2016届 【创新设计】数学一轮(浙江专用 文科) 配套精品 课时作业+阶段训练探究课2

第4讲 数列求和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为 ( )A ．120B ．70C ．75D ．100解析 因为S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 答案 C2．已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B ． 答案 B3．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为 ( )A ．31B ．120C ．130D ．185解析 a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130. 答案 C4．(2015·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )A ．22 016－1B ．3·21 008－3C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)1－2＝3·21 008－3.故选B ． 答案 B5．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为 ( )A ．n n ＋1B ．4nn ＋1 C ．3n n ＋1D ．5n n ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4n n ＋1.答案 B 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________. 解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案 607．(2015·武汉测试)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503× (－2)＋1＝－1 005. 答案 －1 0058．(2014·武汉模拟)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1， 又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1.∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 答案 13(4n－1) 三、解答题9．(2014·济南模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2S 2＋4，a 5＝36. (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝S n －1(n ∈N *)，T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n，求T n .解 (1)因为S 3＝2S 2＋4，所以a 1－d ＝－4， 又因为a 5＝36，所以a 1＋4d ＝36. 解得d ＝8，a 1＝4，所以a n ＝4＋8(n －1)＝8n －4， S n ＝n (4＋8n －4)2＝4n 2.(2)b n ＝4n 2－1＝(2n －1)(2n ＋1)，所以1b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 10．(2015·石家庄模拟)已知{a n } 是各项均为正数的等比数列，且a 1·a 2＝2，a 3·a 4＝32.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ＝n 2(n ∈N *)，求数列{a n ·b n }的前n 项和．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32，又∵a 1＞0，q ＞0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)由S n ＝n 2得S n －1＝(n －1)2(n ≥2)， ∴当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1符合上式，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)，∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1. T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，2T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减得－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)2n ＋3.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2015·西安模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝ ( )A ．212B ．6C ．10D ．11解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B ．答案 B12．(2015·长沙模拟)已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝ ( )A ．－100B ．0C ．100D ．10 200解析 若n 为偶数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，为首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100. 答案 A13．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________.解析 当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝4x 14x 1＋2＋4x 24x 2＋2＝2×4x 1＋x 2＋2×(4x 1＋4x 2)4x 1＋x 2＋(4x 1＋4x 2)×2＋4＝1.设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝10，即S ＝5.答案 514．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎨⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n (5＋8－3n )2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.。

阶段回扣练7 不等式(建议用时：45分钟)一、选择题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立，故选A. 答案 A2．(2015·深圳调研)若实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )A ．|a |＞|b |B ．a 3＞b 3 C.1a ＜1bD ．ab 2＞b 3解析 在选项A ，C 中，当a ＝2，b ＝－3时，不等式不成立；D 中当a ＝2，b ＝0时，不等式不成立，故选B. 答案 B3．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析 由已知条件，得0＜10x ＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2. 答案 D4．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)解析由题意可得⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝k 2－8k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0，故选D. 答案 D5．(2014·沈阳调研)设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最小值2，最大值3C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分所示，将z ＝x ＋y 变成截距式y ＝－x ＋z ，所以直线在y 轴上的截距的最大值即为z 的最大值，直线在y 轴上的截距的最小值即为z 的最小值，由图可知，当直线过A (2,0)时，截距最小，即z min ＝0＋2＝2，z 无最大值，故选A. 