上海初高中衔接课程数学辅导4(方程根的性质)(适合上海四大名校)

初升高数学衔接课程——一元二次方程⑴一．基础知识巩固1.一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的求根公式:_________________________________2.一元二次方程的根的判别式.____________________________________;____________________________________;____________________________________;二．检测提高1.判断下列方程根的情况,如有实数根,求出实根.⑴x(x－10)+25=0; ⑵2x2－x－3 =0. ⑶x2－2x+2=0; ⑷x2－2x－2=02.已知方程x2－2x－m=0,根据下列条件,求m的范围.⑴有两相异实根; ⑵无实根;3.已知关于x的方程x2－(m+1)x+m=0(m是任意实数),求证:方程一定有实数根.3.6一元二次方程⑴答案一．基础知识巩固对一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0),△=b2－4ac.⑴当△>0时,方程有两个不相等的实数根;⑵当△=0时,方程有两个相等的实数根;⑶当△<0时,方程没有实数根.二．检测提高1.判断下列方程根的情况,如有实数根,求出实根.⑴x(x－10)+25=0; ⑵2x2－x－3 =0. ⑶x2－2x+2=0; ⑷x2－2x－2=0解:⑴方程化为x2－10x+25=0,∵△=102－4×25=0,∴方程有两个相等的实数根.x2－10x+25=0,可化为(x－5)2=0,∴方程的根x1=x2=5.⑶∵△=(－2)2－4×2<0,∴方程没有实数根.⑴有两相异实根; ⑵无实根;解: △=(－2)2－4×(－m)=4+4m.⑴当△=4+4m >0,即k>－1时,方程有两相异实根;⑵当△=4+4m <0,即k<－1时,方程无实根.3.已知关于x的方程x2－(m+1)x+m=0(m是任意实数),求证:方程一定有实数根.证明:∵△=(m+1)2－4m=(m－1)2≥0,∴方程一定有实数。

最新上海初中数学知识点总结上海初中数学知识点大全一、一元一次方程根的情况一元二次方程的判别式为△=b²-4ac。

当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根。

二、平行四边形及其特性1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。

3.平行四边形的对边或对角线相等。

4.平行四边形的对角线互相平分。

菱形：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。

3.判定条件：定义、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：1.有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的对角线相等，四个角都是直角。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

4.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

5.一组邻边相等的矩形是正方形。

三、多边形及其特性1.N边形的内角和等于（N-2）×180度。

2.多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）。

四、平均数及加权平均数1.对于N个数X1，X2.XN，我们把（X1+X2+。

+XN）/N 叫做这个N个数的算术平均数，记为X。

2.加权平均数是在计算一组数据的平均数时，给每个数据加一个权重，以反映它们的重要程度。

五、基本定理1.两点之间只有一条直线。

2.两点之间的线段最短。

3.同角或等角的补角相等。

4.同角或等角的余角相等。

5.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

7.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

9.同位角相等，两直线平行。

10.内错角相等，两直线平行。

11.同旁内角互补，两直线平行。

12.两直线平行，同位角相等。

（初升高）高一数学衔接班第4讲——一元二次方程的根与系数的关系课后练习（答题时间：45分钟）（一）选择题1. 一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 2k >B. 2,1k k <≠且C. 2k <D. 2,1k k >≠且 2. 若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为（ ） A. 2 B. 2- C. 12 D. 923. 已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于（ ）A. 3-B. 5C. 53-或D. 53-或4. 若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是（ ）A. M ∆=B. M ∆>C. M ∆<D. 大小关系不能确定5. 若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为（ ）A. 20-B. 2C. 220-或D. 220或（二）填空题6. 如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______。

7. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______。

8. 若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____。

9. 设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____。

专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<知识梳知识结构模块一：大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒ 03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围．（1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数； （2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线．（1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。

