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【最新】新人教版九年级数学上册名师课堂课件22.2.2二次函数y=ax

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22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0

九年级初三数学上册人教版 二次函数 名师教学PPT课件

九年级初三数学上册人教版 二次函数 名师教学PPT课件

b=0
正比例函数:y=kx (k≠0)
2、一次函数有哪些主要特征?
①含未知数的代数式为整式;
②自变量 x的系数k≠0
③自变量 x的次好好数学习是天1天向上
2
一次函数的一般形式是___y_=_k_x_+_b_（__k_≠_0）
下列关系式:
(1) y = 2x+1
(3) y = -4x
(2) y 5 x
(4) y = ax+1
其中,y是x的一次函数有__(_1_)、__(_3_) _
好好学习 天天向上
3
变
量
之 间 的
函 数
关
系
一次函数
概念 图象和性质
与相应方程的联系
实际问题
好好学习 天天向上
4
新课导入
广
场
喷
水
池
喷
出
的
水
一次投篮过程
珠
篮球和水珠在空中走过一条曲线.在这条曲线的各
个位置上,篮球（水珠）的竖直高度y与它距离投
第22章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
好好学习 天天向上
1
一、知识回顾 1、函数的定义是什么?我们学习过哪些函数? 它们的解析式如何表示?
函数的定义:在变化过程中,有两个变量x和y,当x每 确定一个值时,y都有唯一一个值与其对应,我们称 x为自变量,y为x的函数
一次函数:y=kx+b(k≠0)
今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量
增加 x 倍,那么两年后这种产品的产量 y 将随 计划所定的x 的值而确定,y 与 x 之间的关系应
怎样表示? 分析:这种产品的原产量是20t,一

人教版初中数学2021课标版九年级上册第二十二章二次函数的图象和性质(共17张PPT)

人教版初中数学2021课标版九年级上册第二十二章二次函数的图象和性质(共17张PPT)

这里函数y=ax²+bx+c
(其中a,b,c是常数，a≠0)
二次项: ax2 一次项: bx 常数项: c 二次项系数: a 一次项系数: b
什么时候这个函数是正比例函数？a=c=0
一次函数 a=0
y二=次a函x数² 还(其哪中有a几是种常特数？例，a？≠0) y=ax²+bx (其中a,b是常数，a≠0)
y=ax²+c(其中a,c是常数，
a≠0)
1.下列函数中,哪些是二次函数?
是
不是
等式右边不 是整式
不是 a、b、c未界定
y＝x2-2x+1-x2 =-2x+1
不是
先化简 后判断
2、教材P29练习
3、根据生活实例，编一道含 有二次函数关系式的应用题 。
同学们，今天我们 学了哪些知识点？
关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解 据题意得
：m+1：≠0
m≠-1
m2-m=2 ∴m=2
m1=-1;m2=2
❖形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，
a≠0)的函数叫做二次函数。
❖二次函数的条件
（1：）a、b、c为常数:确保自变量只有x；
(2)a≠0：确保等式的右边最高次数为 2 ， 可以没有一次项和常数项，但不能没有二次 项。 （3）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的整式：说明x的取值范围是全体实数 。
人教版初中数学2021课 标版九年级上册第二十 二章二次函数的图象和
性质(共17张PPT)
2020/8/26
22.1.1二次函数
问题1:
棱长为x的正方体,其表面积 y 与棱长 x之间关系 Nhomakorabea以表示为

初三上数学课件(人教版)-二次函数

初三上数学课件(人教版)-二次函数

列二次函数解析式
列二次函数关系式要着重于三个方面：(1)找准实际问题中的 等量关系 ；
(2)根据等量关系 列出方程或等式
；(3)将方程或等式整理
成 二次函数的一般形式
.
自我诊断 2. 在半径为 4cm 的圆中，挖出一个半径为 xcm 的圆，剩下的一
个圆环的面积为 ycm2，则 y 与 x 的函数关系为( D )
A．m，n 是常数，且 m≠0
B．m，n 是常数，且 m≠n
C．m，n 是常数，且 n≠0
D．m，n 可以是任何常数
x2＋2x≤2 9．若函数 y＝2xx＞2 ，则当函数值 y＝8 时，自变量 x 的值是( D )
A．± 6
B．4
C．± 6或 4
D．4 或－ 6