答案 A6．若a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是 ( )A.14 B ．1 C ．4D ．8解析由a ＞0，b ＞0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4，当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”． 答案 C7．(2015·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为 ( )A ．4B ．5C ．115D ．72解析 依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y 2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 A8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. 答案 B9．(2015·福州质量检测)已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．13 C ．14D ．18解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,1)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值3；当平移到经过该平面区域内的点(a ，a )时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值3a ，于是有8×3a ＝3，a ＝18，故选D. 答案 D10．(2015·银川质量检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －c ≤0.若目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值1，则c 的值为 ( )A ．10B ．7C ．5D ．3解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋3y ＝1，结合图形可知，要满足题意，直线2x －y －c ＝0需经过直线2x ＋3y ＝1与直线x ＝2的交点，即点(2，－1)，于是有2×2＋1－c ＝0，c ＝5(经检验，符合题意)，故选C.答案 C11．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D12．(2014·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．5D ．2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0表示的平面区域为图中的阴影部分．由于a ＞0，b ＞0，所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (2,1)处取得最小值，即2a ＋b ＝2 5.法一 a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝(5a －4)2＋4≥4，即a 2＋b 2的最小值为4. 法二a 2＋b 2表示坐标原点与直线2a ＋b ＝25上的点之间的距离，故a 2＋b 2的最小值为2522＋12＝2，即a 2＋b 2的最小值为4.答案 B 二、填空题13．(2014·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为__________ ________.解析依题意得⎩⎨⎧a ＜0，b a ＝15，即a ＝5b ＜0，不等式ax 2＋bx －45a ＞0，即5bx 2＋bx －4b ＞0(b ＜0)，5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45.因此，不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4514．(2014·南昌模拟)若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________ ________.解析 依题意，函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的最小值是1，于是有|a －2|＜1，即－1＜a －2＜1,1＜a ＜3， 即实数a 的取值范围是(1,3)． 答案 (1,3)15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转__________ ________年时，年平均利润最大，最大值是__________ ________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 816．(2015·广州综合测试)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为__________ ________. 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax ＋by ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝ax ＋by 取得最大值，于是有a ＋4b ＝8,8＝a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，ab ≤4，当且仅当a ＝4b ＝4时取等号，因此ab 的最大值为4. 答案 417．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m恒成立，则实数m 的取值范围为__________ ________. 解析 f (x )＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ≤1)，故当x ＝12时，f (x )在(－∞，1)上的最大值为14； 函数f (x )＝log 13x ，x ∈(1，＋∞)为单调递减函数，故x ∈(1，＋∞)时，f (x )＜f (1)＝0，综上，f (x )在R 上的最大值为14.由m 2－34m ≥14解得m≤－14或m≥1.答案(－∞，－14]∪[1，＋∞)。

基 础 过 关1.已知y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( ) A.[－3，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，故二者的定义域相同.又因为y ＝x ＋3＋1－x 的定义域为{x |－3≤x ≤1}，故选y ＝f (x )的定义域为[－3，1]. 答案 A2.若奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( ) A.10B.－10C.－15D.15解析 由题意，f (x )在区间[3，6]上也为增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1，故2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－15. 答案 C3.若对于任意实数x ，都有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，0]上是增函数，则( ) A.f (－2)<f (2) B.f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)D.f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32解析 根据题意可知，f (x )是偶函数.∵f (x )在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (2).答案 D4.函数f (x )满足：f (x ＋1)＝x (x ＋3)，x ∈R ，则f (x )的最小值为________.解析 由f (x ＋1)＝x (x ＋3)＝(x ＋1)2＋(x ＋1)－2得f (x )＝x 2＋x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－94，所以f (x )的最小值是－94.答案 －945.(2016·辽宁朝阳市重点中学期中)函数f (x )＝ax ＋1x ＋a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.解析 f (x )＝ax ＋1x ＋a ＝a －a 2－1x －（－a ），若f (x )在(－2，＋∞)为增函数，则⎩⎨⎧a 2－1>0，－a ≤－2，解得a ≥2. 