第二讲 方程知识要点一、代数方程分类：①整式方程；②分式方程；③无理方程. 二、解方程的基本思想： ①化分式方程为整式方程；②化高次方程为一次或二次方程； ③化多元为一元；④化无理方程为有理方程.总之，最后转化为一元一次方程或一元二次方程. 三、解方程的基本方法：①解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法.②解分式方程：一般采用去分母，换元法，重组法，两边夹等方法.③解无理方程：一般采用两边平方，根式的定义、性质、换元，几何构造，构造三角函数. 四、二次方程中的韦达定理：我们一般在初二的时候学习韦达定理，利用韦达定理可以解决很多根与系数方面的问题，韦达定理（根与系数的关系）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=. 各位同学，还记得推导过程吗？ 证法一：（求根公式推导）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =.则12b x x a +=-，12c x x a=. 证法二：（待定系数法）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，那么方程可以表示为()()120a x x x x --=系数一一对应，就可以得到12b x x a +=-，12cx x a=. 例题精讲1. 已知关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无穷多个解，那么a 、b 值应分别为__________.2. 方程2121x x x -+-=+的实数解的个数是__________.3. 求方程()()323223247615180x x x xx x x x -+---++-+=全部相异实根.4. 解方程组11121113111.4x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩，，5. 设1x 、2x 为方程()()222350x k x k k --+++=的两个实根，求2212x x +的最大值与最小值.6. 若k 为正整数，且关于x 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值.7. 关于x 的二次方程()()2222682644k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.8. 关于x 的方程4324520x x mx nx -+++=的四根成等差数列，求方程的解.9. 若222222222222222222222222222222222222222222222222121232527141434547161636567181838587x y z u xy z u x y z u x y z u ⎧+++=⎪----⎪⎪+++=⎪⎪----⎨⎪+++=⎪----⎪⎪+++=⎪----⎩，，，，那么，2222x y z u +++的值为__________.10. 设a 、b 、c 分别为ABC ∆的三边，求证：关于x 的二次方程()2222220b x b c a x c ++-+=无实根.11.1=. 习题巩固12. 方程22320060x xy x y --++=的正整数解()x y ，共有多少对？13. 解方程组：2222,2,2.x yz x y zx z z xy y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩14. 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根.15. 是否存在质数p 、q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？ 16. 求所有有理数r ，使得方程()()2110rx r x r +++-=的所有根为整数.17. 设方程2310x x -+=的根α、β也是方程620x px q -+=的根，试求整数p 、q 的值.18. 设a 与b 为方程210x px ++=的两个实根，c 与d 为方程210x qx ++=的两个实根.求证：()()()()22a c b c a d b d q p --++=-.19. 设r 、s 、t 是方程38100120160x x ++=的三个根，求()()()333r s s t t r +++++的值.20. 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值.21. 已知方程()()810x a x ---=有两个整数根，求a 的值.22. 已知关于x 的二次方程()22320ax a x a --+-=至少有一个整数根，求负整数a 的值. 自招链接23. 若方程()()2214x x k --=有4个非零实数根，且它们的数轴上对应的4个点等距离排列，求k 的值.24. 解方程组()()()222222123x y z y x z z x y ⎧=+-⎪⎪=+-⎨⎪=+-⎪⎩，，.参考答案例题精讲1. 因为关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-，即()328237a b x a b +-=+-有无穷多个解.所以33802370a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，，可得21a b =⎧⎨=⎩，.2. 当1x ≤-时，原方程化为()()()2121x x x ----=-+，解得2x =（舍去），所以方程无解； 当112x -<≤时，原方程化为()()2121x x x ----=+，解得12x =，所以12x =； 当122x <≤时，原方程化为()()2121x x x ---=+，解得x 为任意实数，所以122x <≤； 当2x >时，原方程化为()()2121x x x -+-=+，解得2x =（舍去），所以方程无解.综上所述，原方程的解为122x <≤；那么实数解的个数是无数个. 3. 设3235222x x x A --+=，25922x x B -+=则原方程化为 ()()690A B A B B -++-=，则 22690A B B -+-=，即()2230A B --=，即 ()()330A B A B -++-=，可得30A B -+=或30A B +-=.