山东省威海市2018届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷

绝密★启用前2018年威海市高考模拟考试理科综合本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至6页，第Ⅱ卷7至16页。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号写在试卷和答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生号、姓名、考试科目与考生本人姓名、考试号是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后要用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Cl 35.5 Cu 64 Zn 65 Ag 108第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。

一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列有关糖类的叙述，正确的是A．糖类都能为生物体提供能量B．叶绿体、ATP和RNA中都含有核糖C．糖原、淀粉和蔗糖彻底水解后的产物相同D．储存于肌肉细胞中的乳糖能及时补充人体所需能量2．某同学用紫色洋葱鳞片叶作实验材料，进行相关操作后用显微镜观察。

下列叙述正确的是A．将其外表皮制成临时装片，可观察到叶绿体B．将其外表皮用醋酸洋红染液染色后制成临时装片，无法观察到染色体C．将其内表皮制成临时装片进行质壁分离实验，未观察到质壁分离现象，说明其处于等渗溶液中D．将其内表皮用甲基绿吡罗红染液染色后制成临时装片，视野中大部分呈红色，说明其切尖端切尖端生长素处理切口a b c d e遗传物质主要为RNA3．大麦种子吸水萌发时，淀粉大量水解，新的蛋白质和RNA 分别在吸水后15～20min 和12h开始合成。

水解淀粉的淀粉酶一部分来自种子中原有酶的活化，还有一部分来自新合成的蛋白质。

山东省威海市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z=的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．（﹣1，2）B．[2，3）C．（2，3） D．（﹣1，2]3．已知||=||=2，（ +2）（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．p：若2x≥2y，则1gx≥1gy；q：若随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）=0.72，则P（ξ≤0）=0.28．下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q5．如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2cos（ωx+θ）（0＜θ＜π，ω＞0）为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数f（x）（）A．在[，]上单调递减B．在[，]上单调递增C．在[﹣，]上单调递减 D．在[﹣，]上单调递增7．若对任意实数x使得不等式|x﹣a|﹣|x+2|≤3恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，5] B．[﹣2，4] C．[﹣1，1] D．[﹣5，1]8．已知等腰△ABC满足AB=AC，BC=2AB，点D为BC边上一点且AD=BD，则sin ∠ADB的值为（）A．B．C．D．9．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+u（λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣15，+∞）B．（﹣∞，2﹣12]C．（﹣∞，﹣16]D．（﹣∞，﹣15]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为．12．在二项式（9x﹣）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为．13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为．14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为C上一点．若|MF|=2p，△MOF的面积为4，则抛物线方程为．15．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016威海二模）已知f（x）=cosx（λsinx﹣cosx）+cos2（﹣x）+1（λ＞0）的最大值为3．（I）求函数f（x）的对称轴；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，若不等式f （B）＜m恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）（2016威海二模）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，DC=，E，F分别为PD，PC的中点，且BE与平面ABCD所成角的正切值为．（I）求证：平面PAB⊥平面PBD；（Ⅱ）求面PAB与面EFB所成二面角的余弦值．18．（12分）（2016威海二模）2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．（I）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占．现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E（X）；（III）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）19．（12分）（2016威海二模）设单调数列{a n}的前n项和为S n，6S n=a n2+9n﹣4，a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）（2016威海二模）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=，a＞1．（I）若函数f（x）与g（x）在x=1处切线的斜率相同，求a的值：（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间：（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=g（x）的根的个数．21．（14分）（2016威海二模）已知椭圆C： +=1（{a＞b＞0}），F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P（a，b）与F1，F2围成等腰三角形，且=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线x=﹣4与QA，QB分别交于M，N两点．（i）当=λ时，求Q点坐标；（ii）过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．2016年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z=的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由已知列式求得a值．【解答】解：∵z==的实部和虚部互为相反数，∴a﹣2=﹣（﹣2a﹣1），即a=﹣3．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．（﹣1，2）B．[2，3）C．（2，3） D．（﹣1，2]【分析】根据条件求出集合A，B的等价条件，结合定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x ＜2}，则A﹣B={x|x∈A，且x∉B}=[2，3），故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，正确理解定义是解决本题的关键．3．已知||=||=2，（ +2）（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】把已知的向量等式左边展开，代入向量数量积公式即可求得与的夹角．【解答】解：由（+2）（﹣）=﹣2，得，∴，又||=||=2，∴，即cos=，∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，∴与的夹角为60°．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求斜率的夹角，是中档题．4．p：若2x≥2y，则1gx≥1gy；q：若随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）=0.72，则P（ξ≤0）=0.28．下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q【分析】p：是假，取x=0，y=﹣1，lg0，lg（﹣1）没有意义；q：由于P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤6）即可得出，利用复合真假的判定方法即可得出．【解答】解：p：若2x≥2y，则1gx≥1gy，是假，取x=0，y=﹣1，lg0，lg（﹣1）没有意义；q：若随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）=0.72，则P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤6）=0.28．为真的是￢p∧q．故选：B．【点评】本题考查了函数的性质、正态分布的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，i的值，当n=1时退出循环，输出i的值为7，从而得解．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，n=3执行循环体，满足条件n是奇数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的运行情况，解题时应模拟程序框图的运行过程，求出程序输出的结果，属于基础题．6．已知函数f（x）=2cos（ωx+θ）（0＜θ＜π，ω＞0）为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数f（x）（）A．在[，]上单调递减B．在[，]上单调递增C．在[﹣，]上单调递减 D．在[﹣，]上单调递增【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性、周期性求得θ和ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+θ）=2sin[﹣（ωx+θ）]=﹣2sin（ωx+θ﹣）（0＜θ＜π，ω＞0）为奇函数，∴θ﹣=kπ，即θ=kπ+，k∈Z，∴θ=，f（x）=﹣2sinωx．再根据它的图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数f（x）的周期为=π，∴ω=2，∴f（x）=﹣2sin2x．x∈[，]⇒2x∈[，]，函数f（x）没有单调性，故排除A、B．在[﹣，]上，2x∈[﹣，]，函数f（x）单调递减，故排除D，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性、周期性、单调性，属于基础题．7．若对任意实数x使得不等式|x﹣a|﹣|x+2|≤3恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，5] B．[﹣2，4] C．[﹣1，1] D．[﹣5，1]【分析】令g（x）=|x﹣a|﹣|x+2|，利用绝对值不等式的性质可求得g（x）max，依题意，|a+2|≤3，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：g（x）=|x﹣a|﹣|x+2|，则g（x）≤|x﹣a﹣（x+2）|=|a+2|，即g（x）max=|a+2|．∵对任意实数x使得不等式|x﹣a|﹣|x+2|≤3恒成立，∴|a+2|≤3，解得：﹣5≤a≤1．∴实数a的取值范围为[﹣5，1]．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查函数恒成立问题，考查转化思想与方程不等式思想的综合运用，属于中档题．8．已知等腰△ABC满足AB=AC，BC=2AB，点D为BC边上一点且AD=BD，则sin ∠ADB的值为（）A．B．C．D．【分析】设AB=AC=a、AD=BD=b，在△ABC中由余弦定理求出cos∠ABC、sin∠ABC，在△ABD中由余弦定理表示出AD，由正弦定理求出sin∠ADB的值．【解答】解：如图：设AB=AC=a，AD=BD=b，由BC=2AB得，BC=，在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC===，∵AB=AC，∴∠ABC是锐角，则sin∠ABC==，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcos∠ABD，∴，解得a=b，由正弦定理得，，∴，解得sin∠ADB=，故选：C．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．9．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+u（λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ2+u2=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则当x=c时，y═±c=±，即A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ，所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，∵λ2+u2=，∴（）2+（）2=，即=，即c2=4b2．则c2=4（c2﹣a2），则3c2=4a2．c=2a，则e==，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣15，+∞）B．（﹣∞，2﹣12]C．（﹣∞，﹣16]D．（﹣∞，﹣15]【分析】由题意可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，运用基本不等式求得到成立的条件，再由x的范围，可得最小值，运用存在性问题的解法，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）≤2，即为≤2，由x∈N*，可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，由3x+≥2=12，当且仅当x=2∉N，由x=2可得6+12=18；x=3时，可得9+8=17，可得3x+的最小值为17，由存在x∈N*使得f（x）≤2成立，可得2﹣a≥17，解得a≤﹣15．故选：D．【点评】本题考查不等式存在性问题的解法，注意运用参数分离和函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为3．【分析】由正视图、俯视图以及正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的底面边长、侧面上的高，由面积公式求出该正四棱锥的表面积．【解答】解：根据三视图可知正四棱锥的底面是边长为1正方形，侧面的高是正视图中的边长1，∴该正四棱锥的表面积S=1×1+4×=3，故答案为：3．【点评】本题考查三视图求正四棱锥的表面积，以及正四棱锥的结构特征，由三视图正确求出几何元素是长度是解题的关键，考查空间想象能力．12．在二项式（9x﹣）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为84．【分析】根据二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，求出n的值；再利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式中x的系数．【解答】解：二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所以2n﹣1=256，解得n=9；所以二项式（9x﹣）9的展开式中，通项公式为T r+1=（9x）9﹣r=99﹣r；令9﹣=1，解得r=6；所以展开式中x的系数为93=84．故答案为：84．【点评】本题考查了二项式展开式的二项式系数的应用问题，也考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题目．13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为12．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=x+3y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z，经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，5）．此时z的最大值为z=2+2×5=12，故答案为：12．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．考查计算能力．14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为C上一点．若|MF|=2p，△MOF的面积为4，则抛物线方程为y2=8x．【分析】根据M为抛物线上一点，且|MF|=2p，可确定M的坐标，利用△MFO的面积，求出p，即可求得抛物线的方程．【解答】解：由题意，F（，0），准线方程为x=﹣，∵|MF|=2p．∴M的横坐标为2p﹣=p∴M的纵坐标为y=p∵△MFO的面积为4，∴×=4，∴p=4，∴抛物线的方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定M的坐标．15．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为0＜m＜或m＜﹣．【分析】关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根转化为函数f（x）=与y=x+m的图象有两个不同的交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】解：由题意作函数f（x）=与y=x+m的图象如下，，当x＜1时，f（x）=x3，f′（x）=3x2，令f′（x）=1解得，x=﹣或x=；而f（﹣）=﹣，f（）=；故m=﹣+=，或m=﹣=﹣，结合图象可知，0＜m＜或m＜﹣．故答案为：0＜m＜或m＜﹣．【点评】本题考查了方程与函数的关系应用及数形结合的思想方法应用．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016威海二模）已知f（x）=cosx（λsinx﹣cosx）+cos2（﹣x）+1（λ＞0）的最大值为3．（I）求函数f（x）的对称轴；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，若不等式f （B）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）借助辅助角公式，将f（x）化简为一个三角函数式，由此得到对称轴．（Ⅱ）由正弦定理得到A，由此得到B的范围，即可得到f（B）的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（λsinx﹣cosx）+cos2（﹣x）+1，=λsinxcosx﹣cos2x+sin2x+1=λsin2x﹣cos2x+1≤+1，∴+1=3，∴λ=2，∴f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1．令2x﹣=+kπ，解得x=+，（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴为x=+，（k∈Z）．（Ⅱ）∵=，由正弦定理得，=，可变形得，sin（A+B）=2cosAsinC，即sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∴f（B）=2sin（2B﹣）+1，只需f（x）max＜m，∵0＜B＜，∴﹣＜2B﹣＜，∴﹣＜sin（2B﹣）≤1，即0＜f（B）≤3，∴m＞3．【点评】本题考查三角函数的化简以及由正弦定理得到最值问题．17．（12分）（2016威海二模）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，DC=，E，F分别为PD，PC的中点，且BE与平面ABCD所成角的正切值为．（I）求证：平面PAB⊥平面PBD；（Ⅱ）求面PAB与面EFB所成二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出∠EBD是BE与平面ABCD所成角，从而tan∠EBD=，再求出BD⊥CD，AB⊥BD，从而PD⊥AB，进而AB⊥平面PBD，由此能证明平面PAB⊥平面PBD．（Ⅱ）以D为原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PAB与面EFB所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥底面ABCD，∴∠EBD是BE与平面ABCD所成角，∴tan∠EBD=，∵E是PD的中点，PD=2，∴DE=1，BD=，在△BDC中，BD=DC=，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，即BD⊥CD，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB，∵PD∩BD=D，∴AB⊥平面PBD，∵AB⊂面PAB，∴平面PAB⊥平面PBD．解：（Ⅱ）以D为原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），A（，0），C（0，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，，1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），∵，，∴，取z=1，得，设=（a，b，c）是平面BEF的法向量，∵，，∴，取x=1，得=（1，0，），设面PAB与面EFB所成二面角的平面角为θ，则cosθ===．∴面PAB与面EFB所成二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（12分）（2016威海二模）2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．（I）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占．现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E（X）；（III）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值，从而得到市民非常满意的概率，再由市民满意度评分相互独立，利用对立事件概率计算公式能求出现从全市市民中随机抽取4人，至少有2人非常满意的概率．（Ⅱ）按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．（Ⅲ）求出所选样本满意程序的平均得分，从而估计市民满意程度的平均得分，进而求出市民满意度指数，由此判断该项目能通过验收．