10．二次函数
y＝3－5x－
解：(1)∵原矩形的面积为 3×4＝12(cm2)，边长增加后的矩形面积为(3＋x)(4 ＋x)＝(x2＋7x＋12)(cm2)． ∴y＝x2＋7x＋12－12＝x2＋7x.∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x2＋7x. (2)y＝x2＋7x 是二次函数．因为它满足二次函数的定义中的条件：①是整式， ②自变量的最高次数为 2，③二次项系数不为 0. (3)∵增加的边长必须是非负数，∴x 的取值范围是 x≥0.
是0＜x＜50 ；当 x＝2 时，矩形的面积为 96 cm2.
13．已知两个变量 x、y 之间的关系式为 y＝(m－2)·xm2－2＋x－1. (1)当 m 为何值时，x、y 之间是二次函数关系？ (2)当 m 为何值时，x、y 之间是一次函数关系？ 解：(1)m＝－2； (2)①m－2＝0，即 m＝2 时 y＝x－1； ②m2－2＝1 即 m＝± 3时是一次函 数； ③若 x≠0，m2－2＝0，m＝± 2是一次函数．

人教版九年级数学上册课件2212二次函数y=ax2的图象和性质听课

人教版九年级数学上册课件2212二次函数y=ax2的图象和性质听课
第十四页，共15页。
22.1.2 二次函数(yh＝ánasxh2ù的) 图象(tú xiànɡ)和性质
解： 以上(yǐshàng)解答中，最小值求错了．
当－2≤x≤3 时，二次函数 y＝x2 的图象是包含顶点的抛物线的一部分． 在顶点处图象最低，即当 x＝0 时， y 的值最小，最小值是 0.
第十五页，共15页。
第二十二章 二次函数(hán
22.1 二次函数的图象(tú xiànɡ)和性质
第一页，共15页。
第二十二章 二次函数(hánshù)
22.1.2
二次函数 y＝ax2的图象和性质
知识目标 目标(mùbiāo)突破
总结(zǒngjié)反思
第二页，共15页。
22.1.2 二次函数(yh＝ánasxh2ù的)图象(tú xiànɡ)和性质
知识(zhī shi)目标
1．根据作函数图象的步骤，能够用描点法作出函数 y＝ax2 的图象，并能根据图象确定抛物线 y＝ax2的开口方向、顶
点坐标、对称轴．
2．通过对比几个二次函数的图象 (共同点和不同点 )，归纳
总结二次函数的性质，并能根据其性质解决问题．
第三页，共15页。
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
22.1.2 二次函数 y＝ax2的图象和性质
当－2≤ x≤3 时，求二次函数(yh＝ánsxh2 的ù)最大值和最小值． 解：当 x＝－ 2 时， y＝(－2)2＝4； 当 x＝3 时， y＝32＝9. 所以(suǒyǐ)当x－≤23≤时，
二次函数(hyá＝nsxh2ù的) 最大值是 9，最小值是 4. 请指出以上解答中的错误，并给出正确答案．
A．y1＜y2＜y3 B ． y3<y2<y1 C．y1＜y3＜y2 D． y2＜y3＜y1

人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)

人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)

例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18

初中九年级数学上册,第二十二章,第一节第一课时,《二次函数y=ax2,的图像和性质》,新课教学课件


3
… …
0 1
4 9
二、描点、连线
y 10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
【想一想】
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? (2)图象 与x轴有交点吗？ 如果有,交点坐标是什么? (3)在对称轴左侧与右侧, 随着x值的增大,y 的值如 何变化？ (4)当x取什么值时,y的 值最小?最小值是什么？
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点(x,y),再用平 滑曲线顺次连接各点,就得 到y=-x2的图像.
小资料
y
必须掌握
y=x2
y o x
y=－x2
o
x
定义:函数y=x2,y=-x2的图象都是一条曲线,这条曲线叫做 抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或 者向上或者向下. 一般地，二次函数y=ax² +bx+c的图象叫做抛物线y=ax² +bx+c. 探究:观察y=x2,y=-x2的图象,具有怎样的对称性?
小资料
y＝ax2 图象
必须掌握
a>0 a<0
二次函数y=ax2的性质
开口 方向
对称性 顶点 最值
开口向上
开口向下
关于y轴对称，对称轴是y轴即直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
是，对称轴为y轴
有，（0，0） 在对称轴左侧，x 增大时，y值减小， 在对称轴右侧，x 增大时，y值增大
X=0时，y的最小 值为0

人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)

当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O

新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》(第2课时)课件

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.

