初二数学勾股定理全章复习与巩固

专题一勾股定理【知识网络】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF＝45°，求证：222AE BF EF +=.解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF＝EF′．在Rt△AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴222AE BF EF +=．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：222BD AB BC =+.解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A 转至点C．点B 转至点E，连结BE．∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE 为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴222BC AB BD +=2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+PB 2=BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M 是△ABC 内部任意一点，于G ，于K ，于，BD=BE ，CE=CF ，求证：AD=AF ．图１图２(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM∵AB ⊥DM ∴○1∵∴○2∵∴○3把○1○2○3三式相加，得222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴△GAB ≌△HCG∴∠GAB=∠H ，AB=CH又∵AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴△ABG ≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴又544a HF CH CF a a =+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC 的底边BC=20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD=16cm ，BD=12cm ，求△ABC 的周长.解：∵BC=20cm ，CD=16cm ，BD=12cm ，∴BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD ，在Rt △ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD)2=AD 2+162，解得AD=143，故△ABC 的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A 关于直线CD 对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴GB＝1000，即最短路程为1000米．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离EP＋BP 也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=．∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【巩固练习】一.选择题1.在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C；【解析】连接AC，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC 中，∠C＝∠A 一∠B，则△ABC 为直角三角形．B．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形．C．在△ABC 中，若35a c =，45b c =，则△ABC 为直角三角形．D．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．【答案】D；【解析】D 选项222224+≠，故不是直角三角形.4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ．2900mB ．1200mC ．1300mD ．1700m 【答案】C；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（）A．ab =h 2B．a 2+b 2=h 2C．111a b h+=D．222111a b h +=【答案】D；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于()A.25B.325C.2197D.405【答案】B；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+【答案】B；【解析】()()22141m m m -+=+.8.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）A.90B.100C.110D.121【答案】C；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．二.填空题9.如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．【答案】6；【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．【答案】3；【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．【答案】14或4；【解析】当△ABC是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC是钝角三角形时，BC＝9－5＝4. 12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP 的最小值是cm．【答案】5【解析】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP的最小值5.13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC，∴AC=4cm，PC=34BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5.14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE=米时，有DC 2=AE 2+BC 2．【解析】连接CD ，假设AE=x ，可得EC=8﹣x ．∵DE=1，∴DC 2=DE 2+EC 2=1+（8﹣x ）2，AE 2+BC 2=x 2+16，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴1+（8﹣x ）2=x 2+16，x =4916.15.已知长方形OABC，点A、C 的坐标分别为OA=10，OC=4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．【答案】3，2，8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16.如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.【答案】90°；【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴CM＝AB＝5AM＝2AD＝12在△ACM 中22251213+=即222CM AM AC +=∴∠AMC＝∠BAD=90°三.解答题17.如图所示，已知D、E、F 分别是△ABC 中BC、AB、AC 边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BD CD =，求：△ABC 的面积．【解析】解：∵32BD CD =，设BD＝3x ，则CD＝2x ，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，即AF＝3－2x ，AE＝4－3x ，∴3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴BC＝3x ＋2x ＝5又∵222345+=，即222AC AB BC +=∴△ABC 是直角三角形，∠A＝90°．∴1143622ABC S AB AC ==⨯⨯= △18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵BC=8cm ，∴BD=CD=BC=4cm ，∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ，∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ，∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19.有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ,①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，且与AB 重合,则CD ＝_________.图1图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，使点C 落在AB 中点H 上，点M、N 分别在AC、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.解：①3；②2AM ＋2BN ＝2MN证明：过点B 作BP∥AC 交MH 延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH 在△AMH 和△BPH 中∠A＝∠PBHAH＝BH ∠AHM＝∠BHP ∴△AMH≌△BPH ∴AM＝BP，MH＝PH 又∵NH⊥MP ∴MN＝NP∵BP∥AC，∠C＝90︒∴∠NBP＝90︒∴222NP BNBP =+∴2AM ＋2BN ＝2MN20.如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm ，CD＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．解：（1）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，∴在图2中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，∴在图3中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．在△ACD 中，∠C＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD＝39．【课后练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m【答案】C；2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为()A.15B.16C.17D.18【答案】C；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min ，小红用15min到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（）A.600mB.800mC.1000mD.不能确定【答案】C；【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m .4.如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6B．12C．24D．30【答案】A；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5．下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三边满足关系a b c +=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，41【答案】D；6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要()A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元【答案】C；【解析】作高，求得高为15m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【答案】A；【解析】AC 2＝13，AB 2＝52，BC 2＝65，满足勾股定理.8.已知，如图长方形ABCD 中，AB＝3cm ，AD＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmB.42cmC.62cmD.122cm【答案】C；【解析】设AE＝x ，则DE＝BE＝9－x ，在Rt△ABE 中，.二.填空题9.根据下图中的数据，确定A=，B=，x=．【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．【答案】8；11．如图，B，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．【答案】30；12．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132.13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是162cm ，则其中最大的正方形的边长为______cm ．【答案】4；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.14．如图，平面上A、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C 处有食物，已知点C 在A 的东南方向，在B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B 两地出发爬向C 处，速度都是30cm ／min.结果甲蚂蚁用了2min，乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm .【解析】依题知AC＝60cm ，BC＝80cm ，∴AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ．15.小明要把一根长为70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm 的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．16．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．【答案】81；三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得：()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为：21346962x x x ⨯⨯==.18．如图，两个村庄A、B 在河CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．解：作A 点关于CD 的对称点A′，连结A′B，与CD 交点为O．222223(13)255A B A E BE A B ''=+=++='=所以铺设水管的总费用W 为20000×5＝100000＝10万元.19．如图，△ABC 中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB 到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD 的长．解：设BD＝x ，则CD＝30－x ．在Rt△ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5．所以BD＝5.20.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为CD 边上的点，C B '＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD，BC 边交于点M，N．求BN 的长.解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．∵正方形ABCD ，∴o 90C ∠=．∴222CN B C B N ''+=．∵C B '＝3∴222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN =.21.综合与实践21。