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，知：a= [1﹣10×（0.035+0.004+0.020+0.014+0.002）]=0.025，∴市民非常满意的概率为0.025×10=，∵市民满意度评分相互独立，∴P=1﹣﹣=．（Ⅱ）按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：E（X）==1．（Ⅲ）所选样本满意程序的平均得分为：45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7，估计市民满意程度的平均得分为80.7，∴市民满意度指数为=0.807＞0.8，∴该项目能通过验收．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查满意度指数的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2016威海二模）设单调数列{a n}的前n项和为S n，6S n=a n2+9n﹣4，a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I ）由6S n =a n 2+9n ﹣4，n ≥2时，6S n ﹣1=+9（n ﹣1）﹣4，相减可得：a n ﹣3=±a n ﹣1，由于数列{a n }是单调数列，可得a n ﹣a n ﹣1=3，因此数列{a n }为等差数列，由a 1，a 2，a 6成等比数列，可得=a 1a 6，解出即可得出．（II ）由a n =3n ﹣2．可得b n ==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I ）∵6S n =a n 2+9n ﹣4，∴n ≥2时，6S n ﹣1=+9（n ﹣1）﹣4，相减可得：6a n =﹣+9，整理为=，可得a n ﹣3=±a n ﹣1，∵数列{a n }是单调数列，∴a n ﹣a n ﹣1=3， ∴数列{a n }为等差数列，公差为3． ∵a 1，a 2，a 6成等比数列，∴=a 1a 6，化为：，化为a 1=1．∴a n =1+3（n ﹣1）=3n ﹣2． （II ）∵a n =3n ﹣2．∴b n ==，∴数列{b n }的前n 项和T n =++…+==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2016威海二模）已知函数f （x ）=ln （x +1），g （x ）=，a ＞1．（I ）若函数f （x ）与g （x ）在x=1处切线的斜率相同，求a 的值： （Ⅱ）设F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求F （x ）的单调区间： （Ⅲ）讨论关于x 的方程|f （x ）|=g （x ）的根的个数．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出即可；（Ⅱ）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）设G（x）=|f（x）|﹣g（x），通过讨论G（x）的单调性，确定方程的根的个数即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g′（x）=，（a＞1，x＞﹣1），由题意f′（1）=g′（1），即=，整理得：a2﹣2a﹣1=0，解得：a=1+；（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣，F′（x）=，（x＞﹣1），令F′（x）=0，解得：x=0或x=a2﹣2a，①当a2﹣2a＞0，即a＞2时，令F′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜0或x＞a2﹣2a，令F′（x）＜0，解得：0＜xa2﹣2a，即F（x）在（﹣1，0），（a2﹣2a，+∞）递增，在（0，a2﹣2a）递减；②当1＜a＜2时，a2﹣2a∈（﹣1，0），F（x）在（0，+∞），（﹣1，a2﹣2a）递增，在（a2﹣2a，0）递减；③a=2时，F′（x）≥0恒成立，F（x）在（﹣1，+∞）递增．（Ⅲ）设G（x）=|f（x）|﹣g（x）=，当x≥0时，由（Ⅱ）得：a＞2时，G（x）在x=a2﹣2a取得极小值，∵F（0）=0，∴F（a2﹣2a）＜0，取x0=∈（a2﹣2a，+∞），则F（）=ln（+1）﹣＞a2﹣=＞0，∴F（x）在（a2﹣2a，+∞）存在零点，∴此时方程|f（x）|=g（x），（x≥0）有2个根，当1＜a≤2时，G（x）在（0，+∞）单调递增，此时方程|f（x）|=g（x），（x≥0）有1个根x=0，当﹣1＜x＜0时，G′（x）=﹣﹣＜0，∴G（x）在（﹣1，0）单调递减，∵G（0）=0，∴方程|f（x）|=g（x）在（﹣1，0）无解，综上：a＞2时，方程2个根，1＜a≤2时，方程1个根．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，难度较大，本题是一道综合题．21．（14分）（2016威海二模）已知椭圆C： +=1（{a＞b＞0}），F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P（a，b）与F1，F2围成等腰三角形，且=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线x=﹣4与QA，QB分别交于M，N两点．（i）当=λ时，求Q点坐标；（ii）过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得，F1F2=PF2，即（a﹣c）2+b2=4c2，再由，得bc=，然后结合隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）由，得则QF1⊥x轴，由（Ⅰ）求得F1（﹣1，0），设Q（﹣1，y），代入椭圆方程即可求得Q坐标；（ii）设Q（x0，y0），得直线QA方程为，求出M点的坐标为（﹣4，）．同理得N的坐标为（﹣4，）．进一步求出MN，设圆心坐标为（m，n），若x轴上存在定点E（λ，0）满足条件，则有，由题意可得．两式联立求得λ值得答案．【解答】解：（Ⅰ）F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得，F1F2=PF2，∴（a﹣c）2+b2=4c2，由，可得，又a2=b2+c2，联立可得a=2，b=，∴椭圆方程为；（Ⅱ）（i）∵，∴QF1∥MN，则QF1⊥x轴，由（Ⅰ）知，c2=1，则F1（﹣1，0），设Q（﹣1，y），则有，即y=，∴Q（﹣1，）；（ii）设Q（x0，y0），则，直线QA方程为，令x=﹣4，得M点的坐标为（﹣4，）．同理，直线QB的方程为，得N的坐标为（﹣4，）．MN=||=．设圆心坐标为（m，n），若x轴上存在定点E（λ，0）满足条件，则有，由题意可得．代入得．即=．整理得λ=﹣7．∴x 轴上存在点E （﹣7，0）满足题意．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查逻辑思维能力及运算求解能力，属难题．。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为( ) （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）425【答案】D 【解析】试题分析：由213434(2)1(34)134(34)(34)2525i i z i z z i i i i +-⋅=⇒-=⇒===+--+，所以复数z 的虚部为425，故答案选D . 考点：1.复数的计算；2.复数的定义.2. 已知集合2{|},{1,0,1}A x x a B ===-，则1a =是A B ⊆的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由A B ⊆得集合A 是空集或者非空集合， 当集合A 是空集时，0a <，当集合A 是非空集合时，1x =-或1或0，此时1a =或0， 故答案选A .考点：1.集合之间的关系；2.命题的充分必要性.3. 设单位向量12,e e 的夹角为120，122a e e =-，则 ||a =( )（A ）3 （B （C ）7 （D 【答案】D考点：1.向量的模；2.数量积.4. 已知等差数列{}n a 满足61020a a +=，则下列选项错误的是( ) （A ）15150S = （B ）810a = （C ）1620a =（D ）41220a a += 【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以6108220a a a +==，得810a =，11515815()151502a a S a +===；4128220a a a +==故答案选C .考点：等差数列的性质.5. 双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为( )（A （B （C （D【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线22124x y -=，得其顶点坐标，(，渐近线方程y =，点到y =的距离为3d ==，由双曲线的性质得双曲线22124x y -=B .考点：双曲线的性质.6. 已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )（A ）2 （B（C ）4 （D）【答案】D 【解析】试题分析：如图所示阴影部分为不等式组224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的可行域，由图可知，当直线20x y z +-=与圆224x y +=相切时，z 取得最大值，2z =⇒=±max z =D .考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.7. 周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2(2014)(50342)(2)log 212f f f =⨯+==+=，2(2015)(50441)(1)(1)11f f f f =⨯-=-=-=-=-，(2014)+(2015)1f f =，故答案选B .考点：1.函数求值；2.函数的周期性和奇偶性.8. 已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是( )①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； （A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④ 【答案】B 【解析】试题分析：如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AD B C ,AD ⊂平面ABCD ,11B C ⊂平面11BB C C ,但平面ABCD 与平面11BB C C 相交于BC ，故选项①错误；平面//ABCD 平面1111A B C D ，AD ⊂平面ABCD ,11D C ⊂平面11BB C C ，CD AD ⊥,但CD 与11D C 不垂直，，故选项②错误；选项③是线面垂直的一个性质定理，故选项③是正确的；平面ABCD ⊥平面11BB C C ，11//B C 平面ABCD ，//AD 平面11BB C C ，但11//B C AD ，故选项④错误.故答案选B考点：点、线、面的位置关系.9. 在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为2，则C =( ) 3π23π6π56π（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A考点：解三角形.10. 设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是 ( )（A ）()f x 在(0,)+∞单调递增 （B ）()f x 在(0,)+∞单调递减 （C ）()f x 在(0,)+∞上有极大值 （D ）()f x 在(0,)+∞上有极小值 【答案】D 【解析】 试题分析：22ln ln 1()()ln ()()[()]()(ln )2x x x f x xf x x xf x f x xf x xf x x c x x '''+=⇒+=⇒=⇒=+ 所以2ln ()2x c f x x x =+，又1()f e e =，得12c =，即2ln 1()22x f x x x=+所以222222ln ln 1(ln 1)()0222x x x f x x x x---'=-=≤，所以()f x 在(0,)+∞单调递减 故答案选D考点：1.导数的应用；2.构造函数.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为________. 【答案】4800 【解析】试题分析：由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=考点：分层抽样.12. 右面的程序框图输出的S 的值为_____________.【答案】2512【解析】试题分析：1n =时，1011s =+=；2n =时，13122s =+=；3n =时，3111236s =+=；4n =时，111256412s =+=；5n =时,输出2512s =. 考点：程序框图的识别.13. 已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为______.【解析】试题分析：2222222221111111()()[4()3()]24x y y x y xx y xy x y xy x y x y+++=++=++++11[423(426)344y x x y ≥+⋅⋅+⋅=++=，当且仅当""x y =时，等号成立.考点：基本不等式.14. 若1()()f x f x dx x +=⎰， 则1()f x dx =⎰_________.【答案】14【解析】试题分析：因为1()f x dx ⎰是一常数，即可设1()f x dx m =⎰，所以()f x x m =-()f x 的原函数2(1()2g x x m c x c =-+为常数）所以1()(1)(0)f x dx g g =-⎰，即得12m m =- 解得14m =，即11()4f x dx =⎰考点：1.定积分. 15. 函数213()|2|122f x x x x =-+-+的零点个数为___________. 【答案】2 【解析】试题分析：令()0f x =，即213|2|122x x x -+=- 则函数21()|2|2h x x x =-+和函数3()12g x x =-的交点个数即为函数()f x 的零点个数，如上图所示，()h x 与()g x 有两个交点，所以函数()f x 的零点个数为2. 考点：1.函数的零点；2.数形结合.三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x x ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.【答案】（Ⅰ）Z k k k ∈+-],83,8[ππππ；（Ⅱ）[.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换得())4f x x πω=-，由函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π，所以函数)(x f 的周期为π，利用周期公式即可求得1ω=，即())4f x x π=-，令Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解之即可求出函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）由三角函数图像变换得)44sin(2)(π+=x x g ，因为]2,6[ππ∈x ，即得1194[,]4124x πππ+∈，根据三角函数的性质得22)44sin(1≤+≤-πx ，最后求得函数)(x g 在]2,6[ππ∈x 的值域.试题解析：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-，由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， )42sin(2)(π-=∴x x f .由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ,∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ.（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ∴函数()g x的值域为[.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像；3.三角函数的值域.17. （本小题满分12分）一汽车4S 店新进A ,B ,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A ,B ,C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）518; （Ⅱ）分布列略，209.∴其分布列为数学期望为23414631269E ξ=⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型的分布列及期望.18. （本小题满分12分）已知 {}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （Ⅰ）求证：数列2{}n S 为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1),nn nb a -=求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）n a ；（Ⅲ）(1)n T =-【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，当1n =时，可得11S =;又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，得2112()()1n n n n n S S S S S -----=，整理得2211,(2)n n S S n --=≥，2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=，{}n a 是各项都为正数，n S =1n n n a S S -=-=2n ≥），又111a S ==,∴n a =；（Ⅲ）由（Ⅱ）得(1)(1),n n nn n b a -===-当n 为奇数时，n T =当n 为偶数时，n T ={}n b 的前n 项和(1)n T =-试题解析：（Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =;又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，代入①式得2112()()1n n n n n S S S S S -----=整理得2211,(2)n n S S n --=≥． ∴ 2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列. （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=，∵{}n a 是各项都为正数，∴n S∴1n n n a S S -=-=2n ≥），又111a S ==,∴n a（Ⅲ）(1)(1),n n nn n b a -===-当n 为奇数时，11)(1n T n =-+-++--=当n 为偶数时，11)(1n T n =-+-+--+=∴{}n b 的前n 项和(1)n T =-考点：1.等差数列的判定；2.通项公式的求法；3.数列求和.19. （本小题满分12分）如图：BCD 是直径为O 为圆心，C 是BD 上一 点，且2BC CD =.DF CD ⊥，且2DF =，BF =，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点,且3FR RC =.(Ⅰ) 求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明略；. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM CD ⊥,则OQ //DF ,且12OQ DE =，又DF CD ⊥，所以//RM FD ，又3F R R C =,则14RM CR DF CF ==,所以14RM DF =，因为E 为FD 的中点，所以12RM DE =，故OQ //RM ,且OQ RM =，即得OQRM 为平行四边形，得RQ //OM ，即证QR //平面BCD ；（Ⅱ）可证得DF ⊥平面BCD ，以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.BED试题解析：(Ⅰ) 连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM CD ⊥ ∵,O Q 为中点，∴OQ //DF ,且12OQ DE = ∵DF CD ⊥ ∴//RM FD又3FR RC =,∴14RM CR DF CF ==,∴14RM DF = ∵E 为FD 的中点，∴12RM DE =.∴OQ //RM ,且OQ RM = ∴OQRM 为平行四边形，∵RQ //OM又RQ ⊄平面BCD , OM ⊂平面BCD , ∴QR //平面BCD .（Ⅱ）∵2DF =,BF =BD =∴222BF BD DF =+,∴BD DF ⊥,又DF CD ⊥,∴DF ⊥平面BCD . 以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系B考点：1.线面平行的判定；2.二面角的求法. 20. （本小题满分13分）已知函数(),ln xf x ax x=+1x >. （Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2a =，求函数()f x 的极小值；（Ⅲ）若存在实数a 使()f x 在区间1(,)(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不同的极值点，求n 的最小值.【答案】（Ⅰ）14a ≤-;（Ⅱ）()f x 的极小值为1122()4f e e =;（Ⅲ）3.【解析】试题分析：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立；2111()ln 24a x ≤--， 即2min 111[()]ln 24a x ≤--，求得函数2111()ln 24y x =--在()1,+∞的最小值即可； （Ⅱ）当2a =时，()2ln x f x x x =+，求得222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+=令()0f x '=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e =，当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>，()f x 的极小值为1122()4f e e =；（Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知22ln 1ln ()ln x a x f x x-+'=，即2l n l n 10a x x +-=在1(,)n ne e 上有两个不等实根，令1ln ,()x u u n n =<<，2()1g u au u =+-在1(,)n n上有两个不等实根，根据二次函数根的分别列出不等式组，即可求出n 的最小值.