求二面角的方法方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角,则向量OA 与OB 所成的角就是所求的二面角的大小．例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角．解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ,连结AE 、DE ，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角,且BC⊥平面ADE ，∴BC⊥AD，∴0EC DA =．设正四面体棱长为1．∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ =222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424=+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA ==, ∴cos ED EAED EA ED EA =，11433322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos3．方法二:利用法向量求解:设1n 是平面α的法向量，2n 是平面β的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图,则1n 与2n 之间的夹角θ就是欲求的二面角;②若两个平面的二面角如图3所示的示意图,设1n 与2n 之间的夹角为θ．则两个平面的二面角为πθ-． 例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC ，SA=BC=2,AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S —ND-A 的余弦值．解析：平面ABC 的法向量是AS ,设平面SND 的法向量为BC AB AS λμ=++n ．∵SA⊥平面ABC ，∴SA⊥BC,SA⊥AB，∴0AS BD =,0AS BN =,0AS BC =，0AS AB = 又AB⊥BC,∴0BC BN =，0AB BD =,0BC NA =． 由()()ND BC AB AS BD BN λμ=++-n 280BC BD AB BN λμλμ=-=+=。

人教A 版高中数学教科书目录(2019新版)人教A 版(2019)必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 1.2集合间的基本关系 1.3集合的基本运算1.4充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量词第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第三章 函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示 3.2函数的基本性质 3.3幂函数3.4函数的应用（一） 第四章 指数函数与对数函数4.1指数 4.2指数函数 4.3对数 4.4对数函数 4.5函数的应用（二） 第五章 三角图数5.1任意角和孤度制 5.2三角函数的概念 5.3诱导公式5.4三角函数的图象与性质 5.5三角恒等变换 5.6函数sin()yA x ωϕ+5.7三角函数的应用人教A 版(2019)必修第二册第六章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 6.2平面向量的运算6.3平面向量的基本定理及坐标表示 6.4平面向量的应用 第七章 复数7.1复数的概念 7.2复数的四则运算 7.3*复数的三角表示 第八章 立体几何初步8.1基本立体图形 8.2立体图形的直观图 8.3简单几何体的表面积与体积 8.4空间点、直线、平面的位置关系 8.5空间直线、平面的平行 8.6空间直线、平面的垂直 第九章 统计9.1随机抽样 9.2用样本估计总体 第十章 概率 10.1随机事件与概率 10.2事件的相互独立型 10.3频率与概率人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.2空间向量基本定理1.3空间向量及其运算的坐标表示第二章直线与圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.2双曲线3.3抛物线人教A版(2019)选择性必修第二册第四章数列4.1数列的概念4.2等比数列4.3等差数列4.4数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.2导数的运算5.3导数在研究函数中的应用人教A版(2019)选择性必修第三册第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6.2排列与组合6.3二项式定理第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.2离散型随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.4二项分布与超几何分布7.5正态分布第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性8.2一元线性回归模型及其应用8.3列联表与独立检验。

