湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

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鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2018年春季期中联考

高二数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 抛物线的准线方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=，

其焦点在y轴正半轴上，且p=，

则其准线方程为y=﹣；

故选：D．

2. 函数的导函数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】函数的导函数是

故选：C

3. 下列说法错误．．的是（ ）

A. 对于命题：，使得，则：，均有

B. 若为真命题，则为真命题

C. 若命题“若则”为真命题，则其否命题也可能为真命题

D. 命题“若方程无实数根，则”的逆否命题为：“若，则方程有实数根”

【答案】B

【解析】对于A，对于命题：，使得，则：，均有，正确；

对于B，若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题即可．不一定p、q均为真命题，故B错误；

对于C，若命题“若则”为真命题，则其否命题也可能为真命题，正确； 2 对于D，命题“若方程无实数根，则”的逆否命题为：“若，则方程有实数根”，正确.

故选：B

4. 盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，

则P（A）=，P（AB）=．

∴P（B|A）=．

故选：

点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.

5. 如图所示的程序框图的算法思想来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的，不可能是（ ）

A. 12，18 B. 6，6 C. 24，32 D. 30，42

【答案】C

【解析】根据题意，执行程序后输出的a=6， 3 则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是6，

分析选项中的四组数，满足条件的是选项C．

故选：C．

6. 某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为053，098，则样本中最大的编号为（ ）

A. 853 B. 854 C. 863 D. 864

【答案】C

【解析】∵样本中相邻的两个编号分别为053，098，

∴样本数据组距为98﹣53=45，则样本容量为=20，

则对应的号码数x=53+45（n﹣2），当n=20时，x取得最大值为x=53+45×18=863，

故选：C．

7. 函数在处导数存在且记为，则“是是的极值点”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】x=x0是f（x）的极值点，可得：f′（x0）=0；反之不成立，例如f（x）=x3，f′（0）=0，但是0不是函数f（x）的极值点．

∴“是是的极值点”的必要不充分条件．

故选：B．

8. 在正方体中，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】取D的中点为M，连接MB，易知：MB

∴∠MBF即为异面直线与所成角 4 设正方体棱长为2，在△MBF中，MB=3，BF，MF=

∴∠MBF

∴异面直线与所成角的正弦值为

故选：A

点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．

9. 如图，矩形的四个顶点依次为，，，，记线段，以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】阴影部分的面积是：=，

矩形的面积是：，

∵点M落在区域Ω内的概率：，

故选：D．

10. 现有，，，，五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（ ）

A. 36种 B. 50种 C. 75种 D. 100种 5 【答案】B

【解析】先将五人分成三组，只有2,2,1或者3,1,1，共有种分组方法.有A的那组去清华，剩下的两组去北大和武大，全排列有2种方法，故共有25×2=50种方法

故选：B

11. 将二项式展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】二项式展开式通项为：，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为，无理项互为相邻有，所以所求概率P=，

故选：A．

12. 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】可构造函数F（x）=，

F′（x）==，

由，可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．

不等式即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．

即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），

由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．

故不等式的解集为（0，）， 6 故选：C．

点睛：点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）

13. 二项式展开式中含项的系数为__________（用数字作答）．

【答案】-10

【解析】展开式的通项为=（﹣1）rC5rx10﹣3r

令10﹣3r=1得r=3

∴展开式中含x项的系数T4=﹣C53=﹣10

故答案为：﹣10

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

14. 设随机变量，随机变量，则的方差__________．

【答案】

【解析】由随机变量可知：

∴

故答案为：

15. 设：函数在区间上单调递减；：方程表示焦点在轴上的椭圆.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．学。科。网...学。科。网...学。科。网...学。科。网...学。科。网...学。科。网... 7 【答案】

【解析】∵

∴，

当x∈时，f′（x）0，函数为减函数，

当p为真命题时，，

解得：

（2）若q为真命题，则：

9﹣m＞m﹣1＞0，

解得：1＜m＜5

若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，

故，或

解得：或1＜m＜3

故答案为：

16. 已知函数 ，若对任意的，且，有恒成立，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由题设条件对任意的，且，有,

即恒成立，所以在

上单调递增，所以,故对恒成立，所以，得

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 某数学兴趣小组共有12位同学，下图是他们某次数学竞赛成绩（满分100分）的茎叶图，其中有一个数字模糊不清，图中用表示，规定成绩不低于80分为优秀. 8

（1）已知该12位同学竞赛成绩的中位数为78，求图中的值；

（2）从该12位同学中随机选3位同学，进行竞赛试卷分析，设其中成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，分两种情况，求出图中的值；

（2）因该12位同学竞赛成绩为优秀的有4人，故的所有可能取值为0，1，2，3，

算出相对应的概率值，从而得到的分布列及数学期望.

试题解析：

（1）若，则中位数，不符合；若，则中位数，得，符合，所以.

（2）因该12位同学竞赛成绩为优秀的有4人，故的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，

所以的分布列为

0

1 2

3

的数学期望为.

18. 如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作正 9 方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）取EC中点N，连结MN，BN．由三角形中位线的性质证得MN∥AB，且MN=AB．由此可得四边形ABNM为平行四边形．得到BN∥AM．再由线面平行的判定得答案；

（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面与的法向量，代入公式，即可求出二面角的余弦值.

试题解析：

（1）证明：取中点，连结，.

在中，，分别为，的中点，所以，

且.由已知，，

所以，且.所以四边形为平行四边形.

所以.又因为平面，且平面，所以平面.

（2）在正方形中，又平面与平面垂直，且交线为，所以平面，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，