试题解析：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立； ∴2211111()ln ln ln 24a x x x ≤-=--， ∵()1,x ∈+∞，∴()ln 0,x ∈+∞，∴110ln 2x -=时函数t =2111()ln 24x --的最小值为14-， ∴14a ≤-(Ⅱ) 当2a =时，()2ln xf x x x=+ 222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+=令()0f x '=得22ln ln 10x x +-=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e =当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>∴()f x 的极小值为11112222()242e f e e e =+= （Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知222ln 1ln 1ln ()ln ln x x a xf x a x x--+'=+= 即2ln ln 10a x x +-=在1(,)nne e 上有两个不等实根.令1ln ,()x u u n n=<<，2()1g u au u =+- ∵(0)10g =-<，根据图象可知：1401121()0()0a a n n a g n g n ⎧⎪<⎪∆=+>⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<⎪⎪<⎪⎩，整理得2210412211a n a n a n n a n n ⎧-<<⎪⎪⎪-<<-⎪⎨⎪<-⎪⎪<-⎪⎩ - 即2min 21111{,,}24n n n n n --->-，解得2n >， ∴n 的最小值为3. 考点：1.导函数的应用；2.函数的极值；3.二次函数根的分布.21. （本小题满分14分）如图，过原点O 的直线12,l l 分别与x 轴，y 轴成30︒的角，点(,)P m n 在1l 上运动，点(,)Q p q 在2l上运动，且||PQ =（Ⅰ）求动点(,)M m p 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上不同两点，且13OA OB k k ⋅=-， （ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；(ⅱ)判断OAB ∆的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.【答案】（Ⅰ）22162m p +=；（Ⅱ）（ⅰ）22OA OB -≤⋅< ；(ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12:,:,3l y x l y ==可得(),(,)3P m m Q p p，由||PQ =22()()83m p -+=，整理得22162p m +=，所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=；（Ⅱ）（ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ，当l 斜率不存在时，1111(,),(,),A x y B x y -则1111,OA OB y yk k x x ==- 由22211121133OA OBy k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y =，21212122OA OB x x y y y ⋅=+==， 当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-=2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+>且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++由121213OA OB y y k k x x ⋅==-，整理得2213................()m k b =+，又1212242OA OB x x y y m⋅=+=-由(),()a b 得22131m k =+≥，可得22OA OB -≤⋅<；(ⅱ) 由（i ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆== 当l斜率存在时，1||2OABS AB d ∆== 将2213m k =+带入整理得OAB S ∆=，所以OAB ∆试题解析：（Ⅰ）由题意知12:,:,l y x l y ==∴(),(,)P m m Q p，由||PQ =22()()83m p -+=，整理得22162p m += 所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=. （Ⅱ）（ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ， 当l 斜率不存在时，则11111111(,),(,),,OA OB y yA x yB x y k k x x -∴==- 由22211121133OA OBy k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y ∴= 21212122OA OB x x y y y ∴⋅=+==当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-= 2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+>且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++ 由1212121212133()()3OA OB y y k k x x y y kx m kx m x x ⋅==-⇒=-=-++ 221212(13)3()30k x x km x x m ⇒++++=整理得2213................()m k b =+221212122222242442313m m OA OB x x y y x x k m m --∴⋅=+====-+由(),()a b 得2224131,04m k m=+≥∴<≤，22OA OB ∴-≤⋅< 综上：22OA OB -≤⋅≤.(ⅱ)由（i ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆==当l斜率存在时，121||2OABS AB d x x ∆==-=将2213m k =+带入整理得OAB S ∆=所以OAB ∆考点：1.椭圆的标准方程；2.向量在圆锥曲线中的应用；3.圆锥曲线中的定值问题.。

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2018届威海市高考理科数学模拟试卷题目一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为( )A. B. C. D.4.设为双曲线的左、右焦点，为上一点，与轴垂直，直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为2，则输出的值为( )A.64B.84C.340D.13646.已知数列的前项和为，且，，则 ( )A. B. C. D.7.已知函数的图象关于直线对称，则 ( )A. B. C. D.8.在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数的值是( )A. B. C. D.9.在四面体中，若，，，则直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.函数的图象大致是( )A. B. C. D.11.已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则 (其中为椭圆的离心率)的最小值为( )A. B. C. D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).如图，正边形是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量满足，，且，则实数 .14. 的展开式中的系数是20，则实数 .15.已知函数，数列满足，则 .16.对于定义域为的函数，若满足① ;②当，且时，都有;③当，且时，，则称为“偏对称函数”.现给出四个函数： ; ;; .则其中是“偏对称函数”的函数个数为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别为，且， .(Ⅰ)若，求角的正弦值及的面积;(Ⅱ)若在线段上，且，，求的长.18.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，为的中点，点在线段上.(Ⅰ)求证： ;(Ⅱ)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.19.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量(单位：吨)，将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.(Ⅰ)假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况.(ⅰ)现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率;(ⅱ)试估计全市居民用水价格的期望(精确到0.01);(Ⅱ)如图2是该市居民李某201X年1～6月份的月用水费 (元)与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是 .若李某201X年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数.20.已知椭圆的右焦点，椭圆的左，右顶点分别为 .过点的直线与椭圆交于两点，且的面积是的面积的3倍.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若与轴垂直，是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.21.已知函数， .。

2018年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）＝{1}，A∩（∁U B）＝{3}，则集合B ＝（）A．{1，2，4，5}B．{2，4，5}C．{2，3，4}D．{3，4，5} 2．（5分）若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣34．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．C．4D．55．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．24C．30D．486．（5分）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A．B．C．D．7．（5分）曲线C1：如何变换得到曲线C2：（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，F1F2为半径的圆交C的右支于P，Q两点，若△F1PQ的一个内角为600，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面BCC1B1的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．D．16π10．（5分）已知函数，则不等式f（2x+3）+f（1）＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）设a，b，c均为小于1的正数，且log2a＝log3b＝log5c，则（）A．B．C．D．12．（5分）在数列{a n}中，，一个5行6列的数表中，第i行第j列的元素为c ij ＝a i•a j+a i+a j（i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，6），则该数表中所有元素之和为（）A．213﹣410B．213﹣380C．212﹣14D．212﹣4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）三位同学要从A，B两门课程中任选一门作为选修课，则A，B两门课程都有同学选择的概率为．14．（5分）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若（x，y∈R），则x﹣y＝．15．（5分）二项式的展开式中各项系数的和为﹣1，则该展开式中系数最大的项为．16．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若|MN|＝|PQ|，则∠PFQ的最大值为．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，边BC上一点D满足AB⊥AD，AD＝DC．（1）若BD＝2DC＝2，求边AC的长；（2）若AB＝AC，求sin B．18．（12分）某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表临界值表：，其中n＝a+b+c+d19．（12分）多面体ABCDEF中，BC∥EF，，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，∠F AC＝60°．（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；（2）求二面角C﹣EF﹣D的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作x轴的垂线l1，D为l1上异于点B的一点，以BD为直径作圆E．若过点F2的直线l2（异于x轴）与圆E相切于点H，且l2与直线AD相交于点P，试判断|PF1|+|PH|是否为定值，并说明理由．21．（12分）已知函数，g（x）为f（x）的导函数．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数g（x）在R上存在最大值0，求函数f（x）在[0，+∞）上的最大值；（3）求证：当x≥0时，x2+2x+3≤e2x（3﹣2sin x）．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．（1）若直线l与C相切，求l的直角坐标方程；（2）若tanα＝2，设l与C的交点为A，B，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≥3；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求a2+b2+c2的最小值．2018年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）＝{1}，A∩（∁U B）＝{3}，则集合B ＝（）A．{1，2，4，5}B．{2，4，5}C．{2，3，4}D．{3，4，5}【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）＝{1}，A∩（∁U B）＝{3}，则1∉B，3∈A，3∉B，则B＝{2，4，5}，故选：B．2．（5分）若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵＝在复平面内对应的点在第一象限，∴，即﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．故选：C．3．（5分）对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【解答】解：模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b＝的值，∵log2＝﹣2＜（）﹣2＝4．∴＝＝﹣3．故选：D．4．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．C．4D．5【解答】解：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2），z＝2x+y经过可行域A 时，取得最大值，此时x＝1，y＝2时，z＝2x+y有最大值2×1+2＝4，故选：C．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．24C．30D．48【解答】解：由三视图可知其直观图如下所示，其由三棱柱截去一个三棱锥所得，三棱柱的体积V＝×4×3×5＝30，三棱锥的体积V1＝××4×3×3＝6，故该几何体的体积为24；故选：B．6．（5分）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4＝3，a7+a8+a9＝4，则4a1+6d＝3，3a1+21d＝4，解可得：a1＝，d＝，则第6节的容积a6＝a1+5d＝＝；故选：A．7．（5分）曲线C1：如何变换得到曲线C2：（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：曲线C1：＝﹣＝﹣cos（2x﹣）＝﹣sin[﹣（2x﹣）]＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），图象向左平移个单位，即可得到曲线C2：的图象．故选：D．8．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，F1F2为半径的圆交C的右支于P，Q两点，若△F1PQ的一个内角为600，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线方程为，由对称性可知△PQF1为等腰三角形，若△PQF2的一个内角为60°，则△PQF1是等边三角形，∴△F1PQ的一个内角为600°，∴∠PF2Q＝120°，设PQ交x轴于A，则|AF1|＝|F1P|＝c，|P A|＝c，不妨设P在第二象限，则P（﹣2c，c），代入双曲线方程可得：﹣＝1．∴﹣＝1，令a＝1可得：4c4﹣8c2+1＝0，解得c2＝1+或c2＝1﹣（舍）．∴c＝或c＝﹣（舍）．∴e＝，故选：C．9．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面BCC1B1的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．D．16π【解答】解：如图：设侧面BCC1B1的BC＝a，BB1＝b，求的半径为R，外接球的球心为O，底面三角形的中心为：O1，侧面BCC1B1的面积为，可得ab＝．外接球的表面积的最小值时，外接球的半径的也是最小值，A1O1＝＝，R＝＝2，当且仅当，ab＝4，即a＝，b＝2时等号成立．外接球取得最小值：4π•22＝16π．故选：D．10．（5分）已知函数，则不等式f（2x+3）+f（1）＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：函数，函数是奇函数，f′（x）＝﹣x sin x﹣x2，当x∈（0，1）时，f′（x）＝﹣x sin x﹣x2＜0，当x≥1时，f′（x）＝﹣x sin x﹣x2＜x﹣x2＜0，∴函数f′（x）＝﹣x sin x﹣x2＜0恒成立，函数f（x）是减函数，则不等式f（2x+3）+f（1）＜0化为：f（2x+3）＜f（﹣1），可得2x+3＞﹣1，解得x＞﹣2．故选：A．11．（5分）设a，b，c均为小于1的正数，且log2a＝log3b＝log5c，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵a，b，c均为小于1的正数，且log2a＝log3b＝log5c，∴设log2a＝log3b＝log5c＝t，则a＝2t，b＝3t，c＝5t，t＜0，∴＞＞．故选：B．12．（5分）在数列{a n}中，，一个5行6列的数表中，第i行第j列的元素为c ij ＝a i•a j+a i+a j（i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，6），则该数表中所有元素之和为（）A．213﹣410B．213﹣380C．212﹣14D．212﹣4【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij＝a i•a j+a i+a j＝（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1＝2i+j﹣1（i＝1，2，…，5；j＝1，2，…，6），其数据如下表所示：由表可知，该数表中所有元素之和为22（26﹣1）﹣6+23（26﹣1）﹣6+24（26﹣1）﹣6+25（26﹣1）﹣6+26（26﹣1）﹣6， ＝（26﹣1）（22+23+24+25+26）﹣30， ＝（26﹣1）•22（25﹣1）﹣30， ＝213﹣28﹣27+4﹣30， ＝213﹣410 故选：A ．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）三位同学要从A ，B 两门课程中任选一门作为选修课，则A ，B 两门课程都有同学选择的概率为．【解答】解：三位同学要从A ，B 两门课程中任选一门作为选修课， 基本事件总数n ＝2×2×2＝8，A ，B 两门课程都有同学选择包含的基本事件总数m ＝8﹣＝6，∴A ，B 两门课程都有同学选择的概率为p ＝＝．故答案为：．14．（5分）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若（x ，y ∈R ），则x ﹣y ＝ 2 ． 【解答】解：∵，…①，，…②，①×2﹣②得2＝，∴， ∴，∴x ﹣y ＝2， 故答案为：2．15．（5分）二项式的展开式中各项系数的和为﹣1，则该展开式中系数最大的项为80x﹣3．【解答】解：令x＝1，可得二项式的展开式中各项系数的和为（1+a）5＝﹣1，∴a＝﹣2，二项式即，第r+1项为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣2r，故第r+1项的系数为•（﹣2）r．要使第r+1项的系数为•（﹣2）r最大，r需为偶数，当r＝0时，系数为1；当r＝2时，系数为40；当r＝4时，系数为80，故当r＝4时，该项的系数最大为80，该项为80x﹣3，故答案为：80x﹣3．16．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若|MN|＝|PQ|，则∠PFQ的最大值为．【解答】解：设|PF|＝2a，|QF|＝2b，由抛物线定义，得|PF|＝|P A|，|QF|＝|QB|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|P A|+|QF|＝2a+2b，∵|MN|＝|PQ|，∴|PQ|＝a+b，由余弦定理得，设∠PFQ＝θ，（a+b）2＝4a2+4b2﹣8ab cosθ，∴a2+b2+2ab＝4a2+4b2﹣8ab cosθ，∴cosθ＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，∴θ≤，故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，边BC上一点D满足AB⊥AD，AD＝DC．（1）若BD＝2DC＝2，求边AC的长；（2）若AB＝AC，求sin B．【解答】解：（1）∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，，∴∠ABD＝30°，△ABC中，AB＝1，BC＝3，由余弦定理可得，所以（2）在△ACD中，由正弦定理可得，∵AD＝DC，∴，∵AB＝AC，∴B＝C，∴∠BAC＝180°﹣2B，∵∠BAD＝90°∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2B﹣90°＝90°﹣2B∴＝∴，化简得sin2B+sin B﹣＝0，∵sin B＞0，∴sin B＝．18．（12分）某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表临界值表：，其中n＝a+b+c+d【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，m+n＝0.01﹣0.0015×2﹣0.001＝0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015＝2n，可解得m＝0.0035，n＝0.0025（2）周平均消费不低于300元的频率为（0.0035+0.0015+0.001）×100＝0.6，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6＝60人．