因此有32235592302222x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或32235592302222x x x x x ⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则32440x x x --+=或32310x x x -++=.因此 ()()2140x x --=或()()21210x x x ---=，可得1x =或2x =±或1x =±所以，原方程的根为121x x ==，32x =，42x =-，51x =，61x =.4. 原方程组化为()()()234.xy xz x y z yz yx x y z zz zx x y z +=++⎧⎪+=++⎨⎪+=++⎩，，令x y z k ++=，则234xy xz k yz yx k zx zy k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，①，②，③()2++÷①②③，得92xy yz zx k ++=，④由④分别减去①、②、③得125232xy k yz k zx k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，⑤，⑥，⑦4xyz =⑧由⑧分别除以⑤、⑥、⑦得6x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩所以x y z k ++===，解得52930k =. 所以原方程组的解为231023623.2x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，，5. 因为关于x 的一元二次方程()()222+350x k x k k --++=有两个实根，所以()()2224135k k k ∆=---⨯⨯++⎡⎤⎣⎦()231616k k =-++()()43+40k k =-+≥，可得443k -≤≤-. 由韦达定理，得()12221k x x k --+=-=-，221235351k k x x k k ++==++所以 ()2221212122x x x x x x +=+-()()222235k k k =--++()22106519k k k =---=-++.当4k =-时，()()22212max51918x x k +=-++=；当43k =-时，()()22212min 505199x x k +=-++=.6. 原方程变形、因式分解为()()()211631720k k x k x +---+=，()()112160k x k x +---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.即1121x k =+，261x k =-. 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11；由为正整数得k =2，3，4，7. 所以k =2，3使得1x 、2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以只有2k =为所求.7. 一元二次方程的整数解的典型难题，由根为整数无法得知实数k 是否为整数，解题的基本思路是消去实数k ，得到关于整数解1x 、2x 的典型方程. 由()()2222682644k k x k k x k -++--+=可知，()()()()42220k x k k x k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故124k x k -=--，222k x k +=--.（由题意可知，26802k k k -+≠⇒≠且4k ≠） 因为122144k x k k -⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，224142k x k k +⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，于是有1241k x -=-+，2421k x -=-+，两式相减可得，2142211x x =-+++，则121320x x x ++=.故()1232x x +=-，从而可知，12132x x =⎧⎨+=-⎩，；或12132x x =-⎧⎨+=⎩，；或12231x x =⎧⎨+=-⎩，；或12231x x =-⎧⎨+=⎩，； 又11x ≠-且21x ≠-，故1215x x =⎧⎨=-⎩，；或1224x x =⎧⎨=-⎩，；或1222x x =-⎧⎨=-⎩，. 故6k =，3，103. 注：得出122144k x k k -⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，后224122k x k k +⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，直接有41k -=±，2±；21k -=±，2±，4±，由于上述两个等式是同时成立的，故这样的k 只能取6k =，3.此法不严密，如果是整数，此法可用，如果不是，就不能用.8. 首先我们推导一下四次方程的韦达定理.设4个根分别为：1x 、2x 、3x 、4x ，则有()()()()12340x x x x x x x x ----=，展开：()()22121234340x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-++-++=⎣⎦⎣⎦，()()()22321234123413142324x x xx x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++，()13423412312412340x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++=，根据韦达定理（根与系数的关系）有：()1234x x x x -+++为3x 项的系数；123413142324x x x x x x x x x x x x +++++为2x 项的系数；()134234123124x x x x x x x x x x x x -+++为x 项的系数；1234x x x x 为常数项.下面我们来解答这道试题.根据题意，设根为3a b -，a b -，a b +，()30a b b +>，那么根据推导的韦达定理有：()()()()334a b a b a b a b -+-++++=；（3x 项根与系数的关系） ()()()()3352a b a b a b a b --++=；（常数项根与系数的关系）上面两个式子化简，得44a =，即1a =，代入第二个式子得()()()()13131152b b b b -+-+=，则()()2219152bb --=，即42910510bb --=，可知23b =或2179b =-（舍）.