答案 [2，＋∞)6.已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3. (1)求m ；(2)判断函数f (x )的奇偶性.解 (1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x ，其定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－x ＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，所以此函数是奇函数.7.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值；图① 图②(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，比较f (1)与f (3)的大小，并试作出y 轴右侧的图象.解 (1)奇函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，－f (x ))关于原点的对称点为P ′(x ，f (x ))，下图为补充后的图象.易知f (3)＝－2.(2)偶函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，f (x ))关于y 轴的对称点为P ′(x ，f (x ))，下图为补充后的图象.易知f (1)>f (3).8.设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围.解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f (x )在(0，＋∞)上递减. ∵2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.能 力 提 升9.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A.4B.3C.2D.1解析 由题意知：f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，① f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，② ①＋②得g (1)＝3. 答案 B10.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( ) A.f (6)>f (7) B.f (6)>f (9) C.f (7)>f (9)D.f (7)>f (10)解析 因为函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，其对称轴是y 轴，所以y ＝f (x )的对称轴是直线x ＝8.故f (7)＝f (9)>f (10). 答案 D11.已知f (x )是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域是________.解析 当x >0时，f (x )的值域是(2，3].根据奇函数的性质可得，f (x )的值域是[－3，－2)∪(2，3].答案[－3，－2)∪(2，3]12.若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)都有f（x2）－f（x1）x2－x1<0，则f(1)，f(－2)，f(3)的大小关系是________.解析由f（x2）－f（x1）x2－x1<0可知，f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数，所以f(1)>f(2)>f(3).又因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，因此f(1)>f(－2)>f(3). 答案f(1)>f(－2)>f(3)13.已知函数f(x)＝x＋a1＋x2是R上的奇函数.(1)求a的值；(2)用定义证明该函数在[1，＋∞)上的单调性.(1)解因为f(x)＝x＋a1＋x2是R上的奇函数，所以f(0)＝0，解得a＝0，此时f(x)＝x1＋x2是奇函数.(2)证明设x1，x2是[1，＋∞)上的任意两个数，且1≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝（x2－x1）（x1x2－1）（1＋x21）（1＋x22），因为1≤x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2－1>0，1＋x21>0，1＋x22>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数.探究创新14.已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈(0，＋∞)，f(x)<0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2，6]上的最值.(1)证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称. ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x).令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)解设x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞). 则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1).∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在R上单调递减.∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值是－3.。

基 础 过 关1.若二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为( ) A.f (x )＝x 2－1 B.f (x )＝－(x －1)2＋1 C.f (x )＝(x －1)2＋1D.f (x )＝(x －1)2－1解析 设f (x )＝(x －1)2＋c ，由于点(0，0)在图象上，所以f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，所以c ＝－1，所以f (x )＝(x －1)2－1. 答案 D2.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))的值为( )A.3D.0解析 由函数y ＝g (x )的图象知，g (2)＝1，根据y ＝f (x )的对应表格知f (1)＝2，因此f (g (2))＝f (1)＝2. 答案 B3.若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝( )A.52B.25C.43D.34解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝92；令x ＝12，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＝32.消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，得f (2)＝52. 答案 A4.某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是________，值域是________.解析 {1，2，3，4，5}，值域是{85，88，93，86，95}.答案 {1，2，3，4，5} {85，88，93，86，95}5.已知f (x )是一次函数，且其图象过点A (－2，0)，B (1，5)两点，则f (x )＝________. 解析 据题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，又图象过点A (－2，0)，B (1，5).所以⎩⎨⎧－2a ＋b ＝0，a ＋b ＝5，解得a ＝53，b ＝103.所以f (x )＝53x ＋103. 答案 53x ＋1036.判断右面的图象是否为函数？如果是，求出定义域、值域和解析式.解 是.观察图象知函数的定义域为[－1，2]，值域为[－1，1].当－1≤x ≤0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎩⎨⎧0＝－a ＋b ，1＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1； 当0<x ≤2时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 则－1＝2k ，∴k ＝－12，∴f (x )＝－12x . 