所以2×2列联表为K2＝≈8.249＞6.635所以有99%的把握认为消费金额与性别有关．（3）调查对象的周平均消费为0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550＝330，由题意330＝﹣5×38+b，∴b＝520，y＝﹣5×25+520＝395．19．（12分）多面体ABCDEF中，BC∥EF，，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，∠F AC＝60°．（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；（2）求二面角C﹣EF﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取AC的中点O，连结OF，OB，△ABC是边长为2的等边三角形，所以BO⊥AC，，四边形ACDF是菱形，∴AF＝2，∵∠F AC＝60°，∴，∵，∴BO2+OF2＝BF2，∴BO⊥OF又FO∩AC＝O，∴BO⊥平面ACDF，∵BO⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACDF．（2）由（1）知，OB，OC，OF两两垂直，分别以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，因为BC∥EF，∴B，C，E，F四点共面，得设平面CEF的一个法向量为，由得，令x＝1得由题意知BC∥EF，FD∥AC，FE∩FD＝F，∴平面ABC∥平面DEF，∴平面DEF的一个法向量为设二面角C﹣EF﹣D的大小为θ，则，∴二面角C﹣EF﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作x轴的垂线l1，D为l1上异于点B的一点，以BD为直径作圆E．若过点F2的直线l2（异于x轴）与圆E相切于点H，且l2与直线AD相交于点P，试判断|PF1|+|PH|是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，解得所以椭圆C的方程为；（2）由（1）可知A（﹣2，0），B（2，0），F（1，0），因为过F2与圆E相切的直线分别切于B，H两点，所以|F2H|＝|F2B|＝1，所以|PF1|+|PH|＝|PF1|+|PF2|﹣|F2H|＝|PF1|+|PF2|﹣1，设点E（2，t）（t≠0），则D（2，2t），圆E的半径为|t|则直线AD的方程为l2的方程设为x＝ky+1，则化简得，由，得，所以点，所以点P在椭圆C上，∴|PF1|+|PF2|＝4，即|PF1|+|PH|＝4﹣1＝3．21．（12分）已知函数，g（x）为f（x）的导函数．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数g（x）在R上存在最大值0，求函数f（x）在[0，+∞）上的最大值；（3）求证：当x≥0时，x2+2x+3≤e2x（3﹣2sin x）．【解答】解：（1）由题意可知，g（x）＝f'（x）＝x+a﹣ae x，则g'（x）＝1﹣ae x，当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，解得x＜﹣lna时，g'（x）＞0，x＞﹣lna时，g'（x）＜0∴g（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减综上，当a≤0时，g（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无递减区间；当a＞0时，g（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣lna），单调递减区间为（﹣lna，+∞）．（2）由（1）可知，a＞0且g（x）在x＝﹣lna处取得最大值，，即a﹣lna﹣1＝0，观察可得当a＝1时，方程成立；令h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），当a∈（0，1）时，h'（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h'（a）＞0∴h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴h（a）≥h（1）＝0，∴当且仅当a＝1时，a﹣lna﹣1＝0，∴，由题意可知f'（x）＝g（x）≤0，f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在x＝0处取得最大值f（0）＝﹣1；证明：（3）由（2）可知，若a＝1，当x≥0时，f（x）≤﹣1，即，可得x2+2x≤2e x﹣2，x2+2x+3﹣e2x（3﹣2sin x）≤2e x﹣2+3﹣e2x（3﹣2sin x）令F（x）＝e2x（2sin x﹣3）+2e x+1＝e x[e x（2sin x﹣3）+2]+1，即证F（x）≤0令G（x）＝e x（2sin x﹣3）+2，∵∴，又e x＞0，∴∴G'（x）＜0，G（x）在[0，+∞）上单调递减，G（x）≤G（0）＝﹣1，∴F（x）≤﹣e x+1≤0，当且仅当x＝0时等号成立，∴x2+2x+3≤e2x（3﹣2sin x）．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．（1）若直线l与C相切，求l的直角坐标方程；（2）若tanα＝2，设l与C的交点为A，B，求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．∴由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得y＝tanα（x﹣1），设k＝tanα，则直线l的方程为y＝k（x﹣1）由题意，圆心（1，2）到直线l的距离，解得，所以直线l的直角坐标方程为；（2）∵tanα＝2，∴直线方程为2x﹣y﹣2＝0，原点到直线l的距离，联立解得或，∴，∴△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≥3；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|＝．∴f（x）≥3等价于或或．解得x≤﹣1或x≥1．∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（2）由（1），可知当时，f（x）取最小值，即．∴．由柯西不等式，有．∴．当且仅当，即，，时，等号成立．∴a2+b2+c2的最小值为．。

山东省2018届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，﹣1）C．（1，﹣i）D．（2，﹣2i）2．已知集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={x||2x﹣1|＞1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜0或0＜x＜3} D．{x|x＜0或1＜x ＜3}3．“a＜﹣2”是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A．104人B．108人C．112人D．120人5．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（）A．1 B． C． D．6．在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（）A．B．C．D．8．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f （b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）9．已知点M（x，y）为平面区域D：内的一个动点，若z=的最大值为3，则区域D的面积为（）A．ln2+B．ln2﹣C．ln2+D．ln2﹣10．已知点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，点F是抛物线C的焦点，点P在抛物线C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D． +1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：经计算得到随机变量K 2的观测值为8.333，则有 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关（临界值参考表如下）．12．已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 ． 13．在（2x 2﹣）6的展开式中，含x 7的项的系数是 ．14．x 2+y 2+2ax +a 2﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则的最小值为 ．15．已知函数f （x ）=若存在三个不相等的实数a ，b ，c 使得f （a ）=f （b ）=f （c ），则a +b +c 的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若向量=（a +c ，sinB ），=（b ﹣c ，sinA ﹣sinC ），且∥． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数f （x ）=tanAsinωxcosωx ﹣cosAcos2ωx （ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为，现将y=f （x ）的图象上各点向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）在[0，π]上的值域．17．（12分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA=DA=AB=2CB ，EA⊥AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点．（Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，试确定点M在EC上的位置．18．（12分）甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5元、3元、2元的红包各3个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．（Ⅰ）若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列规则抽取：①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（a n﹣1），数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，且b6=a3，b60=a5，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n b n b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足=．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（，0），若直线l过椭圆C的右焦点F2，证明：•为定值；（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足+=λ，求实数λ的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=﹣m（lnx+）（m为实数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当m＞1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，求实数m的取值范围．（Ⅲ）当m=1时，证明：xf（x）+xlnx+1＞x+．山东省2018届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设复数z满足（1+i）z=|+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，﹣1）C．（1，﹣i）D．（2，﹣2i）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=|+i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=|+i|，得=，则在复平面内，z对应的点的坐标是：（1，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={x||2x﹣1|＞1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|x＜0或0＜x＜3} D．{x|x＜0或1＜x ＜3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据交集的运算直接求出A∩B．【解答】解：A={x|y=log2（3﹣x）}=（﹣∞，3），由|2x﹣1|＞1，得x＞1或x＜0，则B=（﹣∞，0）∪（1，+∞）所以A∩B=（﹣∞，0）∪（1，3），故选：D．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，注意对数的性质及其运算．3．“a＜﹣2”是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断．①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．【解答】解：∵a＜﹣2，f（x）=ax+3，∴f（0）=3＞0，f（2）=2a+3＜2×（﹣2）+3=﹣1＜0，f（0）•f（2）＜0∴函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0．∴a＜﹣2”是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点x0”的充分条件；反之，若函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点，则f（﹣1）•f（2）≤0，即（﹣a+3）（2a+3）≤0，∴a＜﹣2不是“函数f（x）=ax+3在区间[﹣1，2]上存在零点的必要条件．故选A．【点评】本题考查充分、充要条件的判断方法，我们可以根据充分、充要条件的定义进行判断，解题的关键是零点存在性定理的正确使用．4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A．104人B．108人C．112人D．120人【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据分层抽样即可求出答案．【解答】解：由题意可得×300=108，故选：B【点评】本题考查了分层抽样的问题，属于基础题．5．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（）A．1 B． C． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得底面圆的半径为=2，圆锥的高为=2，即可求出原圆推的体积．【解答】解：由三视图可得底面圆的半径为=2，圆锥的高为=2，∴原圆推的体积为=，故选D．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．【点评】本题考查程序框图，考查概率的计算，正确求出输出的y≥3时，x的范围是关键．7．在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=t，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设=t，则==（+）=+，=+×t=+（﹣），=（﹣）+，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=， 故选：A ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．8．已知函数y=f （x ）是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈（0，+∞）时，都有（x 1﹣x 2）•[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．设，则（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ）C ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ） 【考点】3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据已知条件便可判断f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）是偶函数，所以f （x ）=f （|x |），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a |，|b |，|c |的大小即可得出f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系．【解答】解：根据已知条件便知f （x ）在（0，+∞）上是减函数； 且f （a ）=f （|a |），f （b ）=f （|b |），f （c ）=f （|c |）；|a |=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a |，c=；∴f （c ）＞f （a ）＞f （b ）． 故选：C ．【点评】考查偶函数的概念，函数单调性的定义，根据对数函数的单调性判断对数的取值情况，以及减函数定义的运用．9．已知点M （x ，y ）为平面区域D ：内的一个动点，若z=的最大值为3，则区域D 的面积为（ ）A．ln2+B．ln2﹣C．ln2+D．ln2﹣【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由题意求得a值，然后利用定积分求面积．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（a，a），z=的最大值为P（0，﹣1）与A连线的斜率，等于，则a=．∴区域D的面积为==．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．10．已知点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，点F是抛物线C的焦点，点P在抛物线C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D． +1【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求得抛物线的方程，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，可得p=2，抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PF|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m 取得最小值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：经计算得到随机变量K 2的观测值为8.333，则有 99.5 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关（临界值参考表如下）．【考点】BL ：独立性检验．【分析】根据随机变量K 2的观测值，对照临界值表即可得出结论． 【解答】解：根据表中数据计算得到随机变量K 2的观测值为8.333， 对照临界值表知8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．12．已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 3 ． 【考点】GR ：两角和与差的正切函数．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：tanα=﹣2，tan （α+β）=， 可知tan （α+β）==，即=，解得tanβ=3． 故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．13．在（2x 2﹣）6的展开式中，含x 7的项的系数是 240 ．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于7求出r 的值，计算展开式中含x 7的项的系数即可．【解答】解：（2x 2﹣）6的展开式中，通项公式为：T r +1=•（2x 2）6﹣r •=（﹣1）r •26﹣r ••，令12﹣=7，解得r=2；∴展开式中含x 7的项的系数是：（﹣1）2•24•=240．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．14．x 2+y 2+2ax +a 2﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则的最小值为．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．【分析】先将圆的方程配方得出圆心坐标与半径，根据x 2+y 2+2ax +a 4﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线，得出两圆外切，圆心距等于两半径之和，得出a ，b 的关系式；a 2+4b 2=25，再利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵x 2+y 2+2ax +a 2﹣4=0和x 2+y 2﹣4by ﹣1+4b 2=0恰有三条公切线， ∴两圆外切，∴圆心距等于两半径之和，即得：a 2+4b 2=9，∴=（5++）≥（5+4）=1当且仅当a=2b时取等号，则的最小值为1故答案为：1【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要把握住基本不等式中的“一正”，“二定”，“三相等”的特点．15．已知函数f（x）=若存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（2π，2018π）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的函数图象，判断a，b，c的关系和范围，从而得出答案．【解答】解：f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，则0，，令log2017=1得x=2017π，∴π＜c＜2017π，∵f（x）在[0，π]上的图象关于直线x=对称，∴a+b=π，∴a+b+c∈（2π，2018π）．故答案为（2π，2018π）．【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2017•济宁二模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量=（a+c，sinB），=（b﹣c，sinA﹣sinC），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为，现将y=f（x）的图象上各点向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；96：平行向量与共线向量．【分析】（Ⅰ）利用两个向量共线的性质求得b2+c2﹣a2=bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，π]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量=（a+c，sinB），=（b﹣c，sinA﹣sinC），且∥，则（a+c）•（sinA﹣sinC）﹣sinB（b﹣c）=0，即（a+c）•（a﹣c）=b（b﹣c），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=．