2016_2017学年高中数学第1章三角函数1.3.4三角函数的应用学案苏教版必修

1.3.4 三角函数的应用1．三角函数模型的应用(1)三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)的最大值为A ，最小值是－A ，周期是2π|ω|，频率为|ω|2π. (3)三角函数模型的三种应用模式：一是给定具有周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数解析式(函数模型)，再解决其他问题；三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．预习交流在建模过程中，散点图的作用是什么？ 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．2．应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景；在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成实际问题的解答．一、三角函数在物理学中的应用表示电流I 与时间t 的关系式I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，如图所示．(1)根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一段1100秒的时间内都能使I 同时取到最大值|A |和最小值－|A |，那么正整数ω的最小值为多少？思路分析：(1)由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点，据此可求出解析式．(2)画图分析得：要使任意一段1100秒的时间内I 能同时取到最大值和最小值，需要满足周期T ≤1100. 解：(1)由图可知：A ＝300，周期T ＝160－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150.∴ω＝2πT＝100π，此时所求函数的解析式为I ＝300sin(100πt ＋φ)．以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0为“五点法”作图的第一关键点则有100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，∴φ＝π3. 得函数解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3. (2)由题意知周期T ≤1100，即2πω≤1100⇒ω≥200π⇒ω≥628.3.由于ω为正整数，故ω的最小值为629.如图所示的是弹簧挂着小球做上下运动，时间t (s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动时的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？解：(1)用“五点法”作出图象．如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝2sin π4＝2， 即小球开始振动时的位置为(0，2)．(3)当t ＝π8时，h ＝2；当t ＝5π8时，h ＝－2.即最高点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，最低点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－2.最高点与最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.(4)∵T ＝2πω＝2π2＝π≈3.14，即每经过3.14 s 小球往复振动一次．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中，此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法． 二、三角函数在日常生活中的应用如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面的距离是h .(1)求h 与θ间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？思路分析：由题意得h 与θ的三角函数关系，再由此函数关系得h 与t 的解析式．最后由三角函数的性质求t 的值．解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t .∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车第一次到达最高点时用的最少时间是30 s.如图为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则ω，A 的值分别为__________．答案：2π15，3 解析：易知水轮的角速度ω＝2π×460＝2π15，A ＝3.面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．1．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于__________．答案：g4π2解析：因为周期T ＝1＝2πg l，所以g l ＝2π，则l ＝g 4π2. 2．设钟摆每经过1.8秒便回到原来的位置．如图，当钟摆达到最高位置M 时开始计时，经过1分钟后，请你估计钟摆在铅垂线的__________边(填“左”或“右”)．答案：右解析：∵钟摆的周期为1.8秒，60＝1.8×33＋0.6，∴钟摆在铅垂线的右边．3．下图是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有__________(填序号)．①该座舱的运动周期是π； ②该座舱的振幅是2；③该座舱在π10s 时达到最高点；④该座舱在7π20s 时离地面最近．答案：①④解析：T 4＝7π20－π10＝π4，∴T ＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在π10s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．4．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速运动，观察后轮气针的运动规律．若轮胎以ω rad/s 的角速度做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针到原点O 的距离为r cm ，求气针的位置P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式，并求出气针的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，作出其函数图象．解：易知函数关系式为y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π6.其图象是将y ＝sin t 的图象向左平移π6得到的．。

第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活 教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。

实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

三、例题分析： 例1、 （教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。

例2、 （教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 例3、如图所示，求函数的一个解析式。

例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为x3-3π 56π3O小值为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问 题可以借助于三角函数模拟呢？ 五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