综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.7.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数y ＝f (x )的解析式.解 ∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，又f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .8.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边AB 长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域.解 ∵AB ＝2x ，∴lCD ︵＝πx ，AD ＝l －2x －πx 2，∴y ＝2x ·l －2x －πx 2＋πx 22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 2＋lx .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，l －2x －πx 2>0，解得0<x <l π＋2，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <l π＋2. 能 力 提 升9.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°.直线l 与AB 相交.且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为y .点A 到直线l 的距离为x .则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 设等腰直角△ABC 的直角边长为a ，依题意，y ＝f (x )＝a 22－x 22，0≤x ≤a .所以y ＝f (x )的图象是开口向下的二次函数的一段. 答案 C10.已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是( ) A.f (x )＝x ＋14 B.f (x )＝－2x ＋14 C.f (x )＝－x ＋14D.f (x )＝－x ＋12解析 因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，① 所以把①中的x 换成－x 得 f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14. 答案 C11.已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则函数f (x )的解析式为________.解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则由3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9得3[a (x ＋1)＋b ]－(ax＋b )＝2x ＋9，即2ax ＋3＋2b ＝2x ＋9，比较对应项系数得⎩⎨⎧2a ＝2，3＋2b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x ＋3. 答案 f (x )＝x ＋312.已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.将x ＝t －12代入f (2x ＋1)＝3x ＋2得f (t )＝3·t －12＋2＝32t ＋12.∴f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，∴32a ＋12＝4，∴a ＝73. 答案 7313.画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域.解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象，如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3).(2)由图象可以看出，当x 1<x 2<1时，函数的图象由左至右呈上升趋势. 函数f (x )的函数值随着x 的增大而增大， 所以f (x 1)<f (x 2).(3)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4].探 究 创 新14.设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y 有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式.解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1). 又f (0)＝1，所以f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

阶段转动检测 (八 )(建议用时： 40 分钟 )一、选择题x a在 R 1.(2016 蚌·埠一模 )设 a>0，且 a ≠1，则 “函数 f(x) ＝ a 在 R 上是增函数 ”是“函数 g(x) ＝x 上是增函数 ”的 ( )A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件分析由函数 f(x) ＝ a x在 R 上是增函数知， a>1；当 a ＝3时， g(x) 的定义域为 (0，＋ ∞)，2a11不可以知足 g(x) ＝ x 在 R 上是增函数；而当 a ＝ 3时， g(x) ＝ x 3在 R 上是增函数，此时 f(x) ＝ 1 x在 R 上是减函数，应选 D.3答案 D2.(2015 安·徽卷改编 )3＋ 1 7 5的系数是 ( )x x 的睁开式中 xA.35B.21C.14D.77r分析x 3＋1的睁开式的第r ＋ 1 项为 T r ＋ 1＝ C 7r 3)7－r · 1＝ C 7r· x21－4r ，令 21－ 4r ＝5，x(xx得 r ＝ 4，∴ T 5＝ C 47x 5＝ 35x 5.答案 A3.从 0， 2 中选一个数字，从 1， 3， 5 中选两个数字，构成无重复数字的三位数，此中奇数的个数为 ( )A.24B.18C.12D.6分析 入选出数字 2 时，无重复数字的三位数为奇数有 2 12C 3A 2A 2 ＝ 12(个) ；入选出数字 0时，无重复数字的三位数为奇数有 C 32A 22· A 11＝ 6(个 ).∴由分类加法计数原理，共构成12＋ 6＝ 18 个知足条件的奇数 .答案 B4.(2016 临·沂一模 )则 a ＝ sin 2°＋ 3cos 2°， b ＝ 2－ 4sin 213°， c ＝ 3，则 a ，b ， c 的大小关系是 ( )A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a分析 a ＝ 213 °sin 2° )sin 2°＋2 cos 2° ＝ 2(cos 30° cos 2°＋ sin 302＝ 2cos 28°，2b＝ 2(1－ 2sin 13° )＝ 2cos 26°， c＝3＝2cos 30° .因为 y＝ cos x 在 x∈ [0°， 90° ] 上单一递减，因此 cos 26° >cos 28° >cos 30°，即 c<a<b.应选 A.答案 A5.将标号为 1， 2， 3， 4， 5，6 的 6 张卡片放入 3 个不一样的信封中 .若每个信封放2 张，此中标号为 1， 2的卡片放入同一信封，则不一样的放法共有()A.12 种B.18 种C.36 种D.54 种1C242分析先放1、2 的卡片，有 C3种，再将 3，4，5，6 的卡片均匀分红两组再搁置，有A22·A2种，故共有 C31·C42＝ 18 种.答案 B6.组合式 C n0－ 2C n1＋ 4C n2－ 8C n3＋＋ (－ 2)n C n n的值等于 ()A.( － 1)nB.1C.3nD.3 n－ 1分析在(1＋ x)n＝ C0n＋ C1n x＋ C2n x2＋＋ C n n x n中，令 x＝－ 2，得原式＝ (1－ 2)n＝ (－ 1)n.答案A7.电视热播剧《爸爸去哪儿》中，“好客村”村长给 6位“宝贝”部署一项找寻空投食品的任务 .已知：①食品扔掷点有远、近两处；②因为Grace 年龄尚小，她要么不参加该项任务(此时需一位“宝贝”在大本营陪伴 )，要么参加找寻近处扔掷点的食品；③全部参加找寻任务的“宝贝”须被均匀分红两组，且分别到远、近两处扔掷点.