（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0）=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为==，∴ω=1，现将y=f（x）=sin（2x﹣）的图象上各点向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g（x）=sin（x+）的图象，在[0，π]上，x+∈[，]，g（x）=sin（x+）∈[﹣，1]，即g（x）在[0，π]上的值域为[﹣，1]．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．（12分）（2017•济宁二模）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点．（Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，试确定点M在EC上的位置．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由题意可得AE、AB、AD两两垂直，以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，再求出平面MBD的一个法向量，由可得FN∥平面MBD；（Ⅱ）设，把M的坐标用λ表示，求出平面BDM的一个法向量，再求出平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求得λ值，则答案可求．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB，∴以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N为BE的中点，M是EC的中点，AF=3FD，得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8），C（0，8，4），E（8，0，0）．∴，，．设平面MBD的一个法向量为，由，取z=1，得．∵=，∴，则FN∥平面MBD；（Ⅱ）解：设，M（x1，y1，z1），则=（x1，y1﹣8，z1﹣4），，∴（x1，y1﹣8，z1﹣4）=（8λ，﹣8λ，﹣4λ），∴，得M（8λ，8﹣8λ，4﹣4λ），∴．设平面BDM的一个法向量为，由，取z2=1，得．平面ABD的一个法向量为，由|cos＜＞|=||=||=，得8λ2﹣6λ+1=0，解得或．∵平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为，∴，即M为EC中点．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查存在性问题的求解方法，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．18．（12分）（2017•济宁二模）甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5元、3元、2元的红包各3个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．（Ⅰ）若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列规则抽取：①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元”，利用互斥事件概率加法公式能求出甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元”，则甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率：P（A）==．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）=（）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19．（12分）（2017•济宁二模）已知数列{a n}的前n项和S n=（a n﹣1），数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，且b6=a3，b60=a5，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n b n b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）S n=（a n﹣1），可得n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=3a n﹣1．n=1时，a1=，解得a1．利用等比数列的通项公式可得a n．b6=a3=33=27，b60=a5=35．数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，即b n+2+b n=2b n+1，利用等差数列通项公式即可得出．（II）c n=（﹣1）n b n b n+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．计算c2k﹣1+c2k，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（I）∵S n=（a n﹣1），∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣，化为：a n=3a n﹣1．n=1时，a1=，解得a1=3．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为3．∴a n=3n．b6=a3=33=27，b60=a5=35．数列{b n}满足b n+2=2b n+1﹣b n，即b n+2+b n=2b n+1，∴数列{b n}是等差数列，设公差为d，则b1+5d=27，b1+59d=243．联立解得b1=7，d=4．∴b n=7+4（n﹣1）=4n+3．（II）c n=（﹣1）n b n b n+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．c2k﹣1+c2k=﹣（8k﹣1）（8k+3）+（8k+3）（8k+7）=48k+18．∴n=2k（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和T n=T2k=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2k﹣1+c2k）=48×（1+2…+k）+18k=+18k=24k2+42k=6n2+21n．n=2k﹣1时，T2k﹣1=T2k﹣2+c2k﹣1=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（8k﹣1）（8k+3）=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（4n+3）（4n+7）=﹣10n2﹣31n﹣36．∴T n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•济宁二模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足=．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（，0），若直线l过椭圆C的右焦点F2，证明：•为定值；（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足+=λ，求实数λ的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可知：c=1，=，a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，即可求证•为定值；（Ⅲ）分类讨论，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，求得k2＞，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得4=（1+2k2），即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由=，则Q为PF1的中点，则PF1⊥F1F2，则c=1，=，a2=b2﹣c2，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线l的方程y=k（x﹣1），k≠1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2，由=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），则•=（x1﹣，y1）（x2﹣，y2）=（1+k2）x1x2﹣（k2+）（x1+x2）++k2，=（1+k2）×﹣（k2+）×++k2，=+，=﹣，∴•为定值，定值为﹣；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．当λ=0时，由+=λ， +=，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立；当λ≠0时，联立，得（1+2k2）x2+8kx+6=0，由△=（8k）2﹣4×6（1+2k2）＞0，解得k2＞，…（*），∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2）+4=．由+=λ，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，，由Q在椭圆上，代入，整理得4=（1+2k2），代入（*）式，得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．综上可知：λ∈（﹣2，2）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．（14分）（2017•济宁二模）已知函数f（x）=﹣m（lnx+）（m为实数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当m＞1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，求实数m的取值范围．（Ⅲ）当m=1时，证明：xf（x）+xlnx+1＞x+．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），=．令f′（x）=0，可得x=1，或x=lnm分①m=e，②m＞e，③1＜m＜e分类讨论其单调性；（Ⅱ）g（x）=x2f′（x）﹣xe x=﹣e x﹣m（x﹣1）在（，3）内有两个零点，⇔方程﹣e x﹣m（x﹣1）=0在（，3）内有两个实根，即m=﹣在（，3）内有两个实根，令h（x）=﹣，可得h（x）在（）递增，在（2，3），递减，要使g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，则可得实数m的取值范围为（﹣，﹣e2）．（Ⅲ）当m=1时，要证xf （x ）+xlnx +1＞x +．只证x （﹣lnx ﹣）+xlnx +1＞x +在（0，+∞）恒成立．只证，易得e x ＞x +1在（0，+∞）恒成立，故只需证1＞，即证x ＞ln （x +1）即可，【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），=．∵m ＞1，令f′（x ）=0，可得x=1，或x=lnm①当m=e 时，f′（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，∴此时f （x ）在（0，+∞）递增；②当m ＞e 时，x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0，x ∈（1，lnm ）时，f′（x ）＜0，x ∈（lnm ，+∞）时，f′（x ）＞0此时f （x ）在（lnm ，+∞），（0，1）递增，在（1，lnm ）递减．③当1＜m ＜e 时，x ∈（0，lnm ）时，f′（x ）＞0，x ∈（lnm ，1）时，f′（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＞0此时f （x ）在（1，+∞），（0，lnm ）递增，在（lnm ，1）递减．（Ⅱ）g （x ）=x 2f′（x ）﹣xe x =﹣e x ﹣m （x ﹣1）在（，3）内有两个零点，⇔方程﹣e x ﹣m （x ﹣1）=0在（，3）内有两个实根，即m=﹣在（，3）内有两个实根，令h （x ）=﹣，h′（x ）==0，可得x=2，x时，h′（x ）＞0，x ∈（2，3）时，h′（x ）＜0，∴h （x ）在（）递增，在（2，3），递减，要使g（x）=x2f′（x）﹣xe x在（，3）内有两个零点，则可得﹣＜m＜﹣e2，∴实数m的取值范围为（﹣，﹣e2）．（Ⅲ）证明：当m=1时，要证xf（x）+xlnx+1＞x+．只证x（﹣lnx﹣）+xlnx+1＞x+在（0，+∞）恒成立．只证，易得e x＞x+1在（0，+∞）恒成立，故只需证1＞，即证x＞ln（x+1），令F（x）=x﹣ln（x+1），F′（x）=1﹣＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，而F（0）=0∵F（x）＞0在（0，+∞）恒成立．∴xf（x）+xlnx+1＞x+成立．【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了分类讨论思想、函数与方程思想，放缩法证明函数恒等式，属于难题．。

2018年山东省威海市高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={3，log2（a﹣2）}，B={a，a+b}，若A∩B={1}，则b的值为（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣12．若复数z满足iz=l+3i，其中i为虚数单位，则=（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i3．给定两个命题p，q，“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图茎叶图表示一次朗诵比赛中甲乙两位选手的得分，则下列说法错误的是（）A．甲乙得分的中位数相同B．乙的成绩较甲更稳定C．甲的平均分比乙高D．乙的平均分低于其中位数5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a∥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊂α，b⊥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β6．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，=2，则AD=（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，则cos=（）A．B．C．D．8．过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，若直线ax+y+3=0与直线l垂直，则a=（）A．B．C．D．29．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，则m=（）A．B．﹣1 C．2 D．10．设函数f（x）=，则满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（）A．B．）（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y=的定义域为．12．已知展开式中，只有第3项的二项式系数最大，且展开式中含x2项的系数为a，则=．13．若∀x∈R，不等式|x+a|+|x+1|＞a都成立，则实数a的取值范围为．14．如图，在四边形ABCD中，∠B=，∠BCA=2∠CAD，CD=2，AD=AC=4，则AB=．15．双曲线C1：的焦点为F1，F2，其中F2为抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，设C1与C2的一个交点为P，若|PF2|=|F1F2|，则C1的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=，其图象上相邻的最高点和最低点的距离为．（I）求f（x）的解析式及对称中心；（II）求函数f（x）在上的最值．17．（12分）设{a n}是单调递增的等差数列，S n为其前n项和，且满足3S4=2S5，a5+2是a3，a12的等比中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=，D为AP上一点，且AD=2DP．（I）求证：DO∥平面PBC；（II）求证：AC⊥平面OBD；（III）设M为PC的中点，求二面角M﹣BD﹣O的正弦值．19．（12分）5件产品中混有2件次品，现用某种仪器依次检验，找出次品．（I）求检验3次完成检验任务的概率；（II）由于正品和次品对仪器的损伤程度不同，在一次检验中，若是正品需费用100元，次品则需200元，设X是完成检验任务的费用，求X的分布列和数学期望．20．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣（a+b）x+x2（a，b∈R）．（I）若f（x）在x=1处取得极值，讨论函数f（x）的单调性；（II）当a=1时，设函数φ（x）=f（x）﹣x2有两个零点x1，x2．（i）求b的取值范围；（ii）证明：x1x2＞e2．21．（14分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（I）求椭圆C1的方程；（II）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．2018年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={3，log2（a﹣2）}，B={a，a+b}，若A∩B={1}，则b的值为（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，【解答】解：∵集合A={3，log2（a﹣2）}，B={a，a+b}，A∩B={1}，∴log2（a﹣2）=1，∴a=4，∴a+b=1，∴b=﹣3，故选：A．【点评】本题考查集合的表示方法、两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2．若复数z满足iz=l+3i，其中i为虚数单位，则=（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：iz=l+3i，∴﹣i•iz=﹣i（l+3i），∴z=﹣i+3．则=3+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．给定两个命题p，q，“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“￢（p∨q）为假”⇔p∨q为真，而“p∧q为真”⇒p∨q为真，反之不成立．【解答】解：“￢（p∨q）为假”⇔p∨q为真，而“p∧q为真”⇒p∨q为真，反之不成立．∴“￢（p∨q）为假”是“p∧q为真”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图茎叶图表示一次朗诵比赛中甲乙两位选手的得分，则下列说法错误的是（）A．甲乙得分的中位数相同B．乙的成绩较甲更稳定C．甲的平均分比乙高D．乙的平均分低于其中位数【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲的中位数为88，乙的中位数为88，二者相同，A正确；甲的数据集中在76～94之间，不成单峰分布，乙的数据集中在77～93之间，成单峰分布，∴乙的成绩更稳定，B正确；甲的平均数是=×（76+77+88+90+94）=85，乙的平均数是=×（77+88+86+88+93）=86.4，甲的平均数比乙的低，∴C错误；乙的中位数是88，平均数是86.4，平均数比中位数低，D正确．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据求中位数、方差、平均数的应用问题，是基础题．5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a∥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊂α，b⊥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题寻求线线平行的条件，逐一对四个选项中的条件进行判断，验证它们能否推出线线平行，从而选出正确选项【解答】解：A选项不是a∥b的一个充分条件，直线a，b的位置关系不能确定；B选项不是a∥b的一个充分条件，a⊂α，b⊥β，α∥β得到a⊥b；C选项是a∥b的一个充分条件，由a⊥α，α∥β，a⊥β；b⊥β，α∥β，得到b⊥α，于是得到a ∥b；D选项不是a∥b的一个充分条件，由a⊂α，b∥β，α⊥β不能确定直线a，b的位置关系；故选C．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正解解答本题，关键是掌握好充分条件的定义，以及线线平行的判断方法．本题考查空间想像能力以及推理论证能力．6．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，=2，则AD=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设||=x＞0．由向量的三角形法则可得、，代入=2，利用数量积的运算性质展开即可求得结果．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=π，E是BC的中点，设||=x＞0，∵=+=+=+，=+=﹣+，∴•=（+）•（﹣）=+•﹣=x2+x•2•cos﹣22=x2﹣x﹣4=2，化为x2﹣x﹣12=0，∵x＞0，解得x=4，即AD=4．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算问题，是基础题．7．已知，则cos=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意，利用诱导公式化简可得cos（）=，利用二倍角公式cos=2cos﹣1，代入计算可得答案．【解答】解：由题意，可得cos（）=，那么cos=2cos﹣1=2×﹣1=故选B【点评】本题考查了诱导公式化简和二倍角公式的灵活运用．属于中档题．8．过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，若直线ax+y+3=0与直线l垂直，则a=（）A．B．C．D．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出点P在圆上，圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的圆心C（3，1），从而k PC=﹣，进而直线l的斜率k=﹣=2，再由直线ax+y+3=0与直线l垂直，能求出a的值．【解答】解：把P（1，2）代入圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，得（1﹣3）2+（2﹣1）2=5，∴点P在圆上，圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的圆心C（3，1），∵过点P（1，2）的直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5相切，=﹣，∴直线l的斜率k=﹣=2，∵直线ax+y+3=0与直线l垂直，∴﹣a•2=﹣1，解得a=．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、斜率公式、直线与直线垂直的条件、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．