上海高三数学专题复习练习题:第三课 空间直线与平面的位置关系B组(无答案)
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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习第7篇第3节空间点、直线、平面的位置关系课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质1、4、5、11、14点、线、面的位置关系2、3、6、8、9、15异面直线所成的角7、10、12、13基础过关一、选择题1.(2014威海模拟)设A、B、C、D是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是( C )(A)若AC与BD共面,则AD与BC共面(B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC(D)若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC解析:若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正确.2.(2015某某某某高三月考)下列说法正确的是( D )(A)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线(B)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面(C)若a,b不同在平面α内,则a与b异面(D)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面解析:由异面直线的定义可知选D.3.(2014某某模拟)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( D )(A)b⊂α(B)b∥α(C)b⊂α或b∥α(D)b与α相交或b⊂α或b∥α解析:b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.故选D.4.(2014某某模拟)已知正方体ABCD A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( D )(A)A1、M、O三点共线(B)M、O、A1、A四点共面(C)A、O、C、M四点共面(D)B、B1、O、M四点共面解析:由正方体的性质知,O也是A1C的中点,因此A1、M、O三点共线,又直线与直线外一点确定一个平面,所以B、C正确.由BB1与A1C异面知D错误.故选D.5.给出下列命题,其中正确命题的个数是( B )①如果线段AB在平面α内,那么直线AB在平面α内;②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A、B、C;③若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④若三条直线两两相交,则这三条直线共面;⑤两组对边相等的四边形是平行四边形.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①③正确.若两平面有三个不共线的公共点,则这两平面重合,故②不正确.三条直线两两相交于同一点时,三条直线不一定共面,故④不正确;两组对边相等的四边形可能是空间四边形,⑤不正确.故选B.6.(2014某某模拟)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( B )(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对解析:如图所示,与AB异面的直线有B1C1,CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱,共有异面直线=24(对).故选B.二、填空题7.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.解析:折成的正四面体,如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK.则GK∥DH,故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角.设这个正四面体的棱长为2,在△PGK中,PG=,GK=,PK==,故cos∠PGK===.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.答案:8.(2014某某师大附中模拟)如图是某个正方体的展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,对于l1与l2的下面四个结论中,正确的是.①互相平行;②异面且互相垂直;③异面且夹角为;④相交且夹角为.解析:将展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合,故l1与l2相交,连接AD,则△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.答案:④9.(2014某某某某模拟)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交.④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.解析:∵a⊥b,b⊥c,∴a与c可以相交、平行、异面,故①错.∵a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故②错.由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故③错.同理④错,故真命题的个数为0.答案:0三、解答题10.(2014某某某某模拟)A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.(2)解:取CD的中点G,连接EG,FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.11.如图所示 ,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD交于一点.证明:连接GE,FH.因为E、G分别为BC、AB的中点,所以GE∥AC,且GE=AC,又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,且FH=AC.所以FH∥GE,且GE≠FH.所以E、F、H、G四点共面,且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF、GH、BD交于一点.能力提升12.(2014某某模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为( A )(A)(B)(C)-(D)-解析:延长CD至H,使DH=1,连接HG、HF,则HF∥AD.HF=DA=,GF=,HG=,∴cos∠HFG==.故选A.13.(2014某某模拟)过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作条.解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,∵BB1∥AA1,BC∥AD,∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条. 答案:414.(2014某某模拟)如图,已知:E,F,G,H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,证明:EF,HG,DC三线共点.证明:连接C1B,HE,GF,如图所示.由题意知HC1 EB,∴四边形HC1BE是平行四边形,∴HE∥C1B.又C1G=GC,CF=BF,故GF C1B,∴GF∥HE,且GF<HE,∴HG与EF相交,设交点为K,则K∈HG.又HG⊂平面D1C1CD,∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF,EF⊂平面ABCD,∴K∈平面ABCD.∵平面D1C1CD∩平面ABCD=DC,∴K∈DC,∴EF,HG,DC三线共点.探究创新15.(2013高考某某卷)如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形;②当CQ=时,S为等腰梯形;③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;④当<CQ<1时,S为六边形;⑤当CQ=1时,S的面积为.解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.①当0<CQ<时,如图(1).在平面AA1D1D内,作AE∥PQ,显然E在棱DD1上,连接EQ,则S是四边形APQE.②当CQ=时,如图(2).显然PQ∥BC1∥AD1,连接D1Q,则S是等腰梯形.③当CQ=时,如图(3).作BF∥PQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.作AE∥BF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AE∥PQ,连接EQ交C1D1于点R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R=.④当<CQ<1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.⑤当CQ=1时,如图(4).同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MP×AQ=××=.答案:①②③⑤。
