2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 (文科)

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.3．若θ为第四象限角，且4sin 25πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示)7．不等式21200210321x x +-≥的解为 . 8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 .11. 若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++ 可能的值有____________个.12．在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.13．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是 （ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是 （ ）(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （ ）(A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中ABC α∠=(34παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60BS cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，求证：40cot602OE α=+(cm)；(2)当α=56π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为(1,0)F，点()-在椭圆C上，点T满足2OT OF=（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求PQT∆面积的最大值；(3)设点P'为点P关于x轴的对称点，判断P Q'与QT的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<. (1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.。

2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准（2012.4）一． 填空题：1．1- 2．3π3．220x y +-= 4. ()3,4 5．17.64 6．1- 78． 10 9． 10．3411．581213．8 14．9二．选择题： 15．C 16．D 17．A 18．D三．解答题:19．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得BbA a sin sin =将32,35,6π===B b a 代入上式得，32sin35sin 6π=A…………………2分解得53sin =A ；………………………………………………4分 （2）ABC ∆中，π=++CB A ,且B 为钝角，所以54cos =A …………………6分 54cos )cos(-=-=+A C B ……………………………………………8分257sin 212cos 2=-=A A ……………………………………………10分 所以2513257542cos )cos(-=+-=++A C B …………………………………12分20．解： （1）设1AA h =，则111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=--------------------2’1110222210323hh h ∴⨯⋅-⨯⨯⨯⨯==，解得：3h =-----------------------6’（2）13=2232232222S ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅表24=---------------------------10’主视图与俯视图各得2分.21．解： （1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+…………………2分因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈，…………………4分 故函数()h x 的值域为[]0,2…………………6分（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[]0,2t ∈恒成立…………………8分 ① 当0t =时，k R ∈；…………………9分② 当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-…………………11分因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号…………………12分所以9415t t+-的最小值为3-…………………13分综上，(),3k ∈-∞-…………………14分22．解：（1）设2,F M的坐标分别为0)y -------------------1分因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22M F b =------------2分在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b =------------3分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -=-------------------4分 （2）由条件可知：两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=-------------------5分 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ，则点Q到两条渐近线的距离分别为12d d ==-------------------7分所以22001223x y d d -⋅==-------------------8分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -=-------------------9分 故2200122233x y d d -⋅==-------------------10分 （3）解一：因为00(,)P x y 为圆O ：222x y +=上任意一点，设00,x y αα所以切线l的方程为：cos sin x y αα+=分代入双曲线C ：22222(cos sin )x y x y αα-==+两边除以2x ，得222(1sin )()2sin cos ()cos 20y y xxαααα+++-=-------------------13分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,y y x x 是上述方程的两个根 由韦达定理知：212212cos 21sin 1y y x x αα-==-+，即12120x x y y +=-------------------15分所以12120OA OB x x y y ⋅=+=-------------------16分解二：设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=-------------------12分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=----------------------13分 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y O A O B x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--------------15分 ②当00y =时，易知上述结论也成立。