九级数学上册第二十二章第2节二次函数y=ax2的图象和性质课件(共22张PPT)


3.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
4.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4 3
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象和性质
探究归纳
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
24
么关系？
－2
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
－4
－6
y 1 x2
y 2x2
2
y x 2 －8
归纳总结
y＝ax2 图象
位置开
口方向
对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
图象 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
重点关注4 个方面
对称轴 顶点坐标
增减性
课后作业
见《学练优》本课时练习
y
二次项系数互为相反数， 在对称轴的左侧, y随x的增大而
,
列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
开口相反，大小相同，它 （3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最 值 .
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是
影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式
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2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象 与x轴交点情况是（ C ） A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
1 个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－
1 2x+m与x轴有＿＿个交点 .
2 2
2
(2)二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种 :
(1) 没有公共点 (2)有一个公共点 (3)有两个公共点 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不等的实数根
利用函数图象求方程x 2 x 2 0的实数根 (精确到0.1).
方法:(1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解.
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
x
4.已知二次函数 y 2 x m x m . (1)求证 : 对于任意实数 m, 该二次函数的图象与 x轴总有公共点 ; (2)若该二次函数的图象与 x轴有两个公共点 A、B, 且A点坐标 为(1,0), 求B点坐标.
2
2
解:
作y x 2 x 2的图象, 它与x轴的公共点的横坐标 大约是 0.7, 2.7. 方程 x 2 x 2 0的实数为x1 0.7, x2 2.7
2 2
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 C. y= －x2 – 3x B. y=－2 x2 + 3 D. y=－2(x+1)2 －3
2 2 2 2 2
x
2
x 1 0没有实数根 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
一般地, 从二次函数y a x bx c的图象可知 , (1)如果抛物线y a x bx c与x轴有公共点 , 公共点 的横坐标是x x0 时,函数的值是0,因此x x0 就是 方程a x bx c 0的一个根.
2 2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:
(1)抛物线y x x 2与x轴有两个公共点 , 它的横坐标 2, 1 , 当x取公共点的横坐标时 ,函数的值是0.由此得出方程x x 2 0 根是 x1 2, x2 1. (2)抛物线y x 6 x 9与x轴有一个公共点 , 这点的横坐标是 3.当 x 3时,函数的值是0.由此得出方程x 6 x 9 0有两个相等的 实数根 x1 x2 3. (3)抛物线y x x 1与x轴没有公共点 ,由此可知, 方程
2
(1)证明 : 令y 0, 得2 x m x m 0 (m) 4 2 m 9m 0
2 2 2
2
2
2
(2) A (1,0)在抛物线 y 2 xx轴总有公共点 m x m 上 不论 m 取何值 , 抛物线与 . 0 2 1 m 1 m
22.2 二次函数与一元 二次方程
第2课时 二次函数 y=ax² +bx+c的图象 与字母系数的关系
观察
下列二次函数的图象与 x轴有公共点吗? 如果有, 公共点的横坐标是多少 ?当x取公共 点的横坐标时 , 函数的值是多少?由此, 你能 得出相应的一元二次方 程的根吗? (1) y x x 2 ( 2) y x 6 x 9 (3) y x x 1
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 y 3 . -1 o 1.3 x
x =－ 1
9.根据下列表格的对应值:
3.2 3.24 3.25 3.26 3 2+b y=ax -bx+c =0 - (a≠0, 0.03 0.09 判断方程 ax2+ a,b,c为常数 )一个解x 的范围是（ x+c C ） 0.0 0.02 A. 3< x < 3.236 B. 3.23 < x < 3.24
2 2 2
2
即 m m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，
16 . 则 c =＿＿
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方 程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿ b2－4ac < 0.
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿， (0，－5) 与x轴交于点
(5/2，0) (－1，0)
.
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ，
x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
(-2，0) (5/3， 标是＿＿＿＿＿＿＿＿ . 0)
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A ） A. 有两个不相等的实数根