高考数学总复习专题05空间点、直线、平面的位置关系题型一平面的概念与特点【例1】下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形;②四边形是平面图形;③四边相等的四边形是平面图形;④圆是平面图形.A.1 B.2 C.3 D.4【变式1-1】关于平面的说法,正确的有()①平面是绝对平的且是无限延展的;②平面的形状是平行四边形;③三角形可以表示平面;④某一个平面的面积为1 m2;⑤8个平面重叠起来,要比5个平面重叠起来厚.A.1个B.2个C.3个D.4个【变式1-2】下列叙述中,一定是平面的是()A.一条直线平行移动形成的面B.三角形经过延展得到的面C.组成圆锥的面D.正方形围绕一条边旋转形成的面【变式1-3】有以下命题:①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;②有一个平面的长是50m,宽是20m;③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3题型二 符号的正确使用【例2】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P 与直线AB ;(2)点C 与直线AB ;(3)点M 与平面AC ;(4)点A 1与平面AC ;(5)直线AB 与直线BC ;(6)直线AB 与平面AC ;(7)平面A 1B 与平面AC .【变式2-1】下列命题中,正确命题的个数为( )①平面的基本性质1可用集合符号叙述为:若A ∈l ,B ∈l ,且A ∈α,B ∈α,则必有l ∈α;②四边形的两条对角线必相交于一点;③用平行四边形表示的平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.A .0个B .1个C .2个D .3个【变式2-2】文字语言叙述“平面内有一条直线,则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A . ⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B . ⎭⎬⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C . ⎭⎬⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D .⎭⎬⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α【变式2-3】如果直线a ⊂平面α,直线b ⊂平面α,M ∈a ,N ∈b ,M ∈l ,N ∈l ,则( )A .l ⊂αB .l ⊄αC .l ∩α=MD .l ∩α=N题型三基本事实与推论理解【例3】下列说法错误的是()A.平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面C.经过两条相交直线,有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合【变式3-1】(多选)下列说法中错误的是()A.不共面的四点中,任意三点不共线B.三条两两相交的直线在同一平面内C.有三个不同公共点的两个平面重合D.依次首尾相接的四条线段不一定共面【变式3-2】若一直线上有两点在已知平面外,则下列结论中正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上至少有一个点在平面内C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上有无数多个点都在平面外【变式3-3】下列命题中,正确的命题是()A.任意三点确定一个平面B.三条平行直线最多确定一个平面C.不同的两条直线均垂直于同一个平面,则这两条直线平行D.一个平面中的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行题型四四点共面的证明【例4】如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H,分别为AB,AC,BD,CD 的中点.求证E,F,G,H,四点共面.【变式4-1】如图,已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E,B,F,D1四点共面。
空间直线与平面的位置关系A 组一、双基回眸1. 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是BC 1的中点,则直线DE 与平面ABCD 所成角的大小为 (结果用反三角函数值表示)2.如图所示,ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体。
M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点3a AP =,过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ=___________2. 如图所示,已知Rt △ABC ,斜边BC//平面α,AC AB A 、,α∈分别与平面α成30°和45°,BC=6,则BC 到平面α的距离为___________4.已知平面α内有直角三角形ABC ,两条直角边AB=3,AC=12.若线段PB △α,PB=4,(如图所示),则,PA= ;PC=_________.A 1C 1A 1C 1二、例题精讲1. 如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上,点M 在B 1C 上,且CM=DN ,求证:MN//平面AA 1B 1B2. 如图所示,四棱锥P-ABCD 中,AB △AD ,CD △AD ,PA △底面ABCD ,PA=AD=CD=2AB=2,M 为PC 的中点。
(1)求证:BM//平面PAD ;(2)在△PAD 内找一点N ,使MN △平面PBD3.如图所示,正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面互相垂直,AB=a ,M 、N 分别为AC 、BF 上点,且CM=BN(1)求证:MN//平面 BE ,MN △AB ;(2)设CM=BN=x ,当x 为何值时,MN 最小,并求这个最小值。
A 1C 1CA3. 如图所示,二面角βα--PQ 为60°,点A 、B 分别在平面α和平面β上,点C 在棱PQ 上,△ACP=△BCP=30°,CA=CB=a(1)求证:AB △PQ ;(2)求点B 到平面α的距离;(3)设R 是线段CA 上的一点,问点R 取在何处时,直线BR 与平面α所成角的大小为45°4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PD △底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD=DC ,F 是PB 的中点,求证:(1)DF △AP ;(2)在线段AD 上是否存在点G ,使GF △平面PBC ?若存在说明G 点的位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由。
空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时:45分钟一、选择题1.下列命题中,真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面;③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.A.1B.2C.3D.4B[根据公理2,可判断①是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故②是假命题;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故③是假命题;根据平面的性质可知④是真命题.综上,真命题的个数为2.] 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直A[由BC AD,AD A1D1知,BC A1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,又EF⊂平面A1BCD1,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.] 3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥cC[对于A,B,D,a与c可能相交、平行或异面,因此A,B,D不正确,根据异面直线所成角的定义知C正确.]4.在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH相交于点P,那么()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外A[如图,因为EF⊂平面ABC,而GH⊂平面ADC,且EF和GH相交于点P,所以点P在两平面的交线上,因为AC是两平面的交线,所以点P必在直线AC上.]5.如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15 B.25C.35 D.45D[连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=2,A1B=BC1=5,在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1BC1=5+5-22×5×5=4 5.]二、填空题6.已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有条.4[作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱有:GH、GF、BC、CD.共4条.]7.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD =4,EF⊥AB,则EF与CD所成角的度数为.30°[如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.