则不一样的找寻方案有 ()A.100 种B.80 种C.70种D.40 种分析122分两类： (1)Grace 不参加找寻任务，有 C5 C4· C2种方案 .(2)Grace 参加找寻近处，有C52· C33种找寻方案 .由分类加法计数原理，共有C51C42· C22＋ C52C33＝ 40 种不一样方案 .答案D8.已知 (1＋ ax)(1＋ x)5的睁开式中 x2的系数为5，则 a＝ ()A. －4B.－3C.－ 2D.－ 1分析∵(1＋ x)5＝1＋ C51 x＋C52x2＋＋C55x5.∴ (1＋ ax)(1＋ x)5的睁开式中 x2的系数 C52＋ aC51 .依题意，得10＋5a＝ 5，∴ a＝－ 1.答案D9.(2016 石·家庄调研 )在高三 (1)班进行的演讲竞赛中，共有 5 位选手参加，此中 3 位女生， 2位男生 .假如 2 位男生不可以连续出场，且女生甲不可以排在第一个，那么出场次序的排法种数为 ()A.24B.36C.48D.60分析先排 3 个女生，三个女生之间有4 个空，从四个空中选两个排男生，共有A 42A 33＝72(种 )，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3 个空，从 3 个空中选两个排男生，有2 272－ 12＝ 60(种 )排法 .A 3A 2＝ 12(种 )，∴知足条件的出场次序有答案 Dx 2 y 2 10.(2016 乐·清调研 )已知点 F 1， F 2 分别为双曲线 2 － 2＝ 1(a ＞0，b ＞ 0)的左、右焦点， P 为双ab曲线左支上的随意一点，且 |PF 2|＝ 2|PF 1 |，若 △ PF 1F 2 为等腰三角形，则双曲线的离心率为()3A.3B. 2C.2D.2分析依题意得 |PF 2|－ |PF 1 |＝ 2a ，又 |PF 2|＝ 2|PF 1|，因此 |PF 2|＝ 4a ， |PF 1|＝ 2a.又 △PF 1F 2 为等腰三角形，因此 |PF 2|＝ |F 1F 2|，即 4a ＝2c ，因此双曲线的离心率为e ＝c＝ 2，应选 C.a答案 C11.某航空企业客机会雷雨天气致使飞机出事坠海，多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的找寻 .找寻黑匣子主要经过水下机器人和蛙人等手段，现有 3 个水下机器人 A ，B ， C和 2 个蛙人 a ，b ，各安排一次找寻任务，找寻时每次只好安排一个水下机器人或一个蛙人下水，此中 C 不可以安排在第一个下水， A 和 a 一定相邻安排， 则不一样的找寻方式有 ( )A.24 种B.36 种C.48 种D.60 种分析 分两类： (1)A 和 a 安排前两个地点下水，有A 22A 33 ＝ 12(种 )找寻方式； (2)B 和 b 中选一个排在第一个下水，注意到∴由分类加法计数原理，共有答案 B1 2 3A 和 a 相邻，有 C 2A 2A 3 ＝24(种 ) 下水方式 .12＋ 24＝ 36 种找寻方式 .5a12，则该睁开式中常数项为 ( )12. x ＋ x 2x － x 的睁开式中各项系数的和为A. －40B.－20C.20D.40分析令 x ＝ 1，依题意得 (1＋ a)(2－ 1)5＝ 2，∴ a ＝ 1，55又∵ 2x － 1 的睁开式通项 T r ＋ 1 ＝(－ 1)r C 5r · 25－ r · x 5－ 2r，∴ x ＋ 1 2x － 1 睁开式中的常xx x 332223数项为 C 5(－ 1) ·2 ＋ C 5(－ 1) · 2 ＝ 40.二、填空题2 213.(2015 淄·博二模 )若双曲线 x 2－y2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左、右焦点分别为F 1 和 F 2，线段 F 1F 2a b被抛物线 y 2＝ 2bx 的焦点分红 5∶ 3 两段，则此双曲线的离心率为 ________.b－（－ c ）分析抛物线的焦点坐标为b， 0 ，由题意知2b ＝ 5， c ＝ 2b ，23c －2因此 c 2＝ 4b 2＝ 4(c 2－ a 2 )，即 4a 2＝ 3c 2，因此 2a ＝ 3c ，因此 e ＝ c ＝ 2 ＝ 23 .a 3 3答案23314.如下图，在边长为 5＋ 2的正方形 ABCD 中，以 A 为圆心画一个扇 形，以 O 为圆心画一个圆，M ， N ， K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积 S ＝________.分析设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知条件得l ＋ r ＋ 2r ＝（ 5＋ 2） × 22， S ＝ π rl ＋ πr 2＝ 10π .π，解得 r ＝ 2， l ＝ 42π r ＝2l答案10π15.(2016 深·圳模拟 )已知 (x － m)7＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ ＋ a 7x 7 的睁开式中 x 4 的系数是－ 35，则 a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a 7＝ ________.分析∵ x 4 的系数为－ 35，∴ C 73· (－ m)3 ＝－ 35，得 m ＝1，在 (x － 1)7＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ ＋ a 7x 7 中，令 x ＝ 1，得 a 0＋ a 1＋ a 2＋ ＋ a 7＝ 0， 令 x ＝ 0，得 a 0＝－ 1.因此 a 1＋ a 2 ＋a 3＋ ＋ a 7＝ 0－(－ 1)＝ 1.答案122x 2 y22c ，右极点为 A ，抛物线 x 2＝16.(2014 山·东卷 ) 已知双曲线 a － b ＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的焦距为2py(p ＞ 0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ，且 |FA|＝c ，则双曲线的 渐近线方程为 ________.分析 c 2＝ a 2＋ b 2.①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知，双曲线过点 c ，－p22，即c2p 22a－4b ＝ 1.②2由 |FA|＝c ，得 c 2＝ a2＋ p4 ，③由①③得 p 2＝ 4b 2.④222将④代入②，得 c 2a＋ bb＝1，2a ＝ 2.∴a ＝ 2，即 a故双曲线的渐近线方程为y ＝ ±x ，即 x ±y ＝0.答案x±y＝ 017.设二项式 x－a6(a>0) 的睁开式中 x3的系数为 A ，常数项为 B，若 B＝ 4A ，则 a 的值是x________.分析a6－3 x－睁开式的通项T r＋1＝ (－ a)r C6r x62r x∴A＝ (－ a)2C26， B＝ (－ a)4C46，由 B＝ 4A ，得 (－ a)4C46＝4( － a)2C26，解之得 a＝±2.又 a>0，因此 a＝ 2.答案218.将 6位志愿者分红 4 个组，此中两个组各 2 人，另两个组各 1 人.分赴世博会的四个不一样场馆服务，不一样的分派方案种数有________种.分析将 6 位志愿者分为 2 名， 2 名， 1 名， 1 名四组，有C62C42· C21＝1× 15× 6＝45(种 )22A2·A 22分组方法 .将四组分赴四个不一样场馆有 A 44种方法 .∴依据分步乘法计数原理，不一样的分派方案有 45·A 44＝ 1 080(种 )方法 .答案 1 080。

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数（I ）2.1.1.2 指数幂及运算课时作业 新人教版必修11.已知a m＝4，a n＝3，则a m －2n的值为( )A.23B.6C.32D.2解析am －2n＝a m （a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124＝a 4. 答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×26×56＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8. 答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12；②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 43＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3；④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19.