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 文科试卷一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是________________． 2．方程()253log 2=-x的解是________________．3．设)N (3*∈=-n a n n ，则数列}{n a 的各项和为________________．4．函数()()sin 24f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________________． 5．若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为=)(x f ________________．6．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为4，则实数a 的取值范围为________________． 7．若+∈R y x ,，且191x y+=，则x y +的最小值是________________． 8．若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式111a 的值为________________．9．在ABC ∆中，边2=BC ，3=AB ，则角C 的取值范围是________________．10．已知四面体ABCD 的外接球球心O 为棱CD 的中点，3AB =，2CD =，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________________． 11．()()322134x x x +++展开后各项系数的和等于________________．12．已知函数2()1f x x =-的定义域为D ，值域为{}0,1，则这样的集合D 最多有 _____．个13．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________________．14．设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量a r 与b r 不平行，且0a b =≠r r ，则下列结论中正确的是-----------------------（ ）A ． 向量a b +rr 与a b -r r 垂直 B ． 向量a b -r r 与a r垂直 C ． 向量a b +r r 与a r 垂直 D ． 向量a b +r r 与a b -r r平行16．设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的-----------------------------（ ） A ． 充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）18．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数 3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 1234030403120162016201620162016f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为---------------（ ）A ．4031-B ．4031C ．8062-D ． 8062三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）在三棱锥S ABC -中，,,SA AB SA AC AC BC ⊥⊥⊥且2,13,29AC BC SB ===.求证SC BC ⊥并求三棱锥的体积S ABC V -．S ABC20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-．（1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知实数x 满足2411033903x x ---⋅+≤且22()log log2x xf x =⋅． （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值．22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分） 数列{}n a 满足15a =，且123111112n na a a a a -++++=L （2,n n N *≥∈）． （1）求234,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令112nn na b a =-，求数列{}n b 的最大值与最小值．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)(025);E t t <≤曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；,CD AD ⊥且CD 恰好等于圆E 的半径.假定拟建体育馆的高50OB =（单位：米，下同）．（1）若20t =、149a =，求CD 、AD 的长度； （2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围； （3）若1,25a =求AD 的最大值．2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（文科）参考答案及评分标准 2016.1三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．x y 82= 2．2x = 3．12 4．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．1 9．]3,0(π10．23π 11．28 12．9 13．1414．2- 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15．A 16．D 17．A 18．C四． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分在ABC ∆中，090,2,13ACB AC BC ∠===,所以17AB =.----8分又在SAB ∆中，,17,29SA AB AB SB ⊥==,所以23SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以1123921323323S ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）()21cos 41sin 2sin 2cos 2sin 422x f x x x x x -=-=- 21sin 4242x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2T π=.----6分（2） 由()21sin 442f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()44x k k Z ππ+=∈，∴()416k x k Z ππ=-∈，----------------------10分 由()04162k k Z πππ≤-≤∈，得1k =或2k =，---------------------------12分 因此点A 的坐标为31,162π⎛⎫⎪⎝⎭或71,162π⎛⎫⎪⎝⎭.---------------------------------14分SABC21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由2411033903x x ---⋅+≤，得242310390x x ---⋅+≤ 即()()22231390139x x x -----≤∴≤≤，24x ≤≤-----------------------------------6分（2）因为()()2222()log log 1log 222x xf x x x =⋅=-- 2222231log 3log 2log 24x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分当23log 2x =，即22x =时，min 14y =---------------------------------------------------12分当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分 22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分） 解：（1）234204010,,39a a a ===.------------------------------------------------------3分（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则()()121222,3n n n n S n S n a a ---=≥=≥ 11122n n n a a a --∴=-，得132n n a a -=即()1233n n a n a -=≥-----------------------------------6分 {}n a ∴从第二项起成等比数列，又210a =，所以()()25121023n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩g --9分（3）()()225121031122211203n n n n n n a b a n --=⎧⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪==⎨⎝⎭-≥⎪⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩g g ，由()2221032211203n n n b n --⎛⎫⎪⎝⎭=≥⎛⎫- ⎪⎝⎭g g ，得()2102311202n n b n -=≥⎛⎫- ⎪⎝⎭g ，所以当3n =时，()min 207n b =-， 当4n =时()max4019nb =，-----------------------------------------------------------------------14分 但140519b =>， 综上所述，()3min 207n b b ==-，()1max 5n b b ==．---------------------------------------16分23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 解 （1） 因为圆E 的半径为5030,OB OE t -=-= 所以30.CD =---------------------------------------------------------------------------------------1分在215049y x =-+中令30,y =得OD = 在圆222:(20)30,E x y +-=中令0,y =得AO =所以AD AO OD =+==分（2）由圆E 的半径为50,OB OE t -=- 得50.CD t =-在250y ax =-+中令50,y t =-得OD =50DF OF OD t =+=-+----------------------------------------------------------------7分由题意知，5075t-≤对(]0,25t ∈≤恒成立.=即25t =取得最小值1010,≤解得1.100a ≥----10分（3）当125a =时，5.OD t = 又圆E 的方程为222()(50),x y t t +-=-令0,y =得1025,x t =±-所以1025,OA t =-从而10255.AD t t =-+-------------------------------------------------13分下求()10255(025)f t t t t =-+<≤的最大值. 方法一：令225cos ,0,,2t παα⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭则 10255105sin 55cos AD t t αα=-+=⨯+⨯=255sin(),αϕ•+其中ϕ是锐角，且1tan ,2ϕ=从而当2παϕ+=时，AD 取得最大值25 5.--------------------------------18分方法二：令25,,x t y t =-=则题意相当于：已知2225(0,0),x y x y +=≥≥求5(2)z AD x y ==+的最大值.当直线25z y x =-+与圆弧2225(0,0)x y x y +=≥≥相切时，z 取得最大值25 5. 答：当5t =米时，AD 的最大值为255米.--------------------------------------------------18分。