图 2图1§1.3.4 三角函数的应用(一) 王建宏 课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题．2.进一步掌握函数模型的应用，培养独立思考的能力，增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 课前练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的 函数关系如图1所示．试写出该函数的解析式 .2.如图2，某地一天从6时至14时的温度变 化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. 试写出该函数的解析式 .答案:图21.420cos 30,[0,)3y x x π=+∈+∞.2.310sin()20,[6,14]84y x x ππ=++∈.题型探究例1如图2，某地一天从6时至14时 的温度变化曲线近似满足函数 sin()y A x b ωϕ=++.（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式. (Ⅲ) 如果一天24小时内的温度均 近似符合该函数关系式,求一天中温度不小于250C 的时间有多长?分析：根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象求出ϕ，ω,A ，关键是要确定已知的点对应的是函数图象上的哪些点．解析：（Ⅰ）由图2所示，这段时间的最大温差是301020-=℃ （Ⅱ）图2中从6时到14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期.∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=. 由图2所示，10)1030(21=-=A ,20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将6,10x y ==代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为310sin()2084y x ππ=++（[6,14]x ∈）(Ⅲ) 310sin()202584x ππ++≥, 31sin()842x ππ+≥. 解之得3522,6846k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈ (0x >) 取0k =, 1k =可得:35,(0)6846x x ππππ≤+≤≥或133176846x ππππ≤+≤,即203x ≤≤或345033x ≤≤,∴一天中温度超过250C 的时间为25034216(0)()33333-+-=+ 6=小时.图1练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间 t(s)之间的函数关系如图1所示． 求t ＝l0(s)时钟摆的高度．解法一：420cos 1030203y π=⨯+=mm. 解法二：由题意知2T ＝3，故23=T ,即函数的周期是23=T .)(20)1(1236)10(mm f f f ==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=，故此时钟摆的高度为20mm.例2 在图3中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的图3 运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系; (2)求该物体在5t s =时的位置.解析: (1)设x 和t 之间的函数关系为3sin() (0,02)x t ωϕωϕπ=+>≤<.则由23T πω==,可得23πω=.当0t =时,有3sin 3x ϕ==,即sin 1ϕ=.又02ϕπ≤<,故可得2πϕ=.所以所求函数关系为23sin(32x t ππ=+,即23cos 3x t π=. (2)令5t =,得23cos 3x t π= 1.5=-,故该物体在5t s =时的位置是在O 点的左侧且距O 点1.5处.练习2.在图3中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向向右运动到平衡位置时开始计时.(1) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在7.5t s =时的位置.答案:(1) 5sin 2x t π= ;(2)当7.5t=时,155sin7.55sin5sin(4)5sin 24442x πππππ=⨯==-=-=-即物体在平衡位置的左方,cm 处.例3 一半径为4m 的水轮如图4所示, 水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动 5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中 点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为 时间t(s)的函数;(2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?分析:本题可以利用物理背景(角速度)去求解,也可以利用数学模型从理论上求解.解法一 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图2所示, 建立直角坐标系. 设角ϕ(0)2πϕ-<<是以O x 为始边,OP 0为终边的角.由OP 在ts 内所转过的角为52()606t t ππ⨯=,可知O x 为始边, OP 为终边的角为6t πϕ+,故P 点纵坐标为4sin()6t πϕ+, 则4sin()26y t πϕ=++. 当0t =时,0y =可得1sin 2ϕ=-.因为02πϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+.(2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=.取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.