9．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，则m=（）A．B．﹣1 C．2 D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由题意可知当直线y=mx ﹣z与直线x﹣2y+1=0重合时，使目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，由此求得m值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=mx﹣y为y=mx﹣z，∵目标函数z=mx﹣y取得最大值的最优解有无数个，∴直线y=mx﹣z与直线x﹣2y+1=0重合，此时m=．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．设函数f（x）=，则满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（）A．B．）（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知分m≤0和m＞0分别求出f（m），进一步得到f（f（m）），代入f（f（m））＞f（m）+1，由导数可得：当x＞0时，e x＞x+1，结合该式即可求得满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围．【解答】解：当m≤0时，f（m）=2m+1∈（﹣∞，1]，若2m+1≤0，即m，则f（f（m））＞f（m）+1⇔2（2m+1）+1＞2m+1+1，即m＞﹣（舍）；若2m+1＞0，即m，则f（f（m））＞f（m）+1⇔e2m+1＞2m+1+1，令g（x）=e x﹣x﹣1，g′（x）=e x﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，则g（x）＞g （0）=0，∴当x＞0时，e x＞x+1，故e2m+1＞2m+1+1成立，∴﹣；当m＞0时，f（m）=e m＞0，则f（f（m））＞f（m）+1⇔＞e m+1，令t=e m（t＞1），则e t＞t+1，∵当x＞0时，e x＞x+1成立，∴e t＞t+1恒成立，则m＞0时不等式f（f（m））＞f（m）+1成立．综上，满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（﹣，+∞）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y=的定义域为{x|x＞1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及二次个数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：3x﹣2＞1，解得：x＞1，故函数的定义域是{x|x＞1}，故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．12．已知展开式中，只有第3项的二项式系数最大，且展开式中含x2项的系数为a，则=+ln3．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意结合二项式系数的性质，可知二项展开式中仅有5项，则n可求，再根据二项式展开式的通项公式展开式中含x2项的系数为a，再根据定积分计算即可【解答】解：由于展开式中第3项的二项式系数最大，可得n=4，则通项为C4r54﹣r（﹣1）r•x，令﹣4=2，解得r=4，∴展开式中含x2项的系数为a=C4454﹣4（﹣1）4=1，∴=（x+）dx=（x+lnx）=+ln2，故答案为： +ln3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用和定积分的计算，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．13．若∀x∈R，不等式|x+a|+|x+1|＞a都成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】根据|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|以及题意，可得|a﹣1|＞a，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：∵|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|，∀x∈R，不等式|x+a|+|x+1|＞a都成立，∴|a﹣1|＞a，即a﹣1＞a，或a﹣1＜﹣a，求得a＜，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，属于基础题．14．如图，在四边形ABCD中，∠B=，∠BCA=2∠CAD，CD=2，AD=AC=4，则AB=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】设∠CAD=θ，则∠BCA=2θ，根据余弦定理求出cosθ，再根据同角的三角函数的关系和二倍角公式求出sin2θ，再由正弦定理即可求出．【解答】解：设∠CAD=θ，则∠BCA=2θ在△ADC中，由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=，在△ABC中，由正弦定理可得=，∴AB==，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理和同角的三角函数的关系和二倍角公式，考查了学生的运算能力，属于中档题15．双曲线C1：的焦点为F1，F2，其中F2为抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，设C1与C2的一个交点为P，若|PF2|=|F1F2|，则C1的离心率为+1．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n）位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得c=，再由抛物线的定义，求得m，代入抛物线的方程可得n，代入双曲线的方程，由双曲线的a，b，c和离心率公式，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设P（m，n）位于第一象限，可得m＞0，n＞0，由题意可得F2（，0），且双曲线的c=，抛物线的焦点为准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得m+=|PF2|=|F1F2|=2c，即有m=c，n===2c，即P（c，2c），代入双曲线的方程可得，﹣=1，即为e2﹣=1，化为e4﹣6e2+1=0，解得e2=3+2（3﹣2舍去），可得e=1+．故答案为：1+．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•威海二模）已知函数f（x）=，其图象上相邻的最高点和最低点的距离为．（I ）求f （x ）的解析式及对称中心；（II ）求函数f （x ）在上的最值．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（I ）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx +φ）的形式，图象上相邻的最高点和最低点的距离为．求出相邻的最高点和最低点横坐标的距离就是，可得T 的值，从而求出ω．可得f （x ）的解析式及对称中心；（II ）x ∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f （x ）的最大值和最小值，即得到f （x ）的取值范围．【解答】解：（I ）函数f （x ）=，化简可得：f （x ）=sinωxcosωx ﹣﹣cos2ωx +=sin2ωx ﹣cos2ωx=sin （2ωx ﹣）设函数f （x ）的最小正周期为T ，∵图象上相邻的最高点和最低点的距离为．相邻的最高点和最低点纵坐标的差为2．∴相邻的最高点和最低点横坐标的距离为=5﹣4∴T=2，即，∴ω=．则f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （πx ﹣）令πx ﹣=kπ，k ∈Z ，可得：x=k．∴f （x ）的对称中心为（），k ∈Z ；（II ）x ∈上时，可得：，当πx ﹣=时，函数f （x ）取得最小值为﹣1．当πx ﹣=时，函数f （x ）取得最大值为．∴函数f （x ）在上的最小值为﹣1．最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17．（12分）（2017•威海二模）设{a n }是单调递增的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足3S 4=2S 5，a 5+2是a 3，a 12的等比中项． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（I ）设单调递增的等差数列{a n }的公差为d ＞0，由3S 4=2S 5，a 5+2是a 3，a 12的等比中项，可得=，=（a 1+2d ）（a 1+11d ），联立解得a 1，d ，即可得出．（II ）由数列{b n }满足，n ≥2时，++…+=3n ﹣3，相减可得：=2×3n ．当n=1时，a 1=2，b 1=12，上式也成立．再利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（I ）设单调递增的等差数列{a n }的公差为d ＞0，∵3S 4=2S 5，a 5+2是a 3，a 12的等比中项，∴=，=（a 1+2d ）（a 1+11d ），联立解得a 1=2=d ，∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ．（II ）由数列{b n }满足，∴n ≥2时， ++…+=3n ﹣3，相减可得： =2×3n ．∴b n =4n ×3n ．当n=1时，a 1=2，b 1=2×（32﹣3）=12，上式也成立．∴b n=4n×3n．∴数列{b n}的前n项和T n=4[3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n]，3T n=4[32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1]，∴﹣2T n=4（3+32+…+3n﹣n×3n+1）=4×，∴T n=（2n﹣1）•3n+1+3．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•威海二模）如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=，D为AP上一点，且AD=2DP．（I）求证：DO∥平面PBC；（II）求证：AC⊥平面OBD；（III）设M为PC的中点，求二面角M﹣BD﹣O的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AO交BC于E，连接PE，由重心的性质可得DO∥PE，再由线面平行的判定可得DO∥平面PBC；（Ⅱ）由PB=PC，且E为BC中点，可得PE⊥BC，再由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABC，结合（Ⅰ）可得DO⊥平面PBC，即DO⊥AC，又AC⊥BO，则由线面垂直的判定可得AC⊥平面DOB；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP两两互相垂直，且E为BC的中点，分别以EA、EB、EP所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDM与平面DBO 的法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣BD﹣O的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AO交BC于E，连接PE，∵O为三角形ABC的中心，∴AO=2OE，又∵AD=2DP，∴DO∥PE，∵DO⊄平面PBC，PE⊂平面PBC，∴DO∥平面PBC；（Ⅱ）证明：∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，∴PE⊥平面ABC，由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC，连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP两两互相垂直，且E为BC的中点，∴分别以EA、EB、EP所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系，则有：A（，0，0），B（0，，0），P（0，0，），D（，0，1），C（0，﹣，0），M（0，﹣，），∴．设平面BDM的法向量，则，令y=1，得．由（Ⅱ）知，AC⊥平面DBO，∴为平面DBO的法向量．∴cos＜＞==．∴sin＜＞=．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017•威海二模）5件产品中混有2件次品，现用某种仪器依次检验，找出次品．（I）求检验3次完成检验任务的概率；（II）由于正品和次品对仪器的损伤程度不同，在一次检验中，若是正品需费用100元，次品则需200元，设X是完成检验任务的费用，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）检验三次完成任务分两种情况：一是3次中检验出两个次品，二是3次检验都是正品，设“检验3次完成任务”为事件A，由此能求出检验3次完成检验任务的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为300，400，500，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）检验三次完成任务分两种情况：一是3次中检验出两个次品，二是3次检验都是正品，设“检验3次完成任务”为事件A，则检验3次完成检验任务的概率：P（A）==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为300，400，500，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=500）=+=，P（X=600）==，∴X的分布列为：EX=300×=500．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．20．（13分）（2017•威海二模）已知函数f（x）=alnx﹣（a+b）x+x2（a，b∈R）．（I）若f（x）在x=1处取得极值，讨论函数f（x）的单调性；（II）当a=1时，设函数φ（x）=f（x）﹣x2有两个零点x1，x2．（i）求b的取值范围；（ii）证明：x1x2＞e2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）问题转化为方程b+1=在（0，+∞）有2个不同实根，设g（x）=，（x＞0），根据函数的单调性求出b的范围即可；（ii）构造函数M（x）=g（x）﹣g（）=+，求出函数的导数，根据函数的道德底线证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣（a+b）+2x，由f（x）在x=1处取极值，得f′（1）=0，解得：b=2，故f′（x）=，a=2时，f′（x）≥0，不满足f（x）在x=1处取极值，故a≠2；①a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②0＜＜1即0＜a＜2时，0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减；③a＞2时，0＜x＜1或x＞时，f′（x）＞0，1＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）递减；（Ⅱ）（i）a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣x2=lnx﹣（1+b）x，φ（x）有2个不相同零点x1，x2，即方程b+1=在（0，+∞）有2个不同实根，设g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，x∈（），e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故x=e时，g（x）max=g（e）=，∵g（1）=0，x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，故0＜b+1＜，b的范围是（﹣1，﹣1），（ii）由（i）得1＜x1＜e＜x2，构造函数M（x）=g（x）﹣g（）=+，M′（x）=，x＞e时，M′（x）＞0恒成立，故M（x）在（e，+∞）递增，∵M（e）=0，故对任意x＞e，M（x）＞0，故M（x2）=g（x2）﹣g（）＞0，即g（x2）＞g（），∵g（x1）=g（x2），∴g（x1）＞g（），又x1∈（1，e），∈（1，e），由（i）得g（x）在（0，e）递增，故x1＞，即x1x2＞e2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21．（14分）（2017•威海二模）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（I）求椭圆C1的方程；（II）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程为+．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，利用点差法求出直线AB的方程为x0x+2y0y=2，由此能求出直线AB的方程．（Ⅲ）联立直线EF与椭圆C1的方程，得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，得：，利用韦达定理求出|AB|=，点E（）、F（﹣）到直线AB的距离为d1，d2，﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．∴e==，∴a2=2b2，∵P是椭圆C1上任意一点，∴|PF1|+|PF2|=2a，≥（）2=a2，∴2a2=8，a2=4，b2=2，∴椭圆C1的方程为+=1．（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，当y0≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则②﹣①，整理，得：，∵Q为线段AB的中点，∴=﹣=﹣，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），∵=1，化简，得x0x+2y0y=2，当时，直线AB的方程也满足x0x+2y0y=2，综上，直线AB的方程为x0x+2y0y=2．（ii）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，|AB|=•=•=，设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d1，d2，S AEBF=S△ABE+S△ABF=，==，==，∴S AEBF=•==4．故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．【点评】本题考查椭圆方程、两线段和的取值范围、椭圆性质、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

山东省威海市高考数学第二次模拟试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为（A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）4252.已知集合2{|},{1,0,1}A x x a B ===-，则1a =是A B ⊆的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 3.设单位向量12,e e 的夹角为120，122a e e =-，则 ||a = （A ）3 （B（C ）7 （D4.已知等差数列{}n a 满足61020a a +=，则下列选项错误的是（A ）15150S = （B ）810a = （C ）1620a =（D ）41220a a +=5.双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为 （A（B（C（D6.已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（A ）2 （B（C ）4 （D）7.周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； （A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④9.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC∆C = （A ） （B ） （C ） （D ）10.设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是（A ）()f x 在(0,)+∞单调递增 （B ）()f x 在(0,)+∞单调递减 （C ）()f x 在(0,)+∞上有极大值 （D ）()f x 在(0,)+∞上有极小值第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行 抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为________. 12.右面的程序框图输出的S 的值为_____________. 13.已知0,0x y >>且2x y +=，则 的 最小值为______.14.若 ， 则1()f x dx =⎰_________.15.函数213()|2|122f x x x x =-+-+的零点个数为___________.22111x y xy++1()()f x f x dx x +=⎰3π23π6π56π三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x n x m ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.17.（本小题满分12分）一汽车4S 店新进A,B,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率; （Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A,B,C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知 {}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （Ⅰ）求证：数列2{}n S 为等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1),nn nb a -=求{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图：BCD 是直径为的半圆，O 为圆心，C 是BD 上一点，且2BC CD =.DF CD ⊥，且2DF =，23BF =，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点,且3FR RC =.(Ⅰ) 求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.20.（本小题满分13分）已知函数(),ln xf x ax x=+1x >. （Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2a =，求函数()f x 的极小值；（Ⅲ）若存在实数a 使()f x 在区间1(,)(,nne e n N *∈且1)n >上有两个不同的极值点，求n 的最小值.21.