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016. 12一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7 题至笫12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填対得 4分（或5分），否则一律得0分.2.已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若C 经过点M （l,3）,则其焦点 到准线的距离为 ______________ .4.若复数满足：二內+ i （是虚数单位），贝ijz 7 ,5•在（x + —）6的二项展开式中第四项的系数是 _________ •（结果用数值表示）x6. ________________ 在长方体ABCD — ABCQ 屮，若AB = BC = 1,AA ]=42,则异而直线与CC ；所成 角的大小为 .7.若函数/（x ） = \2 \ _________________________________ 的值域为（-00,1],则实数加的取值范围是 ______________________________________________ . -x 2 + m. x> 0&如图： 在 MBC 中， 若 AB = AC = 3,cos ZBAC = -.DC = 2BD , 则 2AD BC= ______________ ・9.定义在R 上的偶函数y = f （x ）,当兀二0时,/（x ） = lg （x 2-3x+3），则于（兀）在R 上的 零点个数为 __________ 个.10.将辆不同的小汽车和辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某个内，其中辆卡车必须 停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 _____________ 种？（结果用数值表示） 1. lim MT8 2H -5 n + l3•若线性方程组的增广矩阵为| J解为胃彳 [y=[第8题图 第10題團£11•已知数列｛匕｝是首项为，公差为2加的等差数列，前项和为S”.设n- 2n若数列｛仇｝是递减数列，则实数"2的取值范围是___________ ・12.若使集合A = ｛x| (fct-P -6)(x-4) > 0,%e z］中的元素个数最少，则实数的取值范围是二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分.13. a x = k7V + -伙wZ)” 是“tanx = l” 成立的( )4(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件14.若1-5/办(是虚数单位)是关于的实系数方程X+bx + c = 0的一个复数根，则( )(A) /? = 2,c = 3 (B) b = 2.c = -\(C) b = -2,c = -1 (D) b = -2,c = 315.已知函数/&)为/?上的单调函数，广©)是它的反函数，点A(-1,3)和点3(1,1)均在函数/&)的图像上，则不等式|广吃)|v 1的解集为( )(A) (-1,1) (B) (1,3) (C) (0,log23) (D) (l,log23)2 2 2 216.如图，两个椭圆二+丄=1,丄+丄二1内部重叠区域的边界记为曲线C, P是曲线C25 9 25 9上的任意一点，给出下列三个判断：①P 到片(—4,0)、笃(4,0)、厶(0,—4)、E2(0,4)0点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y =兀、y =—兀均对-称；③曲线C所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为( )(A)个(B)个(C)个(D) 3个三.解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA丄平面ABC , AC丄AB, AP=BC = 2, ZCBA = 30° , D 是AB 的中点. （1）求PD与平面P4C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求\PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留龙）.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 宀、A/3 COS2 x -sinx己知函数/（x） =COSX 17T（1）当xw 0,—时，求/（x）的值域；（2）已知MBC的内角的对边分别为a,b,c,若/（△） = J3,Q =4』+C =5, 求AABC的面积.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1）, B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）.（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润/（力、g（x）表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产殆能获得最大利润，最大利润为多少？20•（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分6分.兀2如图：双曲线「：一—尸=1的左、右焦点分别为片,耳,过笃作直线交y轴于点Q・（1）当直线平行于「的一条渐近线时，求点耳到直线的距离；（2）当直线的斜率为时，在「的石支占是否存在点P,满足F\PF\Q = 0 ?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线与「交于不同两点A、B,且「上存在一点M,满足鬲+丽+ 4丽=0（其中O为坐标原点），求直线的方程.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分8分.正数数列｛色｝、［b n ］满足：a x >b^且对一切k>2,keN*f 兔是％［与乞一的等差中项,Q 是％1与俵.］的等比中项.（1） 若a 2 = 2,/?2 = 1,求。