由此可得GF∥AB,且GF=12AB=1,GE∥CD,且GE=12CD=2,∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.又∵EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF.因此,在Rt△EFG中,GF=1,GE=2,sin∠GEF=GFGE=12,可得∠GEF=30°,∴EF与CD所成角的度数为30°.]8.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.②③④[如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN垂直,故②③④正确.]三、解答题9.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.[证明](1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG =13BC ,CH =13DC , 所以GH ∥BD , 所以EF ∥GH ,所以E ,F ,G ,H 四点共面.(2)易知FH 与直线AC 不平行,但共面,所以设FH ∩AC =M , 所以M ∈平面EFHG ,M ∈平面ABC . 又因为平面EFHG ∩平面ABC =EG , 所以M ∈EG ,所以FH ,EG ,AC 共点.10.如图所示,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知∠BAC =π2,AB =2,AC =23,P A =2.求:(1)三棱锥P -ABC 的体积;(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值. [解] (1)S △ABC =12×2×23=23, 三棱锥P -ABC 的体积为V =13S △ABC ·P A =13×23×2=43 3.(2)如图,取PB 的中点E ,连接DE ,AE ,则ED ∥BC ,所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).在△ADE 中,DE =2,AE =2,AD =2,cos ∠ADE =22+22-22×2×2=34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2BB1,则AB1与BC1所成角的大小为()A.30°B.60°C.75°D.90°D[将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接C1D,BD,则C1D∥B1A,∠BC1D为所求角或其补角.设BB1=2,则BC=CD=2,∠BCD =120°,BD=23,又因为BC1=C1D=6,所以∠BC1D=90°.]2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱CC1,A1D1的中点,则异面直线A1B与MN所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°A[如图,取C1D1的中点P,连接PM,PN,CD1.因为M为棱CC1的中点,P为C1D1的中点,所以PM∥CD1,所以PM∥A1B,则∠PMN是异面直线A1B与MN所成角的平面角.设AB=2,在△PMN中,PM=PN=2,MN=6,则cos∠PMN=2+6-22×2×6=32,即∠PMN=30°.故选A.]3.如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题:①直线MN⊂平面PQR;②点K在直线MN上;③M,N,K,A四点共面.其中正确结论的序号为.①②③[由题意知,M∈PQ,N∈RQ,K∈RP,从而点M,N,K∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR,故①正确.同理可得点M,N,K∈平面BCD.从而点M,N,K在平面PQR与平面BCD的交线上,即点K在直线MN上,故②正确.因为A∉直线MN,从而点M,N,K,A四点共面,故③正确.]4.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.[解](1)由已知可求得正方形ABCD的面积S=4,所以四棱锥O-ABCD的体积V=13×4×2=83.(2)如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,又M为OA中点,∴ME∥OC,则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角,由已知可得DE=2,EM=3,MD=5,∵(2)2+(3)2=(5)2,即DE2+EM2=MD2,∴△DEM为直角三角形,且∠DEM=90°,∴tan∠EMD=DEEM=23=63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.5.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠F AB=90°,BC 12AD,BE12F A,G,H分别为F A,FD的中点.(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?[解](1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH 12AD.又BC 12AD,故GH BC.所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:由BE 12F A,G是F A的中点知,BE GF,所以EF BG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.1.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD =m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13A[根据平面与平面平行的性质,将m,n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角.设平面CB1D1∩平面ABCD=m1.∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为3 2.]2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15 B.56C.55 D.22C[如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F,由长方体性质可知,B1F∥AD1,所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DF,由题意,得DF=12+(1+1)2=5,FB1=12+(3)2=2,DB1=12+12+(3)2= 5.在△DFB1中,由余弦定理,得DF2=FB21+DB21-2FB1·DB1cos∠DB1F,即5=4+5-2×2×5×cos∠DB1F,∴cos∠DB1F=5 5.]11。
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题(本大题共12小题,共60分)1.(5分)设m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列命题:①若m⊥α,m⊥β,则α//β②若m//α,m//β,则α//β③若m//α,n//α,则m//n④若m⊥α.n⊥α,则m//n上述命题中,所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.(5分)直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,下列命题正确的是:A. l与l1,l2都不相交B. l与l1,l2都相交C. l至多与l1,l2中的一条相交D. l至少与l1,l2中的一条相交3.(5分)已知α、β是不同的平面,m、n是不同的直线,则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α,m//n,n⊂β,则α⊥βB. 若m//α,α∩β=n,,则m//nC. 若m//n,m⊥α,则n⊥αD. 若m⊥α,m⊥β,则α//β4.(5分)已知两条直线m、n,两个平面α、β,给出下面四个命题:①m//n,m⊥α⇒n⊥α①α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n①m//n,m//α⇒n//α①α//β,m//n,m⊥α,⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.(5分)已知α,β是两个不同的平面,下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m,m⊥α,m⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线m,n,m⊂α,n⊂β,m//β,n//α;④存在两条异面直线m,n,m⊂α,n⊂β,m//β,n//α.A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.(5分)棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.(5分)若α,β是两个不同的平面,m,n,l是三条不同的直线,则下列命题错误的是()A. 若m⊂α,l∩α=A,且A∉m,则l与m不共面B. 若m,l是异面直线,l//α,m//α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥αC. 若l⊂α,m⊂α,l∩m=A,l//β,m//β,则α//βD. 若l//α,m//β,α//β,则l//m8.(5分)已知平面α⊥平面β,α∩β=n,直线l⊂α,直线m⊂β,则下列说法正确的个数是()①若l⊥n,l⊥m,则l⊥β;②若l//n,则l//β;③若m⊥n,l⊥m,则m⊥α.A. 0B. 1C. 2D. 39.(5分)已知a,b为两条不同直线,α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α,b//α,则a与b共面B. 若a⊥α,α//β,则a⊥βC. 若a⊥α,α⊥β,则a//βD. 若α//b,β//b,则α//β10.(5分)若直线l平行于平面α,则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.(5分)在空间中,设l是一条直线,α,β是两个不同的平面.下列结论正确的是()A. 若l//α,l//β,则α//βB. 若l⊥α,l⊥β,则α//βC. 若l//α,α//β,则l//βD. 若l//α,α⊥β,则l⊥β12.(5分)直线l⊂平面α,直线m⊄平面α,命题p:“若直线m⊥α,则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题(本大题共5小题,共25分)13.(5分)设l,m,n是空间三条不同的直线,α,β是空间两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若l与m异面,m//n,则l与n异面;②若l//α,α//β,则l//β;③若α⊥β,l⊥α,m⊥β,则l⊥m;④若m//α,m//n,则n//α.其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.(5分)作直线a、b和平面α,则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组:“a//b”和“a⊥b”;B组:“a、b为异面直线”和“a⊥b”;C组:“a//α或a⊂α”和“a与α相交”.15.(5分)已知关于空间两条不同直线m,n,两个不同平面α,β,有下列四个命题:①若m//α且n//α,则m//n;②若m⊥β且m⊥n,则n//β;③若m⊥α且m//β,则α⊥β;④若n⊂α且m不垂直于α,则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______.16.(5分)若α、β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线.②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直.③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线.④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.17.(5分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为√3,那么P到平面ABC的距离为________.三、解答题(本大题共6小题,共72分)18.(12分)如图,四棱锥P−ABCD中,AD//BC,AB=BC=1AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC2与BE交于O点,G是线段OF上一点.(1)求证:AP//平面BEF;(2)求证:GH//平面PAD.19.(12分)用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.(12分)如图,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29,设这条最短路线与CC1的交点为N,求:(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.(12分)如图,正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系,并说明理由.22.(12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF。
空间中点线面的位置关系练习题1、下列有关平面的说法正确的是( )A 一个平面长是10cm ,宽是5cmB 一个平面厚为1厘米C 平面是无限延展的D 一个平面一定是平行四边形2、已知点A 和直线a 及平面α,则:①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A , ③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A , 其中说法正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33、下列图形不一定是平面图形的是( )A 三角形B 四边形C 圆D 梯形4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分( )A.4、6、7B.3、4、6、7C.4、6、7、8D.4、6、85、共点的三条直线可确定几个平面 ( )A.1B.2C.3D.1或36、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点,则,正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ∙ ∙ ∙7、三个平面两两相交,交线的条数可能有————————————————8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。
9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点,则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点,则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面,其中正确的有———————————10、空间两条互相平行的直线指的是( )A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( )A 异面直线B 相交直线C 不平行直线D 不相交直线12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与直线BD 异面且成600角的面对角线有( )条。
沪教版(上海)高中数学2019-2020 学年度高三数学一轮复习立体几何系列之空间直线与直线的位置关系②教学目标(1)从两个角度学习异面直线的概念:一、相交、平行、异面;二、共面、异面. 设置问题,进行问题教学,引导学生思考——探索——得出结论. 会判断、会画出空间内任意两条异面直线.(2)复习反证法,学习用反证法证明两条异面直线.(3)应用等角定理,确定异面直线所成角,利用直线平行计算异面直线所成角大小.知识梳理(一)异面直线1 、定义:把不能置于同一平面的两条直线,称为异面直线.2 、与平行直线、相交直线的区别:相交直线:在同一平面内,有且只有一个交点.平行直线:在同一平面内,没有公共点.异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.3、异面直线的画法:过渡:用两张图例说明,分别在两个平面内的直线,并不一定是异面直线4、异面直线的判定:不平行、不相交的直线5、空间直线的位置关系二)证明异面直线复习:反证法:假设否定的结论,从假设出发,引出矛盾——与条件矛盾,或者与已知的公理、定理矛盾 (三)异面直线所成角1、异面直线 a 与 b 所成的角:在空间内任取一点 P ,过 P 分别作 a 和 b 的平行线a '和b ',则 a '和b所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 .问题 1: 理论依据—等角定理 .问题 2:为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角? 答:因为两条相交直线交出四个角,只要知道其中一个,就可以知道其他所有的角,因此我们只研究其中 较简单的锐角或直角 .2 、异面 直线所成角范围 0,2四)问题拓展典例精讲A )空间不相交的两条直线1 、空间内两直线所成角范围0,2当空间两直线 l 1、l 2 所成角为直角时, l 1 l 2 当空间两直线 l 1、l 2 所成角为零角时,若 l 1 l 2,则 l 1 Pl 2若l 1 l 2,则 l 1 l 22、 异面垂直(1) 定义 : 如果两条异面直线所成的角是直角 , 则这两条异面直线互相垂直 [ 来源 : 学§科§网 Z § X § X § K] (2) 记法 : 异面直线 a,b 互相垂直 , 记为 a ⊥ b(3) 分类 :两直线垂直共面垂直(相交)异面垂直例 1. (★★★) 两条异面直线指的是( D )B)分别位于两个不同平面上的两条直线(C)某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线(D)不能同在一个平面上的直线【说明】:异面直线概念掌握例 2. (★★★)若a、b 是两条异面直线,且分别在平面、内,若l,则直线l 必定( B )A .分别与a、b 相交; B.至少与a、 b 之一相交;C. 与a、b 都不相交;D.至多与a、 b 之一相交.【说明】:异面直线的概念掌握例 3. (★★★)直线l 与平面相交于点A,直线m 在平面上,且不经过点A,求证:直线l 与m 是异面直线.说明】:学习用反证法证明异面直线例 4. (★★★)(1)正方体ABCD A1B1C1D1 中,哪些棱所在直线与直线BC1成异面直线?答案】:共有 6 条棱.2)如图所示,空间四边形ABCD 中,H、F 是AD边上的点,G、E 是BC边上的点【答案】:与AB 成异面直线的线段有:HG、EF、CD 与CD 成异面直线的线段有:AB、HG、EF 与EF 成异面直线的线段有:HG、AB、EF、CD 【说明】:在空间中能确定异面直线.