故点P 第一次到达最高点需要4s .解法二(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转.设sin()y A t B ωϕ=++,ϕ∈()22ππϕ-<< . ∵水轮上点P 距离水平最大距离为6,最小距离为-2,∴426,4,22,A B A B A B +=+=⎧⇒==⎨-+=-⎩. 又水轮每分钟转动5圈,得12秒钟转动一周,即得周期为12秒,得 2126T ππωω==⇒=. ∴4sin()26y t πϕ=++.∵点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间. 即当时0t =时0y =,∴4sin 20ϕ+=,可得1sin 2ϕ=-. 因为22ππϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+.(2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=.取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.O故点P 第一次到达最高点需要4s .小结 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．练习3.如图5，游乐场中的摩天 轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟， 其中心O 距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你 与地面的距离将随时间的变化而变化， 以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答 下列问题：（Ⅰ）求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； （Ⅱ）当你第4次距离地面60.5米时，用了多少时间？ （Ⅲ）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮 最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你距离地面的距离和你的朋友的距离地面的距离之差最大？并求出最大值.分析：在摩天轮运转的过程中,两个人的与地面的距离之差实质为一个函数()[40.540cos(2)](40.540cos)40[coscos(2)]6666g t t t t t ππππ=-+--=-+如何求此函数的最值?在第三章中将有介绍.本题中由于周期数据的特殊性,可直接得出该结论.解析：（Ⅰ）可以用余弦函数来表示该函数关系式,由已知可设40.540cos ,(0)y t t ω=-≥,由已知周期为12分钟可知当6t =时到达最高点,即函数取得最大值,知80.540.540cos6ω=-,即得cos 61,ω=-∴6ωπ=,即解得6πω=.∴)0(,6cos405.40≥-=t t y π.（Ⅱ）令40.540cos 60.56y t π=-=, 得1cos 62t π=-,∴263tπ=π或463tππ=,解得4t=或8t=, 故第四次距离地面60.5米时，用了12+8=20分钟.（Ⅲ）与地面的距离之差最大,此时你必须在你的朋友的正上方,或你的朋友在你的正上方,由周期性知,再过2分种后,你恰在你的朋友的正上方,再过半个周期时,恰相反,故过6k＋2 (k Z∈)分钟后距离之差最大，最大值为40米.课堂演练1.函数y=－x·cos x的部分图象是( )D 解析：函数y=－x cos x是奇函数，图象不可能是A和C，)时，y＜0.又当x∈(0,22.下列四个结论中正确的个数是①y=sin|x|的图象关于原点对称②y=sin（|x|+2）的图象是把y=sin|x|的图象向左平移2个单位得到的③y=sin（x+2）的图象是把y=sin x的图象向左平移2个单位而得到的④y=sin（|x|+2）的图象是由y=sin（x+2）（x≥0）的图象及y=－sin （x－2）（x<0）的图象组成的A.1B.2C.3D.4B解析:y=sin|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,其向左平移两个单位可得y=sin|x+2|, 故 ① ② 不正确,而③ ④ 正确.故应选B.3.关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)(x∈R)，有下列命题:①由f(1x )＝f(2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)；③y＝f(x)的图像关于点(－6π，0)对称；④y＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称.其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)②③本题综合考查正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的性质、图象特征及诱导公式等基本知识.①由)32sin(4)(π+=x x f 知.22ππ==T 而图象是每半个周期与x 轴相交一次，所以x 1–x 2必是2π的整数倍，此命题不正确.②因)62cos(4)62cos(4)]32(2cos[4)32sin(4)(πππππ-=+-=+-=+=x x x x x f此命题正确.③因x y 2sin =的图象关于原点对称，则)]6(2sin[π+=x y 的图象关于)0,6(π-对称，此命题正确.④)32sin(4)(π+=x x f 的对称轴为)32(21πππk x +-=即),(212Z ∈+=k kx ππ故6π-=x 不是对称轴，此命题不正确.4.估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：D （t ）=2k sinπ180（t －60）+12,其中t 表示某天的序号，t =0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关.