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数12log (1)y x =-的定义域为 。

2、抛物线24y x =的准线方程是 。

3、方程4220xx+-=的解是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为 。

7、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

8、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

9、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）10、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

11、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

12、在数列{}n a 中，13a =，点*(1,)n n N >∈在直线0x y -=上，则2lim(1)nn a n →∞+= 。

13、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

14、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令*a b mq np =-。

上海市徐汇区2006－2007学年第一学期期末高三年级数学学科学习能力诊断卷（考试时间：120分钟，满分150分）2007.1（第一部分、文理合卷）一．填空题：(本题满分40分，每小题4分)1．函数2()341f x x x=--+的递减区间是___________________.2．若集合2{|||2},{|30}M x x N x x x=≤=-≤，则M∩N=_______________.3．函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是___________________.4．复数221ii+-=______________.（i是虚数单位）5．设S n是数列｛a n｝的前n项和，若23nS n n=+，则na＝____________________. 6．将函数sin(0)y xωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是__________________________.7．若抛物线22y px=的焦点与椭圆22162x y+=的右焦点重合，则p的值为__________________.8．11lim12nn n-+→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=____________________.(n为自然数)9．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD 的长为．π1210．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是y ⎧=⎨⎩____________________.二、选择题：（本题满分12分，每小题4分）11．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人 （C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人12．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是----------------------------------- （ ）A.()()f x f x -是奇函数B.()()f x f x -是奇函数C.()()f x f x --是偶函数D.()()f x f x +-是偶函数13．从圆()()22111x y -+-=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为-------------------------------------------------------（ ）A ．12 B ．35C．0三、解答题：14．（本题满分12分）解不等式组： ()1023120x x x x +⎧≥⎪+⎨⎪-+≥⎩15．（本题满分12分）已知8,tan cot 23παπαα<<-=- （1）求tan α的值；（6分）（2）求sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α的终边经过点(3,4)P -， 则cos α=2、 函数2log ()1y x m =-+的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m =3、 若全集{}{}{}|13,,1,2,3,1,3U U x x x Z A C B =-<∈==-，则A B ⋂= 4、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差2s =5、一平面截一球得到直径为6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是3cm 6、已知tan()24x π+=，则tan tan 2xx的值为7、根据右图所示的程序框图，输出结果i =8、从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}1,2,3中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是 （结果用数值表示） 9、若1()2nx x+的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 项的系数为10、已知函数2()1f x x =-的定义域为D ，值域为{}1,0,1,-，试确定这样的集合D 最多有 个11、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,6a b c AB AC ⋅= ，向量(cos ,sin )m A A =与向量(4,3)n =-相互垂直。