又0b >，所以b =1a =，b =故原方程的解为11x =-21x =，31x =，41x =+. 注：有兴趣的同学可以尝试求出m 、()2456n m n =-=，. 9. 已知条件的结构特征，可构造一个关于t 的方程2222222211357x y z u t t t t +++=----， 则22、24、26、28是关于t 的方程2222222211357x y z u t t t t +++=----的根. 将2222222211357x y z u t t t t +++=----化为整式方程，得 ()4222232234840t x y z u t a t a t a -+++++++=.由一元次方程的根与系数的关系，得22222222246884x y z u +++=++++.所以222236x y z u +++=.10. 关于x 的二次方程()2222220b x b c ax c++-+=的判别式为()222224b c a b c ∆=+--⨯⨯()()22222222b c abc bc a bc ⎡⎤⎡⎤=+--+-+⎣⎦⎣⎦ ()()2222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦()()()()b c a b c a b c a b c a =+++--+-- ()()()()a b c b c a a b c c a b =-+++-+-+-.因为在三角形中两边之和大于第三边，即a b c +>，b c a +>，c a b +>，所以0a b c +->，0b c a +->，0c a b +->.因为0a b c ++>，所以()()()()0a b c b c a a b c c a b ∆=-+++-+-+-<. 所以关于x 的二次方程()2222220b x b c ax c++-+=无实根.11.（法一）设a =b =，原方程化为1a b +=，因为3361a b +=，又因为()()()()233223a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦，所以20ab =-.所以a 、b 是二次方程2200y y --=的两个根，而()()540y y -+=，5y =或4y =-；所以54a b ⎧==⎪⎨==-⎪⎩，，或45a b ⎧==-⎪⎨==⎪⎩，，所以80x =或109x =-.经检验，180x =，2109x =-是原方程的根.0=.a =b =c =所以原方程化为0a b c ++=. 因为()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，所以3333a b c abc ++=，即()()()451613x x ++-+-=，20=2+2987200x x -=，()()801090x x -+=，解得80x =或109x =-；经检验，180x =，2109x =-是原方程的根.习题巩固12. 本题利用因式分解比较复杂，不易得出，注意到y 的最高次数是一次，用x 来表示y ，题目迎刃而解.223200620052111x x y x x x -+==-+--.由x 、y 均为正整数，可得，5，401，2005.所以方程共有四对正整数解.13. 222222.x yz x y zx z xy y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，，z①+②+③得222222x y z xy yz zx x y z +++++=++，即()2x y z x y z ++=++，()()10x y z x y z ++++-=，0x y z ++=或1x y z ++=.（1）当0x y z ++=时，()x y z =-+，代入②和③，得2222y z z yz =++， 2222z y y yz =++，由④－⑤得()223y zz y -=-，()()3310y z y z -++=，解得y z =或13y z +=-. 若y z =，代入④，得230y y +=，()310y y +=，0y =或13y =-. 所以009x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，，或231313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，，，，若13y z ==-，则13x =代入①，得19yz =，无实数解. （2）当1x y z ++=时，1x y z =--，代入②和③，得2222y z z yz +=+，2222z y y yz +=+.由⑥－⑦得()223y zy z -=-，()()3310y z y z -+-=，解得y z =或13y z +=. 若y z =，代入⑥，得230y y -=，()310y y -=，0y =或13y =. 所以100x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，或131313x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，，. 14. a =16，18，2515. 本题虽然形式上是有理数根的问题，但是因为p 、q 都是整数，则∆也为整数，要求方程有有理数根，那么∆为平方数 ，和例题3、例题4的本质相同.令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数，则()()24q n q n p -+=.由于1q n q n ≤-≤+，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数.因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩，消去n ，解得21q p =+，222p q =+，52p q =，2q p =，222pq =+. 对于第1、3种情形，2p =，从而5q =，对于第2、5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去），对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）. 又当2p =，5q =时，方程为22520x x -+=，它的根为112x =，22x =，它们都是有理数.综上所述，存在满足题设的质数.16. 首先对0r =和0r ≠进行讨论.