答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44) 34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715.(2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2xy .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0).解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a .能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1 ＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝________.解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12. 答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a －b的值. 解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8. 所以a 2b＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b－a －b<0. 故a b －a －b＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －ba ＋b>0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.。

第9讲函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.答案 A3．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A．10 B．11 C．13 D．21解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋＋x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2 x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号，所以选A.答案 A4．(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ( )解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 答案 B5.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k2t ，当t ＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15，t ＝150时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10.答案 A 二、填空题 6.(2014·杭州六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________小时，AB 间的距离最短．解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ， 则y ＝－＋(0≤x≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案2587．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝ae －bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b)3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 168. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，Smax ＝400. 答案 20 三、解答题 9．(2014·绍兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元． 则R(x)＝40x －y ＝40x －x25＋48x －8 000＝－x25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元， 则由题设得L ＝Q(P －14)×100－3 600－2 000， ①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 ，－32P ＋＜，代入①式得 L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋－－，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40－－＜，(1)当14≤P≤20时，Lmax ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P≤26时，Lmax ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫， 依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 能力提升题组(建议用时：35分钟) 11．(2014·杭州质量检测)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t(t ＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是 ( )解析 由题意得，f(t)＝⎩⎨⎧t2⎝⎛⎭⎫0＜t≤22，－－2＋1⎝⎛⎭⎫22＜t ＜2，2，故其图象为C.答案 C12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为 ( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y)，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A 13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N*)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x －x2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)． 解析 当0＜x≤20时，y ＝(33x －x2)－x －100＝－x2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ， x ＞20(x ∈N*)．当0＜x≤20时，y ＝－x2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，ymax ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ， x ＞20(x ∈N*) 1614．(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以，炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k2)a2成立．即关于k 的方程a2k2－20ak ＋a2＋64＝0有正根 ∴判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标． 15．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t ＋21－t(t≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x≥1，则x ＋1x ＝52，即2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦即m·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t＝x ，则0＜x≤1，∴m≥2(x －x2)，由于x －x2≤14，∴m≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。