若7b c +=，则a 的值为12、已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1)()x n n n N ∈+∈，则n =13、已知各项为正数的等比数列765{}:2,n a a a a =+满足若存在两项、使得1=，则14mn+的最小值为14、如图所示：在AOB ∆中，,3,2,3AOB OA OB BH OA π∠===⊥于H ，M 为线段BH 上的点，且5,4MO MA BM xBO yBA ⋅=-=+ 若，则x y +的值等于二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期学习能力诊断-数学理试卷上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期学习能力诊断数学理试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y满足4xy =，则224x y +的最小值为 ．3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ．4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ． 6．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）7．设数列{}na 的前n项和为nS ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}na 的通项公式为 ．(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“1231019xx x x ≤++++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程2x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠ （B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β 17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m．若1,1,10,ij i j a i m j ni j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ） （A ）1112121222m maa a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m aa a a a a +++ （D ）1121122212m ma a a a a a +++18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题：（1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2． 其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()xxf x k k R -=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan 3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A aB a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22mn +的值；（2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OBk k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{na 各项均不相等．．．．，将}{na 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{np 为}{na 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a>>，则其序数列}{np 为2,3,1．（1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,na a a 的序数列}{np ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{nb 、}{nc 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{nb 的序数列与}{nc 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{nd 满足11=d，nnn d d)21(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d的序数列单调递减，}{2nd 的序数列单调递增，求数列}{nd 的通项公式．理科参考答案一、 填空题：（每题4分）1. 725 2. 16 3. 5 4. 2(2)x x +>-5. 2x =-6.57.2*1,123,2,n n n a n n N-=⎧=⎨⋅≥∈⎩ 8. (]1,0- 9. 3210. 4233a b -+ 11. 6π12.3- 13. 314.58024二、 选择题：（每题5分）15. B 16. C 17. C 18. B三、 解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，3322A ⋅=……………………..2’3A ∴=; ……………………..4’（2）3()()3)3)442f f +-=+-+=ππθθθθ， 2233[cos )sin cos )]2++-+=θθθθ，……………………..6’362=θ，6cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，210sin 1cos ∴=-=θθ， ……………………..10’)43(θπ-f 303)3=-==πθθ……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0xxf x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’所以1k =-……………………..6’ （2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’ 则函数()k g t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’所以4k ≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’ 23131=322V r r r ππ=椎……………………..7’ 232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ， 则12PP r π=，……………………..10’得1124332PP r POP OP r ππ∠=== (1)2’在1POP ∆中，13332PP OP r ==……………………..14’22、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212mn +=……………………..4’（2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----()()()()222331x x a x a y x a x a a=-++=-++-……………………..5’22221213a x ax a a-=-+-()22342222144111a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’由1a >，得321a a a >-……………………..7’∴ 当x a=-时，QS QR⋅最大值为0；……………………..8’当x a=时，QS QR⋅最小值为24a -；……………………..9’即QS QR⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’（3）（解法一）由条件得，122121y y x x a=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()xx a y y a x a x ==--,即22212x x a +=……………………..12’122112OMNS x y x y ∆=-……………………..13’ 222212211212122x y x y x x y y =+-22222221121222221(1)(1)2x x x x x x a a a -+-+2212122ax x =+=……………………..15’故OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’ （解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN∆的面积为2a ……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()22222222211210x y a k x kta x a t ay kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩……………………..12’由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k --+==++，()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+ 又122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+……………………..13’因为2121MN k x x =+-，……………………..14’点O到直线MN的距离21t d k=+……………………..15’12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-()2121242t x x x x =+-()()222222241221a a k t t aa k +-==+综上：OMN∆的面积为定值2a ……………………..16’23、解：(1)当>d 时，序数列}{n p 为,1,,2,1n n -；……………………..2’当<d 时，序数列}{n p 为1,2,,1,n n-……………………..4’(2)因为523)53(1nb bn n n -⋅=-+，……………………..5’当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，nn b b<+1，又因531=b ，33)53(3⋅=b，44)53(4⋅=b，314b b b<<，即2314nb b b b b >>>>>，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n，……………………..8’所以对于数列}{nc 有2522<<t ， 解得：54<<t ……………………..10’ (3)由于}{12-n d 的序数列单调递减，因此}{12-n d是递增数列，故01212>--+n n d d，于是0)()(122212>-+--+n n n n d d d d，而122)21()21(-<n n，所以||||122212-+-<-n n n n d d d d，从而0122>--n nd d，122121222)1()21(----==-n nn n n d d (1) ……………………..12’因为}{2nd 的序数列单调递增，所以}{2nd 是递减数列，同理可得0212<-+n n d d，故21221221(1)()22n n n nndd ++--=-=(2) ……………………..14’ 由(1)(2)得：nn n n d d 2)1(11++-=-……………………..15’ 于是)()()(123121--++-+-+=n n n d d d d d d d d (1)6’122)1(21211--++-+=n n211)21(12111+--⋅+=-n ……………………..17’12)1(3134--⋅+=n n 即数列}{n d 的通项公式为12)1(3134--⋅+=n nn d (*n N ∈)……………………..18’。

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（文科）2014.1一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．计算：．2．函数的最小正周期是_______________．3. 计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .4．已知集合则集合＝____________．5．已知，，则．（结果用反三角函数值表示）6．直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数．7．如果（）那么共有项．8．若函数的图象经过点，则函数的反函数的图象必经过点_______．9．某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）10．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则____________．11．函数图像的对称轴方程为________________．12．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为__________________．13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为___________________．14．一个五位数则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有_______个五位数符合“正弦规律”．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．对于集合和，“”是“”的-----------( )（Ａ）充分不必要条件（Ｂ）必要不充分条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件16．直线的倾斜角是 -----------------------( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）17．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点----------------------------（）（A）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）18．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列二个集合：①；②}；则以下选项正确的是（）(A)①是“垂直对点集”，②不是“垂直对点集”(B)①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”(C)①②都是“垂直对点集”(D) ①②都不是“垂直对点集”三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）在中，，是方程的两个根，且。