勾股定理单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标：1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．重点：勾股定理及其逆定理的应用难点：勾股定理及其逆定理的应用三、知识要点梳理知识点一、勾股定理及其逆定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2=c2）2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

知识点二、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系。

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点三、如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形。

（若c2＞a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2＜a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形）四、规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是前面接触过的利用图形面积与代数恒等式的关系转化证明的。

大家注意总结体会。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁是直角边，这是这个定理在应用过程中易犯的主要错误。

4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．。

勾股定理复习巩固教案教学目标：1 了解勾股定理的定义、作用，能够验证勾股定理2 学会勾股定理的逆定理，证明直角三角形3 通过勾股定理，解直角三角形知识点：一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的验证（目前世界上有367种证明方法）：我们还回忆一下课本上的一种：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133.勾股定理的逆定理：：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′．在Rt △AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC +AC •CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36．【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴ 又544a HF CH CF a a =+=+= ∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD ，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD ，再证明另一个角也等于∠EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三：【变式】（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 直角三角形2． 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．（2015春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．三内角之比为1：2：3B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为3：4：5D ．三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m5． 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h +=D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A ．25B ．325C ．2197D ．4057． 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A ．()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B ．()()222221,4,1a m b m c m =-==+C ．()()222221,2,1a m b m c m =-==+D ．()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48二．填空题9．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．（2014春•监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．（2016春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．三．解答题17．（2016春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉20．如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=， 222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2．【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．3．【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．故选D ．4．【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5．【答案】D ； 【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：ab c h =．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2= 222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325．7．【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+．8．【答案】C ；【解析】解：如图1，S 1=AC 2，S 2=AB 2，S 3=BC 2， ∵BC 2=AB 2﹣AC 2，∴S 2﹣S 1=S 3，如图2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45﹣16+11+14=54．故选C ．二．填空题9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形．10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．11．【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4．12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5．13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5．14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15．【答案】96；【解析】连接AC ，在Rt △ACD 中，AD=8，CD=6，∴AC 2=100，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=102+242=262=AB 2，∴△ABC 为直角三角形； ∴图形面积为：S △ABC ﹣S △ACD =×10×24﹣×6×8=96．16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三．解答题17．【解析】 解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a 2+b 2=c 2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18．【解析】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，∴AD=3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2．25，∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．19．【解析】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．20．【解析】解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ， ∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9．在△ACD 中，∠C ＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得 x ＝30．即 BC ＝30．∴ AD ＝39．。

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．。

《勾股定理》全章复习与巩固 要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．222BD AB BC =+类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。

