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第二章运动定律与力学中的守恒定律运动是物质的固有属性,但物质如何运动,则既与自身的内在因素有关，又取决于物质间的相互作用.在力学中将物体间的相互作用称为力.研究物体在力的作用下运动的规律称为动力学.动力学问题中既有以牛顿定律为代表所描述的力的瞬时效应,又有通过动量守恒、机械能守恒、角动量守恒等所描述的力在时、空过程中的积累效应.而反映力在时、空过程中积累效应的这些守恒定律又是与时、空的某种对称性紧密相连的.以牛顿定律为基础的经典力学经历了三个多世纪的检验,人们发现它只能在低速、宏观领域中成立,且当系统本身存在非线性因素时,在一定条件下还可导致“混沌”.但经典力学仍是机械制造、土木建筑、交通运输乃至航天技术等领域中不可或缺的理论基础。
2.1 牛顿运动定律2.1.1 惯性定律惯性参考系设想有一宇宙飞船远离所有星体,它的运动便不会受到其他物体的影响.这种不受其他物体作用或离其他物体都足够远的质点,称之为“孤立质点”.牛顿第一定律指出:一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态.物体的这种运动状态通常称为惯性运动,而物体保持原有运动状态的特性称之为惯性.任何物体在任何状态下都具有惯性,惯性是物体的固有属性.牛顿第一定律又称为惯性定律.实验表明,一孤立质点并不是在任何参考系中都能保持加速度为零的静止或匀速直线运动状态.例如,在一个作加速运动的车厢内去观察水平方向可视为孤立质点的小球运动,则小球相对于车厢参考系就有加速度,而相对于地面参考系,其加速度为零,如图2.1所示.上述现象表明惯性定律只能在某些特殊参考系中成立.通常把孤立质点相对于它静止或做匀速直线运动的参考系称为惯性参考系,简称惯性系.上例中的地面就是惯性系,而加速运动的车厢不是惯性系.那么,哪些参考系是惯性系呢？严格地讲,要根据大量的观察和实验结果来判断.例如,在研究天体的运动时,常把某些不受其它星体作用的孤立星体(或星体群)作为惯性系.但完全不受其它星体作用的孤立星体(群)是不存在的.所以,以孤立星体(群)作为惯性系也只能是近似的.地球是最常用的惯性系.但精确观察表明,地球不是严格的惯性系.离地球最近的恒星是太阳,两者相距115.1⨯m.由于太阳的存在,使10地球具有3⨯m/s2的公转加速度,地球的自转加速度更大,为9.5-102⨯m/s2,但对大多数精度要求不很高的实验,上述效应可以忽略, 4.3-10地球可以作为近视近视程度很好的惯性系.太阳参考系:通常指以太阳为原点,以太阳与其他恒星的连线为坐标轴的参考系.这是一个精确度很好的惯性系.但进一步研究表明,由于太阳受整个银河系分布质量的作用,它与整个银河系的其他星体一起绕其中心旋转,加速度为1010-m/s2.可以证明(见1.3节),凡相对于某惯性系静止或做匀速直线运动的其他参考系都是惯性系.2.1.2 牛顿第二定律 惯性质量 引力质量牛顿第二定律指出:物体受到外力作用时,它所获得的加速度a的大小与合外力的大小成正比,与物体的质量成反比;加速度a 的方向与合外力F 的方向相同.牛顿第二定律的数学形式为kma F = (2.1)比例系数k 与单位制有关.在国际单位制(SI)中1=k .第一定律只是说明任何物体都具有惯性,但没有给予惯性的度量,第二定律指出,同一个外力作用在不同的物体上,质量大的物体获得的加速度小,质量小的物体获得的加速度大.这意味着质量大的物体要改变其运动状态比较困难,质量小的物体要改变其运动状态比较容易.因此,质量就是物体惯性大小的量度.牛顿第二定律中的质量也常被称为惯性质量.任何两个物体之间都存在着引力作用,万有引力定律的数学形式为 0221r r m m G F -= (2.2) 试中1110)12.051.6(-⨯±=G 22/kg m N ∙,称为引力常量,r 为两质点间的距离,负号表示1m 对2m 的引力方向总是与2m 对1m 的矢径方向相反,而1m ,2m 则称为引力质量.牛顿等许多人做过实验,都证明引力质量等于惯性质量(见 3.6节).所以今后在经典力学的讨论中不再区分引力质量和惯性质量.惯性质量与引力质量等价是广义相对论的基本出发点之一.2.1.3 牛顿第三定律牛顿第三定律:当物体A 以力1F 作用在物体B 上时,物体B 也必定同时以力2F 作用在物体A 上,1F 和2F 大小相等,方向相反,且力的作用线在同一直线上.即21F F-= (2.3)对于牛顿第三定律,必须注意以下几点:1.