（1）如在波士顿，k =6，试画出函数当0≤t ≤360时的图象； （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？解析：（1）先用五点法画出f （t ）=3sin π180（t －60）的简图，由π180（t －60）=0及π（t －60）=2π,得t =60及t =420，列出下表：若t =0,f （0）=3sin π3=2.因为f （x ）的周期为360，∴f （360）将f （x ），t ∈［0,360］图象向上平移12个单位，得D （t ）的图象，如图所示.（2）白昼时间最长的一天即D （t ）取最大值的一天，此时t =150对应的是5月30日（闰年除外）.类似地，t =330时，D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短. （3）D （t ）>10.5,即3sin π180（t －60）+12>10.5,3sinπ180（t－60）>－23,t∈［0,360］.∴ 270>t>30,270－30=240. 有240天的白昼时间超过10.5小时.图 2图 2图1§1.3.4 三角函数的应用(一) 王建宏课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题．2.进一步掌握函数模型的应用，培养独立思考的能力，增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．课前练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的 函数关系如图1所示．试写出该函数的解析式 .2.如图2，某地一天从6时至14时的温度变 化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. 试写出该函数的解析式 . 答案:1. 420cos303y x π=+. 2. 310sin()2084y x ππ=++. 题型探究例1如图2，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.(Ⅲ) 求一天中温度超过250C 的时间有多长? 分析：根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象求出ϕ，ω,A ，关键是要确定已知的点对应的是函数图象上的哪些点．解析：（Ⅰ）由图2所示，这段时间的最大温差是301020-=℃（Ⅱ）图2中从6时到14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期. ∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=. 由图2所示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b 这时，20)8sin(10++=ϕπx y将6,10x y ==代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为310sin()2084y x ππ=++（[6,14]x ∈）图3 图1(Ⅲ) 310sin(202584x ππ++≥, 31sin()842x ππ+≥.解之得133176846x ππππ≤+≤,即345033x ≤≤, ∴一天中温度超过250C 的时间为503416333-=小时. 练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图1所示．求t ＝l0(s)时钟摆的高度．解法一：420cos1030203y π=⨯+=mm. 解法二：由题意知2T ＝3，故23=T ,即函数的周期是23=T .)(20)1(1236)10(mm f f f ==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=，故此时钟摆的高度为20mm.例2 在图3中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm ,周期为3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在5t s =时的位置.解析: (1)设x 和t 之间的函数关系为3sin() (0,02)x t ωϕωϕπ=+>≤<.则由23T πω==,可得23πω=.当0t =时,有3sin 3x ϕ==,即sin 1ϕ=.又02ϕπ≤<,故可得2πϕ=.所以所求函数关系为23sin() 32x t ππ=+,即23cos 3x t π=. (2)令5t =,得23cos3x t π= 1.5=-,故该物体在5t s =时的位置是在O 点的左侧且距O 点1.5处.练习2.在图3中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为5cm ,周期为4s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在7.5t s =时的位置. 答案:(1) 5sin2x t π= ;O(2)当7.5t =时,155sin7.55sin5sin(4)5sin 24442x πππππ=⨯==-=-=-即物体在平衡位置的左方,距平衡位置2cm 处.例3 一半径为4m 的水轮如图4所示,水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从 水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?解析 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图2所示, 建立直角坐标系. 设角ϕ (0)2πϕ-<<是以O x 为始边,OP 0为终边的角.由OP 在ts 内所转过的角为52()606t t ππ⨯=,可知O x 为始边, OP 为终边的角为6t πϕ+,故P 点纵坐标为4sin()6t πϕ+,则4sin()6y t πϕ=+.当0t =时,2y =-可得1sin 2ϕ=-.因为02πϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()66y t ππ=-. (2)令4sin()66y t ππ=-=45,得sin()166t ππ-=.