圆锥曲线题型解题方法与技巧
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圆锥曲线题型、解题方法与技巧
一、直线过曲线焦点，求弦长与面积问题
1．设直线l过椭圆22143xy的右焦点2F，直线交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求线段AB的距离；
（Ⅱ）若线段24||7AB，求直线l的斜率．（用四种方法求解）
2．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点3(1,)2在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于,AB两点，若AOB的面积为627，求直线l的方程．（用三种方法求解）
3．已知椭圆22:142xyC的左、右焦点分别为1F、2F，直线l过1F交C于,PQ两点，且11||2||PFQF，求||PQ．（用三种方法求解）
4．已知椭圆22132xy的焦点为1F，2F．过1F的直线交椭圆于B、D两点，过2F的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P．求四边形ABCD的面积的最小值．
（用三种方法求解）
补充：
1．已知双曲线22221xyab的右焦点为2F，直线l过点2F与双曲线交于A、B两点，且直线l的倾斜角为，则||AB．
2．设抛物线22(0)xpyp，过抛物线焦点F的直线的倾斜角为，直线与抛物线相交于,AB两点，则||AB．
练习
1．（2012北京理）在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线24yx的焦点F，且与该抛物
线相交于A、B两点，其中，A点在x轴上方．若直线l的倾斜角为60，则OAF的
面积为．（用四种方法求解）
2．（2012,1海淀）已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为1F(1,0)，离心率为12.
（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点1F的直线交椭圆C于,AB两点，若PAB的面积为3613，求直线AB的方程．
（用三种方法求解）
3．（2012,4石景山） 学习好资料 欢迎下载
二、直线与曲线相交的一般弦长、面积问题
1．已知直线yxm与椭圆2214xy相交于A，B两点，求||AB的最大值．
2．已知椭圆12222byax（0ba）过点(0,2)M，离心率36e.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线1xy与椭圆相交于BA、两点，求AMBS.
3．直线l与椭圆2214xy交于A、B两点，记AOB的面积为S．当||2AB，1S时，求直线AB的方程．
4．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率12e，且经过点3(1,)2P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线1:2lyxm与椭圆交于点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，当m变化时，求DAB面积的最大值．
5．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的63e，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A、B两点，原点O到l的距离为23，求AOB面积的最大值．
练习
1．（2012北京文）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点为(2,0)A，离心率为22．
直线(1)ykx与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当AMN的面积为103时，求k的值．
2．（2011北京理）已知椭圆22:14xCy．过点(,0)m作圆221xy的切线l交椭圆C
于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将||AB表示为m的函数，并求||AB的最大值．
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三、直线与曲线相交弦的中点问题
1．已知(4,2)M是直线l被椭圆22436xy所截得的线段的中点，求直线l的方程．
2．设椭圆2222:1(0)xyCabab，斜率为1的直线（不过原点O）与椭圆C相交于
A，B两点，M为线段AB的中点．问：直线AB与OM能否垂直？说明理由．
3．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线1ykx相交于两个不同的点A、B，线段AB
的中点为P．若直线OP的斜率为1，求OAB的面积．
4．（2012,1西城）已知椭圆:C22221(0)xyabab的右焦点是(1,0)F，且离心率为12.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于,MN两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点
0(0,)Py，求0y的取值范围．
练习
1．（2011北京文）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为(22,0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于,AB两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
2．已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为63，一个焦点为(22,0)F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线5:2lykx交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点(0,3)M为圆
心的圆上，求k的值．
3．已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的离心率12e，且经过点3(1,)2P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线1:2lyxm与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求TABV面积的最大值．
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四、直线与曲线相交有直角问题
1．椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过(2,0)点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线:lyxm与椭圆C交于,AB两点，若AOB为直角，求m的值．
2．已知椭圆22221xyab的右焦点2(1,0)F，且点3(1,)2在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过2F的直线l交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(3,0)，右顶点为(2,0).
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线:2lykx交椭圆于点A、B，且2OAOBuuruuur，求k的取值范围.
4．已知椭圆12222byax（0ba）的右焦点为2(3,0)F，离心率为e.
（Ⅰ）若32e，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线ykx与椭圆相交于A、B两点，,MN分别为线段22,AFBF的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且2322e，求k的取值范围.
练习
1．在直角坐标系xOy中，点M到点)0,3(),0,3(21FF的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线2:kxyl与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使0OPOQuuuruuur？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
2．已知椭圆12222byax（0ba）过点(0,2)M，离心率36e.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点(2,0)N的直线l与椭圆相交于BA、两点，且AOB为锐角（O为坐标原点)，求直线l倾斜角的取值范围.
3．已知椭圆22221xyab的右焦点为)0,1(F，又(0,)Mb，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于P，Q两点，且使点为△PQM的垂心？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
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五、直线与曲线相交有关定点、定值问题
1．椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线:(0)lykxmk与椭圆交于点M、N（M、N不是椭圆的左右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
2．已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为32,Q为椭圆C的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点6(,0)5的直线l与椭圆C交于A，B两点.
（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得QAB为等腰三角形？
如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
3．已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点(0,2)M是椭圆的一个顶点，12FMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为
1k、2k，且128kk，证明：直线AB过定点1(,2)2．
4．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率是12，左、右顶点分别为1A，2A，
B为短轴的端点，△12ABA的面积为23．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）2F为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于1A，2A的任意一点，直线1AP，2AP与直线4x分别交于M，N两点．
证明：以MN为直径的圆与直线2PF相切于点2F．
5．已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,1)，且离心率为32．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）12,AA为椭圆的左、右顶点，直线:22lx与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于12,AA的动点，直线12,APAP分别交直线l于,EF两点．
证明：||||DEDF恒为定值．
C