作用力与反作用力总是成对出现,且作用力与反作用力之间的关系是一一对应的.2.作用力与反作用力是分别作用在两个物体上,因此绝对不是一对平衡力.3.作用力与反作用力一定是属于同一性质的力.如果作用力是万有引力,那么反作用力也一定是万有引力;作用力是摩擦力,反作用力也一定是摩擦力;作用力是弹力,反作用力也一定是弹力.需要说明的是,在牛顿力学中强调作用力与反作用力大小相等方向相反,且力的作用线在同一直线上.这种情况只在物体的运动速度远小于光速时成立.若相对论效应不能忽略时,牛顿第三定律的这种表达就失效了,这时取而代之的是动量守恒定律.因此,有人说,牛顿第三定律只是动量定守恒定律在经典力学中的一种推论.2.1.4 牛顿定律的应用第二定律描述的是力和加速度间的瞬时关系,它指出只要物体所受合外力不为零,物体就有相应的加速度,力改变时相应的加速度也随之改变,当物体所受合外力为恒量时,物体的加速度是常数. 牛顿第二定律22dtr d m a m F ==是矢量式.在具体运算时,一般要选定合适的坐标系,然后将牛顿第二定律写成该坐标系的分量式.例如在直角坐标系中它的分量式为 222222dtz d m dt d m ma F dty d m dt d m ma F dtx d m dt d m ma F z z z y y y x x x =========υυυ (2.4) 在研究曲线运动时,也可用自然坐标系中的法向分量和切向分量式ρυυττ2m ma F dt d m ma F n n ==== (2.5)式中n F F ,τ分别代表切向分力和法向分力的大小.牛顿第二定律概括了力的叠加原理.如果有几个力同时作用在一个物体上,则这些力的合力所产生的加速度等于这些这些分力单独作用在该物体上所产生的加速度之矢量和.注意:牛顿定律只适用于质点模型,只在惯性系中成立.可以证明,牛顿定律、动量定理、功能原理和机械能守恒定律、角动量定理和角动量守恒定律等都只在惯性系中成立，并且牛顿定律只能在低速（不考虑相对论效应时）、宏观（不考虑量子效应时）的情况下适用.例2.1 一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为1m 和2m 的物体（21m m <),如图2.2所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计,绳不能伸长,试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力.解 分别以2,1m m 定滑轮及重力为研究对象,其隔离体受力如图2.2所示.对1m ,它在绳子拉力1T 及重力g m 1的作用下以加速度1a向上运动,取向上为正向,则有1111a m g m T =- ① 对2m ,它在绳子拉力2T 及重力g m 2作用下以加速度2a向下运动,以向下为正方向,则有2222a m T g m =- ② 由于定滑轮轴承光滑,滑轮和绳的质量可以略去,所以绳上各部分的张力都相等;又因为绳不能伸长,所以1m 和2m 的加速度大小相等,即有a a a T T T ====2121,解①和②两式得g m m m m T g m m m m a 212121122,+=+-= 由牛顿第三定律知:T T T T T T ====2211',',又考虑到定滑轮质量不计,所以有g m m m m T T 212142'+== 容易证明g m m T )('21+<例2.2 升降机内有一光滑斜面,固定在底板上,斜面倾角为θ.当升降机以匀加速度1a 竖直上升时,质量为m 的物体从斜面顶端沿斜面开始下滑,如图2.3所示.已知斜面长为l ,求物体对斜面的压力,物体从斜面顶点滑到底部所需时间.解 以物体m 为研究对象.其受到斜面的正压力N 和重力mg .以地为参考系,设物体相对于斜面的加速度为2a,方向沿斜面向下,则物体相对于地的加速度为21a a a += 设x 轴正向沿斜面向下,y 轴正向垂直斜面向上,则对m 应用牛顿定律方程如下：x 方向： )sin (sin 12θθa a m mg -=y 方向： θθcos cos 1ma mg N =-解方程,得θθcos )(sin )(112a g m N a g a +=+=由牛顿第三定律可知,物体对斜面的压力'N 与斜面对物体的压力N 大小相等,方向相反,即物体对斜面的压力为θcos )(1a g m +垂直指向斜面.