线性代数-向量及其线性运算54页PPT

向量组的极大线性无关组—秩
可知向量组中的极大线性无关组所含向量个 数相等。所含向量个数称为向量组的秩（r）。
向 (可见向量组的秩的求法依赖于矩阵秩的求法)
由此，向量组的极大线性无关组可由向量组中 任意r个线性无关的向量组成。
量
向量组的极大线性无关组—秩
a11 a12
向
A
a21
a22
am1
am 2
线性方程组解的结构
Amn X b
向
A的秩为r，若1 , 2 为方程的解，则 1 2 为齐次方程的解；若 0 为非齐次方程的解，
是齐次方程的解，则 0 为非齐次方程的 量 解。
定理：设 0 是齐次方程的特解， 是非齐次方
程的通解，则 Amn X b 的通解是 0 。
量
向量组的极大线性无关组（例）
1 1, 0, 2,1T , 2 1, 2, 0,1T ,
向 3 2,1, 3, 2T , 4 2, 5, 1, 4T
求其极大线性无关组？当选定后，
k1
量
将其余向量用该极大线性无关组表示？
1 2
s
k2
O
1 1 2 2 1 1 2 2
ks
0
2
1 0 0
0
1
0
向
0
0
0
0 0 0
0 0 0
量
0 c1,r1 0 c2,r1Βιβλιοθήκη c1n x1 c2
n
x2
1 cr ,r1
crn
xr
=O
00
0
xr
1
00
0 xn
x1 c1,r1t1
c1ntnr
x2
c2 ,r 1t1

02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述

a { ( a a x x , b a x y ) ,i a ( z a } y b y ) j ( a z b z ) k ; ( a x ) i ( a y ) j ( a z ) k .
例 ： 设 M 1 ( 1 , 3 , 4 ) , M 2 ( 2 , 1 , 3 ) , 求 O M 1 + O M 2 , O M 1 O M 2 M 1 M 2 .
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x1, 所求点为 (1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
二、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a或 M1M2
M 1
向量的以 模M ：1向为 量起 点 的， 大M 小.2为 | a终 |或点 |的 M有 1M 向 2线 | 段 .
例1 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a 5b. 2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
例 2 设A(x1, y1,z1)和B(x2, y2,z2)为两已知 点，而在AB直线上的点M 分有向线段AB为
两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即AM，求分点的坐标.
MB
解 设 M(x,y,z)为直线上的点， z
B
A { x M x 1 ,y y 1 ,z z 1 } A M
o
y
x
z
由图分析可知
M2M3 M3M1, 原结论成立.
例 2 设 P在 x轴 上 ， 它 到 P1(0, 2,3)的 距 离 为 到 点 P2(0,1,1)的 距 离 的 两 倍 ， 求 点 P的 坐 标 .

必满足
.
证法
进一步：P94 定理2.6
定理 向量组线性相关至少有一个向量可由其 余向量线性表示．
定理 向量组线性无关任何一个向量都不能由 其向量线性表示．
P96 例题9
如果向量组
线性无关，而向量组
线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.
证设
∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
为数域 F 上的向量.
2) 运算规律
k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 . 如果 k 0, 0, 那么
线性代数-向量及其线性运算_图文.ppt
注意：集中精力，仔细理解
一、ｎ维向量（Vector） １、引入
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角
机身的水平转角
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组
２、定义 ｎ个数
组成的有序数组
称为一个ｎ维向量，其中 称为第 个分量.
x=（c1,c2,…., cn)T
来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭 ②对数乘封闭
那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 .
解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量； 任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．
2) 运算规律
交换律 + = + . 结合律 + ( + ) = ( + ) + .

《向量及其代数运算》PPT课 件
CONTENTS
• 向量的定义与表示 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积 • 向量的混合积
01
向量的定义与表示
向量的定义
总结词
向量的定义
详细描述
向量是一种有方向和大小的量，通常用有向线段表示。在二维空间中，向量可 以用一个有序对（x, y）表示，其中x和y是实数。在三维空间中，向量可以用一 个有序三元组（x, y, z）表示。
02
向量的加法与数乘
向量的加法
定义
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一 个新的向量。
性质
向量加法满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
几何意义
向量加法在几何上表示平行四边形的对角 线向量。
数乘运算
定义
数乘运算是指将一个实数与一个向量相乘 ，得到一个新的向量。
性质
向量的表示方法
总结词
向量的表示方法
详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。在坐标表示中，向量的起点可以设为原点， 终点坐标即为该向量的坐标。箭头表示法则是通过一个带箭头的线段来表示向量，箭头的长度和方向分别代表向 量的模和方向。
向量的模
总结词：向量的模
详细描述：向量的模是指向量的长度或大小，记作|a|，其中a是一个向量。向量 的模可以通过勾股定理计算得出，即|a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)，其中x、y和 z分别是向量在三个坐标轴上的分量。
外积的运算性质
总结词
向量外积满足交换律和结合律，但不满足分 配律。

ax
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组

5
x

3
y

a,
其中
a

(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(


)a

0，
即



a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,

向量的共线 :因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行 又称两向量共线 .
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律

详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。