取662t πππ-=,解得4t =.故点P 第一次到达最高点需要4s .小结 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．练习3.如图5，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12 分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米.如果你 从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的 变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答 下列问题：（Ⅰ）求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； （Ⅱ）当你第4次距离地面60.5米时，用了多少时间？ （Ⅲ）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮 最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少 时间后，你和你的朋友的距离之差最大？ 并求出最大值.分析：在摩天轮运转的过程中,两个人的与地面的距离之差实质为一个函数()[40.540cos(2)](40.540cos)40[coscos(2)]6666g t t t t t ππππ=-+--=-+如何求此函数的最值?在第三章中将有介绍.本题中由于周期数据的特殊性,可直接得出该结论.解析：（Ⅰ）可以用余弦函数来表示该函数关系式,由已知可设40.540cos ,(0)y t t ω=-≥,由已知周期为12分钟可知当6t =时到达最高点,即函数取得最大值,知80.540.540cos6ω=-,即得cos 61,ω=-∴6ωπ=,即解得6πω=. ∴)0(,6cos405.40≥-=t t y π.（Ⅱ）令40.540cos 60.56y t π=-=, 得1cos 62t π=-,∴263t π=π或463t ππ=,解得4t =或8t =, 故第四次距离地面60.5米时，用了12+8=20分钟.（Ⅲ）你和你的朋友距离之差最大,此时你必须在你的朋友的正上方,或你的朋友在你的正上方,由周期性知,再过2分种后,你恰在你的朋友的正上方,再过半个周期时,恰相反,故过6k ＋2 (k Z ∈)分钟后距离之差最大，最大值为40米课堂演练1. 函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )D 解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0,2π)时， y ＜0.2.下列四个结论中正确的个数是 ①y =sin|x |的图象关于原点对称②y =sin （|x |+2）的图象是把y =sin|x |的图象向左平移2个单位得到的 ③y =sin （x +2）的图象是把y =sin x 的图象向左平移2个单位而得到的 ④y =sin （|x |+2）的图象是由y =sin （x +2）（x ≥0）的图象及y =－sin （x －2）（x <0）的图象组成的 A.1 B.2 C.3 D.4B 解析: y =sin|x |是偶函数,其图象关于y 轴对称,其向左平移两个单位可得y =sin|x +2|, 故 ①②不正确,而③④正确.故应选B.3.关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)(x∈R)，有下列命题:①由f(1x )＝f(2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)； ③y＝f(x)的图像关于点(－6π，0)对称； ④y＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称. 其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)②③本题综合考查正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的性质、图象特征及诱导公式等基本知识. ①由)32sin(4)(π+=x x f 知.22ππ==T 而图象是每半个周期与x 轴相交一次，所以x 1–x 2必是2π的整数倍，此命题不正确. ②因)62cos(4)62cos(4)]32(2cos[4)32sin(4)(πππππ-=+-=+-=+=x x x x x f 此命题正确.③因x y 2sin =的图象关于原点对称，则)]6(2sin[π+=x y 的图象关于)0,6(π-对称，此命题正确. ④)32sin(4)(π+=x x f 的对称轴为)32(21πππk x +-=即),(212Z ∈+=k k x ππ故6π-=x 不是对称轴，此命题不正确.4.估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：D （t ）=2k sin π180（t －60）+12,其中t 表示某天的序号，t =0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关.（1）如在波士顿，k =6，试画出函数当0≤t ≤360时的图象；（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？解析：（1）先用五点法画出f （t ）=3sin π180（t －60）的简图，由π180（t －60）=0及 π（t －60）=2π,得t =60及t =420，列出下表：若t =0,f （0）=3sin π3因为f （x ）的周期为360，∴f （360）将f （x ），t ∈［0,360］图象向上平移12个单位，得D（t）的图象，如图所示.（2）白昼时间最长的一天即D（t）取最大值的一天，此时t=150对应的是5月30日（闰年除外）.类似地，t=330时，D（t）取最小值，即12月20日白昼最短.（3）D（t）>10.5,即3sinπ180（t－60）+12>10.5, 3sinπ180（t－60）>－23,t∈［0,360］.∴ 270>t>30,270－30=240. 有240天的白昼时间超过10.5小时.。