时.0r =原方程是关于x 的一次方程，0r ≠时，原方程是关于x 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去. 当0r =时，原方程为10x -=，所以1x =.当0r ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为1x 、2x ，且12x x ≥，12121111x x r x x r ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，则消去r 得()()1121212213211311x x x x x x x x -=⎧--=⇔--=⇔⎨-=⎩，，或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩，.即1242x x =⎧⎨=⎩，，或1202x x =⎧⎨=-⎩，，所以121117r x x ==--或1. 综上所述，当17r =-，0，1时，方程的所有根都是整数. 17. 因为α、β是方程2310x x -+=的两个根，()2341150∆=--⨯⨯=>，所以由韦达定理，得3αβ+=，1αβ=，αβ≠，从而()222223217αβαβαβ+=+-=-⨯=， ()()22442222272147αβαβαβ+=+-=-⨯=因为α、β是方程620x px q -+=的根，所以626200.p q p q ααββ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 因为αβ≠，所以()()66442222244222222.11p q αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪-⎪⎪⎨-=+⨯⎪⎪-⎪⎩=++=47+1=48，==17=7 18. 由韦达定理，得a b p +=-，1ab =，c d q +=-，1cd =因为()()()221a c b c c a b c ab c pc --=-++=++， ()()()221a d b d d a b d ab d pd ++=+++=-+，又因为c 与d 为方程210x qx ++=的两个实根，所以210c qc ++=，210d qd ++=即21c qc +=-，21d dq +=-所以()()()21a c b c c pc c q p --=++=--，()()()21a d b d d pd d q p -+=-+=-+，所以()()()()()()22a cbc ad b d c q p d q p q p --++=---+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.19. 因为三次方程没有2x 项，所以它的所有根之和为0，即.0s r t ++=.故()()()()()()()333333333r s t s r t t s r r s t +++++=-+-+-=-++.由于r 为方程的根，故38100120160r r ++=. 对s 和t 也有同样的式子，所以()()33381001320160r s t s r t ++++++⨯=.故()3331001320163201675688s r t r s t +++⨯⨯++===---.因此()()()()333333756r s t s r t r s t+++++=-++=.20. 典型的方程整数解问题，注意充分利用p 是质数这个条件. 由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以()()224451451p p p p ∆=---=+是完全平方数，从而51p +是完全平方数.令251p n +=，n 是整数，则()()511p n n =-+.所以，()()511n n -+，即51n -或51n +.若51n -，令15n k -=，则()52p k k =+，由于p 是质数，故1k =，7p =，此时方程为214130x x -+=，11x =，213x =满足条件.若51n +，令15n k +=，则()52p k k =-，故1k =，3p =此时方程为2670x x --=，11x =-，27x =满足条件.综上所述，所求的质数p 为3或7.21. 原方程整理为()28810x a x a -++-=.设1x 、2x 为方程的两个整数根，由韦达定理，128x x a +=+，所以128a x x =+-，a 为整数.所以x a -、8x -均为整数，所以81x a x -=-=±，所以8a =. 22. 4a =-或10-. 自招链接23. （法一）令2x t =，则原方程为()()14t t k --=，整理的2540t t k -+-=，则由求根公式和题意得1,20t =>，所以四个非零实数根分别为1x =2x =3x =4x =由题意它们在数轴上对应的点等距离排列，所以得到=，化简得74k =. （法二）由题意，4个非零实数根在数轴上对应的4个等距点中有两对关于原点对称，则可令()()()()()()221433xx k x a x a x a x a ---=++--，即42422454109x x k x a x a -+-=-+，于是有2410594a a k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，，解得74k =.24. 原方程组变为()()()222222123.x y z y x z z x y ⎧--=⎪⎪--=⎨⎪--=⎪⎩，，即()()()()()()123.x y z x z y x y z y z x x z y y z x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-+-=⎩，，⨯⨯①②③可得()()()2226x y z x z y y z x +-+-+-=，即()()()x y z x z y y z x +-+-+-=，当()()()x y z x z y y z x +-+-+-=时，原方程组变为y z x x z y x y z ⎧⎪+-=⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩解得123x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩同理，当()()()x y z x z y y z x +-+-+-=4x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩。