例 5. (★★★)在长方体ABCD A1B1C1D1 中,AB 5,BC 4,CC1 3.(1)B1C和DD 1所成角大小.(2)BC和 A 1C1所成角大小;223) B 1C 和AD 1所成角大小答案】:(1)Q C 1C PD 1DB 1CC 1为异面直线 B 1C 和DD 1所成角, 4 在 RT VB 1C 1C 中, B 1C 1 BC4,C 1C 3, tan B 1CC 134B 1CC 1 arctan ,34 异面直线 B 1C 和DD 1 所成角大小为 arctan .1 1 32)Q BC PB 1C 1, A 1C 1B 1为异面直线 BC 和A 1C 1 所成角,在RTVB 1C 1C 中, A 1B 1 AB 5, B 1C 1 BC 4 , 5tan A 1C 1B 1,45 A 1C 1B 1 arctan , 45 异面直线 BC和A 1C 1 所成角大小为 arctan43)Q AD 1 PBC 1,设 B 1C 和 BC 1 相交于 O ,C 1OB 1为异面 直线 B 1C 和AD 1 所成角(或其补角)例 6. (★★★) 在空间四边形 ABCD 中,AB=CD=6,M 、N 分别是对角线 AC 、BD 的中点且 MN=5,求异面直 线AB 、 CD 所成角大小 .【答案】:取 AD 中点,11在 VABD 中, NEAB,NE P AB11在 VADC 中, ME CD,ME P CD22NEM 为异面直线 AB 、 CD 所成角(或其补角)在 VNEM 中, MN5,NE ME 3,利用余弦定理,77cos NEMNEMarccos1818异面直线 AB 和CD 所成角大小为 7 arccos 18说明】:在空间四边形中,求解异面直线所成角是一种典型问题在 VB 1OC 1 中, B 1C 1 4,B 1O 5 2 725利用余弦定理, cos B 1OC 1异面直线 B 1C 和A D 1 所成角大小为C 1OB 1OC 17 arccos257 arccos25课堂检测1.(★★★)如果 a,b 是异面直线, b,c 也是异面直线,则 a,c 的位置关系是( D) .A .异面; B. 相交或平行; C.异面或平行; D. 相交,平行,异面都有可能 .[ 来源: 学。
8-31.“点P在直线m上,m在平面α内”可表示为()A.P∈m,m∈αB.P∈m,m⊂αC.P⊂m,m∈αD.P⊂m,m⊂α【解析】点在直线上用“∈”,直线在平面上用“⊂”,故选B.【答案】B2.(2018·郑州联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面【解析】依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.【答案】D3.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线【解析】不论l∥α,l⊂α,还是l与α相交,α内都有直线m使得m⊥l.【答案】C4.在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上,也可能在BD上D.M既不在AC上,也不在BD上【解析】由于EF∩HG=M,且EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点,而这两个平面的交线为AC,所以点M一定在直线AC上,故选A.【答案】A5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,2) B.(0,3)C.(1,2) D.(1,3)【解析】 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a 的棱长一定大于0且小于 2.故选A.【答案】 A6.下列命题中,正确的是( )A .若a ,b 是两条直线,α,β是两个平面,且a ⊂α,b ⊂β,则a ,b 是异面直线B .若a ,b 是两条直线,且a ∥b ,则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C .若直线a 与平面α不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行D .若直线a ∥平面α,点P ∈α,则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条【解析】 对于A ,当α∥β,a ,b 分别为第三个平面γ与α,β的交线时,由面面平行的性质可知a ∥b ,故A 错误.对于B ,设a ,b 确定的平面为α,显然a ⊂α,故B 错误.对于C ,当a ⊂α时,直线a 与平面α内的无数条直线都平行,故C 错误.易知D 正确.故选D.【答案】 D7.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列结论错误的是( )A .A 1C 1∥平面ABCDB .AC 1⊥BDC .AC 1与CD 成45°角D .A 1C 1与B 1C 成60°角【解析】 由A 1C 1∥AC ,AC ⊂平面ABCD ,A 1C 1⊄平面ABCD ,知A 1C 1∥平面ABCD ,A 正确;由BD ⊥平面ACC 1A 1知BD ⊥AC 1,B 正确;由A 1D ∥B 1C 可知,∠DA 1C 1为A 1C 1与B 1C 所成的夹角,又因为△DA 1C 1为等边三角形,所以∠DA 1C 1=60°.故选C.【答案】 C8.(2018·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对.【解析】 如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A ′B ,BC ′,A ′D ,C ′D ,正方形的面对角线有12条,所以所求的“黄金异面直线对”共有12×42=24对(每一对被计算两次,所以要除以2).【答案】 249.(2018·福建六校联考)设a ,b ,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ; ②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c ;③若a 与b 相交,b 与c 相交,则a 与c 相交; ④若a ⊂平面α,b ⊂平面β,则a ,b 一定是异面直线. 上述命题中错误的是________.(写出所有错误命题的序号)【解析】 由公理4知①正确;当a ⊥b ,b ⊥c 时,a 与c 可以相交、平行或异面,故②错;当a 与b 相交,b 与c 相交时,a 与c 可以相交、平行,也可以异面,故③错;a ⊂α,b ⊂β,并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”,故④错.故填②③④.【答案】 ②③④10.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为________.【解析】 如图所示,取BC 中点D ,连接MN ,ND ,AD .∵M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点, ∴MN 綊12B 1C 1.又BD 綊12B 1C 1,∴MN 綊BD ,则四边形BDNM 为平行四边形,因此ND ∥BM , ∴∠AND 为异面直线BM 与AN 所成的角(或其补角). 设BC =2,则BM =ND =6,AN =5,AD =5, 在△ADN 中,由余弦定理得 cos ∠AND =ND 2+AN 2-AD 22ND ·AN =3010.故异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010.【答案】30 1011.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1,H,O三点共线.【证明】如图,连接BD,B1D1,则BD∩AC=O,∵BB1綊DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,则H∈平面BB1D1D,∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.即D1,H,O三点共线.12.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=2,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【解析】如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,E、F分别是AD、AC的中点,∴EF∥CD.∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt △EAB 中,AB =AC =1,AE =12AD =12,∴BE =52. 在Rt △EAF 中,AF =12AC =12,AE =12,∴EF =22. 在Rt △BAF 中,AB =1,AF =12,∴BF =52. 在等腰三角形EBF 中,cos ∠FEB =12EF BE =2452=1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。