（本小题满分14分）如图，过原点O 的直线12,l l 分别与x 轴，y 轴成30︒的角，点(,)P m n 在1l 上运动，点(,)Q p q 在2l 上运动，且||22PQ =.（Ⅰ）求动点(,)M m p 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上不同两点，且13OA OB k k ⋅=-， （ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；(ⅱ)判断OAB ∆的面积是否为定值？若是,求出该 定值，不是请说明理由.O FCEDRQ高三理科数学试题参考答案一、选择题 D A D C B, D B B A B 二、填空题 11. 4800； 12.2512； 13. 3 ； 14. 14； 15. 2； 三、解答题16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x n m x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-， ----------------------2分由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， ----------------------3分)42sin(2)(π-=∴x x f . ----------------------4分由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ, ----------------------5分∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ. ----------------------6分（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，------8分]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ----------------------10分∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ----------------------11分∴函数()g x的值域为[. ---------------------12分17．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P ,2224322963153618c c c P c ++++=== ----------------------4分 （Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4. ----------------------6分∴44491(4)126c p c ξ===∴313145362920613(3)12663C C C C P C ξ++==== ∴1269911(2)1(4)(3)112612612614P P P ξξξ==-=-==--== ∴其分布列为----------------------10分数学期望为111312023414631269E ξ=⨯+⨯+⨯=----------------------12分 18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，① ----------------------1分 当1n =时，由①式可得11S =; ----------------------2分又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，代入①式得2112()()1n n n n n S S S S S -----=整理得2211,(2)n n S S n --=≥． ----------------------3分 ∴ 2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=， ----------------------5分∵{}n a是各项都为正数，∴n S = ----------------------6分∴1n n n a S S -=-=2n ≥）， ----------------------7分 又111a S ==,∴n a = ----------------------8分（Ⅲ）(1)(1),n n nn n b a -===- ----------------------9分当n 为奇数时，11)(1n T n=-+-++--=当n 为偶数时，11)(1n T n =-+-+--+=∴{}n b 的前n 项和(1)n T =- ----------------------12分19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM ⊥CD∵O,Q 为中点，∴OQ ∥DF ,且12OQ DE =∵DF CD ⊥ ∴RM ∥FD ,又3FR RC =,∴14RM CR DF CF ==,∴14RM DF = ∵E 为FD 的中点，∴12RM DE =. ----------------------4分∴OQ ∥RM ,且OQ RM = ∴OQRM 为平行四边形，∵RQ ∥OM又RQ ⊄平面BCD , OM ⊂平面BCD , ∴QR ∥平面BCD . ----------------------6分（Ⅱ）∵2DF =,BF =,BD =,∴222BF BD DF =+,∴BD DF ⊥, 又DF CD ⊥,∴DF ⊥平面BCD . ----------------------7分以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系∵2BC CD =，∴DBC ∠＝300，∴在直角三角形BCD中有CD =∴(0,2)2B C F ----------------------8分∴632(,,0),(0,22)22BC BF ==，设平面BCF 的法向量为(,,),m x y z=∴020x z +=⎨⎪+=⎩，令1y =，则z x ==∴(3,1,m =- ----------------------10分面BDF 的一个法向量为(1,0,0)n=则cos ,2m n <>=-=- ∴平面BDF 与平面BCF 所成二面角的余弦值为2. ----------------------12分 说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明. 20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立；----------------------1分∴2211111()ln ln ln 24a x x x ≤-=--， ----------------------2分 ∵()1,x ∈+∞，∴()ln 0,x ∈+∞， ----------------------3分∴110ln 2x -=时函数t =2111()ln 24x --的最小值为14-， ∴14a ≤- ----------------------4分(Ⅱ) 当2a =时，()2ln xf x x x=+222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+= ----------------------5分 令()0f x '=得22ln ln 10x x +-=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e = ----------------------7分当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>∴()f x 的极小值为11112222()2412ef e e e =+= ----------------------8分 （Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知222ln 1ln 1ln ()ln ln x x a xf x a x x--+'=+= ---------------------9分 即2ln ln 10a x x +-=在1(,)nne e 上有两个不等实根. ----------------------10分 法一：令1ln ,()x u u n n=<<，2()1g u au u =+- ∵(0)10g =-<，根据图象可知：01401121()0()0a a n n a g n g n ⎧⎪<⎪∆=+>⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<⎪⎪<⎪⎩，整理得2210412211a n a n a n n a n n ⎧-<<⎪⎪⎪-<<-⎪⎨⎪<-⎪⎪<-⎪⎩ ----------------------11分 即2min 21111{,,}24n n n n n --->-，解得2n >， ∴n 的最小值为3. ----------------------13分法二： 令1ln ,()x u u n n =<<，22111111(),()24u a n u u n u-=-=--<< ----------------------11分由题意可知22112141114n n a n n a n n ⎧<<⎪⎪⎪-<<-⎨⎪⎪-<<-⎪⎩解得2221()0211()02n n n ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩解得2n >，∴n 的最小值为3. ----------------------13分21. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知12:,:,3l y x l y == ----------------------1分∴(,),(,)3P m m Q p，由||PQ =22())83m p m -++=，整理得22162p m +=1212121212221212133()()3(13)3()30OA OB y y k k x x y y kx m kx m x x k x x km x x m ⋅==-⇒=-=-++⇒++++=所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=. ----------------------3分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ，当l 斜率不存在时，则11111111(,),(,),,OA OB y y A x y B x y k k x x -∴==- 由22211121133OA OB y k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y ∴= 21212122OA OB x x y y y ∴⋅=+== ---------------------5分 当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-= ----------------------6分 2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+> 且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++ ----------------------7分由 整理得2213................()m k b =+ ----------------------9分 221212122222242442313m m OA OB x x y y x x k m m--∴⋅=+====-+ 由(),()a b 得2224131,04m k m=+≥∴<≤，22OA OB ∴-≤⋅< 综上：22OA OB ∴-≤⋅≤. ----------------------11121|||2OABS AB d x x m∆==-=分（2）由（1）知，l斜率不存在时，2111||OABS x y∆===，--------------------12分当l斜率存在时，将2213m k=+带入整理得OABS∆=所以OAB∆. ----------------------14分。

2018届高三模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．12 C．2D3.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤5.若2101()()x a x x-+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．2 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．187.已知tan()44πα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．79C ．19-D ．198.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞ D ．1(,)2+∞10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）A．4+ B．4+．．4+11.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120FMF ∠=，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞B ．(0,1][8,)+∞C ．1(0,][4,)2+∞ D ．(0,1][4,)+∞12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ）A．[- B．[- C．[- D．[- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3CP PD =，若1AB BP ⋅=-，则AB AD ⋅= ．15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2364n n n a a S +=+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件A ：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A 的概率. 20.已知抛物线C ：212y x =，不过坐标原点O 的直线l 交于A ，B 两点. （Ⅰ）若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设过A 且与C 相切的直线为1l ，过B 且与C 相切的直线为2l .当1l 与2l 交于点(1,2)-时，求l 的方程.21.已知2()1ln ()f x x a x a R =--∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与x 轴有唯一公共点A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式12()1x f x e x x -≤+--对任意的1x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2018届高三模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD二、填空题13. 4 14. 11 15. 22(2)2x y +-= 16. 711[,]812三、解答题17.（Ⅰ）当1n =时，有2111364a a a +=+，即11(4)(1)0a a -+=. 因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即14a =. 由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+. 两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--. 即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=， 即11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=. 所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 所以43(1)31n a n n =+-=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++.数列{}n b 的前n 项和为1111()()47710n T =-+-+⋅⋅⋅+1111()()32313134n n n n -+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥. 因为ABAD A =，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB . 所以1l SA ⊥. 同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C =，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD . 同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条， 所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD . 所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线. 所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB 、AD 、AS 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)S . 由F 为SC 的中点，得3(1,,3)2F ；由23BE BC =，得(2,2,0)E . 所以1(1,,3)2EF =--，(2,3,6)SC =-，(2,0,0)DC =.设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n SC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =. 所以(0,2,1)n =.所以cos ,EF n <>EF n EF n⋅=⋅1(1)0()231-⨯+-⨯+⨯==. 所以，直线EF 与平面SCD . 19.解：（Ⅰ）0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=； 222(527.5)0.1(1527.5)0.2S =-⨯+-⨯甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.2+-⨯+-⨯22(4527.5)0.15(5527.5)0.05+-⨯+-⨯178.75=.（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)P A =⨯+⨯+0.075=.20.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（Ⅰ）解：显然直线l 的斜率存在，设为k ，直线的方程为y kx m =+.由题意，0m ≠.由212y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx m --=.由题意，该方程的判别式24(2)0k m ∆=+>，即220()k m +>★. 则122x x k +=，122x x m =-.因为OA OB ⊥，所以OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即21212(1)()k x x km x x +++20m +=.所以2222(1)20m k k m m -+++=.所以220m m -=.解得0m =（舍去），或2m =.当2m =时，220k m +>，满足()★式.所以直线l 的方程为2y kx =+. 直线l 过定点(0,2).（Ⅱ）解法一：过点(1,2)-且与C ：212y x =相切的直线的斜率必存在，设其斜率为k ，则其方程为(2)(1)y k x --=-，即(1)2y k x =--.由2(1)22y k x x y=--⎧⎨=⎩消去y 并整理得222(2)0x kx k -++=. 由判别式2(2)8(2)0k k ∆=--+=，解得1k =不妨设1l的斜率11k =2l的斜率21k =由韦达定理，得1212x x k +=，即111x k ==111(1)2y k x =--(123==所以(1A .同理可得(1B .直线l的方程为(3y -=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法二：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .1l ：21111()2y x x x x -=-，即1l ：21112y x x x =-.同理2l ：22212y x x x =-.因为1l 与2l 的交点(1,2)-的坐标为方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的解，所以211122x x -=-，且222122x x -=-. 所以方程2122x x -=-，即21202x x -++=的两个实根是1x ，2x .由21202x x -++=，解得11x =21x =又点A ，B 在C ：212y x =上，可得(1A，(1B .直线l的方程为(3y -=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法三：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .所以，切线1l ：111()y y x x x -=-，即2111y y x x x -=-. 又11(,)x y 是抛物线212y x =上的点，所以21112y x =，即2112x y =. 故切线1l 的方程为11y x x y =-. 同理切线2l 的方程为22y x x y =-.又切线1l 与切线2l 均过点(1,2)-，故112x y -=-，222x y -=-. 所以切点11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标适合方程2x y -=-. 所以l 的方程为2y x =+.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =.由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数.又(1)0f =，所以0a ≤符合题意. （2）若0a >，22'()x a f x x-=. '()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--. 由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）.①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 2222a a g a =--111ln 2222a a ⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a >--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a c =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln (1)10h x x x h =-<=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数.则由零点存在性定理，()f x 在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）当0a =时，1()x g x x e -=-.