第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．(2014·太原模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是 ( ) A ．y ＝log2xB ．y ＝xC ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x解析 y ＝log2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x 在(0,1)上是减函数．故选D. 答案 D 2．(2014·济南模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析 ∵f(x)＝－x2＋2ax ＝－(x －a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1.① 又g(x)＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数． ∴a ＋1>1，∴a>0.② 由①②知，0<a≤1. 答案 D3．(2014·嘉兴高三月考)已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f(x)为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x|<1，x≠0.∴－1<x<0或0<x<1.答案 C 4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f(x)在(1， ＋∞)上单调递增，∴f(2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f(3)，即b ＜a ＜c. 答案 B5．(2015·杭州高三联考)已知函数f(x)＝log2x ＋11－x ，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )A ．f(x1)＜0，f(x2)＜0B ．f(x1)＜0，f(x2)＞0C ．f(x1)＞0，f(x2)＜0D ．f(x1)＞0，f(x2)＞0解析 ∵函数f(x)＝log2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0， 即f(x1)＜0，f(x2)＞0. 答案 B 二、填空题 6．(2014·中山质检)y ＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________． 解析 由题意知当x≥0时，y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x ＜0时，y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数． 答案 (－∞，－1]，[0,1]7．(2015·宁波高三质检)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －log2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案 38．设函数f(x)＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析 f(x)＝ax ＋2a2－2a2＋1x ＋2a ＝a －2a2－1x ＋2a ，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a2－1＞0，－2a≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a2－1＞0，a≥1⇒a≥1.答案 [1，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－2x1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x2＋1＝－＋1－x1－x1＋＋＝－－＋＋.由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f(x)＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－23.10．已知f(x)＝ax2＋1bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a ＞0，b ＞0)是奇函数，当x ＞0时，f(x)有最小值2，且f(x)的递增区间是⎣⎡⎭⎫12，＋∞，试求a ，b ，c 的值． 解 由f(x)＝－f(－x)得c ＝0. 又∵f(x)＝ax2＋1bx在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上递增， 且x ＞0时f(x)＝ax2＋1bx ≥2ax2bx ＝2a b ＝2，∴b2＝a.又∵x ＝12时，f(x)min ＝2，∴f ⎝⎛⎫12＝a ＋42b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c ＝0.故a ，b ，c 的值分别为4,2,0.能力提升题组(建议用时：35分钟)11．已知函数f(x)＝x2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝x在区间(1，＋∞)上一定 ( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g(x)＝x ＋ax －2a 在[|a|，＋∞)上为增函数，故选D.答案 D12．(2014·武汉二模)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ，x ＞1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析 函数f(x)在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f(x)在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a≥4－a 2＋2，解得4≤a<8.答案 B13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a ＞b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析 依题意，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，0＜x≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x≤2时，h(x)＝log2x 是增函数，当x ＞2时，h(x)＝3－x 是减函数， ∴h(x)在x ＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案 114．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ⎝⎛⎭⎫x1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x ＞1时，f(x)＜0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则x1x2＞1，由于当x ＞1时，f(x)＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫x1x2＜0，即f(x1)－f(x2)＜0， 因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f ⎝⎛⎭⎫x1x2＝f(x1)－f(x2)得f(93)＝f(9)－f(3)， 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.15．(2014·上海外国语大学附属宏达高中模拟)已知f(x)＝x2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2，任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋⎝⎛⎭⎫12x1－12x2＝－－2x1x2，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x ＋ax＞0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋2x ＋a ＞0，x≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－＋，x≥1，等价于a 大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值． φ(x)＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴当x ＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞).。