三角函数教学设计【教学分析】1、周期现象是自然界中一类根本的现象，而三角函数是用来刻画周期现象变化的最重要，最根本的数学模型。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其本身都是最根本的周期，很多周期现象变化规律都可以由他们直接描述。

2、初中讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反响角的大小，而不是从函数的角度来认识；而高中阶段三角函数的学习是特殊函数的研究，初中，高中两个阶段三角函数的学习角度不同。

3、随着对三角函数讨论的深入，使得三角函数成为分析学的重要组成局部，三角函数成了独立的数学分支。

4、角度制和弧度制都是测量角的根本方法，他们是对同一个量——“角〞的不同度量方法。

【内容分析】“三角函数〞这一章的教育价值主要表达在以下几个方面：1 用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。

2 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。

3 通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题的能力。

4 结合有关内容〔如角度与弧度的换算，角求它的三角函数值，三角函数值求角〕进行算法的根本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，作函数图象，探索和解决问题。

5 通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并认识角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的。

6 通过对同角三角函数的根本关系的学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辨证唯物主义思想。

7 通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而到达从感性认识到理性认识的飞跃。

【根本要求】〔1〕任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

〔2〕三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义。

1.3.4 三角函数的应用课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例1】 设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.y=12+3sin6πt,t∈［0,24］ B.y=12+3sin(6πt+π),t∈［0,24］ C.y=12+3sin 12πt,t∈［0,24］ D.y=12+3sin(12πt+2π),t∈［0,24］思路分析：考查函数y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的近似估计.解析：在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t=0及t=3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A. 答案：A 温馨提示函数的模型只能近似刻画某个时段的水深变化情况，通常我们都要结合实验数据通过代入检验来不断改进函数模型.2.从实际问题中抽象出三角函数模型 【例2】如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.思路分析：本题考查知图求式问题.利用图象给出的条件，利用待定系数法求A 、ω、φ. 解：（1）由题图所示这段时间的最大温差是30-10=20 ℃.(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象，∴21·ωπ2=14-6,解得ω=8π. 由图得A=21(30-10)=10,b=21(30+10)=20. 于是y=10sin(8πx+φ)+20，将x=6,y=10代入得sin(π43+φ)=-1,由“五点法”作图原理知π43+φ=π23.∴φ=π43. 综上，所求解析式为y=10sin(8πx+π43)+20,x∈［6,14］. 温馨提示（1）一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应特别注意自变量的取值范围.（2）利用图象研究函数的性质，观察分析函数的图象，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.3.将实际问题数学化【例3】已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：（1）根据以上数据，求出函数y=Acostx+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 思路分析：从表中得到要用的数据，A 、T 、w 解：（1）由表中数据，知周期T=12. ∴ω=T π2=122π=6π. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5① 由t=3,y=1.0,得b=1.0②∴A=0.5,b=1,∴振幅为21, ∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2kπ-2π＜6πt ＜2kπ+2π,即12k-3＜t ＜12k+3③∵0≤t≤24,故可令③中k 分别为0，1，2，得0≤t＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00. 温馨提示利用数学模型解决实际问题时，往往会忽略实际问题本身存在的条件，应引起注意. 各个击破 类题演练1如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s=6sin(2πt+6π)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s思路分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期. 解：由分析，因为ω=2π,所以T=ωπ2=1.答案：D 变式提升1某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.（1）画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量作为时间t 的函数表达式（其中t 以年初以来的月为计量单位）. 解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+α)+b. 由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200， 数量变化周期为12个月，所以振幅A=2200=100,ω=122π=6π,b=800,又7月1日为种群数量达最高，∴6π×6+α=2π.∴α=-2π. 则种群数量关于时间t 的函数表达式为y=800+100sin6π(t-3). 类题演练2一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球.小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s （单位cm ）与时间t(单位：s)的函数关系是s=6sin （2πt+6π）, (1)画出它的图象. （2）回答以下问题.①小球开始摆动（即t=0）时，离开平衡位置多少厘米? ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解：（1）先求周期：T=ππ22=1（s ）.列表：t61 125 32 1211 1 2πt+6π 6π 2π π 23π 2π 2π+6π 6sin(2πt+6π)36-63(2)①小球开始摆动（t=0），离开平衡位置为6 cm.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm(即振幅). ③小球来回摆动一次需要1 s （即周期）. 变式提升2在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流i 是时间t 的正弦函数，即 i=3sin(21t+6π). 试求它的初始（t=0）电流、最大电流和周期. 解析：t=0时，i=3sin 6π=23; 当sin(21t+6π)=1； 即21t+6π=2π，t=3π时，i max =3； 最小正周期：T=2122πωπ==4π. 答案：23,i max =3,T=4π.类题演练3以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大.并说明理由. 解：由条件可得，出厂价格函数为y 1=2sin （4πx-4π）+6,销售价格函数为y 2=2sin （4πx 43π-）+8,则利润函数y=m(y 2-y 1)=m ［2sin(4πx 43π-)+8-2sin(4πx-4π)-6］=m(2-22sin 4πx) 所以，当x=6时，y=(2+22)m,即6月份盈利最大. 变式提升3曲线y=Asinωx+k(A＞0,ω＞0)在区间［0，ωπ2］上截直线y=3及y=-1所得的线段长相等且不为零，则下列对A ，k 的描述正确的是（ ）A.k=1,A ＞2B.k=1,A≤2C.k=2,A ＞2D.k=2,A≤3 解析：函数y=Asinωx+k 的周期为ωπ2,故［0,ωπ2］的长度正好是它的一个周期，大致图象如图，由直线 y=3与y=-1截曲线所得线段长相等知，y=3与y=-1关于y=k 对称，所以k=3-21=1;又截得的丝段长不为零，有k+A ＞3即A ＞3-k=3-1=2.故选A.答案：A。

浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

——恩格斯。

21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。

一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。

另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。

割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。

因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。

数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。

通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。

知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。

能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。

第 14 课时： 1.3.4三角函数的应用（一）【三维目标】： 一、知识与技能1. 会由函数)sin(ϕω+=x A y 的图像讨论其性质；能解决一些综合性的问题。

2.会根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力 二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习，使学生能根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．2.并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

三、情感、态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

【教学重点与难点】：重点：待定系数法求三角函数解析式;难点：根据函数图象写解析式；根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ． 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题复习：1.由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换； 方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。