因为m 相对于斜面以加速度θsin )(12a g a +=沿斜面向下作匀速直线运动，所以2122sin )(2121t a g t a l θ+== 得θsin )(21a g l t +=例2.3 跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段由于受到随速度增加而增大的空气阻力,其速度不会像自由落体那样增大.当空气阻力增大到与重力相等时,跳伞员就达到其下落的最大速度,称为终极速度.一般在跳离飞机大约10s,下落约300～400m 左右时,就会达到此速度(约50m/s).设跳伞员以鹰展姿态下落,受到的空气阻力为2υk F =(k 为常量),如图2.4(a)所示.试求跳伞员在任一时刻的下落速度.解 跳伞员的运动方程为dtd m k mg υυ=-2 显然,在mg k =2υ的条件下对应的速度即为终极速度,并用T υ表示:kmg T =υ 改写运动方程为dt mk d kdt md T T =-=-2222υυυυυυ 因0=t 时,0=υ;并设t 时,速度为υ,对上式两边取定积分:⎰⎰⎰==-tT t T dt g dt m k d 020022υυυυυ 由基本积分公式得t g TT T T 2)ln(21υυυυυυ=-+ 最后解得T t gt t gt e e υυυυ2211--+-=当g t T2υ>>时,T υυ→.设运动员质量70=m kg,测得终极速度54=T υm/s,则可推算出24.02==T mgk υN 2·m 2/s 以此T υ值代入)(t υ的公式,可得到如图2.4(b)所示的t -υ函数曲线.*2.1.5 国际单位制和量纲各国使用的单位制种类繁多,就力学而言,常用的就有国际单位制,厘米、克、秒制和工程单位制等,这给国际科学技术交流带来很大不便.为此在第十四届国际计量会议上选择了7个物理量为基本量,规定了相应单位为基本单位,在此基础上建立了国际单位(SI),我国国务院在1984年把国际单位制的单位定为法定计量单位.SI 的7个基本量为长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度,其相应的单位见书后附页Ⅱ.有了基本单位,通过物理量的定义或物理定律就可以导出其他物理量的单位.从基本量导出的量称为导出量,相应的单位称为导出单位.例如速度的SI 单位是m/s,力的SI 单位是kg ·m/s2(简称为牛,代号是N).因为导出量是基本量导出的,所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示.这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式,如果用L,M 和T 分别表示长度、质量和时间,则力学中其他物理量的量纲式可表示为r q p T M L Q =][例如在SI 中力的量纲式为2][-=LMT F量纲式和量纲在物理学中很有用处.只有量纲式相同的量才能相加、相减或用等式相联,这一法则称为量纲法则.所以可以用量纲法则进行单位换算;检验新建方程或检验公式的正确性和完整性;还可为探索复杂的物理规律提供线索.量纲分析法在科学研究中具有重要作用.在物理学中,除采用国际单位制以外,基于不同需要,还常用其他一些单位.如长度在原子线度和光波中常用纳米(nm)作单位1nm =10-9m对于原子核线度,常用“费米”(f)作单位1f =10-15m在天体物理中,常用“天文单位”和“年年”作长度单位.一天文单位定义为地球和太阳的平均距离,光年是光在一年时间内通过的距离,即1天文单位1110469.1⨯=m1光年151046.9⨯=m*2.2非惯性系 惯性力凡相对于惯性系有加速度的参考系称之为非惯性系.如前所述,牛顿定律在非惯性系中不成立.可是,在实际问题中,人们常常需要在非惯性系中处理力学问题.下面的讨论将表明,为了能在非惯性系中沿用牛顿定律的形式,需要引入惯性力的概念.1.在变速直线运动参考系中的惯性力如图(2.5)所示,有一相对地面以加速度s a 作直线运动的车厢,车厢地板上有一质量为m 的物体,其所受合外力为F ,相对于小车以加速度'a 运动.因车厢由加速度s a 是非惯性系,所以在车厢参考系中牛顿定律不成立,即'a m F ≠若以地面为参考系,则牛顿运动定律成立,应有')'(a m a m a a m a m F s s +=+==地如果将s a m移至等式左边,令s a m F -=惯 (2.6) 并称惯F为惯性力,则上式可写为'a m F F =+惯 (2.7) 式(2.7)表明,若要在非惯性系中仍然沿用牛顿定律的形式,则在受力分析时,除了应考虑物体间的相互作用力外,还必须加上惯性力的作用.