2018年湖南省高中数学联赛B卷及参考答案

2018年湖南省高中数学竞赛试卷

（9月6日上午9：00-11：00）

注意事项：本试卷共18题，满分150分

一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。本大题共6小题，每小题6分，满分36分）

1. 设函数()log(0,1)afxxaa=>?，若()1220038fxxx=L，则()()2212fxfx+

()22003fx++L的值等于 （ ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 2log8a

2. 如图，S-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面内的一点，若OSAa?，

OSBb?,OSCg?，则tantantanabg的取值范围是 ( )

A. [22,)+? B. (0,22]

C. 1,22轾犏臌 D. ()1,22

3. 某水池装有编号为1，2，3，…，的9 个进出口水管，有的只进水，有的只出水。已知所开的水管号与水池装满水所需的时间如下表：

水管号 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1

时间（小时） 2 4 8 16 31 62 124 248 496

若9 个水管一齐开，则灌满水池所需时间为 （ ）

A. 1小时 B. 2小时 C . 3小时 D 4小时

4. 若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为 （ ）

A. 双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 椭圆或双曲线

2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.设集合A={2,0,1,8},B={2a|a∈A}，则A󰀟

B的所有元素之和是．

解析31．

易知B={4,0,2,16}，故A󰀟

B={0,1,2,4,8,16}．A󰀟

B的所有元素之和是0+1+

2+4+8+16=31．

2.已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ

与底面所成角不大于45◦，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为．

解析3π．

圆锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为O．由条件知，OP

OQ=tan∠OQP󰀁1，

即OQ󰀂1，故所求的区域面积为π·22−π·12=3π．

3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,，则abc+def是奇数的概率为．

解析1

10．

当abc+def为奇数时，abc,def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排

列，d,e,f为2,4,6的排列，这样有3!×3!=36种情况．由对称性可知，满足条件的

情况数为36×2=72种，从而所求概率为72

6!=72

720=1

10．

4.在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，−→n=(3,1)是l的一个法向量．已知数列

{an}满足：对任意正整数n，点(an+1,an)均在l上．若a2=6，则a1a2a3a4a5的值为．

解析−32．

易知直线l的方程是3x+y=0．因此对任意正整数n，有3an+1+an=0，即

an+1=−1

3an，故{an}是以−1

3为公比的等比数列．于是a3=−1

3a2=−2．由等比

数列的性质可得，a1a2a3a4a5=a53=(−2)5=−32．

5.设α,β满足tan󰀈

α+π

3󰀉

=−3,tan󰀈

β−π

6󰀉

=5，则tan(α−β)的值为．

解析−7

4．

由两角差的正切公式可知tan󰀈

(α+π

3)−(β−π

6)󰀉

=−3−5

2019年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的

评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、

11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 已知实数集合{1,2,3,}x

的最大元素等于该集合的所有元素之和，则

x的

值为 ．

答案：

3-．

解：条件等价于1,2,3,x

中除最大数以外的另三个数之和为

0．显然

0x<，

从而

120x++=，得

3x=-．

2. 若平面向量

(2,1)m

a

=-与1

(21,2)mm

b

+

=-垂直，其中m

为实数，则a

的

模为 ．

答案

：10．

解：令2m

t=

，则

0t>．条件等价于(1)(1)20ttt⋅-+-⋅=

，解得

3t=．

因此a

的模为22

3(1)10+-=

．

3. 设,(0,)abpÎ

，cos,cosab

是方程2

5310xx--=

的两根，则sinsinab

的

值为 ．

答案：7

5．

解：由条件知31

coscos,coscos

55abab+==-

，从而

222

(sinsin)(1cos)(1cos)abab=--2222

1coscoscoscosabab=--+

22

22437

(1coscos)(coscos)

5525ababæöæö

÷÷

çç

=+-+=-=

÷÷

çç

÷÷

çç

èøèø．

又由,(0,)abpÎ

知sinsin0ab>，从而7

sinsin

5ab=

．

4. 设三棱锥

PABC-满足3,2PAPBABBCCA=====

，则该三棱锥的

体积的最大值为 ．

答案：26

3．

解：设三棱锥

PABC-的高为

h．取M

为棱AB

的中点，则

22

3122hPM£=-=．

当平面PAB

第1页共7页2018年湖南省高中数学联赛（A）卷试题

参考答案与评分细则

一、填空题(本题满分70分，每小题7分)

1.已知},,{

321aaaBA

，当BA

时，),(BA

与),(AB

视为不同的对，则这样的),(BA

对的个数有____________个．

解:由集合BA,

都是BA

的子集，BA

且},,{

321aaaBA．

当A

时，B

有1种取法；

当A

为一元集时，B

有2种取法；

当A

为二元集时，B

有4种取法；

当A

为三元集时，B

有7种取法．

故不同的),(BA

对有26743231

(个)．

2.若不等式3

2xax

的解集是(4，b)，则实数a=，b=．

解：方法一：设2,则,且(2,)xtxttb，则不等式23

0

2att的解集为

2,)b（

，

所以2

，b是方程23

0

2att的两根，即1

2,

3

2,

2b

a

b

a















解得1

8a

，b=36．方法二：设

123

,

2yxyax

，由不等式3

2xax

的解集是(4，b)，可得两函数

123

,

2yxyax

在同一坐标系中的图象．

设两函数图象的交点为A，B

，则(4,2),(,)ABbb，所以3

24

2a，3

2bab

．解得1

8a

，b=36．

3.从-3，-2，-1，0，1，2，3，4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

的系数，若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有

_____个?

解：可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点

坐标的符号分别考查．

∵图象过坐标原点，第2页共7页∴c=0．∴二次函数可写成f(x)=ax2

+bx的形式．

又∵f(x)=a(x+ab2)2-ab42，∴其顶点坐标是(-

ab

2，

ab

42

)．

若顶点在第一象限，则有-

ab

2>0，-

ab

42

>0．故a<0，b>0．

因此，这样的二次函数有A1

3·A1

4=12个．