2.如何用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象？ 3.ϕω、、A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响作用 二、研探新知函数[(,),0),sin(+∞∈+=x x A y ϕω其中)0,0>>ωA 的物理意义：函数表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T ：ωπ=2T 往复振动一次所需的时间，称为“周期” f：πω==21T f 单位时间内往返振动的次数，称为“频率”ϕ+ωx ：称为相位ϕ：x = 0时的相位，称为“初相”三、质疑答辩，排难解惑，发展思维1．根据函数图象求解析式例1 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。

1.3.4 三角函数的应用[学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．[知识链接]1．数学模型是什么？什么是数学模型的方法？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 2．上述的数学模型建立的一般程序是什么？ 答 解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； (2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； (3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； (4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答． [预习导引]1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k . (2)A ＝y max －y min2，k ＝y max ＋y min2.(3)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.要点一 三角函数图象的应用例1 作出函数y ＝|cos x |，x ∈R 的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间． 解 y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z作出函数y ＝cos x 的图象后，将x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，如图：由图可知，y ＝|cos x |是偶函数，T ＝π，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法 翻折法作函数图象(1)要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，即“下翻上”．(2)要得到y ＝f (|x |)的图象，只需将y ＝f (x )的图象在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分．跟踪演练1 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.要点二 应用函数模型解题例2 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式．此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪演练2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎪⎫0，322.(2)由题意知，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3.(3)T ＝2π2＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．要点三 构建函数模型解题例 3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：(1)(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )， 注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A ，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： 1．根据原始数据给出散点图．2．通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． 3．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 跟踪演练3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t ＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内有________个根． 答案 22．如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是________．答案 ③解析 d ＝f (l )＝2sin l2.3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为__________________． 答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7解析 由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，∴B ＝7，A ＝2.又T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4， 令3×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．一、基础达标1．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________． 答案 [0,1]和[7,12]解析 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)．又∵t ＝0时，y ＝32，∴可取φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)， ∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )时，函数递增．∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．2．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示：答案 y ＝－4.0cos 52πt解析 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，则A ＝4.0，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，又t ＝0时，y ＝－4.0，∴－4.0＝4.0sin φ，∴可取φ＝－π2，∴y ＝4.0sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52πt －π2，即y ＝－4.0cos 52πt .3．下图显示相对于平均海平面的某海弯的水面高度h (米)在某天24小时的变化情况，则水面高度h 关于从夜间零时开始的小时数t 的函数关系式为________．答案 h ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π⎝⎛⎭⎪⎫或h ＝－6sin π6t4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________． ①y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]；②y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]； ③y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]；④y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]．答案 ①解析 在给定的四个选项①②③④中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积的2n(n ∈N *)，则(1)函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为________；(2)函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为________．答案 (1)43 (2)π＋23解析 (1)取n ＝3，由已知，函数y ＝sin 3x 在[0，π3]上的面积为23.∵函数y ＝sin 3x 的周期为2π3，∴函数y ＝sin 3x 在(π3，2π3)上的面积也是23，∴函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为43.(2)y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间[π3，4π3]上的图象如图所示：由(1)知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为π＋23.7．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．二、能力提升8．已知A 1，A 2，…A n 为凸多边形的内角，且lgsin A 1＋lgsin A 2＋……＋lgsin A n ＝0，则这个多边形是________． 答案 矩形解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1， ∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1， ∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°.根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°，解得n ＝4.9．已知某种交流电电流I (A)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次． 答案 25解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次．10．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t ＝7120秒时的电流强度为______．答案 0解析 根据图象得A ＝10，由⎩⎪⎨⎪⎧1300ω＋φ＝π2，4300ω＋φ＝32π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝100π，φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝7120秒时，I ＝10sin 6π＝0.11．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sin πt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10， 可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.12．如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间． (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与创新13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放 ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。

1.3.4 三角函数的应用一、【学习目标】1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．二、【自学要点】利用三角函数模型解释自然现象梳理 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意．第二步：收集、整理数据，建立数学模型．第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.三、【合作探究】1．已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？2.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？ (2)当此人距离地面不低于⎝ ⎛⎭⎪⎫59＋4923米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？四、【当堂巩固】1．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)时，离开平衡位置多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？2.如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.五、【课堂小结】：六、【教学反思】：。