空间点、直线、平面之间的位置关系A级——基础达标1.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:选D如图①,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,但OB与O1B1不平行,故排除A、B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,此时OB∥O1B1,故排除C,故选D.2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直线α和直线b可能平行或异面或相交,故选A.3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2BB1,则AB1与BC1所成角的大小为() A.30°B.60°C.75°D.90°解析:选D将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接C1D,BD(图略),则C1D∥B1A,∠BC1D为所求角或其补角.设BB1=2,则BC=CD=2,∠BCD=120°,BD=23,又因为BC1=C1D=6,所以∠BC1D=90°.4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面解析:选A连接A1C1,AC(图略),则A1C1∥AC,∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A1,∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A,M,O三点共线.5.(多选)如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则()A.GH=2EFB.GH≠2EFC.直线EF,GH是异面直线D.直线EF,GH是相交直线解析:选BD如图,取棱CC1的中点N,A1D1的中点M,连接EM,MH,HN,NG,FG,AC,A1C1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵MH∥A1C1∥AC∥FG,∴M,H,F,G四点共面,同理可得E,M,G,N四点共面,E,F,H,N四点共面,∴E,M,H,N,G,F六点共面,均在平面EFGNHM内,∵EF∥HN,HN∩HG=H,HN,HG,EF⊂平面EFGNHM,∴EF与GH是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得EF=HN=NG=FG =EM=MH,∴3EF=GH,即GH≠2EF.故选B、D.6.(多选)(2021·潍坊模拟)已知平面α∩平面β=直线l,点A,C∈平面α,点B,D∈平面β,且A,B,C,D∉l,点M,N分别是线段AB,CD的中点,则下列说法错误的是()A.当CD=2AB时,M,N不可能重合B.M,N可能重合,但此时直线AC与l不可能相交C.当直线AB,CD相交,且AC∥l时,BD可与l相交D.当直线AB,CD异面时,MN可能与l平行解析:选ACD A选项,当CD=2AB时,若A,B,C,D四点共面且AC∥BD时,则M,N两点能重合,可知A错误;B选项,若M,N重合,则AC∥BD,则AC∥平面β,故AC∥l,此时直线AC与直线l不可能相交,可知B正确;C选项,当AB与CD相交,且AC∥l时,直线BD与l平行,可知C错误;D选项,当AB与CD是异面直线时,MN 不可能与l平行,可知D错误.故选A、C、D.7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有条.解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.答案:58.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为侧棱PC,PB的中点,则EF与平面PAD的位置关系为,平面AEF与平面ABCD的交线是.解析:由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故EF∥平面PAD,因为EF∥AD,所以E,F,A,D四点共面,所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线.答案:平行AD9.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.解析:(1)∵四边形EFGH为菱形,∴EF=EH,∴AC=BD.(2)∵四边形EFGH为正方形,∴EF=EH且EF⊥EH,∵EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,∴AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,过点A,P,C1的平面截正方体所得的截面为M,则截面M的面积为.解析:如图,取A1D1,AD的中点分别为F,G.连接AF,AP,PC1,C1F,PG,D1G,AC1,PF.∵F为A1D1的中点,P为BC的中点,G为AD的中点,∴AF=FC1=AP=PC1=52,PG綊CD,AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1,∴PG綊C1D1,∴四边形C1D1GP为平行四边形,∴PC1綊D1G,∴PC1綊AF,∴A,P,C1,F四点共面,∴四边形APC1F为菱形.∵AC1=3,PF=2,过点A,P,C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F,∴截面M的面积S=12AC1·PF=12×3×2=62.答案:6 211.如图,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R,求证:P,Q,R三点共线.证明:∵AB∩α=P,CD∩α=P,∴AB∩CD=P.∴AB,CD可确定一个平面,设为β.∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β.∴AC⊂β,BD⊂β,平面α,β相交.∵AB∩α=P,AC∩α=Q,BD∩α=R,∴P,Q,R三点都是平面α与平面β的公共点.∴点P,Q,R都在平面α与平面β的交线上,故P,Q,R三点共线.12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,求证:(1)EF綊E1F1;(2)∠EA1F=∠F1CE1.证明:(1)如图,连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF綊12BD.同理可证E1F1綊12B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1綊DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,则BD綊B1D1.所以EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,则MF1綊B1C1,又B1C1綊BC,所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形,所以BM∥CF1.因为A1M=12A1B1,BE=12AB,且A1B1綊AB,所以A1M綊BE,所以四边形BMA1E为平行四边形,所以BM∥A1E,所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠F1CE1.B级——综合应用13.(多选)(2021·海南模拟)关于正方体ABCD-A1B1C1D1有如下四个说法,其中正确的是()A .若点P 在直线BC 1上运动,则三棱锥A -D 1PC 的体积不变B .若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点,则P 点的轨迹是直线A 1D 1 C .若点P 在线段BC 1(含端点)上运动,则直线AP 与DC 所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0,π3 D .若点P 在线段BC 1(含端点)上运动,则直线AP 与D 1C 所成的角一定是锐角解析:选AB 对于A ,由BC 1∥AD 1,可得BC 1∥平面AD 1C , 则点P 到平面AD 1C 的距离不变, 由△AD 1C 的面积为定值,可知点P 在直线BC 1上运动时,三棱锥A -D 1PC 的体积不变,故A 正确; 对于B ,若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点, 则P 点的轨迹是平面A 1BCD 1与平面A 1B 1C 1D 1的交线A 1D 1,故B 正确;对于C ,直线AP 与DC 所成角即为∠PAB ,当P 与C 1重合时,∠PAB 最大,且tan ∠PAB =2,所以∠PAB <π3,故C 错误;对于D ,当P 与C 1重合时,AP 与D 1C 所成的角为π2,故D 错误.所以其中说法正确的是A 、B.14.如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,则PN 与MC 之间的位置关系是 .解析:法一:∵PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 是AB 的中点,∴点N 与点M 不重合.∵N ∈平面ABC ,P ∉平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,N ∉CM ,∴由异面直线的判定方法可知,直线PN 与MC 为异面直线.法二(反证法):假设PN 与MC 不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN ⊂α,MC ⊂α,于是P ∈α,C ∈α,N ∈α,M ∈α.∵PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 是AB 的中点, ∴点M 与点N 不重合.∵M ∈α,N ∈α,∴直线MN ⊂α,∵A ∈MN ,B ∈MN ,∴A ∈α,B ∈α,即A ,B ,C ,P 四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立.故PN与MC为异面直线.答案:异面直线15.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m.CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD.试证明:EG=FH.