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ．3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()fx -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．6．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数值表示）．7．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为1，则首项1a 的取值范围为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+>-的解集为A ，则U A C = ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*111()22n n S a n N ++=∈，则{}n a 的通项公式为 ．10．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ． 11．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a =，AD b =，用,a b 表示BO ，则BO = ．12．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()2401202x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4iA x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“123413x x x x ≤+++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．若1+是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） （A ） 2,3b c =-= （B ） 2,1b c ==- （C ） 2,1b c =-=- （D ） 2,3b c ==16．已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l （ ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）垂直 （D17．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图所示，（其中b a ,为常数） 则函数b a x g x+=)(的大致图象是（ ）18*)N ，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A ）1112121222m m a a a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()xxf x k k R -=+⋅∈． （1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆22:14x y γ+=的右焦点为F ，左顶点为R ，点(2,1),(2,1)A B -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()(),0,2,5S t t ∈，求QS QR ⋅的取值范围；（3）过F 作斜率为k 的直线l 交椭圆γ于,C D 两点，交y 轴于点E ，若1EC CF λ=，2ED DF λ=，试探究21λλ+是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1．(1)若,x y R +∈，2=+y x 且y x ≠，写出数列：2,,122y x xy +的序数列并说明理由；(2)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n p 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列； (3) 若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是n n n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围．文科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. arctan7. ()()0,11,2U8. []1,0-9. 1*3,n n a n N -=∈10. 11. 2233a b -+r r 12. 6π13. 2 14. 64二、选择题：（每题5分）15. A 16. C 17. D 18. C三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，322A ⋅=……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))442f f +-=++-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2++-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin∴==θ， ……………………..10’ )43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x xf x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4x t =∈，……………………..9’ 则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’ 4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ=椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ， 则12PP r π=，……………………..10’ 得1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’在1POP ∆中，12PP==……………………..14’ 22、解：（1）()22,OP mOA nOB m n m n =+=-+， 得()22,P m n m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()(),2,QS QR t x y x y ⋅=-----()()()()222214x x t x y x t x =-++=-++-……………………..5’()232124x t x t =+-+- ()()22132422433t t x x +-⎛⎫=---≤≤ ⎪⎝⎭……………………..6’ 由()2,5t ∈，得24023t -<<……………………..7’ 当2x =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当243t x -=时，QS QR ⋅最小值为()213t +-；……………………..9’ ∴综上所述：QS QR ⋅的取值范围为()21,03t ⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………..10’ （3）由题，得F ，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 直线l的方程为(y k x =，则(0,)E ，由2244(x y y k x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得2222(41)4(31)0k x x k +-+-=，……………………..12’故12x x +=，21224(31)41k x x k -=+……………………..13’ 由1EC CF λ=得111)x x λ=，即1λ=2λ=……………………..14’所以12λλ+==22222222248(31)4141244(31)34141k kk kk kk k--++=--+++8=-即128λλ+=-为定值……………………..16’23、解：(1)因为2=+yx且yx≠，所以11)1()2(2<+--=-=xxxxy，……………………..2’11)1(2)2(222222>+-=-+=+xxxyx……………………..4’故数列2,,122yxxy+的序数列2,1,3；……………………..5’(2)充分性：因为数列}{na是单调数列时，12na a a>>>L或12na a a<<<L，所以其序数列为1,2,,1,n n-L或,1,,2,1n n-L均为等差数列；……………………..8’必要性：当数列}{na的序数列为等差数列时，其序数列必为1,2,,1,n n-L或,1,,2,1n n-L，所以有12na a a>>>L或12na a a<<<L，所以数列}{na为单调数列；……………………..11’(3)因为523)53(1nbb nnn-⋅=-+，……………………..13’当1=n时，易得12bb>，当2≥n时，nnbb<+1，又因531=b，33)53(3⋅=b，44)53(4⋅=b，314bbb<<，即2314nb b b b b>>>>>L，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..16’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ，解得：54<<t ……………………..18’。