而式(2.6)说明,惯性力的方向与牵连运动参考系(这里即车厢)相对于惯性系(地面)的加速度s a方向相反,其大小等于研究对象的质量m 与s a 的乘积.注意:惯性力不是物体间的相互作用,故惯性力无施力物体,无反作用力.惯性力仅是参考系非惯性运动的表现,其具体形式与非惯性运动的形式有关.例2.4 一个电梯具有g/3且方向向下的加速度,电梯内装有一滑轮,其质量和摩擦均不计,一轻且不可伸长的细绳跨过滑轮两边,分别与质量为m 3和m 的两物体相连,如图 2.6所示.(1)计算m 3的物体相对于电梯的加速度;(2)计算连结杆对滑轮的作用力;(3)一个完全隔离在电梯中的观察者如何借助于弹簧秤量出的力来测量电梯对地的加速度.解 分别以m m 3,滑轮为研究对象，受力分析如图2.6，并设两物体对电梯的加速度为'a.(1)分别对m m 3,两物体运用非惯性系中牛顿定律形式(2.7)式⎩⎨⎧=--=-+'33'12ma F T mg ma mg T F 惯惯 式中 mg g m F mg F ===33,3112惯惯联立得mg T g a ==,3' 即m 3的物体相对于电梯以3g 加速度向下运动.(2)因滑轮质量不计,所以03=惯F .故连杆对滑轮的作用力mg T T 22'==(3)完全被隔离于电梯里的观察者观察到两物体的加速度只能是相对于电梯的,弹簧秤测出的力并没有包括惯性力的效果,若只测出的力为T ,则尚需考虑惯性力.设m 对电梯的加速度为'a ,则有'2ma mg F T =-+惯于是T g a m F -+=)'(2惯则电梯相对于地面的加速度mT g a m F a s -+==)'(2惯 2.在匀角速转动的非惯性系中的惯性力——惯性离心力*c f如图 2.7所示,在光滑水平圆盘上用一轻弹簧栓一小球,圆盘以角速度ω匀速转动,弹簧被拉伸后相对圆盘静止.地面上的观察者认为:小球受到指向轴心的弹簧拉力,所以随盘一起做圆周运动,符合牛顿定律.圆盘上的观察者认为:小球受到一指向轴心的弹簧力而仍处于静止状态,不符合牛顿定律.圆盘上的观察者若要用牛顿定律解释这一现象,就必须引入一个惯性力——惯性离心力*c f ,即r m a m f s c 2*ω=-=值得注意的是,有些读者长把惯性离心力误认为是向心力的反作用力,这是完全错误的:其一,惯性离心力不是物体间的相互作用,故谈不上有反作用力;其二,惯性离心力是作用在小球上,作为向心力的弹簧力也是作用在小球上的,从圆盘观察者来看,这是一对“平衡力”. 惯性离心力也是日常生活中经常遇到的.例如物体的重量随纬度而变化,就是由地球自转相关的惯性离心力所引起.如图2.8所示,一质量为m 的物体静止在纬度为ϕ处,其重力=地球引力+自转效应的惯性离心力,即惯引f F W +=但由于地球自转角速度很小(5103.73600242-⨯≈⨯=πωrad/s),故除精密计算外,通常把引F 视为物体的重力.3.科里奥利力*k f设想有一圆盘绕铅直轴以角速度ω转动.盘心有一光滑小孔,沿半径方向有一光滑小槽.槽中有一小球被穿过小孔的细线所控制,使其只能沿槽作匀速运动,假定小球沿槽以速度相u 向外运动,如图2.9(a)所示.现以圆盘为参考系,圆盘上的观察者认为小球仅有径向匀速运动,即小球处于平衡态,因此,有图2.9(b)可以看出,小球在径向有细绳的张力T 与惯性离心力*c f 平衡,而在横向上必须有与槽的侧向推力N 相平衡的力*k f 存在,才能实现小球在圆盘参考系中的平衡状态.显然,与N 相平衡的*k f 不属于相互作用的范畴(无施力者),而应属于惯性力的范畴.通常将这种既与牵连运动(ω)有关,又与物体对牵连参考系(圆盘)的相对运动(相u)有关的惯性力称为科里奥利力，记作*k f . 可以证明,若质量为m 的物体相对于转动角速度为ω的参考系具有运动速度相u,则科里奥利力ω⨯=相u m f k 2* （2.9）严格讲，地球是个匀角速转动的参考系,因此凡在地球上运动的物体都会受到科里奥利力的影响,只是由于地球自转的角速度ω很小,所以往往不易被人们觉察,但在许多自然现象中仍留下了科里奥利力存在的痕迹.例如北京天文馆内的傅科摆(摆长10m)的摆平面每隔37小时15分转动一周,北半球南北向的河流,人们对下游方向观察则右侧河岸被冲刷得厉害些;还有,南、北半球各自有着自己的“信风”……这些都可以用科里奥利力的影响来加以解释。