解:(1)证明:因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E,F,G,H四点共面.(2)当EH∥FG,且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.因为EHBD =AEAE+EB=mm+1,所以EH=mm+1BD.同理可得FG=nn+1BD.由EH=FG,得m=n.故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.(3)证明:当m=n时,AE∶EB=CF∶FB.所以EF∥AC.又EH∥BD,所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角),因为AC⊥BD,所以∠FEH=90°.从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.C级——迁移创新16.如图,AB,CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径,过CD和母线VB的中点E作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π,求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小,并说明截线是什么曲线.解:如图,设⊙O 的半径为R ,母线VB =l ,则圆锥侧面展开图的中心角为2πR l =2π,∴R l =22,∴sin ∠BVO =22, ∴圆锥的母线与轴的夹角α=∠BVO =π4.连接OE ,∵O ,E 分别是AB ,VB 的中点, ∴OE ∥VA .∴∠VOE =∠AVO =∠BVO =π4,∴∠VEO =π2,即VE ⊥OE .又∵AB ⊥CD ,VO ⊥CD ,AB ∩VO =O , ∴CD ⊥平面VAB . ∵VE ⊂平面VAB , ∴VE ⊥CD .又∵OE ∩CD =O ,OE ,CD ⊂平面CDE , ∴VE ⊥平面CDE .∴∠VOE 是截面与轴线的夹角, ∴截面的轴线夹角大小为π4.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等,知截面CDE 与圆锥面的截线为一抛物线.。
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系组基础关1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M答案 D解析因为M∈AB⊂平面ABC,C∈平面ABC.M∈l⊂β,C∈β,所以γ∩β=直线CM.2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.3.(2019·华南师大附中模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段BC上的动点,F是线段CD1上的动点,且E,F不重合,则直线AB1与直线EF的位置关系是()A.相交且垂直B.共面C.平行D.异面且垂直答案 D解析如图所示,AB1⊥平面BCD1,EF⊂平面BCD1,故AB1⊥EF且AB1与EF异面.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点,如图所示,所以D正确.5.下列各图是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是()答案 D解析①在A中易证PS∥QR,∴P,Q,R,S四点共面.②在C中易证PQ ∥SR,∴P,Q,R,S四点共面.③在D中,∵QR⊂平面ABC,PS∩平面ABC=P且P QR,∴直线PS与QR为异面直线.∴P,Q,R,S四点不共面.④在B 中P,Q,R,S四点共面,证明如下:取BC中点N,可证PS,NR交于直线B1C1上一点,∴P,N,R,S四点共面,设为α,可证PS∥QN,∴P,Q,N,S四点共面,设为β.∵α,β都经过P,N,S三点,∴α与β重合,∴P,Q,R,S四点共面.故选D.6.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处,若M为线段A′C的中点,则异面直线BM 与P A′所成角的正切值为()A.12B.2 C.14D.4答案 A解析 取A ′D 的中点N ,连接PN ,MN (如图),由于M 是A ′C 的中点,故MN ∥CD ∥PB ,且MN =PB ,故四边形PBMN 为平行四边形,故MB ∥PN ,在Rt △A ′DP 中,tan ∠A ′PN =A ′N A ′P =12,即异面直线BM 与P A ′所成角的正切值为12.7.如图,已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形,C 是圆柱下底面弧AB ︵的中点,C 1是圆柱上底面弧A 1B 1︵的中点,那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________.答案2解析 如图,取圆柱下底面AB ︵的另一中点D ,连接C 1D ,AD ,因为C 是圆柱下底面AB ︵的中点,所以AD ∥BC ,所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角,因为C 1是圆柱上底面A 1B 1︵的中点,所以C 1D 垂直于圆柱下底面,所以C 1D ⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=2AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为2,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面直线的对数为________.答案 3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB 与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面直线的有3对.9.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB的中点为M,DD′的中点为N,则异面直线B′M与CN所成的角是________.答案90°解析取AA′的中点Q,连接QN,BQ,设BQ与B′M相交于点H,则QN AD BC,从而有四边形NQBC为平行四边形,所以NC∥QB,则有∠B′HB 或其补角为异面直线B′M与CN所成的角.又因为B′B=BA,∠B′BM=∠BAQ=90°,BM=AQ,所以△B′BM≌△BAQ,所以∠MB′B=∠QBM.而∠B′MB+∠MB′B=90°,从而∠B′MB+∠QBM=90°,所以∠MHB=90°,所以∠B′HB=90°,即异面直线B′M与CN所成的角是90°.10. (2020·广州模拟)如图,圆柱O1O2的底面圆半径为1,AB是一条母线,BD 是⊙O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,若A,C两点间的距离为7,则圆柱O1O2的高为________,异面直线AC与BD所成角的余弦值为________.答案23714解析连接CD,则∠BCD=90°,因为圆柱O1O2的底面圆半径为1,所以BD =2.因为∠CBD=30°,所以CD=1,BC=3,易知AB⊥BC,所以AC=AB2+BC2=7,所以AB=2,故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长,设AO2的延长线与下底面圆周交于点E,连接CE,则AE=2,∠CAE即异面直线AC与BD所成的角.又CE=DE2+CD2=5,所以cos∠CAE=AC2+AE2-CE22AC·AE=7+4-52×7×2=3714.组能力关1.(2019·湖北重点中学联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,O 为底面矩形ABCD两条对角线的交点,若异面直线A1O与BC所成的角为60°,则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为()A.4 2 B.4 3 C.8 2 D.8 3答案 A解析如图,取AB的中点E,连接OE,则有OE∥BC,且OE=12BC=1,所以∠A1OE即为异面直线A1O与BC所成的角,所以∠A1OE=60°.在直角三角形A1OE中,A1E=OE·tan60°=3,故在直角三角形A1AE中,A1A=A1E2-AE2=(3)2-1=2,所以长方体的体积为V=S正方形ABCD·AA1=2×2×2=4 2.2.(2019·蓉城名校联考)如图,在底面边长为R的正六棱锥A-CDEFGH中,以其高AB为直径的球面分别与AC,AD交于M,N两点,若球的半径也为R,那么BM,BN夹角的余弦值为()A.45 B.35C.1825 D.1725答案 B解析如图所示,在Rt△ABD中,BD=R,AB=2R,△ABD∽△BND∽△ANB,所以DNNB =NBAN=BDAB=12,所以DNAN=14,ANAD=45,同理,可证AMAC=45,在△ACD中,ANAD=AMAC=45,所以MN∥CD,所以MNCD=45,所以MN=45R,在△BMN中,BM=BN=2R5,MN=45R,由余弦定理得cos∠MBN =4R25+4R25-⎝⎛⎭⎪⎫45R22·4R25=35.3.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.答案78解析如图所示,连接ND,取ND的中点E,连接ME,CE,则ME∥AN,则异面直线AN,CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN=1,AN=22,∴ME= 2.又CM=22,DN=22,NE=2,∴CE=3,则cos∠EMC=CM2+ME2-CE22CM·ME=8+2-32×22×2=78.4.(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________.答案②③④解析还原成正四面体A-DEF,如图所示,其中H与N重合,A,B,C三点重合.