§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角学习目标 1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念(重点).2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题(重点).3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤(重、难点).知识点一 直线间的夹角当两条直线l 1与l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角叫作两直线的夹角.当直线l 1与l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角.空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉； 当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉. 【预习评价】(1)异面直线的夹角范围是什么？ 提示 异面直线的夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2，－4，2)，b ＝(1，－1，0)，则异面直线l 1，l 2的夹角为________.解析 设异面直线l 1，l 2所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|2＋4＋0|26×2＝32，所以θ＝30°. 答案 30°知识点二 平面间的夹角如图，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R 在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角. 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 1〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉； 当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉. 【预习评价】两平面的夹角范围是什么？ 提示 两平面的夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.题型一 两条异面直线所成角的向量求法【例1】 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.规律方法 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.【训练1】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置.解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设E (1，t ，0)(0≤t ≤2)，则A (1，0，0)，D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，C (0，2，0)，D 1A →＝(1，0，－1)，CE →＝(1，t －2，0)， ∴cos 60°＝|D 1A →·CE →||D 1A →|·|CE →|＝12.所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点. 题型二 平面间的夹角的向量求法【例2】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形.(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值.(1)证明 因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD .因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，且AC底面ABCD ，BD底面ABCD ，因此CC 1⊥底面ABCD .由题意知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .(2)解 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直.如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设AB ＝2. 因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1.于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2). 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3).设平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值为25719. 规律方法 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：平面间的夹角就是θ.【训练2】 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值.解 如图所示，取BC 中点O ，连接AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0).设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0). 因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→， 得⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量.又因为AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)， 所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1， 又BD ∩BA 1＝B ，BD平面A 1BD ，BA 1平面A 1BD ，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量， 所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，所以平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值为64.【探究1】 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________.解析 设PD ＝a (a ＞0)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，所以DP →＝(0，0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，因为cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以a 22＝a2＋a 24·33，所以a ＝2，所以点E 的坐标为(1，1，1).答案 (1，1，1)【探究2】 在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析 平面xOy 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az . 取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又a ＞0，故a ＝125. 答案 125【探究3】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E.F 分别是线段AB.BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求平面CDE 与C 1DE 夹角的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1夹角的余弦值.解 (1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则有D (0，3，0)，D 1(0，3，2)，E (3，0，0)，F (4，1，0), C 1(4，3，2). 于是，DE →＝(3，－3，0)，EC 1→＝(1，3，2)，FD 1→＝(－4，2，2). 设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DE →，n ⊥EC 1→⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z2，－z 2，z ＝z 2(－1，－1，2)，其中z >0.取n ＝(－1，－1，2)，则n 是平面C 1DE 的一个法向量. ∵向量AA 1→＝(0，0，2)与平面CDE 垂直， 设平面CDE 与C 1DE 的夹角为θ. 由图知所求夹角为锐角，∴cos θ＝|cos 〈n ，AA 1→〉|＝|n ·AA 1→||n |·|AA 1→|＝|－1×0－1×0＋2×2|1＋1＋4×0＋0＋4＝63，∴tan θ＝22.(2)设EC 1与FD 1夹角为β，则cos β＝|cos 〈EC 1→，FD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EC 1→·FD 1→|EC 1→|×|FD 1→| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×（－4）＋3×2＋2×212＋32＋22×（－4）2＋22＋22＝2114.规律方法 利用空间向量解题，大致可分采用基底法和坐标法.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系.难点是在已建好的坐标系中表示出已知点(或向量)的坐标.只有正确表达出已知点(或向量)的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.课堂达标1.若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线的夹角等于( ) A.30° B.150° C.30°或150°D.以上均错答案 A2.已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为( ) A.45° B.135° C.45°或135°D.90°解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝12＝22，∴两平面夹角的大小为45°. 答案 A3.已知点A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，3)，则平面ABC 与平面xOy 夹角的余弦值为________.解析 AB→＝(－1，2，0)，AC →＝(－1，0，3).设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2，1，23). 平面xOy 的一个法向量为OC→＝(0，0，3).由此易求出两平面的夹角的余弦值为27. 答案 274.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________.解析 如图，建立空间直角坐标系.由已知得A 1(4，0，0)，B (4，4，3)，B 1(4，4，0)，C (0，4，3). ∴A 1B →＝(0，4，3)， B 1C →＝(－4，0，3)， ∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝925.答案 9255.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，求AB 1与C 1B 所成角的大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0，0，1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，1.∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1， C 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，1， ∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0， ∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.。

第二章 空间向量与立体几何第五节 夹角的计算第9课时 5.1直线间的夹角【课堂互动】 新知1 线线垂直例1. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，5A B =,点D是AB 的中点， 求证：AC ⊥BC 1笔记：新知2 直线间的夹角例2. 在棱长为a 的正方体'''ABCD A B C -（1）求直线'A C DE 与所成角；笔记：【堂中精炼】3.已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则（A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°4．已知正四面体O —ABC ，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，则OE 与BF 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．31 C ．61 D ．535．已知→-a =（2，-1，3），→-b =（-4，2，x ），若→-a 与→-b 夹角是钝角，则x 取值范围是 ( )A 、（-∞，310） B 、（-∞，2） C 、（310，+∞） D 、（-∞，310-）6．已知E 、F 分别是正方体1AC 的棱11,DD CC 的中点，则E B 1与AF 所成角的余弦值为（ ） （A ）53 （B ）－53 （C ）51 （D ）－517、已知(1,2,3)O A = ，(2,1,2)O B = ，(1,1,2)OP = ，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A Q B ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）（A ）131(,,)243 （B ）123(,,)234 （C ）448(,,)333 （D ）447(,,)3338．a ⊥b ⇔a ·b= .点睛：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，点睛：设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccos AB C DAB C D∙∙x【反馈测评】1.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是： ( )A 、 52-B 、52 C 、53 D 、10102.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则DM 与D 1N 所成角的余弦值是 ( )A 、 55-B 、55 C 、105 D 、5523．已知、B 、C 三点的坐标分别为A(4，1，3)，B （2，－5，1），C （3，7，λ），且−→−AB ⊥−→−AC ，则λ的值为（ ）（A ）28 （B ）－28（C ）14 （D ）－144．已知点A 、B 、C 、D 的坐标各为（－1，0，1）、（－1，0，0）、（－2，－2，－2）、（－3，0，0），则−→−AB 与−→−CD 的夹角为（ ）（A ）32arccos-π （B ）)arccos(32-+π（C ）32arccos+π （D ）32arccos5. 已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________.6．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 . 7已知ba ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .8．→-a =（2，-3，3），→-b =（1，0，0），则→-a 与→-b 夹角为__________。