当1x >时，10'()110x g x e e -=-<-=，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()g(1)0g x ≤=.可见，0a =符合题意.（2）若0a <，显然1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数. 取实数1m a >-+，显然1m >.则1'()(1)m a g m e m -=-+-[1(1)1]a m m≤-+-+-（利用11(1)x e x -≥+-） (1)m m a m-+=- (1)(11)a a a m -+-+-+<-20a m=-<. 又'(1)0g a =->，'()g x 在[1,)+∞上是减函数，由零点存在定点，存在唯一的0(1,)x m ∈使得0'()0g x =.于是，当0(1,)x x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在0(1,)x 上是增函数.所以，当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意.当0a >时，分如下三种解法：解法一：（3）若01a <≤，1'()1x a g x e x -=--，212''()x a x e g x x--=. 令21()x h x a x e -=-，显然21()x h x a x e -=-在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，()(1)10h x h a ≤=-≤，当且仅当1a =时取等号.所以，当1x ≥时，2()''()0h x g x x =≤，1'()1x a g x e x-=--在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，'()'(1)0g x g a ≤=-<.所以，()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，01a <≤符合题意.（4）若1a >，1'()1x a g x e x -=--，212''()x a x e g x x--=. 令21()x h x a x e -=-，显然()h x 在[1,)+∞上是减函数，且(1)10h a =->，21()a h a a a e -=-10(1)0a a ae a e -<-<-=，所以，存在唯一的0(1,)x a ∈，使得0()0h x =，即12()a x aa e x -=★. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x >；当(,)a x x ∈+∞时，()0h x <.所以，当(1,)a x x ∈时，''()0g x >；当(,)a x x ∈+∞时，''()0g x <.所以，'()g x 在(1,)a x 上是增函数，在(,)a x +∞上是减函数.所以，'()g x 在[1,)+∞上的最大值max '()'()a g x g x =11a x aa e x -=--. 将()★式代入上式，得max 2'()1a a a a g x x x =--2210a aa a a a x x <--=-<. 所以，当1x ≥时，'()0g x <，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，1a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法二：（3）若0a >，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立1ln x e x a x -⇔-≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x e x -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e ->-=，所以()p x 在[1,)+∞上是增函数.所以min ()(1)0p x p ==.显然()ln q x a x =-在[1,)+∞上是减函数，max ()(1)0q x q ==.所以，当1x ≥时，()()p x q x ≥，即1ln x ex a x --≥-对任意的1x ≥恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法三：（3）若0a >，1()ln 0x g x x e a x -=--≤对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x x e -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e -<-=，所以()p x 在[1,)+∞上是减函数.所以min ()(1)0p x p ==.所以，当1x ≥时，()0p x ≤.当0a >，1x ≥时，()ln 0q x a x =-≤.所以，当0a >，1x ≥时，()()()0g x p x q x =+≤恒成立.所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法四：12()1x f x e x x -=+--1ln 0x e a x x -⇔+-≥.令1()ln x g x e a x x -=+-，则()0g x ≥对任意的1x ≥恒成立.1'()1x a g x e x -=+-1x xe x a x--+=. 令1()x h x xe x a -=-+，当1x >时，1'()(1)1x h x x e -=+-11(11)10e ->+->， 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数.（1）若0a ≥，则1x >时，()(1)0h x h a >=≥，()'()0h x g x x=>， 所以()g x 在[1,)+∞上是增函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≥=.可见，0a ≥符合题意.（2）若0a <，(1)0h a =<， (1)(1)12a h a a e a --=--+2(1)[1()]210a a a a >-+-+-=>.（这里利用了0x >时，1x e x >+）又()h x 在[1,)+∞上是增函数，由零点存在性定理，知存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得()0a h x =.于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x <，()'()0h x g x x=<， 所以，()g x 在(1,)a x 上是减函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g <=.可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：利用(1)0h a =<，lim ()x h x →+∞=+∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点. 解法五：12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）先寻求使结论成立的充分条件.由(1)0g =，要使()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.只需要()g x 在[1,)+∞上是减函数，即'()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. 而1'()10x a g x e x-=--≤1(1)x a x e -⇔≥-， 所以，只需要1(1)x a x e -≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()(1)x h x x e -=-，11'()1x x h x e xe --=--11(1)x x e -=-+.显然'()h x 在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，11'()'(1)1(11)10h x h e -≤=-+=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以()h x 在[1,)+∞上的最大值max ()(1)0h x h ==.则只需要max ()(1)a h x x ≥≥.可见，当0a ≥时，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（2）当0a <时，'(1)0g a =->，(1)1'(1)11a a g a e a ---=--- 121a a e a--=-- 12[1()]1a a a-<-+--（0x >时，1x e x >+） 212(1)1a a a ---=-201a a=-<-. 又0a <时，1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定理，存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得'()0a g x =.于是，当(1,)a x x ∈时，'()'()0a g x g x >=，所以()g x 在(1,)a x 上是增函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：0a <时，用'(1)0g a =->，lim '()a x g x →+∞=-∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点. 22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （Ⅱ）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d === 其中0θ满足0cos θ=，0sin θ=由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()10θθ=-=，02sin 2sin()5θθ=-=-. 因此，当点M位于时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，当点M位于时，点M 到直线l的距离取最小值. 23.选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （Ⅱ）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a a x x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03a x x -+≤时取等号） 13a =+. 综上，当3a x =时，()()f x g x +有最小值13a +. 故由题意得113a +>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞.。

2017-2018学年山东省威海市文登市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数 C．奇函数D．偶函数8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．2 C．D．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．C．（2，+∞）D．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．2015年山东省威海市文登市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1， +∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．解答：解：由（2+i）z=1+2i，得，∴，则z的共轭复数所对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：从两个方向判断：一个是看能否得到△ABC为钝角三角形，另一个看△ABC 为钝角三角形能否得到，这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件．解答：解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选A．点评：考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i ≤9，退出循环，输出S的值，由裂项法求和即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤9，S=，i=2满足条件i≤9，S=+，i=3…满足条件i≤9，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值．由于S=++…+=（1﹣+﹣+﹣…+﹣）=×（1+）=．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求数列的和，综合性较强，属于基本知识的考查．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，通过零点分区间的方法，对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，再解即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，则f（x）=，∴当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔﹣2x﹣1≤4，∴﹣≤x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，有3≤4恒成立，当x≥1时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔2x+1≤4，∴1≤x≤．综上所述，不等式|x+2|+|x﹣1|≤4的解集为[﹣，]．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可以通过对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数解决，也可以利用绝对值的几何意义解决，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．考点：简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数 C．奇函数D．偶函数考点：函数的周期性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x）；从而说明周期是1即可．解答：解：由题意，f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=（x+1）﹣（[x]+1）=x﹣[x]=f（x）；故函数f（x）=x﹣[x]在R上为周期为1的周期函数，故选B．点评：本题考查了函数的周期性的判断，属于基础题．8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．2 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：数形结合法；空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，求出该正方体的正视图面积的取值范围，定义ABCD选项判断即可．解答：解：根据题意，得；水平放置的正方体，如图所示；当正视图为正方形时，其面积最小=2；当正视图为对角面时，其面积最大为×=2．∴满足棱长为的正方体的正视图面积的范围为[2，2]．∴B、C、D都有可能，A中﹣1＜2，∴A不可能．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．C．（2，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．解答：解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角，∴AF＞EF∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴AF=，∵EF=a+c∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0解得＞2或＜﹣1双曲线的离心率的范围是（2，+∞）故选：C．点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解答：解：作出函数y=|f（x）|的图象如图：若a＞0，则|f（x）|≥2ax，若a=0，则|f（x）|≥2ax，成立，若a＜0，则|f（x）|≥2ax，成立，综上a≤0，故选：A．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为﹣0.61 ．考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：本题考查回归直线方程的求法．依据所给条件可以求得、，因为点（，）满足回归直线的方程，所以将点的坐标代入即可得到a的值．解答：解：依题意可得，==3.5，==4.5，则a=﹣1.46=4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61．故答案为：﹣0.61．点评：回归分析部分作为新课改新加内容，在高考中一直受到重视，从山东考题看，一般以选择题或填空题出现．本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．解答：解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180点评：本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．解答：解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（cos2A，cos2），且•=1，∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1，∴cosA=或cosA=﹣1，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意知a=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），∴3=12﹣2bc（1+cos），∴bc=3，∴S△ABC=bcsinA=×3×=，由，得b=c=，∵a=，∴△ABC为等边三角形．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分别求出其概率值，列出分布列，求出数学期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A，则；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，，，，，．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P∴，故所求的数学期望为．点评：本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望，熟练掌握公式是解题的关键，本题属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；综合题．分析：（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC，进而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．解答：解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME与NC平行且相等．∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如设是平面ABN的一个法向量，则∴，令y=1∴设MN与面ABN所成角为θ则，化简得3λ2+5λ﹣2=0，λ=﹣2或由题意知λ＞0，∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设C方程为，利用顶点恰好经过抛物线的准线，求出b，根据椭圆经过点，求出a，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程代入，利用韦达定理，结合斜率公式，即可探索k1，k2，k3之间的关系式．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，∵抛物线的准线，∴…（1分）由点在椭圆上，∴，∴a2=4…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在．∵F（﹣1，0），∴设直线AB的方程为y=k（x+1），代入，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得．…（6分）由题意知M（﹣4，﹣3k），…（8分）∵y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），代人k1，k2得，∴…（10分）=…（12分）∴k1+k2=2k3…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答出．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ），先求出导函数，再分情况①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a=1时④当a＞1时进行讨论（Ⅱ）（1）由题意得到即h（x）≥0恒成立，分离参数，利用导数函数最小值即可．（2）当时，，转化为，分别令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放缩法，从而证得结论．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定义域为{x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①当a≤0时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②当0＜a＜1时，令h′（x）＞0，则x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；…（3分）③当a=1时，恒成立；④当a＞1时，令h′（x）＞0，则x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；…（4分）综上：当a≤0时，h（x）的增区间为（1，+∞），h（x）的减区间为（0，1）；当0＜a＜1时，h（x）的增区间为（0，a）和（1，+∞），h（x）的减区间为（a，1）；当a=1时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞1时，h（x）的增区间为（0，1）和（a，+∞），h（x）的减区间为（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由题意，对任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，显然当a＞0时，h（1）＜0，此时对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；…（8分）当a≤0时，，∴；综上：a的取值范围为．…（9分）（2）证明：由（1）知：当时，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，当且仅当x=1时等号成立．当x＞1时，可以变换为，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有==∴不等式恒成立．…（14分）点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，渗透了分类讨论的思想，属于难题．。