初高中数学衔接课第四讲章节突破1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0, ||0,0,a aa a>⎧⎪==⎨⎪绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．所以答案为： x ＜0，或x ＞4．练 习 1、填空：（1）若5=x ，则x=_________；若4-=x ，则x=_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2、选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±3、化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．13x4x|x －1||x －3| 图1．1－11.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，212x ++，22x y + 1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如一般地，b 与b 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2、二次根式的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1、将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一：(3解法二：(3．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（1===，110，又>（2）∵===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅例5、化简：（1；（21)x<<．解：（1）原式===2=2=．∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x -．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1、填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．2、选择题：=成立的条件是（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3、若b =，求a b +的值．4、比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1、分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1、若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，11111例3、设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1、填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2、选择题：若223x y x y -=+，则x y ＝（ ）（A ）１ （B ）54 （C ）45（D ）653、正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4、计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1、解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２、已知1x y +=，求333x y xy ++的值．3、填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．B 组1、填空：（1）12a =，13b =，则2223352a aba ab b-=+-____ ____；（2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2、已知：11,23x y ==的值．C 组1、选择题：（1=（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 ）（A （B （C ） （D ）2、解方程22112()3()10x x x x+-+-=．1111++++4、试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1、（1）5±；4± （2）4±；1-或32、D3、3x －181.1.2．乘法公式1、（1）1132a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc -- 2、（1）D （2）A1.1.3．二次根式1、 （1）2 （2）35x ≤≤ （3）- （42、C3、14、＞1.1.4．分式1、122、B3、 14、99100习题1．1 A 组1、（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞32、13、（1）2（2）11a -≤≤ （31-B 组1、（1）37 （2）52，或－15 2、4．C 组1、（1）C （2）C2、121,22x x == 3、36554、提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ 1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1、十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．2、提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3、关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． －1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －11x y图1．2－5∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1、选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2、分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1）31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2、在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3、ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4、分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1、 B2、（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++（3）(11x x -- （4）(2)(22)y x y --+．习题1．21、（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+- （3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-2、（1）x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭； （2）(x x -+；（3）3x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()3(1)(11x x x x -+---+． 3、等边三角形 4、(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=． ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =2x =． （3）由于该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；（3）由于该方程的根的判别式Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根 11x =，21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 1x =，2x =，则有：1222b b b bx x a a---+=+==-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca． 这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 、已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－3）＋2＝－k，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－3，k 的值为－7．例3、已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0的两个根． 解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2] ＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1b x -=，2b x -=， ∴| x 1－x 2|=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|（其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6、若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1、选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1、选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12、填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3、试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1、选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ） （A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）02、填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3、已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）| x 1－x 2|和122x x ；（2）x 13＋x 23．5、关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1、选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为（ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根2、填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．3、 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x xx x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12x x λ=，试求λ的值．4、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．5、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．2.1 一元二次方程练习1、（1）C （2）D2、 （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝03、k ＜4，且k ≠04、－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．1 A 组1、 （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－23．（3）C 提示：当a ＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．2、 （1）2 （2）174（3）6 （33、当m ＞－14，且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m ＝－14时，方程有两个相等的实数根；当m ＜－14时，方程没有实数根．4、设已知方程的两根分别是x 1和x 2，则所求的方程的两根分别是－x 1和－x 2，∵x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝－1，∴(－x 1)＋(－x 2)＝－7，(－x 1)×(－x 2)＝x 1x 2＝－1，∴所求的方程为y 2＋7y －1＝0．B 组1、C 提示：由于k =1时，方程为x 2＋2＝0，没有实数根，所以k ＝－1．2、（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3、（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4、（1）| x 1－x 2|＝||a ，122x x +＝2b a -；（2）x 13＋x 23＝333abc b a -．C 组1、（1）B （2）A（3）C 提示：由Δ≥0，得m ≤12，∴α＋β＝2(1－m )≥1． （4）B 提示：∵a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，∴a ＋b ＞c ，∴Δ＝(a ＋b )2－c 2＞0． 2、（1）12 提示：∵x 1＋x 2＝8，∴3x 1＋2x 2＝2(x 1＋x 2)＋x 1＝2×8＋x 1＝18，∴x 1＝2，∴x 2＝6，∴m ＝x 1x 2＝12．3、（1）假设存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝16k 2－16k (k +1)=－16k ≥0，∴k ＜0． ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝14k k+， ∴ (2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝2 x 12－51x 2＋2 x 22 ＝2(x 1＋x 2)2－9 x 1x 2＝2－9(1)4k k+＝－32，即9(1)4k k+＝72，解得k ＝95，与k ＜0相矛盾，所以，不存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．（2）∵1221x x x x +－2＝222212121212121212()2()224x x x x x x x x x x x x x x ++-+-=-=-＝444(1)44111k k k k k k -+-==-+++， ∴要使1221x xx x +－2的值为整数，只须k ＋1能整除4．而k 为整数，∴k ＋1只能取±1，±2，±4． 又∵k ＜0， ∴k ＋1＜1，∴k ＋1只能取－1，－2，－4，∴k ＝－2，－3，－5．∴能使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5． （3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ②①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=，∴3λ=±4、（1）Δ＝22(1)20m -+>；（2）∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2＝－x 1＋2， ∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2， ∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x －4＝0，∴11x =21x =②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2， ∴m －2＝－2， ∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5、设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ，由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)＜0， 即 x 1x 2－(x 1＋x 2)+1＜0， ∴ a －(－1)＋1＜0，∴a ＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a 的取值范围是a ＜－2．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．图2.2-2图2.2-1由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ； 当x ＜2ba -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ； 当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)； 当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数， ∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4、已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练 习1、选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x （2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2、填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3、求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．①图2.2－6② ③4、已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1、一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2、顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x －x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3、交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1、已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2、已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．。