易知GH与EF异面,BD与MN异面.又△GMH为等边三角形,∴GH与MN成60°角,易证DE⊥AF,MN∥AF,∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.组素养关1.(2019·广西桂林中学高三模拟)(多选)如图,在直二面角A-BD-C中,△ABD,△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD的中点E,将△ABE沿BE翻折到△A1BE,在△ABE的翻折过程中,下列可能成立的是()A.BC与平面A1BE内某直线平行B.CD∥平面A1BEC.BC与平面A1BE内某直线垂直D.BC⊥A1B答案 ABC解析 连接CE ,当平面A 1BE 与平面BCE 重合时,BC ⊂平面A 1BE ,所以平面A 1BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线,故A ,C 可能成立;在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ,使得BF =CD ,连接EF ,则当平面A 1BE 与平面BEF 重合时,BF ⊂平面A 1BE ,故平面A 1BE 内存在与BF 平行的直线,即平面A 1BE 内存在与CD 平行的直线,所以CD ∥平面A 1BE ,故B 可能成立.若BC ⊥A 1B ,又A 1B ⊥A 1E ,则A 1B 为直线A 1E 和BC 的公垂线,所以A 1B <CE ,设A 1B =1,则经计算可得CE =32,与A 1B <CE 矛盾,故D 不可能成立.故选ABC.2.(2019·陕西西安交大附中高三模拟)如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动,点N 在正方体的底面ABCD 内运动,则MN 的中点P 的轨迹的面积是________.答案 π2解析 连接DN ,则△MDN 为直角三角形,在Rt △MDN 中,MN =2,P 为MN 的中点,连接DP ,则DP =1,所以点P 在以D 为球心,半径R =1的球面上,又因为点P 只能落在正方体上或其内部,所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18,故所求面积S =18×4πR 2=π2.3.(2019·江西南昌二中高三模拟)如图所示,AC 是圆O 的直径,B ,D 是圆O 上两点,AC =2BC =2CD =2,P A ⊥圆O 所在的平面,P A =3,点M 在线段BP 上,且BM =13BP .(1)求证:CM∥平面P AD;(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值.解(1)证明:如图,作ME⊥AB于点E,连接CE,则ME∥AP.因为AC是圆O的直径,AC=2BC=2CD=2,所以AD⊥DC,AB⊥BC,所以∠BAC=∠CAD=30°,∠BCA=∠DCA=60°,AB=AD=3,因为BM=13BP,所以BE=13BA=33,tan∠BCE=BEBC=33,所以∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD,所以EC∥AD.又ME∩CE=E,P A∩DA=A,所以平面MEC∥平面P AD,又CM⊂平面MEC,CM⊄平面P AD,所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于点G,作BF ∥CG 交AG 于点F ,连接PF ,则∠PBF 或其补角为异面直线BP 与CD 所成的角,设∠PBF =θ.易知AF =1,BP =6,BF =2,PF =2,故cos θ=BP 2+BF 2-PF 22BP ·BF =6+4-426×2=64.即异面直线BP 与CD 所成角的余弦值为64.。
空间直线与平面的位置关系
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ABCD平行的棱有条。
2.在四面体ABCD中,M、N分别是△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是
3.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与此平面构成一个“正交线面对”。
在一个正方体中,由两顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
4.若一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平两内任一条直线的位置关系为
5.在四面体ABCD中,是直角三角形的面至多有个。
6.已知点A和点B到平面α的距离分别为4cm和6cm,则线段的中点M到平面α的距离是
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E1为B1C1的中点,则点B到A1E1的距离为_
8.已知正三角形ABC的边长为a,若沿高AD把△ABC折起,使得△BDC=90°,则点B到AC的距离为
9. 如图,在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是棱C 1C ,C 1D 1,D 1D ,DC 的中点,点M 在四边形及其内部运动,N 是BC 的中点,
则点M 只需满足条件 时,就有MN//平面B 1BDD 1(填上一个正确答案即可)
10. 已知正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的正投影为底面中心)的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于________
11. 下列说法正确的是 (填序号) △ 垂直于同一条直线的两直线平行; △ 垂直于同一条直线的两直线垂直; △ 垂直于同一个平面的两直线平行; △ 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
12. 如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角的大小是
1
A
A 1
13. b a ,是两条异面直线,P 是空间一点,过P 作平面与b a ,都平行,这样的平面( ) A. 只有一个
B. 至多有两个
C. 至多有一个
D. 有无数个
14. 下列命题正确的是( )
A. 一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内任意一条直线平行
B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 与两相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个相交平面
D. 平面外的两条平行直线中的一条与这个平面平行,则另一条也与此平面平行
15. 平面α的斜线l 与α所成的角是30°,则l 和α内所有不过斜足的直线所成的角中,最大的角是( ) A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 150°
16. 已知矩形ABCD ,AB=1,BC=2,将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在直线进行翻折,在翻折过程中…( ) A. 存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B. 存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C. 存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直
D. 对任意位置,三对直线“AC 与BD”,“AB 与CD”,“AD 与BC”均不垂直
17、如图,两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,FB N AC M ∈∈,,且AM=FN , 求证:MN//平面BCE
18、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD=a ,AB=a 2,E 为C 1D 1的中点, 求证:DE△平面BCE
19、如图,已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA△平面ABCD ,E 、F 分别是AB 、PC 的中点 (1)求证:EF//平面PAD ; (2)求证:EF△CD ;
(3)若△PDA=45°,求EF 与AP 所成角的大小
1
A
20、如图,已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点,且PA△平面ABCD ,Q 为AP 的中点,AB=3、BC=4、PA=2;求:
(1)点Q 到直线BD 的距离; (2)点P 到平面BQD 的距离
21、空间四边形ABCD 的对棱AD ,BC 成60°,且AD=BC=a ,平行于AD 和BC 面的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H
(1)求证:四边形EFGH 为平行四边形;
(2)E 在AB 的何处时截面面积最大?最大面积是多少?
D
B
【拓展迁移】
1.如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的,A、A'、B、B'分别是弧CD、弧C'D'、弧DE、弧D'E'的中点,O1、O1'、O2、O2'分别为CD、C'D'、DE、D'E'
(1)证明:O1'、A'、O2、B四点共面;
(2)设G为AA'中点,延长A'O1'到H',使得O1'H'=A'O1',证明:BO2'△平面H'B'G'
2.如图所示,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC△平面ABCD,且GC=2,求点B 到平面EFG的距离。