第一章 勾股定理1、1-25的平方：12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441222=484232=529242=576252=6252、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a ，b 和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2 + b 2 = c 2．几何语言：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 c 2=a 2 + b 2 或a 2=c 2-b 2 或b 2=c 2-a 23、A 、B 、C 三个正方形的面积之间的关系：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.即A 的面积+B 的面积=C 的面积4、用面积求高:直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积.即AC×BC=AB×CD5、 直角三角形：a 2+b 2=c 2锐角三角形：a 2+b 2˃c 2 钝角三角形：a 2+b 2˂c 26、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.其中a,b 是较小两边，c 是最长边.几何语言：在 △ABC 中， ∵a 2+b 2=c 2∴△ABC 是直角三角形 ∴∠C=90°ABCC B A7、勾股数：满足a．．．,称为勾股数.．2．+b．．2．=c．．2．的三个正整数判断勾股数的方法：（1）必须是三个正整数.（2）必须满足较小两个数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数有：（选择填空可以用，大题不能用）3 4 5 5 12 13 7 24 258 15 17 9 40 41 及其倍数。

勾股定理复习与巩固【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点进阶：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点进阶：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B 点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 直角三角形2． 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．三内角之比为1：2：3B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为3：4：5D ．三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m5． 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h +=D ．222111a b h+=6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A ．25B ．325C ．2197D ．4057． 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）A ．()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B ．()()222221,4,1a m b m c m =-==+C ．()()222221,2,1a m b m c m =-==+D ．()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48二．填空题9．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．三．解答题17．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．20．如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．。

勾股定理单元复习与巩固撰稿：徐长明责编：康红梅知识网络目标认知学习目标：1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．重点：勾股定理及其逆定理的应用难点：勾股定理及其逆定理的应用知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题（3）求做长度为的线段知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2＞a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁是直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．。

勾股定理复习巩固教案教学目标：1 了解勾股定理的定义、作用，能够验证勾股定理2 学会勾股定理的逆定理，证明直角三角形3 通过勾股定理，解直角三角形知识点：一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段典型例题精讲:例1：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。

勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：角的直角三角形，反之，则不是直角三角形3.勾股数2 2 2满足不定方程X +y =z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） 显然，以X 、y 、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边c 的平方.（即：a 2+b 2=c 2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系, 应用是：（1） （2） 是直角三角形的重要性质之一，其主要已知直角三角形的两边，求第三边； 利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题; （3）求作长度为乔的线段. 要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理： 这样的两个命题叫做互逆如果三角形的三边长 a、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤:（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若2 2 2a +b =c ,则^ ABC 是以/ C 为直常见的勾股数：①3、4、5;②5、12、13;③ 8、15、17 :④ 7、24、25;⑤9、40、41.如果（a、b c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b c,且acbcc，那么存在a =b + c成立.（例如④中存在72= 24+ 25、92= 40+ 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长.【答案与解析】解：设第三边为X .当X为斜边时，由勾股定理得X2=62+82.所以X =屁2 +82 = J36 + 64 =7100 =10 .当X为直角边时，由勾股定理，得X2+62=82.所以X =\/82 -62 = J64-36 =>/28 = 2>/7 .所以这个三角形的第三边为10或2 J7 .【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边.举一反三：【变式】在^ ABC中，AB= 15, AC= 13，高AD= 12 .求△ ABC的周长.【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ ACD中,由勾股定理，得BD2=AB2—AD2=152—122=81 .BD =陌=9 .同理CD2= AC2-AD2=132-122=25 .求证：AM 2 +BM 2=2CM= AD 2-2AD ”DM + DM 2+AD 2+2AD ”DM + DM 22 2= 2(AD 2+DM 2)【总结升华】 欲证明线段平方关系问题， 首先联想勾股定理， 从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证. 举一反三：【变式】已知，△ ABC 中, AB= AC, D 为BC 上任一点，求证： AB^AD^ BD CD .CD =725 =5BC= BA CD= 9 — 5 = 4.AB + BC + CA= 15+ 4 + 13= 32 . BC= BD+ CD= 9 + 5 = 14. AB + BC + CA= 15+ 14 + 13= 42.2、如图所示，△ ABC 中，/ ACB= 90°,AC = CB M 为 AB 上一点.【思路点拨】欲证的等式中出现了 作CDIAB.【答案与解析】证明：过点C 作CDL AB 于D.•/ AC = BC, CDL AB, ••• AD = BD.AM 、B M、CM,自然想到了用勾股定理证明，因此需要/ ACB= 90°,CD = AD= DBAM 2+BM 2= (AD-DM y +(AD + DM }= 2(CD 2+DM2)在 Rt △ CDM 中,2 2 2CD +DM =CM ,2•- AM 2+BM2 22=2CM 2.••• AE = 12,在 Rt △ ADE 中，设 DE = x ，贝y AD 2 = AE 2 +DE 2 =144+x 2 ,【答案】解：如图，作 AMI BC 于 M •/ AB = AC, • BM= CM, 则在Rt △ ABM 中:AB 2= AM 2+BM 2……①在 Rt △ ADM 中:AD 2=AM 2+DM 2由①一②得： AB 2 -AD 2 = BM2-DM 2=(BM +DM JfBM -DM )=(MO DM?BD= CD- BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中, AB = AC = 20,求BD 的长.BG= 32, D 是BC 上的一点，且ADI AC,【思路点拨】 由于BD 所在的△ ABD 不是直角三角形， 是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定 以从Rt △ ABE 与 Rt △ ADE Rt △ ADC 中，运用勾股定理可求得 长.【答案与解析】 解：过点 A 作AEI BC 于 E.•/ AB = AC,1 1 BE = EC = — BC= — X 32 = 1622在 Rt △ ABE 中，AB= 20, BE = 16,ACD 尽管CD 的长.过点A 作AEI BC 于 E ,这时可AE DE 的长，从而求出 BD 的不易直接求出BD 的长，且△ 2 2 2 2 2AE =AB -BE =20 -16 =144 ,•/ AD 丄 AC,2 2 2 2 2 2AD +AC =CD ，而 144+X +20 =(16+x).解得：x = 9.••• BD = BE — DE= 16-9= 7.【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边, 的边长时应该联想到勾股定理. 举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，/ B = 22.5 ° , AB 的垂直平分线交AEL BC 于E ,求AE 的长.S 、5、S 3表示，那么S i 、82、S 3之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 、S^、S 3表示，请你确定 S i 、S 2、S 3之间的关系并加以证明.所以求直角三角形BC 于 D, BD= 6j 2 ,【答案】 解：连接AD•/ DF 是线段AB 的垂直平分线,AD = BD= 6罷,•••/ BAD=/ B = 22.5又•••/ ADE=/ B +/ BAD= 45°, AEL BC,/ DAE= 45°,. AE = DE 由勾股定理得： AE2+DE 2=AD 2,2A E 2 =(6^2)2A E =军=604、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 、S 3表示，则不难证明 S =S2+S 3.(1)女口图②，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用C【答案与解析】(1) S=S2+S 3 ；解：由 a 2 +b 2 +c 2 +50 =6a +8b +10C ，得:2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25 = 02 2 2•- (a —3) + (b-4) +(C —5) =02 2 2••• (a—3) >0,(b —4) >0,(c —5) >0 ••• a =3, b =4, c =5.-2丄，2L 2••• 3+4 =5 , •- a 2+b 2=c 2.由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 用到.①②解：设Rt △ ABC 的三边BC CA AB 的长分别为a 、b 、 2 2 2c ，贝y a +b =c .(2)3=52 +S 3.证明如下:显然，Si =c?4，52 孚，S3申，所以心孚2+b2)<4 g -,在证明中经常要5类型三、勾股定理的实际应用V* 6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B 处的最短路线长为多少？BSeraA — 3cm①【思路点拨】 将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行， 且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况. 【答案与解析】 解：如图②③所示.因为130> 100,所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为10 cm .【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图， 把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线， 举一反三： 【高清课堂 【变式】如图，因为两点之间线段最短, 所以最短的爬行路程就是线段 AB 的长度.在图②中，由勾股定理,得 AB 2 =32 +112 =130 . 在图③中，由勾股定理,得 AB 2 =62 +82 =100 .勾股定理全章复习例10】有一个圆柱体，它的高为 20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_____ .（ n 取 3）再运用勾股定理求解. A【答案】25;提示：蚂蚁爬的最短路线长J202+（5；1）2止25.。

勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（•丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．【答案与解析】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长 【高清课堂 勾股定理 例3】3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D ； 【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ， ∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ， EC ＝BC －BE ＝8－3＝5， 在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．11D ．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积． 【答案】D 【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB=∠DEC ， 在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ∴BC=DE∵222AB BC AC += ∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ． 【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 举一反三： 【变式】（ •东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13， AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31， ∴S=BC 2=31， 故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，22222=16+12=400BD DC BC =+，所以20BD = (cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖． 【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长． 举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．勾股定理（基础）【巩固练习】 一．选择题1．在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，BC ＝15，则△ABC 的面积等于（ ）A ．108B ．90C ．180D ．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．12米 B ．10米 C ．8米 D ．6米 4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．（•深圳模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（）A．25 B．15 C．20 D．30二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12.（•延庆县一模）学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：，你的理由是．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.（春•滨州月考）如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．【答案与解析】一．选择题 1．【答案】D ；【解析】△ABC 为直角三角形，面积＝1129542⨯⨯=． 2．【答案】B ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边． 3．【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米．4．【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋． 5．【答案】B ；【解析】AD ＝8，2222210836BD AB AD =-=-=,∴BD=6． 6．【答案】A.【解析】解：过点A 作AD⊥BC 于D ，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，根据勾股定理得：PA 2=PD 2+AD 2，AD 2+BD 2=AB 2，∴AP 2+PB•PC=AP 2+（BD+PD ）（CD ﹣PD ）=AP 2+（BD+PD ）（BD ﹣PD ）=AP 2+BD 2﹣PD 2=AP 2﹣PD 2+BD 2=AD 2+BD 2=AB 2=25． 故选A.二．填空题 7．【答案】5； 8．【答案】2；【解析】走捷径是5米，少走了7－5＝2米． 9．【答案】150；【解析】∵AC=150﹣60=90mm ，BC=180﹣60=120mm ，22222500AB AC BC =+=，所以AB=150mm ． 10．【答案】10；【解析】∵()22882+-=100，∴飞行距离为10m ．11．【答案】10；【解析】可证两个三角形全等，∵22268=10+，∴正方形边长为10．12．【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为.【解析】解：张华的答案不正确，理由为：若4为直角边，第三边为=5； 若4为斜边，第三边为=．三．解答题 13．【解析】解：连接BD ，因为AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°所以△ABD 是等边三角形， 又因为∠D ＝150°，所以△BCD 是直角三角形，于是BC ＋CD ＝42－12－12＝18， 设BC ＝x ，从而CD ＝18－x ，利用勾股定理列方程得222(18)12x x -+=， 解得x ＝13，即BC 的长为13． 14．【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°， ∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90° 设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +∵222AB AC BC =+∴()22248x x +=+解得6x =，∴AC ＝6． 15．【解析】解：解：连结AC ，由勾股定理可知 AC===15，又∵AC 2+BC 2=152+362=392=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，故这块地的面积=S △ABC ﹣S △ACD =×15×36﹣×12×9=216（m ）2， 即这块地的面积是216平方米．。

勾股定理全章复习与巩固（基础）巩固练习一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A.21012 B.3C.586 D.53.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b c+= B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.（2018•江阴市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmcm D.122cm B.42cm C.62二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c、、满足222+=，那么这个三a b c角形是直角三角形．13.（2018•杭州模拟）如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是102cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．（2018春•安次区校级月考）甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD ，BC 边交于点M ，N ．求BN 的长.【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C ；【解析】树高为3358=+=.2.【答案】A ；=3.【答案】B ； 4.【答案】A ；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴ 13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5.【答案】D ；6.【答案】C ；【解析】作高，求得高为15 m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.【答案】A ；【解析】解：过D 作BM 的垂线交BM 于N ，∵图中S 2=S Rt △DOI ，S △BOC =S △MND ，∴S2+S4=S Rt△ABC．可证明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4=S1+S3+（S2+S4），=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=12×5÷2×3=90．故选：A．8.【答案】C；【解析】设AE＝x，则DE＝BE＝9－x，在Rt△ABE中，. 二.填空题9．【答案】8；10．；⨯=2211.【答案】30；12.【答案】①④；【解析】①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c、、满足222+=”也是a b c正确的，这是勾股定理的内容.13.【答案】130；【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D=50cm，BD=120cm，∴在直角△A′DB中，A′B===130（cm）．故答案是：130．14．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132. 15.【答案】【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积. 16.【答案】81；三.解答题 17.【解析】解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得： ()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为： 21346962x x x ⨯⨯==.18．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵602+802=1002， ∴∠BAC=90°，∵C 岛在A 北偏东35°方向， ∴B 岛在A 北偏西55°方向． ∴乙船所走方向是北偏西55°方向．19．【解析】解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++， 解得x ＝5． 所以BD ＝5. 20. 【解析】解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称， ∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=． ∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3， ∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN .。

《勾股定理》全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解. 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+- ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，∴BE2+EF2=BF2，∴∠BEF=90°，即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP与△CBQ中，∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ∴△ABP≌△CBQ∴AP=CQ(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°∴△PBQ为正三角形∴PQ=4a于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°． 在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。