初升高数学衔接班第4讲一元二次方程的根与系数一、学习目标:1、掌握一元二次方程的根的判别式,并能运用根的判别式判断方程解的个数。

2、掌握一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理,并能运用韦达定理处理一些简单问题。

二、学习重点:一元二次方程的根与系数的关系三、课程精讲:1、旧知回顾:一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:1222b b x x a a -+-==2、新知探秘:对于一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,有没有实数根的关键因素是什么? 知识点一:一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠(1)当240b ac ->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:(2)当240b ac -=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:(3)当240b ac -<时,右端是负数.因此,方程没有实数根.由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:24b ac ∆=-【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:(1)22310x x -+= (2)24912y y += (3)25(3)60x x +-=思路导航:可以用根的判别式来判断一元二次方程解的个数解:(1)2 (3)42110∆=--⨯⨯=>,∴ 原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为:241290y y -+= 2 (12)4490∆=--⨯⨯=,∴ 原方程有两个相等的实数根.(3)原方程可化为:256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<,∴ 原方程没有实数根.点津:在使用判别式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的取值范围:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根思路导航:已知一元二次方程解的个数则可知判别式的值与零的大小关系,从而求出k 的取值范围。

华师大一附中初高中数学衔接教材目 录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分组分解法1. 4十字相乘法（重、难点）1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

二次方程根的分布定理【教学目标】一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容.这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用.下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用.【知识梳理】二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定． 1．二次方程有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件 若n m ,其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．若n m ,不是二次方程02=++c bx ax 的根，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象有以下几种可能： （1）21,0x n x m a <<<> （2）n x m x a <<<>21,0（3）21,0x n x m a <<<< （4）n x m x a <<<<21,0由图象可以看出，)(x f 在m x =处的值)(m f 与在n x =处的值)(n f 符号总是相反，即0)()(<⋅n f m f ；反之，若0)()(<⋅n f m f ，)(x f 的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若n m ,都不是方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，记c bx ax x f ++=2)(，则0)(=x f 有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件是0)()(<n f m f ．2．二次方程两个根都属于),(n m 的充要条件方程)0(02≠=++a c bc ax 的两个实根都属于),(n m ，则二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m 小于n ，它的图象有以下几种情形： （1）n x x m a <<<>21,0 （2）n x x m a <=<>21,0（3）n x x m a <<<<21,0 （4）n x x m a <=<<21,0由此可得出结论：方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实根都属于区间),(n m 的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>≥-n a b m n af m af ac b 20)(0)(042这里 c bx ax x f ++=2)(．同理可得出：3．二次方程02=++c bx ax 的两个实根分别在区间),(n m 的两侧（一根小于m ，另一根大于n ）的充要条件是：⎩⎨⎧<<0)(0)(n af m af这里c bx ax x f ++=2)(．4．二次方程02=++c bx ax 的两个实根都在),(n m 的右侧的充要条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-n ab n af ac b 20)(042二次方程02=++c bx ax 的两个实根都在),(n m 的左侧（两根都小于m ）的充要条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-m ab m af ac b 20)(042这里c bx ax x f ++=2)(．【典例精讲】一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2.【定理1】x 1＞0，x 2＞0 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＞0x 1x 2＝c a＞0，推论：x 1＞0，x 2＞0 ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (0)＝c ＞0b ＜0或⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (0)＝c ＜0b ＞0上述推论结合二次函数图象不难得到.例1.若一元二次方程(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ＝0有两个正根，求m 的取值范围.变式. 方程22(1)30mx m x m ++++=仅有一个负根，求m 的取值范围.【定理2】x 1＜0，x 2＜0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＜0x 1x 2＝c a＞0， 推论：x 1＜0，x 2＜0 ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (0)＝c ＞0b ＞0或⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (0)＝c ＜0b ＜0由二次函数图象易知它的正确性.【定理3】x 1＜0＜x 2 ⇔ ca＜0例2.k 在何范围内取值，一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根？【定理4】①x 1＝0，x 2＞0 ⇔ c ＝0且b a ＜0； ②x 1＜0，x 2＝0 ⇔c ＝0且ba＞0.例3.若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即x 1、x 2相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】k ＜x 1≤x 2⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b 2a＞k【定理2】x 1≤x 2＜k ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b 2a＜k .【定理3】x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0.推论1 x 1＜0＜x 2 ⇔ ac ＜0. 推论2 x 1＜1＜x 2 ⇔ a (a ＋b ＋c )＜0. 【定理4】有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)＜0【定理5】k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＜0f (p 1)＜0f (p 2)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＞0f (p 1)＞0f (p 2)＜0【定理6】k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＞0k 1＜－b2a＜k 2或⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＜0k 1＜－b2a＜k 2例4.求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ． （1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小． （2）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （3）至少有一个正根．变式练习：已知关于x 的方程2(21)420x m x m +-+-=，求满足下列条件的m 的取值范围.（1） 两个正根； （2）有两个负根； （3） 两个根都小于1-； （4） 两个根都大于12； （5）一个根大于2，一个根小于2； （6） 两个根都在(0,2)内；（7） 两个根有且仅有一个在(0,2)内； （8）一个根在(2,0)-内，另一个根在(1,3)内； （9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （10）一个根小于2，一个根大于4； 巩固例题例1．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．例3． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.变式：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围．例4．已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围．变式：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.例5．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举个例子：例6．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．【巩固练习】1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围.3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围.5．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根∈( -1, 1)，求m 的取值范围．6．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围．7．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值范围．8．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围．9．二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0, 其中m >0,求证 (1) pf (1+m m)<0; (2) 方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.【回顾总结】设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：两根与0的大小比较即根的正负情况分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：两根与k 的大小比较分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k fkkk致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a表三：根在区间上的分布分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f *()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf*()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-nabmnafmaf＜＜＞＞△＞2)()(()()0<⋅nfmf*()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf。